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第五章第5.1节 数列基础
题型1 数列的概念及简单表示法 题型2 由数列若干项归纳出通项公式
题型3 由通项公式求解或判断数列中的项 题型4 由实际问题归纳出数列的通项
题型5 数列的函数特性 题型6 数列的单调性
题型7 数列的最大项最小项 题型8 数列的图象
题型9 数列递推式
▉题型1 数列的概念及简单表示法
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
1．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（　　）
A．an+1＝an+n，n∈N*
B．an＝an﹣1+n，n∈N*，n≥2
C．an+1＝an+（n+1），n∈N*，n≥2
D．an＝an﹣1+（n﹣1），n∈N*，n≥2
【答案】B
【解答】解：根据题意，可得a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，a4＝10＝1+2+3+4，…
发现规律：an＝1+2+3+…+n，
而an+1﹣an[（n+2）﹣n]＝n+1
故an+1＝an+n+1成立，
即an＝an﹣1+n，n∈N*，n≥2，
故选：B．
2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50、…，则下列说法正确的是（　　）
A．此数列的第19项是182
B．此数列的第20项是200
C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n+1
D．此数列的前n项和为Sn＝n （n﹣1）
【答案】B
【解答】解：观察此数列，偶数项的通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，即a2n﹣1＝a2n﹣2n，
由此可得，
故选项A错误，选项B正确，选项C错误，
因为Sn＝n （n﹣1）是一个等差数列的前n项和，而题中的数列不是等差数列，故选项D错误．
故选：B．
3．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的（　　）
A．第20项 B．第24项 C．第25项 D．第30项
【答案】B
【解答】解：由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…可得通项公式an＝n（n+1），
令n（n+1）＝600，又n∈N+，
∵24×25＝600，∴n＝24．
故选：B．
4．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解答】解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{an}
∴an＝an﹣1+an﹣2 （n＞3）
∴x＝a7＝a5+a6＝5+8＝13
故选：C．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且，求an＝　　 ．
【答案】
【解答】解：由，可得（n≥2）．
两式作差得：4n﹣1（n≥2）．
又a1＝S1＝4不适合上式，
∴．
故答案为：．
6．已知数列{an}的通项公式，则a2+a18等于 　288　 ．
【答案】288．
【解答】解：由得，，
所以，a2+a18＝288．
故答案为：288．
▉题型2 由数列若干项归纳出通项公式
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
7．数列，，，，，…的一个通项公式是an＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：数列，，，，，…中，
a1，
，
，
，
，
……
an．
故选：B．
8．已知数列1，，，，3，…，按此规律，5是该数列的（　　）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
【答案】C
【解答】解：此数列可写为：，
所以该数列的一个通项公式为：，
令，解得：n＝13，
所以5是该数列的第13项．
故选：C．
9．某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝（a1，a2，a3，…）升级为新序列A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），A*中的第n项为an+1﹣an，若（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝ 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：由题意得，
A＝（a1，a2，a3，a4，a5，…），
A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），
（A*）*＝（a3﹣2a2+a1，a4﹣2a3+a2，a5﹣2a4+a3，…），
∵（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，
∴a3﹣2a2+a1＝3，
a4﹣2a3+a2＝3，
a5﹣2a4+a3＝3，
由a5﹣2a4+a3＝3，得18﹣22+a3＝3，解得a3＝7，
由a4﹣2a3+a2＝3，得11﹣14+a2＝3，解得a2＝6，
由a3﹣2a2+a1＝3，得7﹣12+a1＝3，解得a1＝8．
故答案为：8．
▉题型3 由通项公式求解或判断数列中的项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
10．已知数列{an}的通项公式为．
（1）计算a3+a4的值；
（2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）数列{an}的通项公式为，
∴，
∴a3+a4．
（2）∵为数列{an}中的项，∴，
∴n（n+2）＝120，整理得n2+2n﹣120＝0，
由n∈N*，解得n＝10，
∴是数列{an}的第10项．
▉题型4 由实际问题归纳出数列的通项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（多选）11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则（　　）
A．a4＝12 B．an+1＝an+n+1
C．a100＝5050 D．2an+1＝an an+2
【答案】BC
【解答】解：由题意可知，a1＝1，a2＝a1+2＝1+2，a3＝a2+3＝1+2+3，…，an＝an﹣1+n＝1+2+3+…+n，
故，
所以，故选项A错误；
因为an+1＝an+n+1，故选项B正确；
因为，故选项C正确；
因为2an+1＝（n+1）（n+2），，所以2an+1≠an an+2，故选项D错误．
故选：BC．
▉题型5 数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn
﹣1；前n项和公式Sn
