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第六章第6.4节 数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
1．当x≠0时，设函数f（x）存在导数f′（x），且满足f（x）+xf′（x）＝ex，若f（1）＝0，则f（﹣1）＝（　　）
A． B． C．0 D．
2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），且当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0，则不等式（x﹣2024）2f（x﹣2024）﹣f（﹣1）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，2025）
B．（2023，2025）
C．（﹣∞，2025）∪（2023，+∞）
D．（﹣∞，2023）∪（2025，+∞）
3．已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）的图象如图所示，则（　　）
A．f′（x1）＞f′（x3）＞f′（x2）
B．f′（x2）＞f′（x1）＞f′（x3）
C．f′（x3）＞f′（x1）＞f′（x2）
D．f′（x1）＞f′（x2）＞f′（x3）
4．若，则以下不等式正确的是（　　）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a
5．函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．函数的单调减区间是（　　）
A．（﹣∞，ln2） B．（ln2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
7．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（0＜p＜1），当20辆汽车中恰有18辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X～N（550，σ2），则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9
8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x＞0时，f′（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） D．（﹣3，0）∪（0，3）
9．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）满足f（x）＞f′（x），则（　　）
A．f（1）＞ef（0） B．f（1）＜ef（0）
C．ef（ln2）＜2f（1） D．f（2）＞ef（1）
10．已知a＝0.75e0.5，b＝eln1.5，c＝1.125则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
11．下列命题正确的是（　　）
A．若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在t＝3秒时的瞬时速度为米/秒
B．命题“ x≥0，ex≥sinx”是真命题
C．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝1
D．已知函数h（x）在R上可导，若，则h′（1）＝2
12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导数为f′（x），f（x）＞0且f（e）＝1，若xf'（x）lnx+f（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式的解集为（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（e，+∞） D．（0，e）
13．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
14．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f（x）+1﹣e2x（1+f（﹣x））＝0，f（1）＝e2﹣1，且当x∈（0，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＞1，则不等式f（x﹣1）＞ex﹣1的解集为（　　）
A．（0，2） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
15．，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
16．已知函数f（x）＝ex+a，x∈（0，+∞），当x1＜x2时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．（﹣1，+∞）
17．若函数f（x）＝x3+3x2﹣mx+1在[﹣2，2]上为单调减函数，则m的取值范围（　　）
A．[24，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，0]
18．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax﹣lnx，则f（x）在（1，3）上不单调的一个充分不必要条件是（　　）
A．a∈（﹣∞，） B．a∈（，+∞）
C．a∈（，） D．a∈（，+∞）
19．函数f（x）的导函数为f′（x），对 x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（ln2）＝2，则不等式f（x）＞ex的解是（　　）
A．x＞1 B．0＜x＜1 C．x＞ln2 D．0＜x＜ln2
20．若函数y＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）
21．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
22．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a＝30.3 f（30.3），b＝（logπ3） f（logπ3），c＝（） f（）．则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
23．函数的单调递减区间为（1，+∞），则a＝（　　）
A． B．1 C．e D．e2
24．已知函数f（x），g（x）的大致图象如图所示，f（x）的导函数为f′（x），g（x）的导函数为g′（x），则（　　）
A．f′（x0）＝g′（x0）
B．f′（x0）＞g′（x0）
C．f′（x0）＜g′（x0）
D．无法判断f′（x0）与g′（x0）的大小
25．已知函数在区间[0，4]上单调递增，则实数a的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．已知定义在R上的函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）满足：对任意x∈R都有f（x）＜f′（x），则下列各式恒成立的是（　　）
A．f（1）＜e f（0），f（2023）＜e2023 f（0）
B．f（1）＞e f（0），f（2023）＞e2023 f（0）
C．f（1）＞e f（0），f（2023）＜e2023 f（0）
D．f（1）＜e f（0），f（2023）＞e2023 f（0）
27．定义域为R的函数y＝f（x），若对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数为“H函数”，现给出如下函数：
①y＝﹣x3+x+1；
②y＝3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y＝ex+1；
④．
其中为“H函数”的有（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③
28．函数f（x）图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．f′（1）＞f′（2）＞0＞f′（3）
B．f′（1）＜f′（2）＜f′（3）＜0
C．0＜f′（1）＜f′（2）＜f′（3）
D．f′（1）＞f′（2）＞f′（3）＞0
29．已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）
A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）
B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）
D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）
（多选）30．定义在[﹣1，3]上的函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）在（1，3）上单调递减
B．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减
C．函数f（x）在x＝1处取得极小值
D．函数f（x）在x＝0处取得极大值
（多选）31．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，f（1）＝1，若g（x）＝xf′（x）+f（x），则称g（x）是f（x）的“增值”函数．下列函数是f（x）的“增值”函数，则使得f（x）在（0，+∞）上不是单调函数的是（　　）
A．g（x）＝0 B．g（x）＝2 C．g（x）＝x D．g（x）＝ex﹣1
（多选）32．已知正项等比数列{an}的公比为q，函数，则（　　）
A．当q＝2时，f（x）无极值
B．当q＝3时，f（x）的极小值点为am+2
C．当{an}是递增数列时，f（x）在（am+2，+∞）上单调递增
D．当{an}是递减数列时，f（x）在（am+2，4am）上单调递减
（多选）33．已知函数，则（　　）
A．g（x）在（1，+∞）上单调递增
B．f（x）在（1，+∞）上单调递增
C．
D．log23＞log34
（多选）34．设f'（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f'（x）+xf（x）＝lnx，f（1），则下列结论正确的是（　　）
A．xf（x）在（1，+∞）上单调递增
B．xf（x）在（1，+∞）上单调递减
C．xf（x）在（0，+∞）上有极大值
D．xf（x）在（0，+∞）上有极小值
（多选）35．已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在x＝e处的切线方程为y＝e
B．函数f（x）的单调递减区间为（0，e）
C．f（x）的极小值为e
D．方程f（x）＝3有2个不同的解