（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an
＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an
是n的一次函数，对应的点（n，an
）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn
，则Sn
＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an
}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn
﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an
}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
12．在一个数列中，如果从第一项开始，每一项与它的后面一项的和都为同一常数，那么这个数列定义为“等和数列”．下列数列是等和数列的是（　　）
A．an＝100+n
B．an＝（﹣1）n
C．an
D．an＝2n+1
【答案】B
【解答】解：对于A：an+an+1＝100+n+100+n+1＝2n+201，不是常数，故A不是，
对于B：an+an+1＝（﹣1）n+（﹣1）n+1＝0总等于同一个常数，故B是，
对于C：an+an+1＝2n+3n+1，或3n+2n+1，不是常数，故C不是，
对于D：an+an+1＝3×2n+2，不是常数，故D不是，
故选：B．
13．下列结论中，正确的是（　　）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3， ，n}）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
【答案】A
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3， ，n}）上的函数，A正确；
对于B，数列1，2，3，4，5只有5项，该数列项数有限，B错误；
对于C，数列﹣1，1，﹣1，1，﹣1，1， 的通项公式可以为，也可以为an＝cosnπ，该数列通项公式不唯一，C错误；
对于D，该数列的通项公式可以为bn，D错误．
故选：A．
（多选）14．下列四个命题中，正确的有（　　）
A．数列的第k项为
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣n﹣50，n∈N+，则﹣8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为an＝2n﹣1
D．数列{an}的通项公式为，n∈N+，则数列{an}是递增数列
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，数列{}的通项公式为an，则第k项ak，A正确；
对于B，已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣n﹣50，n∈N+，若an＝﹣8，则有n2﹣n﹣50＝﹣8，解可得n＝7或﹣6（舍），即﹣8是该数列的第7项，B正确；
对于C，数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n+1﹣1，C错误；
对于D，an1，有an﹣an﹣1＝（1）﹣（1）0，数列{an}是递增数列，D正确；
故选：ABD．
（多选）15．已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．{an}是递增数列
B．{an}是递减数列
C．an＝12﹣2n
D．数列{Sn}的最大项为S5和S6
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，数列{an}的前n项和为Sn＝11n﹣n2，
当n＝1时，a1＝S1＝10，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝11n﹣n2﹣[11（n﹣1）﹣（n﹣1）2]＝12﹣2n，
故an＝12﹣2n，
则{an}是首项为10，公差为﹣2的等差数列，
由此依次分析选项：
对于A，{an}是递减数列，A错误；
对于B，{an}是递减数列，B正确；
对于C，an＝12﹣2n，C正确；
对于D，{an}是递减数列，由an＝12﹣2n＝0，可得n＝6，即该等差数列第6项为0，第一项到第五项为正数，从第7项开始为负，所以S5＝S6最大，即数列{Sn}的最大项为S5和S6，D正确；
故选：BCD．
（多选）16．已知递增数列{an}的通项公式为，则λ的值可能为（　　）
A．﹣10 B．﹣5 C．2 D．6
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，数列{an}的通项公式为，则，
若{an}是递增数列，则有an+1﹣an＞0对n∈N*恒成立．
即，
即λ＞﹣2n（n+2）对n∈N*恒成立，
又由当n≥1且n∈Z时，2n≥2，n+2≥3，
则﹣2n（n+2）≤﹣6，
若λ＞﹣2n（n+2）对n∈N*恒成立，必有λ＞﹣6，
分析选项：B、C、D符合．
故选：BCD．
▉题型6 数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
17．已知数列{an}是单调递增数列，，n∈N*，则实数m的取值范围为（　　）
A．（2，+∞） B．（1，2） C． D．（2，3）
【答案】C
【解答】解：由题意可得，由于数列{an}为单调递增数列，
即 n∈N*，，
整理得，
令，则，n∈N*，
所以数列{bn}单调递减，故是数列{bn}的最大项，
则m的取值范围为，故C正确．
故选：C．
18．已知等比数列{an}的公比为q，则“{an}是递增数列”的一个充分条件是（　　）
A．a1＞0 B．q＞1
C．a1＜0，q＜0 D．a1＜0，0＜q＜1
【答案】D
【解答】解：当a1＜0，0＜q＜1时，数列中所有的项均为负数，即an＜0，
由等比数列的定义q，
所以01，
所以an+1＞an，即数列为递增数列，
所以a1＜0，0＜q＜1 “{an}是递增数列”
故选：D．
19．数列{an}的通项公式为，则“{an}为递增数列”是“k＞﹣1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：，若{an}为递增数列，
故，
故k＞﹣2n﹣1，
由于﹣2n﹣1≤﹣3，故k＞﹣3，
当k＞﹣1时，，
则数列{an}为递增数列，
故“{an}为递增数列”是“k＞﹣1”的必要不充分条件．
故选：B．
▉题型7 数列的最大项最小项
【知识点的认识】
数列的最大项最小项是指数列中的最大值和最小值．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
20．已知an（n∈N*），则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是（　　）
A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a50 D．a44，a45
【答案】D
【解答】解：an1
∵442＝1936，452＝2025，
∴n≤44时，数列{an}单调递减，且0＜an＜1；n≥45时，数列{an}单调递减，且an＞1．
∴在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44，a45．
故选：D．
21．已知数列{an}的通项公式，则数列{an}的最大项为（　　）
A．a8或a9 B．a9或a10 C．a10或a11 D．a11或a12
【答案】B
【解答】解：根据题意，数列{an}的通项公式，
则，
当n＜10时，1，数列{an}递增，
当n＝10时，1，即a9＝a10，
当n＞10时，1，数列{an}递减，
故数列{an}的最大项为a9或a10，
故选：B．
22．已知{an}的通项公式是an（n∈N+），则数列的最大项是第（　　）项
A．12 B．13 C．12或13 D．不确定
【答案】C
【解答】解：{an}的通项公式是an（n∈N+），
令f（x）（x≥1），
则f′（x）．
∴x时，函数f（x）取得极小值即最小值．
∵13．
又f（12）＝f（13）．
则数列的最大项是第12或13项．
故选：C．
▉题型8 数列的图象
【知识点的认识】
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
数列的图象是指数列项与其序号的关系图．
23．已知an＝3n﹣2，则数列{an}的图象是（　　）
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
【答案】D
【解答】解：an＝3n﹣2，变量n∈N*，数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点，
故选：D．
▉题型9 数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an
}中，前n项和Sn
与通项公式an
的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an
的表达式，则an
不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
24．数列{an}满足：，若bn＝a2n﹣1 a2n+1，则数列{bn}的前10项的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，
当n≥2时，a1+2a2+3a3+ +（n﹣1）an﹣1＝n﹣1，
两式相减可得nan＝1（n≥2），即（n≥2），
a1＝1也满足上式，∴（n∈N*），
∴，
∴数列{bn}的前10项的和为b1+b2+ +b10
．
故选：C．
25．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+log2（1）（n≥2，n∈N*），则a8＝（　　）
A． B．3 C．4 D．
【答案】C
【解答】解：由Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+log2（1），可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+log2，
即为an+1＝an+log2（n+1）﹣log2n，
即an+1﹣an＝log2（n+1）﹣log2n，n≥2，
又a1＝1，a2＝2，可得上式对n＝1也成立，
则a8＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a8﹣a7）＝1+1+log23﹣log22+log24﹣log23+...+log28﹣log27＝2﹣1+3＝4．
故选：C．
26．数列{an}满足a1＝5，an+1则a4＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：由a1＝5，an+1，
得a2＝3×5+1＝16，，a4．
故选：C．
27．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n，设bn＝（n﹣λ）log2（an+2），λ∈R，若数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，4） C．（3，+∞） D．（4，+∞）
【答案】B
【解答】解：根据题意，数列{an}满足Sn＝2an﹣2n，
当n＝1时，有S1＝a1＝2a1﹣2，解得a1＝2，
当n≥2时，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2n﹣[2an﹣1﹣2（n﹣1）]＝2an﹣2an﹣1﹣2，（n≥2），
变形可得an＝2an﹣1+2，（n≥2），则有an+2＝2（an﹣1+2），（n≥2），
所以数列{an+2}是以a1+2＝4为首项、2为公比的等比数列，
则有，变形可得，
所以，
若数列{bn}是递增数列，则当且仅当bn+1﹣bn＞0对任意的正整数恒成立，
所以恒成立，
变形可得λ＜2n+2对任意的正整数恒成立，λ＜（2n+2）min＝4，
所以实数λ的取值范围是（﹣∞，4）．
故选：B．
28．记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{an}的前n项积，且Sn＝2an，则当Tn取得最小值时，n＝（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解答】解：由Sn＝2an，可得，解得，
当n≥2时，由，可得，
两式相减得an＝2an﹣1，
可得，
由an＞0，，，
因此T1＞T2＞ ＞T12＜T13＜ ，
所以当Tn取得最小值时，n＝12．
故选：B．
29．已知数列{an}的前n项和为Sn，若，则数列{an}的通项公式是（　　）
A．an＝3n﹣6
B．an＝6n﹣9
C．
D．
【答案】B
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，若，
当n＝1时，a1＝S1＝3﹣6＝﹣3，
当n≥2时，，
上式对n＝1也成立，
所以an＝6n﹣9，n∈N*．
故选：B．
30．数列{an}中，对任意的m，n∈N*都有am+n＝am an，若，则k＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：数列{an}中，对任意的m，n∈N*都有am+n＝am an，若，
令m＝1，可得，所以，
所以，数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式，可得，
由等比数列的求和公式，可得（）k﹣（）k+10＝（）5﹣（）15，
所以，解得k＝5．
故选：D．
31．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【解答】解：an
∵n＝1时适合an＝2n﹣10，∴an＝2n﹣10．
∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，
∴k＜9，又∵k∈N+，∴k＝8，
故选：B．
32．已知数列{an}满足，若不等式对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B．[﹣15，+∞）