（多选）36．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象大致如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．f（x）在（﹣∞，2）上单调递增
B．f（x）在（﹣1，5）上单调递增
C．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线的斜率为0
D．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线的斜率为4
（多选）37．已知定义域为[﹣3，5]的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的图象如图所示，则（　　）
A．函数f（x）在区间（0，3）上单调递增
B．函数f（x）在（﹣2，2）上单调递减
C．函数f（x）在x＝2处取得极小值
D．函数f（x）在x＝3处取得极大值
38．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为f'（x），若xf'（x）﹣1＜0．f（e）＝2，则关于x的不等式f（ex）＜x+1的解集为 　 　 ．
39．已知函数f（x）＝ex+x2﹣ax+2（a＞0），其中e是自然对数的底数．若函数f（x）与函数f（f（x））的单调区间相同，则a的取值范围为　 ．
40．设函数f（x）在R上存在导数f'（x），对于任意的实数x，有f（x）﹣f（﹣x）+2x＝0，当x∈（﹣∞，0]时，f'（x）+1＜2x．若f（2+m）﹣f（﹣m）≤2m+2，则实数m的取值范围是 　 　 ．
41．已知f（x）＝lnx，g（x）＝﹣x2﹣2ax+4，若对任意的x1∈（0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是 　 ．
42．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若x＞0，证明：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．
43．若函数y＝f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），使得f′（x1），f′（x2），则称f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f（x）在[a，b]上的中值点．
（1）判断函数f（x）＝x3﹣3x2+1是否是[﹣1，3]上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数f（x）xlnx﹣ax，存在m＞n＞0，使得f（m）＝f（n），且f（x）是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2是f（x）在[n，m]上的中值点．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x1+x2＞2．
44．已知函数f（x）＝（x2﹣2x+2a）ex．
（1）当a＝1时，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在[2，7]上单调递增，求a的取值范围；
（3）试讨论函数f（x）的单调性．
45．已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
（2）在图中画出函数f（x）的大致图象；
（3）若方程f（x）＝2m2﹣m（m∈R）有2个解，求实数m的取值范围．
46．已知函数f（x）＝2alnx+x2﹣（a+4）x．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣x+b，求a和b的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
47．设函数f（x），
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1﹣x）f（x）＞0的解集．
48．已知函数f（x）＝aex（x﹣3）（a≠0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a＝﹣1时，求函数g（x）＝f（x）+x2﹣4x的极值．
49．给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f′′（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f′′（x）＝0有实数解x＝x0，则称（x0，f（x0）．）为函数y＝f（x）的“拐点”．
（1）经研究发现所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f（x）的图象的对称中心．已知函数f（x）＝x3+bx2﹣9x+a的图象的对称中心为（﹣1，10），讨论函数f（x）的单调性并求极值．
（2）已知函数，其中m＞0．
（i）求g（x）的拐点；
（ii）若g（x1）+g（x2）＝2（0＜x1＜x2），求证：．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
50．已知f（x）＝x2﹣2x﹣3，g（x）＝f（5﹣x2），那么（　　）
A．g（x）在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减
B．g（x）在区间（﹣2，0）上单调递减
C．x＝0是g（x）的极小值点
D．x＝2是g（x）的极大值点
51．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下列判断错误的是（　　）
A．y＝f（x）在区间（﹣1，2）上是增函数
B．y＝f（x）在区间（1，3）上是减函数
C．y＝f（x）在区间（4，5）上是增函数
D．y＝f（x）在区间（﹣3，﹣2）上是减函数
52．若函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（　　）
A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．（0，4） D．（0，4]
（多选）53．函数f（x）＝2xlnx+ax2﹣x，则下列说法正确的是（　　）
A．当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数
B．当a＝2时，f（x）在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．f（x）在（0，+∞）上为减函数，则a
D．当a＜0时，F（x）＝f（x）+ax有且只有一个零点，则a∈（，）
（多选）54．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex，则下列结论正确的是（　　）
A．若f（x）在（﹣a，a）上单调递减，则a的最大值为1
B．当x＞0时，f（x）+3x＞0
C．当x＜0时，f（x）+3x＜0
D．存在直线l，使得l与y＝f（x）的图象有4个交点
（多选）55．设函数f（x）＝ex﹣e﹣x，则下列说法正确的是（　　）
A．曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝2x
B．记f（x）的导函数为f′（x），若方程f′（x）＝a恰有两个解，则a的取值范围是（2，+∞）
C．设g（x）＝2sinx﹣f（x），则关于x的不等式g（x2﹣4）+g（3x）＜0的解集为（﹣4，1）
D．设h（x）＝f（x﹣3）+x，则
56．若函数在定义域上单调递增，则　 　 ．
57．已知a，b，c∈（0，1），且a﹣5＝lna﹣ln5，b﹣4＝lnb﹣ln4，c﹣3＝lnc﹣ln3，则a，b，c的大小关系是 （用“＜”号连接）．
58．已知函数f（x）＝3x3﹣9x+5．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．
59．已知函数．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）试讨论f（x）在（﹣π，π）上的零点个数．
▉题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
60．设函数f（x）的定义域为R，f′（x）是其导函数，若3f（x）+f′（x）＞0，f（0）＝1，则不等式f（x）＞e﹣3x的解集是（　　）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，1）第六章第6.4节 数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
1．当x≠0时，设函数f（x）存在导数f′（x），且满足f（x）+xf′（x）＝ex，若f（1）＝0，则f（﹣1）＝（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解答】解：由f（x）+xf′（x）＝ex，
得[xf（x）]′＝ex，
所以xf（x）＝ex+c，c是常数，
当x＝1时，f（1）＝e+c＝0，所以c＝﹣e，
当x＝﹣1时，﹣f（﹣1）＝e﹣1﹣e，
得．
故选：D．
2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），且当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0，则不等式（x﹣2024）2f（x﹣2024）﹣f（﹣1）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，2025）
B．（2023，2025）
C．（﹣∞，2025）∪（2023，+∞）
D．（﹣∞，2023）∪（2025，+∞）
【答案】D
【解答】解：令F（x）＝x2f（x），则F′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]，
当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0，所以当x＜0时，F′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]＞0，
即F（x）在（﹣∞，0）上是增函数，由题意f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
所以F（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝F（x），所以F（x）是偶函数，在（0，+∞）单调递减，
所以F（x﹣2024）＝（x﹣2024）2f（x﹣2024），F（﹣1）＝（﹣1）2f（﹣1）＝f（﹣1），
即不等式（x﹣2024）2f（x﹣2024）﹣f（﹣1）＜0等价为F（x﹣2024）＜F（﹣1），
所以|x﹣2024|＞1，解得x＜2023或x＞2025．
故选：D．
3．已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）的图象如图所示，则（　　）