C． D．[﹣18，+∞）
【答案】A
【解答】解：将题中条件变形可得，1，所以{}是以1为公差的等差数列，
2，所以2+（n﹣1）＝n+1，所以an，
将其代入不等式，有0，变形得，λ≥﹣（n9），
n9≥29，当且仅当n时等号成立，但是n为正整数，所以等号不可取，
又29＞39，所以n9的最小值为，即﹣（n9）的最大值为，
所以λ．
故选：A．
33．已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an﹣1≥an（n≥2），an+1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn+1+anbn+1＝0，则S2019＝（　　）
A．2019 B． C．4037 D．
【答案】D
【解答】解：∵an﹣1≥an（n≥2），an+1≥an，
∴an≥an+1≥an，
∴an＝an+1，
另外：a1≥a2≥a1，可得a2＝a1＝1，
∴an＝1．
∵2SnSn+1+anbn+1＝0，
∴2SnSn+1+bn+1＝0，∴2SnSn+1+Sn+1﹣Sn＝0，
∴2．
∴数列{}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
∴Sn．
∴S2019．
故选：D．
34．已知数列{an}满足，且，数列{（λn+1）（2n﹣1）an}的前n项和为Sn，若Sn的最大值仅为S8，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由，得，
则，有，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
则，
故，
令，
则bn+1﹣bn＝λ（n+1）﹣λn﹣1＝λ，所以数列{bn}是等差数列，
，对称轴，
由Sn的最大值仅为S8，可得
解得．
故选：B．
（多选）35．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an+3，则（　　）
A．a1＝﹣3 B．a2＝6
C． D．
【答案】ACD
【解答】解：由Sn＝2an+3，可得a1＝S1＝2a1+3，即有a1＝﹣3，
由a1+a2＝2a2+3，可得a2＝﹣6，故A正确，B错误；
当n≥2时，由Sn＝2an+3，可得Sn﹣1＝2an﹣1+3，
相减可得an＝2an+3﹣2an﹣1﹣3，即为an＝2an﹣1，
可得数列{an}是首项为﹣3，公比为2的等比数列，
即有an＝﹣3×2n﹣1，Sn＝﹣3×2n+3，故C、D都正确．
故选：ACD．
（多选）36．已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．an＝n﹣7
B．
C．使Sn＞0的最小正整数n为13
D．的最小值为﹣3
【答案】BCD
【解答】解：对于A，因为，所以当n＝1时，6＝0；
当n≥2时，n﹣7，
所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由Sn＞0，解得n＞12或n＜1，因为n为正整数，所以使Sn＞0的最小正整数n为13，故C正确；
对于D，当n＝1时，，当n≥2时，，
所以当n＝3或4时，取得最小值为﹣3，故D正确．
故选：BCD．
（多选）37．已知数列{an}满足2an+1＝an+an+2，其中a1＝21，a2＝19，设Sn为数列{an}的前n项和，则下列选项正确的有（　　）
A．{an}为等差数列
B．an＝2n+19
C．
D．当n＝11时，Sn有最大值
【答案】AD
【解答】解：由2an+1＝an+an+2得an+1﹣an＝an+2﹣an+1，
且a2﹣a1＝19﹣21＝﹣2，
所以{an}是以首项为21公差为﹣2的等差数列，故A正确；
所以an＝21﹣2（n﹣1）＝﹣2n+23，故B错误；
，故C错误；
，
因为n∈N*，所以当n＝11时Sn有最大值，为121，故D正确．
故选：AD．
（多选）38．设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知．则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝1 B．
C． D．0＜an≤2
【答案】ACD
【解答】解：正项数列{an}的前n项和为Sn，已知，
对于A，令n＝1得，，解得a1＝S1＝1，故A正确；
对于B和C，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，所以，
即为22SnSn﹣12SnSn﹣11，可得，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式可得，又因为{an}是正项数列，所以．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，所以，当n＝1时，a1＝1，也满足条件，
所以，故B错误，C正确；
对于D，因为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）39．如图，有一列曲线P0，P1，P2，…，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1（k＝0，1，2，3， ）是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记Sk为曲线Pk所围成图形的面积，则（　　）
A．P3的边数为128 B．
C．Pn的边数为3×4n D．
【答案】BCD
【解答】解：对P0进行操作，可得P0的每条边变成P1的4条边，故P1的边数为3×4；
同样，对P1进行操作，P1的每条边变成P2的4条边，故P2的边数为3×42，
可得P3＝3×43＝192，故A错误；
从而得到Pn的边数为3×4n，故C正确；
已知P0的面积为S0＝1，比较P1与P0，可得P1在P0的每条边上增加了一个小等边三角形，
其面积为，而P0有3条边，故S1＝S0+31，
再比较P2与P1，可得P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，
而P1有3×4条边，故S2＝S1+3×41，故B正确；
类似地有：S3＝S2+3×421，
∴Sn＝1...1（）n，故D正确．
故选：BCD．
（多选）40．已知数列{an}满足，设{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有（　　）
A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2
B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝15
C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024
D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036
【答案】ABD
【解答】解：对于A，B，若p＝﹣1，q＝3，则an+1+an＝3，an+2+an+1＝3，
两式相减可得an+2＝an，∴{an}为周期2的周期数列，
a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；
S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B正确；
对于C，D，若p＝2，q＝1，则an+1＝2an+1，
可得an+1+1＝2（an+1），∵a1+1＝2，
∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，则，∴，故C错误；
，故D正确．
故选：ABD．
（多选）41．大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{an}满足a1＝0，，则（　　）
A．a4＝6
B．an+2＝an+2（n+1）
C．
D．a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7﹣a8＝﹣20
【答案】BCD
【解答】解：由a1＝0，，可得a2＝a1+2＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+4＝8，故A错误；
当n为奇数时，an+2＝an+1+n+1＝an+n+1+n+1＝an+2（n+1），
当n为偶数时，an+2＝an+1+n+2＝an+n+n+2＝an+2（n+1），故B正确；
当n（n≥3）为奇数时，an＝a1+（a3﹣a1）+（a5﹣a3）+...+（an﹣an﹣2）＝0+4+8+...+2（n﹣1）2（n﹣1） （n+1）（n＝1也成立）；
当n（n≥2）为偶数时，an＝a2+（a4﹣a2）+（a6﹣a4）+...+（an﹣an﹣2）＝2+6+10+...+2（n﹣1）2n nn2（n＝2也成立），故C正确；
a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7﹣a8＝0﹣2+4﹣8+12﹣18+24﹣32＝﹣20，故D正确．
故选：BCD．
（多选）42．已知数列{an}的前n项和，则下列说法正确的是（　　）
A．a1＝1
B．数列{an}为单调递增数列
C．数列{an}是等比数列
D．
【答案】ABC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，当n＝1时，有a1＝S1（3﹣1）＝1，A正确；
对于B，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1（3n﹣1）（3n﹣1﹣1）＝3n﹣1，
a1＝1符合an＝3n﹣1，故an＝3n﹣1；
数列{an}为单调递增数列，B正确；
对于C，数列{an}的通项公式为an＝3n﹣1，易得数列{an}是等比数列，C正确；
对于D，数列{an}的通项公式为an＝3n﹣1，D错误．
故选：ABC．
（多选）43．已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），且满足an+4Sn﹣1Sn＝0（n≥2），a1，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}的前n项和为Sn
B．数列{an}的通项公式为an
C．数列{an}为递增数列
D．数列{}为递增数列
【答案】AD
【解答】解：∵an+4Sn﹣1Sn＝0（n≥2），
∴Sn﹣Sn﹣1+4Sn﹣1Sn＝0（n≥2），
∵Sn≠0，∴4（n≥2），
因此数列{}是以4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；
所以4+4（n﹣1）＝4n，∴Sn，即A正确；
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，
所以an，即B，C不正确；
故选：AD．
44．已知数列{an}中，a1＝3，，n∈N*，则数列{an}的通项公式为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：数列{an}中，a1＝3，，n∈N*，
可得2，
则数列是首项为1，公差为2的等差数列，
可得，即．
故答案为：．
45．已知数列{an}满足a1＝2，nan+1＝（n+1）an．数列{bn}满足b1＝2，b2＝4，且数列是等比数列，则bn＝ 　2n ；设数列{nbn}的前n项和为Tn，则满足不等式成立的整数n的最小值为 　199　 ．
【答案】2n；199．
【解答】解：由数列{an}满足a1＝2，nan+1＝（n+1）an，得，
故可得，
故an＝2n，
因为，，所以的公比为2，．
所以，所以2n+1＝2bn，故得；
依题意，，
，
两式相减得：（1﹣n） 2n+1﹣2，
则，
因为成立，
即（n﹣1） 2n+1+2≥198 2n+1+2，
当k＞0时，y＝k 2n+1+2是增函数，故n﹣1≥198，解得n≥199，
故整数n的最小值为199．
故答案为：2n；199．
46．设递增的等比数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，若对 n∈N*，满足和，则公比q的取值范围是 　（1，2]　 ．
【答案】（1，2]．
【解答】解：递增的等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＞1，
前n项和为Sn，若对 n∈N*，满足和，
可得3，即q≤3，
又 ，
化为（3q﹣1） qn﹣2≥0，即有（3q﹣1）q﹣2≥0，由q＞1，可得1＜q≤3；
又（9﹣3q） qn≥6，即有（9﹣3q）q≥6，解得1≤q≤2，
综合，可得q的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．
47．数列{an}中，满足a1＝1，an+1，则a1+a2+…+a2025＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，所以，
所以，，，…，．
各式相乘，可得：，
显然a1＝1满足上式，则，
所以数列{an}的前n项和为，
所以a1+a2+ +a2025．
故答案为：．
48．已知数列{an}满足，且，则an＝　　 ．
【答案】
【解答】解：对两边同时取倒数，
所以，则，
所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，
所以，
所以．
故答案为：．
49．已知数列{an}满足，则　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：由数列{an}满足a1＝1，an+1，
可得a2n+2＝a（2n+1）+1＝a2n+1+（2n+1）﹣3＝a2n+1+2n﹣2，
又由a2n+1＝2a2n，
所以a2n+2＝a（2n+1）+1＝2a2n+2n﹣2，
因为bn＝a2n+2n，可得bn+1＝a2n+2+2（n+1）＝2a2n+4n，
所以．
故答案为：2．
50．在数列{an}中，a1＝1，an+1﹣an＝n，n∈N+，则a10＝　46　 ．
【答案】46．
【解答】解：∵an+1﹣an＝n，n∈N+，
∴a2﹣a1＝1，
a3﹣a2＝2，
……
a10﹣a9＝9，
将这9个式子相加，可得：
a10﹣a1＝1+2+3+…+9＝45，∴a10＝46．