A．f′（x1）＞f′（x3）＞f′（x2）
B．f′（x2）＞f′（x1）＞f′（x3）
C．f′（x3）＞f′（x1）＞f′（x2）
D．f′（x1）＞f′（x2）＞f′（x3）
【答案】A
【解答】解：根据导数几何意义可知，f′（x1）＞0，f′（x2）＜0，f′（x3）＝0．
故选：A．
4．若，则以下不等式正确的是（　　）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【答案】D
【解答】解：因为，，，
令，定义域为（0，+∞），则，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
又因为2＜e＜3，所以f（2）＜f（e），f（e）＞f（3），
又，
所以f（2）＜f（3），
所以f（e）＞f（3）＞f（2），即b＞c＞a．
故选：D．
5．函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：，定义域为{x|x≠1}，
∴，
令f'（x）＞0 x∈（﹣∞，0）∪（，+∞），
所以f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，排除A、C，
当x＜0时，2x﹣1＜0，x﹣1＜0，所以f（x）＞0，排除B．
故选：D．
6．函数的单调减区间是（　　）
A．（﹣∞，ln2） B．（ln2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
【答案】B
【解答】解：，令f′（x）＜0，解得：x＞ln2，
故f（x）的单调减区间为（ln2，+∞），
故选：B．
7．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（0＜p＜1），当20辆汽车中恰有18辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X～N（550，σ2），则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9
【答案】A
【解答】解：设20辆汽车中恰有18辆达到标准时的概率为f（p），
则，
则，
当p∈（0，0.9）时，f′（p）＞0，f（p）单调递增，
当p∈（0.9，1）时，f′（p）＜0，f（p）单调递减，
所以f（p）在p＝0.9处取得最大值，即P（X≥500）＝0.9，
又因为X～N（550，σ2），
所以P（X≥600）＝P（X≤500）＝1﹣P（X≥500）＝0.1，
即这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为0.1．
故选：A．
8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x＞0时，f′（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） D．（﹣3，0）∪（0，3）
【答案】D
【解答】解：由题可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，由于f（x）是定义在R上的奇函数，
因此函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（﹣3）＝0，
因此f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，
因此当﹣3＜x＜0或x＞3时，f（x）＜0；当x＜﹣3或0＜x＜3时，f（x）＞0，
xf（x）＞0，即或，
解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，
因此满足xf（x）＞0的实数x的取值范围为（﹣3，0）∪（0，3）．
故选：D．
9．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）满足f（x）＞f′（x），则（　　）
A．f（1）＞ef（0） B．f（1）＜ef（0）
C．ef（ln2）＜2f（1） D．f（2）＞ef（1）
【答案】B
【解答】解：构造函数，
因为f（x）＞f′（x），
则，所以函数g（x）为R上的减函数，
则g（1）＜g（0），即，所以f（1）＜ef（0），A错误，B正确；
因为ln2＜1，所以g（ln2）＞g（1），即，
所以ef（ln2）＞2f（1），C错误，
因为g（2）＜g（1），可得：，
所以f（2）＜ef（1），D错误．
故选：B．
10．已知a＝0.75e0.5，b＝eln1.5，c＝1.125则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】A
【解答】解：构造函数，x＞0，则，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，
当x＞e时，f'（x）＜0，则函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
故f（x）≤f（e）＝lne﹣1＝0，故，当且仅当x＝e时取等号．由于x2＞0，则，
则，则，则，当且仅当时取等号．
当x＝0.75时，，所以eln1.5＜1.125，所以b＜c．
构造函数g（x）＝ex﹣1﹣x，则g'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，g'（x）＞0，当x＜1时，g'（x）＜0，
所以g（x）＝ex﹣1﹣x在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减，
故g（x）≥g（1）＝0，所以ex﹣1≥x，当且仅当x＝1时取等号，
故e2x﹣1≥2x，当且仅当x＝0.5时取等号．
当x＝0.75时，e0.5＞1.5，则0.75e0.5＞0.75×1.5＝1.125，所以a＞c．
综上得：b＜c＜a．
故选：A．
11．下列命题正确的是（　　）
A．若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在t＝3秒时的瞬时速度为米/秒
B．命题“ x≥0，ex≥sinx”是真命题
C．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝1
D．已知函数h（x）在R上可导，若，则h′（1）＝2
【答案】B
【解答】解：对于A，，则米/秒，错误；
对于B，令f（x）＝ex﹣sinx，x≥0，因为ex≥1，cosx≤1，
则f′（x）＝ex﹣cosx≥0，
可知函数f（x）在[0，+∞）内单调递增，则f（x）≥f（0），即ex≥sinx，x≥0，
所以命题“ x≥0，ex≥sinx”是真命题，故B正确；
对于C，由，得φ′（x）＝x2﹣xφ′（1）﹣1，故φ′（1）＝12﹣φ′（1）﹣1，
所以φ′（1）＝0，C错误；
对于D，由导数定义知4，
所以，D错误．
故选：B．
12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导数为f′（x），f（x）＞0且f（e）＝1，若xf'（x）lnx+f（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式的解集为（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（e，+∞） D．（0，e）
【答案】C
【解答】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞），
∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∵f（x）＞0，∴不等式等价于f（x）lnx＞1，即g（x）＞0，即g（x）＞g（e），
又∵函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴x＞e，
∴不等式lnx的解集为{x|x＞e}．
故选：C．
13．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由f′（x）的图象知，当x＜﹣m（m＞0）时，f′（x）＜0；
当﹣m＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜m时，f′（x）＜0；
当x＞m时，f′（x）＞0，
∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣m），（0，m）；增区间为（﹣m，0），（m，+∞）．
故选：D．
14．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f（x）+1﹣e2x（1+f（﹣x））＝0，f（1）＝e2﹣1，且当x∈（0，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＞1，则不等式f（x﹣1）＞ex﹣1的解集为（　　）
A．（0，2） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】C
【解答】解：由f（x）+1﹣e2x（1+f（﹣x））＝0，得，x∈R，
令，则g（﹣x）＝g（x），即g（x）是R上的偶函数，
求导得，因为当x∈（0，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＞1，
即f′（x）﹣f（x）﹣1＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
，f（x﹣1）＞ex﹣1，即f（x﹣1）+1＞ex，
即，即，即g（x﹣1）＞g（1），即g（|x﹣1|）＞g（1），
所以|x﹣1|＞1，解得x＞2或x＜0，则解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
故选：C．
15．，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
【答案】D
【解答】解：设，则，
x＞e时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
4＞3＞e，则f（4）＜f（3）＜f（e），
所以，即，，
所以，即a＜b＜c．
故选：D．
16．已知函数f（x）＝ex+a，x∈（0，+∞），当x1＜x2时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【答案】C
【解答】解：由已知，当0＜x1＜x2时，不等式恒成立，
可得x1f（x1）＜x2f（x2），令F（x）＝xf（x）＝xex+ax，x∈（0，+∞），
则F（x1）＜F（x2），所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以F′（x）＝xex+ex+a≥0在（0，+∞）上恒成立，
即﹣a≤xex+ex在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）＝xex+ex，g′（x）＝（x+2）ex＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝1，所以﹣a≤1，解得a≥﹣1，