故答案为：46．
51．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1﹣3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的前n项和．
【答案】（1）an＝（）n﹣1；（2）（）n+1n．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1﹣3，
可得2S1＝2a1＝3a2﹣3，即2a1＝3a1q﹣3，
当n≥2时，由2Sn＝3an+1﹣3，可得2Sn﹣1＝3an﹣3，两式相减可得2an＝3an+1﹣3an，
即an+1an，可得q，a1＝1，
则an＝（）n﹣1；
（2）Sn[（）n﹣1]，
则数列{Sn}的前n项和为[n]（）n+1n．
52．若数列{an}满足，则称数列{an}具有性质M．
（1）若数列{an}具有性质M，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，求a4的值；
（2）若，求证：数列{bn}具有性质M；
（3）设各项都为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且，数列{dn}具有性质M，其中d1＝c1，d2＝c2﹣1，d2+d3＝c5，若d1＞2025，求正整数k的最小值．
【答案】（1）；
（2）证明见解答；
（3）9．
【解答】解：（1）因为a1＝1，a2＝2，a3＝3，
所以a1+a2＝3，a2+a3＝5，
因为数列{an}具有性质M，且，
所以，所以，所以；
（2）证明：因为，所以b1＝4，b2＝8，故b1+b2＝12≠0，
所以（常数），
由题中新定义知，数列{bn}具有性质M；
（3）因为，
所以当n≥2时，，
两式相减得，，
即（cn+cn﹣1）（cn﹣cn﹣1﹣2）＝0，
由数列{cn}各项都为正数，可得cn﹣cn﹣1﹣2＝0，
所以cn﹣cn﹣1＝2，
又当n＝1是，，解得c1＝1，
所以数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以c1＝1，c2＝3，c5＝c1+4×2＝9，
所以d1＝1，d2＝c2﹣1＝2，d1+d2＝3，d2+d3＝c5＝9，
所以，
因为数列{dn}具有性质M，所以{dn+dn+1}成等比数列，其首项与公比均为3，
所以，
所以，即，
因为，
所以数列{}是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
则，由38＝6561知，
①若k为偶数，则k＞log38101，即k≥10；
②若k为奇数，则k＞log38099，即k≥9；
综上①②可得，k的最小值为k＝9．
53．已知数列{an}满足：（n∈N*），数列{bn}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求b1+b2+…+b99．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝2；
当n≥2时，①，
②，
①﹣②得：，
∴，当n＝1时，a1＝2，
∴．
（2）∵，
∴
，
∴①，
②，
又∵，
∴①+②得：，
∴．
54．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1﹣3Sn﹣4＝0，a1＝4．
（1）证明：数列{an}是等比数列；
（2）设bn＝log4an，证明：．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【解答】解：（1）证明：当n＝1时，a2＝3a1+4＝16，
当n≥2时，由an+1＝3Sn+4，得an＝3Sn﹣1+4，
两式作差可得：an+1﹣an＝3an，则an+1＝4an，所以，
又因为，所以数列{an}是首项和公比都为4的等比数列，．
（2）证明：由（1）可知，，则bn＝log4an＝n，
所以，
所以．
55．在数列{an}中，若存在k（k≥2，k∈N）项之和等于{an}中的某一项，则称{an}是“k和数列”．
（1）若an＝2n﹣1，判断{an}是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由．
（2）在正项数列{bn}中，b1＝1，且 n∈N*，b2n＝2．
证明：①{bn}可能是等比数列；
②若{bn}为等比数列，则{bn}不是“k和数列”．
【答案】（1）{an}是“3和数列”，不是“4和数列”，理由见解析；
（2）①证明见解析；②证明见解析．
【解答】解：（1）{an}是“3和数列”，不是“4和数列”，理由如下：
因为an＝2n﹣1，
所以a1+a2+a3＝1+3+5＝9，
又a5＝9，
所以{an}是“3和数列”，
由通项公式可知，{an}中每一项均为奇数，
故{an}中的任意4项之和肯定为偶数，
与{an}中的任何一项均不相等，故{an}不是“4和数列”；
所以{an}是“3和数列”，不是“4和数列”；
（2）证明：①b1＝1且 n∈N*，b2n，
故b22，
若{bn}为等比数列，则{bn}的公比，
则bn2n﹣1，
，2×22n﹣2＝22n﹣1，
故{bn}可能是以2为公比的等比数列；
②由①可知bn＝2n﹣1，假设{bn}是“和数列”，
则存在n1，n2，…nk，，使得，
不妨令n1＜n2＜ ＜nk，
若n1＝1，
则b1＝1，且2≤n2＜ ＜nk，
则11（1），
因为2≤n2＜ ＜nk，
所以为正偶数，
则为大于1的正奇数，
所以，
这与，
矛盾，从而假设不成立，所以{bn}不是“k和数列”，
若n1≥2，则2≤n1＜n2＜ ＜nk，
则，
由，
得，
显然2≤n1＜n2＜ ＜nk＜nj，
则，
则，
即，
由2≤n1＜n2＜ ＜nk＜nj，
可得为正偶数，
则为正奇数，为正偶数，
则不可能成立，
从而假设不成立，
则{bn}不是“k和数列”．
56．传球是排球运动中最基本、最重要的一项技术．传球是由准备姿势、迎球、击球、手型、用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张、小胡、小郭、小李、小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
（1）记小胡、小李、小陈这三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；
（2）若刚好抽到小胡、小李、小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记n次传球后球在小胡手中的概率为pn，n＝1，2，3， ．
①直接写出p1，p2，p3的值；
②求pn+1与pn的关系式（n∈N*），并求．
【答案】（1）分布列见解析；
（2）①；②；．
【解答】解：（1）X的所有可能取值为1，2，3，
P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3），
则X的分布列为：
X 1 2 3
P
（2）①由题意知，P1＝0，，；
②记An表示事件“经过n次传球后，球在小胡手中”，
则，
∴
，
即，
变形可得，且，
可得数列{}构成以为首项，以为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式可得，
整理得：．
即n次传球后球在小胡手中的概率是．
57．已知数列{an}中，a1＝1，满足an+1＝2an+2n﹣1（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+2n+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，若不等式λ 2n+Sn+4＞0对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）an＝2n+1﹣（2n+1）．
（2）（﹣2，+∞）．
【解答】解：（1）证明：∵an+1＝2an+2n﹣1（n∈N*），
∴an+1+（2n+3）＝2[an+（2n+1）]，
∴数列{an+（2n+1）}是等比数列，首项为4，公比为2，
∴an+（2n+1）＝4×2n﹣1，解得an＝2n+1﹣（2n+1）．
（2）由（1）可得：Sn2n+2﹣4﹣n2﹣2n，
不等式λ 2n+Sn+4＞0即λ 2n+2n+2﹣n2﹣2n＞0，
化为：λ4，
令，
则，
故b1＜b2＞b3＞b4...，
故（bn）max2，
所以λ＞﹣2，
∴实数λ的取值范围是（﹣2，+∞）．
58．已知数列{an}的前n项和为．
（1）求a1，a2，a3．
（2）求这个数列的通项公式．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为，令n＝1，则，
令n＝2，则，
令n＝3，则，
所以．
（2）因为，
当n＝1时，，
当n≥2时，，
且也满足上式，
所以．
59．（1）数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝5Sn﹣3（n∈N*），求an的通项公式．
（2）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2﹣3n﹣1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；不是，理由见解析．
【解答】解：（1）已知an＝5Sn﹣3（n∈N*），①
当n＝1时，有a1＝5a1﹣3，解得，
当n≥2时，an﹣1＝5Sn﹣1﹣3，②
①﹣②得：an﹣an﹣1＝5（Sn﹣Sn﹣1）＝5an，即（n≥2），
∴数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列，
则；
（2）数列{an}不是等差数列，证明如下：
，③
当n＝1时，有a1＝S1＝2﹣3﹣1＝﹣2；
当n≥2时，，③
③﹣④得：4n﹣5，
验证a1＝﹣2不适合上式，故，
故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列．
60．已知数列{an}的第一项a1＝2，且an+1an（n＝1，2，3，4…）．
（1）计算a2，a3，a4的值．
（2）试猜想这个数列的通项公式（不用写出推导过程）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）数列{an}的第一项a1＝2，且an+1an（n＝1，2，3，4…）．
则a2a1＝1，a3a2，a4a3．
（2）由（1）可得：a1＝2，a2，a3，a4．
猜想这个数列的通项公式：an．第五章第5.1节 数列基础
题型1 数列的概念及简单表示法 题型2 由数列若干项归纳出通项公式
题型3 由通项公式求解或判断数列中的项 题型4 由实际问题归纳出数列的通项
题型5 数列的函数特性 题型6 数列的单调性
题型7 数列的最大项最小项 题型8 数列的图象
题型9 数列递推式
▉题型1 数列的概念及简单表示法
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
1．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（　　）
A．an+1＝an+n，n∈N*
B．an＝an﹣1+n，n∈N*，n≥2
C．an+1＝an+（n+1），n∈N*，n≥2
D．an＝an﹣1+（n﹣1），n∈N*，n≥2
2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50、…，则下列说法正确的是（　　）
A．此数列的第19项是182
B．此数列的第20项是200
C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n+1
D．此数列的前n项和为Sn＝n （n﹣1）
3．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的（　　）
A．第20项 B．第24项 C．第25项 D．第30项
4．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且，求an＝　 ．
6．已知数列{an}的通项公式，则a2+a18等于 　 　 ．
▉题型2 由数列若干项归纳出通项公式
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
7．数列，，，，，…的一个通项公式是an＝（　　）
A． B． C． D．
8．已知数列1，，，，3，…，按此规律，5是该数列的（　　）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
9．某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝（a1，a2，a3，…）升级为新序列A*＝（a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…），A*中的第n项为an+1﹣an，若（A*）*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝ 　 　 ．
▉题型3 由通项公式求解或判断数列中的项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
10．已知数列{an}的通项公式为．
（1）计算a3+a4的值；
（2）是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
▉题型4 由实际问题归纳出数列的通项
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（多选）11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则（　　）
A．a4＝12 B．an+1＝an+n+1
C．a100＝5050 D．2an+1＝an an+2
▉题型5 数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn
﹣1；前n项和公式Sn
（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an
＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an
是n的一次函数，对应的点（n，an