即实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．
故选：C．
17．若函数f（x）＝x3+3x2﹣mx+1在[﹣2，2]上为单调减函数，则m的取值范围（　　）
A．[24，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，0]
【答案】A
【解答】解：因为函数f（x）＝x3+3x2﹣mx+1在[﹣2，2]上为单调减函数，
所以f′（x）＝3x2+6x﹣m≤0在[﹣2，2]上恒成立，
所以，即，解得m≥24，
即m的取值范围是[24，+∞）．
故选：A．
18．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax﹣lnx，则f（x）在（1，3）上不单调的一个充分不必要条件是（　　）
A．a∈（﹣∞，） B．a∈（，+∞）
C．a∈（，） D．a∈（，+∞）
【答案】D
【解答】解：f′（x）＝2ax﹣4a，
令h（x）＝2ax2﹣4ax﹣1，
问题转化为h（x）在（1，3）上有变号零点，
a＝0时，h（x）＝﹣1，显然不成立，
a≠0时，只需或或，
解得：a或a，
因为题目要求充分不必要，因此只有D选项符合要求，
故选：D．
19．函数f（x）的导函数为f′（x），对 x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（ln2）＝2，则不等式f（x）＞ex的解是（　　）
A．x＞1 B．0＜x＜1 C．x＞ln2 D．0＜x＜ln2
【答案】C
【解答】解：∵ x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，
令g（x），则有g（x）在R上单调递增，
∵不等式f（x）＞ex，
∴g（x）＞1，
∵f（ln2）＝2，
∴g（ln2）＝1，
∴x＞ln2，
故选：C．
20．若函数y＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）
【答案】C
【解答】解：若函数y＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′＝3x2+2x+m≥0恒成立，即Δ＝4﹣12m≤0，∴m．
故选：C．
21．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
【答案】A
【解答】解：设g（x），
则g（x）的导数为：g′（x），
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，
又∵g（﹣x）g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0 x g（x）＞0
或，
0＜x＜1或x＜﹣1．
故选：A．
22．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a＝30.3 f（30.3），b＝（logπ3） f（logπ3），c＝（） f（）．则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【答案】B
【解答】解：构造函数h（x）＝xf（x），
由函数y＝f（x）以及函数y＝x是R上的奇函数可得h（x）＝xf（x）是R上的偶函数，
又当x∈（﹣∞，0）时h′（x）＝f（x）+xf′（x）＜0，
所以函数h（x）在x∈（﹣∞，0）时的单调性为单调递减函数；
所以h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递增函数．
又因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，从而h（0）＝0
因为2，所以f（）＝f（﹣2）＝﹣f（2），
由0＜logπ3＜1＜30.3＜30.5＜2
所以h（logπ3）＜h（30.3）＜h（2）＝h（），即：b＜a＜c
故选：B．
23．函数的单调递减区间为（1，+∞），则a＝（　　）
A． B．1 C．e D．e2
【答案】B
【解答】解：函数的单调递减区间为（1，+∞），
又，
所以，解得a＝1．
故选：B．
24．已知函数f（x），g（x）的大致图象如图所示，f（x）的导函数为f′（x），g（x）的导函数为g′（x），则（　　）
A．f′（x0）＝g′（x0）
B．f′（x0）＞g′（x0）
C．f′（x0）＜g′（x0）
D．无法判断f′（x0）与g′（x0）的大小
【答案】B
【解答】解：由图象可知f（x）在x＝x0处的切线斜率大于g（x）在x＝x0处的切线斜率，
故由导数的几何意义可知f'（x0）＞g'（x0）．
故选：B．
25．已知函数在区间[0，4]上单调递增，则实数a的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：因为在区间[0，4]上单调递增，
所以f′（x）＝x2﹣4x+a≥0在[0，4]上恒成立，即a≥﹣x2+4x，
又当x∈[0，4]时，函数y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，在x＝2时取得最大值4，
所以a≥（﹣x2+4x）max＝4，所以a的最小值为4．
故选：D．
26．已知定义在R上的函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）满足：对任意x∈R都有f（x）＜f′（x），则下列各式恒成立的是（　　）
A．f（1）＜e f（0），f（2023）＜e2023 f（0）
B．f（1）＞e f（0），f（2023）＞e2023 f（0）
C．f（1）＞e f（0），f（2023）＜e2023 f（0）
D．f（1）＜e f（0），f（2023）＞e2023 f（0）
【答案】B
【解答】不妨设，函数定义域为R，
可得，
因为对任意x∈R都有f（x）＜f′（x），
所以f′（x）﹣f（x）＞0在x∈R上恒成立，
此时g′（x）＞0，
则函数在R上单调递增，
所以，，
整理得f（1）＞e f（0），f（2023）＞e2023 f（0）．
故选：B．
27．定义域为R的函数y＝f（x），若对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数为“H函数”，现给出如下函数：
①y＝﹣x3+x+1；
②y＝3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y＝ex+1；
④．
其中为“H函数”的有（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③
【答案】C
【解答】解：根据题意，若函数为“H函数”，则对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），
变形可得：（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，
则函数f（x）为R上是增函数；
反之，若函数f（x）为R上是增函数，必有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则函数为“H函数”；
由此依次分析所给的4个函数：
①y＝﹣x3+x+1，其导数y′＝﹣3x2+1，不满足y′≥0在R上恒成立，即y＝﹣x3+x+1在R上不是增函数，不是“H函数”；
②y＝3x﹣2（sinx﹣cosx），其导数y′＝3﹣2（cosx+sinx）＝3﹣2sin（x），有y′＝3﹣2sin（x）＞0恒成立，即y＝3x﹣2（sinx﹣cosx）在R上是增函数，是“H函数”；
③y＝ex+1，其导数y′＝ex，有y′＝ex＞0恒成立，则y＝ex+1在R上是增函数，是“H函数”；
④，在区间（0，1）上，y＞0，在区间（1，2）上，y＜0，则在R上不是增函数，不是“H函数”；
则其中是“H函数”的有②③；
故选：C．
28．函数f（x）图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．f′（1）＞f′（2）＞0＞f′（3）
B．f′（1）＜f′（2）＜f′（3）＜0
C．0＜f′（1）＜f′（2）＜f′（3）
D．f′（1）＞f′（2）＞f′（3）＞0
【答案】D
【解答】解：由图象可知，该函数在（0，+∞）上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．
所以各点处的导数在（0，+∞）上处处为正，且逐渐减小，
所以f′（1）＞f′（2）＞f′（3）＞0．
故选：D．
29．已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）
A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）
B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）
D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）
【答案】B
【解答】解：如下图：
f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）分别表示了直线n，m，l的斜率，
故0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），
故选：B．
（多选）30．定义在[﹣1，3]上的函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）在（1，3）上单调递减
B．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减
C．函数f（x）在x＝1处取得极小值
D．函数f（x）在x＝0处取得极大值
【答案】AD
【解答】解：由图象可知，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，
当0＜x＜3时，f′（x）＜0，
所以y＝f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，3）上单调递减，故A正确，故B错误；
所以函数f（x）在x＝0处取得极大值，x＝1不是极小值点，故C错误，D正确．
故选：AD．
（多选）31．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，f（1）＝1，若g（x）＝xf′（x）+f（x），则称g（x）是f（x）的“增值”函数．下列函数是f（x）的“增值”函数，则使得f（x）在（0，+∞）上不是单调函数的是（　　）
A．g（x）＝0 B．g（x）＝2 C．g（x）＝x D．g（x）＝ex﹣1
【答案】CD
【解答】解：由函数g（x）＝xf′（x）+f（x），可得函数g（x）＝[xf（x）]′．
对于选项A：根据g（x）＝0，可得xf（x）＝C，C为常数，
令x＝1，那么C＝1，因此，那么f（x）在（0，+∞）上是减函数，因此选项A错误；
对于选项B：根据g（x）＝2可得xf（x）＝2x+C，C为常数，
令x＝1，那么C＝﹣1，因此函数，
那么函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，因此选项B错误；
对于选项C，根据函数g（x）＝x可得，C为常数，
令x＝1，则，因此，
由对勾函数的单调性可知：f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故C正确；
对于D，由g（x）＝ex﹣1可得：xf（x）＝ex﹣1+C，C为常数，
令x＝1，则C＝0，所以，
令f′（x）＞0，可得x＞1，令f′（x）＜0，可得x＜1，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故D正确．
故选：CD．
（多选）32．已知正项等比数列{an}的公比为q，函数，则（　　）
A．当q＝2时，f（x）无极值
B．当q＝3时，f（x）的极小值点为am+2
C．当{an}是递增数列时，f（x）在（am+2，+∞）上单调递增
D．当{an}是递减数列时，f（x）在（am+2，4am）上单调递减
【答案】ABD
【解答】解：正项等比数列{an}的公比为q，函数，
由题意可知：，
，
则f′（x）＝x2﹣（4am+am+2）x+4amam+2＝（x﹣4am）（x﹣am+2），
对于A：q＝2，则，即f（x）单调递增，无极值，A正确；
对于B，q＝3，则f′（x）＝（x﹣4am）（x﹣9am），
所以当x＜4am或x＞9am时，f′（x）＞0，当4am＜x＜9am时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，4am），（9am，+∞）单调递增；在（4am，9am）单调递减，
所以在x＝9am＝am+2处取得极小值，B正确；
对于C：当{an}是递增数列时，f′（x）＝（x﹣4am）（x﹣am+2），
若am+2＜4am，即1＜q＜2，
易知f′（x）＝（x﹣4am）（x﹣am+2）＞0的解集为：（﹣∞，am+2）∪（4am，+∞），
所以f（x）在（﹣∞，am+2），（4am，+∞）单调递增，故C错误；
对于D，当{an}是递减数列时易知am+2＜4am，
所以f′（x）＝（x﹣4am）（x﹣am+2）＜0的解集为：（am+2，4am），
即f（x）在（am+2，4am）上单调递减，D正确．
故选：ABD．
（多选）33．已知函数，则（　　）
A．g（x）在（1，+∞）上单调递增
B．f（x）在（1，+∞）上单调递增
C．
D．log23＞log34
【答案】AD
【解答】解：g′（x）＝1+lnx，因为x＞1，所以g′（x）＝1+lnx＞0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增，选项A正确；
，因为g（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，1＜x＜x+1，
所以g（x）＜g（x+1），所以，即f（x）在（1，+∞）上单调递减，选项B错误；
要比较，，即比较πlnπ，e的大小，因为g（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，π＞e，所以g（π）＞g（e），即，选项C错误；
因为在（1，+∞）上单调递减，所以f（2）＞f（3），即log23＞log34，选项D正确．
故选：AD．
（多选）34．设f'（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f'（x）+xf（x）＝lnx，f（1），则下列结论正确的是（　　）
A．xf（x）在（1，+∞）上单调递增
B．xf（x）在（1，+∞）上单调递减
C．xf（x）在（0，+∞）上有极大值
D．xf（x）在（0，+∞）上有极小值
【答案】AD
【解答】解：由x2f'（x）+xf（x）＝lnx，得：xf′（x）+f（x），
设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf′（x）+f（x），
由g'（x）＞0得x＞1，由g'（x）＜0得0＜x＜1，
所以g（x）＝xf（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
故A正确，B错误；
函数g（x）在（0，+∞）上有极小值g（1）＝f（1），故C错误，D正确．
故选：AD．
（多选）35．已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在x＝e处的切线方程为y＝e
B．函数f（x）的单调递减区间为（0，e）
C．f（x）的极小值为e
D．方程f（x）＝3有2个不同的解
【答案】ACD
【解答】解：∵（x＞0，且x≠1），
∴f′（x），①
∴f′（e）＝0，又f（e）e，
∴f（x）在x＝e处的切线方程为y﹣e＝0，即y＝e，故A正确；
由①得：
当0＜x＜1，或1＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，1），（1，e）上单调递减；
当x＞e时，f′（x）＞0，f（x）在区间（e，+∞）上单调递增，且当x→0+时，f（x）→0；当x→1﹣时，f（x）→﹣∞；当x→1+时，f（x）→+∞；
由上面的分析可知，当x＝e时，f（x）取得极小值f（e）＝e，故C正确；
f（x）在（0，1），（1，e）单调递减，故B错误；
又3＞e，故方程f（x）＝3有2个不同的解，故D正确，
故选：ACD．
（多选）36．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象大致如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．f（x）在（﹣∞，2）上单调递增
B．f（x）在（﹣1，5）上单调递增
C．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线的斜率为0
D．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线的斜率为4
【答案】BD
【解答】解：由导函数f′（x）的图象可知当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，
当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，2）上单调递增，A错误；
由图象可知当﹣1＜x＜5时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，5）上单调递增，B正确；
由于f′（2）＝4，根据导数的几何意义可知y＝f（x）在x＝2处的切线的斜率为4，C错误，D正确，
故选：BD．
（多选）37．已知定义域为[﹣3，5]的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的图象如图所示，则（　　）
A．函数f（x）在区间（0，3）上单调递增
B．函数f（x）在（﹣2，2）上单调递减
C．函数f（x）在x＝2处取得极小值
D．函数f（x）在x＝3处取得极大值
【答案】BC
【解答】解；由图可知，当x∈（﹣3，﹣2）∪（2，4）时，f′（x）＞0，
当x∈（﹣2，2）∪（4，5）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（﹣3，﹣2）、（2，4）上单调递增，在（﹣2，2）、（4，5）上单调递减，
所以f（x）在x＝﹣2、x＝4处取得极大值，在x＝2取得极小值，
故A错误，B正确，C正确，D错误．
故选：BC．
38．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），其导函数为f'（x），若xf'（x）﹣1＜0．f（e）＝2，则关于x的不等式f（ex）＜x+1的解集为 　（1，+∞）　 ．
【答案】（1，+∞）．
【解答】解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣lnx，则g′（x）＝f′（x），
又由xf'（x）﹣1＜0．则g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上递减，
又由f（e）＝2，则g（e）＝f（e）﹣lne＝1，
f（ex）＜x+1 f（ex）﹣x＜1 f（ex）﹣lnex＜1 g（ex）＜g（e），
必有ex＞e，解可得x＞1，
即不等式的解集为（1，+∞）；
故答案为：（1，+∞）．
39．已知函数f（x）＝ex+x2﹣ax+2（a＞0），其中e是自然对数的底数．若函数f（x）与函数f（f（x））的单调区间相同，则a的取值范围为　（0，e+2]　 ．
【答案】（0，e+2]．
【解答】解：由题意，f′（x）＝ex+2x﹣a，设h（x）＝ex+2x﹣a，
则h′（x）＝ex+2＞0，∴f′（x）单调递增，
又，f′（a）＝ea+a＞0，
∴存在x0∈（﹣1，a），使得，即，
当x＜x0时，f′（x）＜0，当x＞x0时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
设g（x）＝f（f（x）），∵函数f（x）与函数f（f（x））的单调区间相同，
∴函数g（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又g′（x）＝f′（f（x）） f′（x），∴f′（f（x））≥0对任意x∈R恒成立，
即f（x）≥x0恒成立，由，∴，
将代入上式，整理得，
∵，∴，∴x0≤1，
又h（x）＝ex+2x﹣a在（﹣∞，1]上单调递增，∴，
∴a≤e+2，又a＞0，∴a的取值范围为（0，e+2]．
故答案为：（0，e+2]．
40．设函数f（x）在R上存在导数f'（x），对于任意的实数x，有f（x）﹣f（﹣x）+2x＝0，当x∈（﹣∞，0]时，f'（x）+1＜2x．若f（2+m）﹣f（﹣m）≤2m+2，则实数m的取值范围是 　（﹣∞，﹣1]　 ．
【答案】（﹣∞，﹣1]．
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x2+x，
因为x∈（﹣∞，0]时，f'（x）+1＜2x，
所以g′（x）＝f′（x）﹣2x+1＜0，即g（x）在（﹣∞，0]上单调递减，
又g（x）﹣g（﹣x）＝f（x）﹣x2+x﹣[f（﹣x）﹣（﹣x）2+（﹣x）]＝f（x）﹣f（﹣x）+2x＝0，
所以g（﹣x）＝g（x），即g（x）为偶函数，
根据偶函数的对称性可知，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
若f（2+m）﹣f（﹣m）≤2m+2，
则f（2+m）＝g（2+m）+（2+m）2﹣（2+m）﹣g（﹣m）﹣（﹣m）2+（﹣m）≤2m+2，
整理得，g（2+m）≤g（﹣m），
所以|2+m|≤|﹣m|，
两边平方得，m2+4m+4≤m2，
解得，m≤﹣1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
41．已知f（x）＝lnx，g（x）＝﹣x2﹣2ax+4，若对任意的x1∈（0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是 　　 ．
【答案】
【解答】解：对任意的x1∈（0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，
∴f（x1）min≥g（x2）min，x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，
f（x）＝ln x，x∈（0，2]，
f′（x），可得：函数f（x）在（0，1）内单调递减，在[1，2]内单调递增．
∴x＝1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）min＝f（1）．
g（x）＝﹣x2﹣2ax+4，x∈[1，2]，
g（x）＝﹣（x+a）2+a2+4．对称轴x＝﹣1，抛物线开口向下．
①﹣a≤1，即a≥﹣1时，函数g（x）在x∈[1，2]上单调递减，∴x＝2时，函数g（x）取得最小值，g（2）＝﹣4﹣4a+4＝﹣4a．
∴4a，解得a1．此时a的取值范围是．
②﹣a≥2，即a≤﹣2时，函数g（x）在x∈[1，2]上单调递减，
∴x＝1时，函数g（x）取得最小值，g（1）＝﹣1﹣2a+4＝3﹣2a．
∴3﹣2a，解得a．此时a的取值范围是[，+∞）．
③2＞﹣a＞1，即﹣2＜a＜﹣1时，函数g（x）在x∈[1，a]上单调递增，在x∈[a，2]上单调递减，
又g（2）＝﹣4a．g（1）＝3﹣2a．∴g（x）min＝{g（1），g（2）}min．
综上可得：a的取值范围是．
故答案为：．
42．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若x＞0，证明：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．
【答案】（1）f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0]，单调递增区间为[0，+∞）；
（2）；
（3）证明过程见解析．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝ex﹣1﹣x，函数定义域为R，
可得f′（x）＝ex﹣1，
当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增；
（2）已知f′（x）＝ex﹣1﹣2ax，
令h（x）＝ex﹣1﹣2ax，函数定义域为R，
可得h′（x）＝ex﹣2a，
当2a≤1，即时，
此时h′（x）≥0，h（x）单调递增，
所以h（x）≥h（0），
即f′（x）≥f′（0）＝0，
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，
此时f（x）≥f（0）＝0，满足条件；
当2a＞1时，
当0≤x＜ln2a时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）＜h（0）＝0，
即f′（x）＜f′（0）＝0，
所以f（x）在（0，ln2a）上单调递减，
此时f（x）＜f（0）＝0，不满足题意，
综上，实数a的取值范围为；
（3）证明：由（2）得，当且x＞0时，，
即，
要证（ex﹣1）ln（x+1）＞x2，
需证，
即证，
要证，
设，
可得，
当x＞0时，F′（x）＞0恒成立，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为F（0）＝0．
所以F（x）＞0恒成立，原不等式成立．
43．若函数y＝f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），使得f′（x1），f′（x2），则称f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f（x）在[a，b]上的中值点．
（1）判断函数f（x）＝x3﹣3x2+1是否是[﹣1，3]上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数f（x）xlnx﹣ax，存在m＞n＞0，使得f（m）＝f（n），且f（x）是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2是f（x）在[n，m]上的中值点．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x1+x2＞2．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）a的取值范围为（0，+∞）；证明见解析．
【解答】解：函数y＝f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），使得f′（x1），
f′（x2），则称f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，
（1）是，理由如下：
根据条件易知f（3）＝1，f（﹣1）＝﹣3，∴，
又f′（x）＝3x2﹣6x＝1，可得，
显然，符合“双中值函数”定义，
即函数f（x）＝x3﹣3x2+1是[﹣1，3]上的“双中值函数”；
（2）①因为f（m）＝f（n），所以．
因为f（x）是[n，m]上的“双中值函数”，所以f′（x1）＝f′（x2）＝0．
由题意可得f′（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1．
设g（x）＝f′（x）＝x﹣lnx﹣a﹣1，则．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，则g（x）为减函数，即f′（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）为增函数，即f′（x）为增函数．
故f′（x）min＝f′（1）＝﹣a．
因为f′（x1）＝f′（x2）＝0，且x→0时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，
所以﹣a＜0，所以a＞0，即a的取值范围为（0，+∞）；
②证明：不妨设0＜x1＜1＜x2，
则x1﹣lnx1﹣a﹣1＝0，x2﹣lnx2﹣a﹣1＝0，即x1﹣lnx1＝a+1，x2﹣lnx2＝a+1．
要证x1+x2＞2，可证x1+x2＞a+2，即证x2＞a+2﹣x1＝1﹣lnx1．
设h（x）＝g（x）﹣g（1﹣lnx）＝x﹣1+ln（1﹣lnx）（0＜x＜1），
则．
设φ（x）＝x（1﹣lnx）（0＜x＜1），则φ′（x）＝﹣lnx＞0，
所以φ（x）在（0，1）上单调递增，所以0＜φ（x）＜φ（1）＝1，
所以，则h（x）在（0，1）上单调递减．
因为h（1）＝g（1）﹣g（1）＝0，所以h（x）＞0，即g（x）＞g（1﹣lnx）．
因为0＜x1＜1，所以g（x1）＞g（1﹣lnx1）．
因为g（x1）＝g（x2）＝0，所以g（x2）＞g（1﹣lnx1）．
因为0＜x1＜1，所以1﹣lnx1＞1．
由①可知g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以x2＞1﹣lnx1，即x1+x2＞a+2＞2得证．
44．已知函数f（x）＝（x2﹣2x+2a）ex．
（1）当a＝1时，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在[2，7]上单调递增，求a的取值范围；
（3）试讨论函数f（x）的单调性．
【答案】（1）y＝ex．
（2）{a|a≥﹣1}；
（3）当a≥1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
当a＜1时，f（x）在和上单调递增，在上单调递减．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝（x2﹣2x+2）ex，f（1）＝e，
又f′（x）＝（x2﹣2x+2）′ex+（x2﹣2x+2）（ex）′＝x2ex，f′（1）＝e，
所以y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣e＝e（x﹣1），即y＝ex．
（2）f′（x）＝（x2﹣2x+2a）′ex+（x2﹣2x+2a）（ex）′＝（x2+2a﹣2）ex，
因为f（x）在[2，7]上单调递增，所以f′（x）＝（x2+2a﹣2）ex≥0，x∈[2，7]恒成立．
即x2+2a﹣2≥0，x∈[2，7]恒成立．
所以2﹣2a≤x2，x∈[2，7]恒成立，所以2﹣2a≤4 a≥﹣1，
故a的范围为{a|a≥﹣1}；
（3）由f′（x）＝（x2+2a﹣2）ex＞0 x2+2a﹣2＞0．
若2a﹣2≥0，即a≥1，则x2+2a﹣2≥0恒成立，
所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无极值；
若2a﹣2＜0即a＜1，由f′（x）＞0，得或，
f′（x）＜0，得，
所以f（x）在和上单调递增，在上单调递减，
综上：当a≥1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
当a＜1时，f（x）在和上单调递增，在上单调递减．
45．已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
（2）在图中画出函数f（x）的大致图象；
（3）若方程f（x）＝2m2﹣m（m∈R）有2个解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，f（x）有极大值1，无极小值；
（2）函数图像见解析；
（3）．
【解答】解：（1）函数的定义域为R，，
令f′（x）＞0，解得x＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；
令f′（x）＜0，解得x＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当x＝0时，f（x）有极大值f（0）＝1，无极小值．
（2）函数f（x）经过特殊的点A（0，1），B（﹣1，0），
当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
当x→+∞时，与一次函数相比，指数函数y＝ex呈爆炸性增长，从而，
根据以上信息及（1）的单调区间，画出f（x）的大致图象如图：
（3）若方程f（x）＝2m2﹣m有2个解，
即函数y＝f（x）的图象和y＝2m2﹣m的图象有2个交点，
结合图象得0＜2m2﹣m＜1，解得或．
所以实数m的取值范围为．
46．已知函数f（x）＝2alnx+x2﹣（a+4）x．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣x+b，求a和b的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
【答案】（1）a＝1，b＝﹣3；
（2）当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（0，2），
当0＜a＜4时，f（x）的单调递增区间为和（2，+∞），单调递减区间为，
当a＝4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间，
当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，2）和，单调递减区间为．
【解答】解：（1）因为f（x）＝2alnx+x2﹣（a+4）x，
所以．
由f（1）＝﹣a﹣3，f′（1）＝a﹣2，
得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+a+3＝（a﹣2）（x﹣1），即y＝（a﹣2）x﹣2a﹣1，
则，
解得a＝1，b＝﹣3；
（2），x＞0，
若a 0，则当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
若0＜a＜4，则当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
若a＝4，则f′（x） 0在（0，+∞）上恒成立，f（x）单调递增，
若a＞4，则当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（0，2），
当0＜a＜4时，f（x）的单调递增区间为和（2，+∞），单调递减区间为，
当a＝4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间，
当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，2）和，单调递减区间为．
47．设函数f（x），
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1﹣x）f（x）＞0的解集．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵f（x）
∴
由f'（x）＝0，得x＝1，
因为当x＜0时，f'（x）＜0；
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0；
所以f（x）的单调增区间是：[1，+∞）；单调减区间是：（﹣∞，0），（0，1]
（2）由f'（x）+k（1﹣x）f（x）0，
得：（x﹣1）（kx﹣1）＜0，
故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x}；
当k＝1时，解集是： ；
当k＞1时，解集是：{x|x＜1}．
48．已知函数f（x）＝aex（x﹣3）（a≠0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a＝﹣1时，求函数g（x）＝f（x）+x2﹣4x的极值．
【答案】（1）当a＞0时，f（x）的递减区间为（﹣∞，2），递增区间为（2，+∞），
当a＜0时，f（x）的递减区间为（2，+∞），递增区间为（﹣∞，2）．
（2），．
【解答】解：（1）f′（x）＝aex（x﹣2），
若a＞0，由f′（x）＜0，得x＜2，
由f′（x）＞0，得x＞2，
所以f（x）的递减区间为（﹣∞，2），递增区间为（2，+∞），
若a＜0，由f′（x）＜0，得x＞2，
由f′（x）＞0，得x＜2，
所以f（x）的递减区间为（2，+∞），递增区间为（﹣∞，2），
综上所述，当a＞0时，f（x）的递减区间为（﹣∞，2），递增区间为（2，+∞），
当a＜0时，f（x）的递减区间为（2，+∞），递增区间为（﹣∞，2）．
（2）当a＝﹣1时，g（x）＝f（x）+x2﹣4x＝﹣ex（x﹣3）+x2﹣4x，
g′（x）＝﹣ex（x﹣2）+2x﹣4＝﹣（x﹣2）（ex﹣2），
由g′（x）＝0，得x＝2或x＝ln2，
当x变化时，g′（x）与g（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，ln2） ln2 （ln2，2） 2 （2，+∞）
g′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣
g（x） 递减 极小值 递增 极大值 递减
所以，
．
49．给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f′′（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f′′（x）＝0有实数解x＝x0，则称（x0，f（x0）．）为函数y＝f（x）的“拐点”．
（1）经研究发现所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f（x）的图象的对称中心．已知函数f（x）＝x3+bx2﹣9x+a的图象的对称中心为（﹣1，10），讨论函数f（x）的单调性并求极值．
（2）已知函数，其中m＞0．
（i）求g（x）的拐点；
（ii）若g（x1）+g（x2）＝2（0＜x1＜x2），求证：．
【答案】（1）f（x）在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，
f（x）的极大值为f（﹣3）＝26，极小值为t（1）＝﹣6；
（2）（i）；
（ii）证明见解答．
【解答】解：（1）∵f（x）＝x3+bx2﹣9x+a的图象的对称中心为（﹣1，10），
f'（x）＝3x2+2bx﹣9，f''（x）＝6x+2b，
∴f''（﹣1）＝0 ﹣6+2b＝0 b＝3，
f（﹣1）＝10 （﹣1）3+3×（﹣1）2+9+a＝10 a＝﹣1，
∴f（x）＝x3+3x2﹣9x﹣1，f'（x）＝3x2+6x﹣9＞0 x＞1或x＜﹣3，
∴f（x）在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，
f（x）的极大值为f（﹣3）＝26，极小值为t（1）＝﹣6．
（2）（i）∵，m＞0，
，
g″（x）＝12mx+12ln（mx）﹣12＝0 mx﹣1+ln（mx）＝0，
令h（x）＝x+lnx﹣1（x＞0），则在（0，+∞）上恒成立，
∴h（x）＝x+lnx﹣1在（0，+∞）上单调递增，又h（1）＝0，
由零点存在性定理知，h（x）＝x+lnx﹣1有唯一的零点x＝1，
∴mx＝1 ，
当时，，
∴g（x）的拐点为．
证明：（ii）由（i）可知，g″（x）＝12mx+12ln（mx）﹣12在（0，+∞）上单调递增，，
∴当时，g″（x）＜0，当时，g″（x）＞0，
g'（x）在上单调递减，在上单调递增，
又，
∴g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又，g（x1）+g（x2）＝2（0＜x1＜x2），
∴，
设，则，w″（x）＝﹣12mx+12，
令w″（x）＝﹣12mx+12＝0，解得，
又，
∴的拐点为，
则关于中心对称，
令，
又g（x）的拐点为，g（x1）+g（x2）＝2（0＜x1＜x2），
∴要证明，只需证明φ（x）的极值点左偏，
φ′（x）＝6x+2[6ln（mx）﹣9]x＝12x[ln（mx）﹣1]，
当时，φ′（x）＞0，当时，φ'（x）＜0，
∴φ（x）在上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
即证当φ（x3）＝φ（x4）时，，
不妨设，，
令，，
则F′（x）
，
∴在上单调递减，又，
∴在上恒成立，
∴ ，
又φ（x）在上单调递增，
∴ ，
故φ（x）的极值点左偏，
∴．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
50．已知f（x）＝x2﹣2x﹣3，g（x）＝f（5﹣x2），那么（　　）
A．g（x）在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减
B．g（x）在区间（﹣2，0）上单调递减
C．x＝0是g（x）的极小值点
D．x＝2是g（x）的极大值点
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x﹣3，g（x）＝f（5﹣x2），
所以g（x）＝（5﹣x2）2﹣2（5﹣x2）﹣3＝x4﹣8x2+12，x∈R，
g′（x）＝4x3﹣16x＝4x（x+2）（x﹣2），令g′（x）＝0得x＝0或﹣2或2，
g′（x）＜0 x＜﹣2或0＜x＜2，g′（x）＞0 ﹣2＜x＜0或x＞2，
所以g（x）在（﹣∞，﹣2），（0，2）上递减，在（﹣2，0），（2，+∞）上递增，A正确，B错误；
x＝0是极大值点，x＝2是极小值点，C、D错误．
故选：A．
51．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下列判断错误的是（　　）
A．y＝f（x）在区间（﹣1，2）上是增函数
B．y＝f（x）在区间（1，3）上是减函数
C．y＝f（x）在区间（4，5）上是增函数
D．y＝f（x）在区间（﹣3，﹣2）上是减函数
【答案】B
【解答】解：对A：由导函数f'（x）的图象知，在区间（﹣1，2）上，f′（x）＞0，故y＝f（x）在区间（﹣1，2）上单调递增，故A项正确；
对B：在区间（1，3）上，f′（x）有大于零和小于零的部分，故y＝f（x）在区间（1，3）上不单调，故B项错误；
对C：在区间（4，5）上，f′（x）＞0，所以函数y＝f（x）在区间（4，5）上单调递增，故C项正确．
对D：在区间（﹣3，﹣2）上，f′（x）＜0，故y＝f（x）在区间（﹣3，﹣2）上是减函数，故D项正确．
故选：B．
52．若函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（　　）
A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．（0，4） D．（0，4]
【答案】B
【解答】解：因为存在单调递减区间，
所以在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解，
令，
根据对勾函数单调性可知，当0＜x＜2时，g（x）单调递减，x＞2时，g（x）单调递增；
所以g（x）min＝g（2）＝4，故a＞4．
故选：B．
（多选）53．函数f（x）＝2xlnx+ax2﹣x，则下列说法正确的是（　　）
A．当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数
B．当a＝2时，f（x）在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．f（x）在（0，+∞）上为减函数，则a
D．当a＜0时，F（x）＝f（x）+ax有且只有一个零点，则a∈（，）
【答案】BD
【解答】解：对于A，f'（x）＝2lnx+2ax+为增函数，x→0时f′（x）趋向负无穷，x→+∞时f′（x）趋向正无穷，
所以存在x0∈（0，+∞）使f'（x0）＝0，
故x∈（0，x）上f′（x）＜0，f（x）在（0，xo）上为减函数，A错；
对于B，由题设f′（x）＝2lnx+4x+1，则f′（1）＝5，且f（1）＝1，
所以f（x）在x＝1处的切线方程为y＝5x﹣4，
切线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为（0，﹣4），
所以f（x）在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，B对；
对于C，因为函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
则在（0，+∞）上f′（x）＝2lnx+2ax+1≤0恒成立，即，
令g（x），则，
易知0＜x时，g′（x）＜0，时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，
所以，C错；
对于D，函数F（x）＝f（x）+ax＝2xlnx+ax2﹣x+ax有且只有一个零点，
即2xlnx+ax2﹣x+ax＝0有唯一解，则，
令，且x＞0，则，
令，显然在（0，+∞）上为增函数，，
则 x0∈（5，6），使得，
易知0＜x＜x0时，h（x0）＜0，x＞x0时，h（x0）＞0，
则g（x）在（0，x0）为减函数，在（x0，+∞）为增函数，
则，
当a＜0时，→∞，→0，
所以有且只有一个解时，，即，D对．
故选：BD．
（多选）54．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）ex，则下列结论正确的是（　　）
A．若f（x）在（﹣a，a）上单调递减，则a的最大值为1
B．当x＞0时，f（x）+3x＞0
C．当x＜0时，f（x）+3x＜0
D．存在直线l，使得l与y＝f（x）的图象有4个交点
【答案】BCD
【解答】解：由f（x）＝（x2﹣2x）ex，可得f′（x）＝（x2﹣2）ex，
由f′（x）＜0，解得，
则a的最大值为，故A不正确；
当x＞0时，f（x）+3x＞0，即（x﹣2）ex+3＞0．
设g（x）＝（x﹣2）ex+3，则g′（x）＝（x﹣1）ex，
易知函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）在x＝1处取得最小值g（1）＝3﹣e＞0，故B正确；
当x＜0时，f（x）+3x＜0，即（x﹣2）ex+3＞0．
由B选项的过程知，在x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，g（x）＞g（0）＝1＞0，故C正确；
画出f（x）的图象如图，
可知存在直线l，使得l与y＝f（x）的图象有4个交点，故D正确．
故选：BCD．
（多选）55．设函数f（x）＝ex﹣e﹣x，则下列说法正确的是（　　）
A．曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝2x
B．记f（x）的导函数为f′（x），若方程f′（x）＝a恰有两个解，则a的取值范围是（2，+∞）
C．设g（x）＝2sinx﹣f（x），则关于x的不等式g（x2﹣4）+g（3x）＜0的解集为（﹣4，1）
D．设h（x）＝f（x﹣3）+x，则
【答案】ABD
【解答】解：由题意，f'（x）＝ex+e﹣x，则f'（0）＝2．又f（0）＝0，
所以曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y﹣0＝2（x﹣0），即y＝2x，故选项A正确；
f'（x）＝ex+e﹣x，根据基本不等式可得，
当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0时等号成立，
所以f'（x）＝ex+e﹣x的最小值是2，
当x→﹣∞时，f'（x）→+∞，当x→+∞时，f'（x）→+∞，
所以若方程f'（x）＝a恰有两个解，则a的取值范围是（2，+∞），故选项B正确；
g（x）＝2sinx﹣f（x）＝2sinx﹣（ex﹣e﹣x），
g（﹣x）＝2sin（﹣x）﹣（e﹣x﹣ex）＝﹣2sinx﹣（e﹣x﹣ex）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数，
对g（x）求导，g'（x）＝2cosx﹣（ex+e﹣x），
因为ex+e﹣x≥2，2cosx∈[﹣2，2]，所以g'（x）≤0，g（x）在R上单调递减，
由g（x2﹣4）+g（3x）＜0得g（x2﹣4）＜﹣g（3x）＝g（﹣3x），
根据单调性可得x2﹣4＞﹣3x，即x2+3x﹣4＞0，即（x+4）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣4，故选项C错误；
h（x）＝f（x﹣3）+x＝（ex﹣3﹣e3﹣x）+x，
h（6﹣x）＝f（3﹣x）+6﹣x＝（e3﹣x﹣ex﹣3）+6﹣x，
则h（x）+h（6﹣x）＝（ex﹣3﹣e3﹣x）+x+（e3﹣x﹣ex﹣3）+6﹣x＝6，
因为，
，h（）+h（）＝6，…，共338组余，h（3）＝f（0）+3＝3，
所以338×6+3＝2028+3＝2031，故选项D正确．
故选：ABD．
56．若函数在定义域上单调递增，则　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意知，在x＞﹣1时恒成立，
即x2+（2m﹣m2）x≥0在x＞﹣1时恒成立，即x[x+（2m﹣m2）]≥0在x＞﹣1时恒成立，
所以2m﹣m2＝0，解得m＝2或m＝0（舍去）．
故答案为：2．
57．已知a，b，c∈（0，1），且a﹣5＝lna﹣ln5，b﹣4＝lnb﹣ln4，c﹣3＝lnc﹣ln3，则a，b，c的大小关系是 a＜b＜c （用“＜”号连接）．
【答案】a＜b＜c．
【解答】解：设f（x）＝x﹣lnx，
则，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又a﹣5＝lna﹣ln5，
则a﹣lna＝5﹣ln5，
则f（a）＝f（5），
又b﹣4＝lnb﹣ln4，
则b﹣lnb＝4﹣ln4，
则f（b）＝f（4），
又c﹣3＝lnc﹣ln3，
则c﹣lnc＝3﹣ln3，
则f（c）＝f（3），
因为5＞4＞3＞1，
所以f（5）＞f（4）＞f（3），
即f（a）＞f（b）＞f（c），
而a，b，c∈（0，1），
所以a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c．
58．已知函数f（x）＝3x3﹣9x+5．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．
【答案】（1）递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），递减区间（﹣1，1）；
（2）函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值为59，最小值为﹣49．
【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，且f'（x）＝9x2﹣9＝9（x+1）（x﹣1），
令f'（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞1；令f'（x）＜0，可得﹣1＜x＜1，
∴递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），递减区间（﹣1，1）；
（2）根据（1）列表如下：
x ﹣3 （﹣3，﹣1） ﹣1 （﹣1，1） 1 （1，3） 3
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
y＝f（x） ﹣49 单调递增 极大值11 单调递减 极小值﹣1 单调递增 59
∴函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值为59，最小值为﹣49．
59．已知函数．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）试讨论f（x）在（﹣π，π）上的零点个数．
【答案】（1）y＝0．
（2）当0≤a≤1时，f（x） 在 （﹣π，π） 上有 1 个零点；当 时，f（x） 在 （﹣π，π） 上有 3 个零点．
【解答】解：（1）函数 f（x）＝ex﹣e﹣x﹣asin2x，
当a＝1时，f（x）＝ex﹣e﹣x﹣sin2x，f（0）＝e0﹣e﹣0﹣sin0＝1﹣1﹣0＝0，
所以切点为（0，0），
求导得f′（x）＝ex+e﹣x﹣2cos2x，
则f′（0）＝e0+e﹣0﹣2cos0＝1+1﹣2×1＝0，
所以切线的斜率为0，切线方程为：y﹣0＝0（x﹣0），
即y＝0．
（2）由题f（0）＝e0﹣e﹣0﹣asin0＝0，
所以x＝0是函数的一个零点，
因为，
所以f（﹣x）＝e﹣x﹣ex﹣asin（﹣2x），
所以 f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数，
所以函数的零点关于原点对称，
所以只需研究x∈（0，π）的零点个数即可，
当时，2asin2x≤0，
所以f（x）＞0，
所以当函数在上没有零点，
当时，求导得f′（x）＝ex+e﹣x﹣2acos2x，
当0≤a≤1时，，当且仅当x＝0时取等号，
所以ex+e﹣x＞2，
又，所以2acos2x＜2，
可得f′（x）＝ex+e﹣x﹣2acos2x＞0，
所以f（x）在上单调递增，
又f（0）＝0，
所以f（x）在上无零点，
则f（x）在（﹣π，π）上只有1个零点；
当 时，f′（x）＝ex+e﹣x﹣2acos2x，令g（x）＝ex+e﹣x﹣2acos2x，
则g′（x）＝ex﹣e﹣x+4asin2x，
y＝ex﹣e﹣x在上单调递增，
所以ex﹣e﹣x＞e0﹣e﹣0＝0，
若时，asin2x＞0，
即g′（x）＝ex﹣e﹣x+4asin2x＞0，
所以g（x）＝ex+e﹣x﹣2acos2x在上单调递增，
即f′（x）在上单调递增，
故f′（x）＝0至多有1个根，
令f′（x）＝0，
则ex+e﹣x﹣2acos2x＝0，
则，
令，当时，，当，，
所以在在上无解，
当时，求导可得，
所以在上单调递减，
又，
所以当时，，
所以在上方程有解，
即存在，使，
即x∈（0，x0），f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
所以函数在x∈（0，x0）上单调递减，在上单调递增，
又f（0）＝0，
所以f（x0）＜0，
又，
所以f（x）在有1个零点，
即函数f（x）在有1个零点，
所以当时f（x）有三个零点，
综上所述：当0≤a≤1时，f（x） 在 （﹣π，π） 上有 1 个零点；
当 时，f（x） 在 （﹣π，π） 上有 3 个零点．
▉题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
60．设函数f（x）的定义域为R，f′（x）是其导函数，若3f（x）+f′（x）＞0，f（0）＝1，则不等式f（x）＞e﹣3x的解集是（　　）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，1）
【答案】A
【解答】解：令g（x）＝e3xf（x），则g'（x）＝3e3xf（x）+e3xf'（x），
因为3f（x）+f′（x）＞0，所以3e3xf（x）+e3xf'（x）＞0，
所以g′（x）＞0，所以函数g（x）＝e3xf（x）在R上单调递增，
而f（x）＞e﹣3x可化为e3xf（x）＞1，又g（0）＝e3×0f（0）＝1，
即g（x）＞g（0），解得x＞0，
所以不等式f（x）＞e﹣3x的解集是（0，+∞）．
故选：A．

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