）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn
，则Sn
＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an
}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn
﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an
}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
12．在一个数列中，如果从第一项开始，每一项与它的后面一项的和都为同一常数，那么这个数列定义为“等和数列”．下列数列是等和数列的是（　　）
A．an＝100+n
B．an＝（﹣1）n
C．an
D．an＝2n+1
13．下列结论中，正确的是（　　）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3， ，n}）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
（多选）14．下列四个命题中，正确的有（　　）
A．数列的第k项为
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣n﹣50，n∈N+，则﹣8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为an＝2n﹣1
D．数列{an}的通项公式为，n∈N+，则数列{an}是递增数列
（多选）15．已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．{an}是递增数列
B．{an}是递减数列
C．an＝12﹣2n
D．数列{Sn}的最大项为S5和S6
（多选）16．已知递增数列{an}的通项公式为，则λ的值可能为（　　）
A．﹣10 B．﹣5 C．2 D．6
▉题型6 数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
17．已知数列{an}是单调递增数列，，n∈N*，则实数m的取值范围为（　　）
A．（2，+∞） B．（1，2） C． D．（2，3）
18．已知等比数列{an}的公比为q，则“{an}是递增数列”的一个充分条件是（　　）
A．a1＞0 B．q＞1
C．a1＜0，q＜0 D．a1＜0，0＜q＜1
19．数列{an}的通项公式为，则“{an}为递增数列”是“k＞﹣1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
▉题型7 数列的最大项最小项
【知识点的认识】
数列的最大项最小项是指数列中的最大值和最小值．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
20．已知an（n∈N*），则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是（　　）
A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a50 D．a44，a45
21．已知数列{an}的通项公式，则数列{an}的最大项为（　　）
A．a8或a9 B．a9或a10 C．a10或a11 D．a11或a12
22．已知{an}的通项公式是an（n∈N+），则数列的最大项是第（　　）项
A．12 B．13 C．12或13 D．不确定
▉题型8 数列的图象
【知识点的认识】
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
数列的图象是指数列项与其序号的关系图．
23．已知an＝3n﹣2，则数列{an}的图象是（　　）
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
▉题型9 数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an
}中，前n项和Sn
与通项公式an
的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an
的表达式，则an
不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
24．数列{an}满足：，若bn＝a2n﹣1 a2n+1，则数列{bn}的前10项的和为（　　）
A． B． C． D．
25．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+log2（1）（n≥2，n∈N*），则a8＝（　　）
A． B．3 C．4 D．
26．数列{an}满足a1＝5，an+1则a4＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
27．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n，设bn＝（n﹣λ）log2（an+2），λ∈R，若数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，4） C．（3，+∞） D．（4，+∞）
28．记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{an}的前n项积，且Sn＝2an，则当Tn取得最小值时，n＝（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
29．已知数列{an}的前n项和为Sn，若，则数列{an}的通项公式是（　　）
A．an＝3n﹣6
B．an＝6n﹣9
C．
D．
30．数列{an}中，对任意的m，n∈N*都有am+n＝am an，若，则k＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
31．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
32．已知数列{an}满足，若不等式对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B．[﹣15，+∞）
C． D．[﹣18，+∞）
33．已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an﹣1≥an（n≥2），an+1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn+1+anbn+1＝0，则S2019＝（　　）
A．2019 B． C．4037 D．
34．已知数列{an}满足，且，数列{（λn+1）（2n﹣1）an}的前n项和为Sn，若Sn的最大值仅为S8，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）35．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an+3，则（　　）
A．a1＝﹣3 B．a2＝6
C． D．
（多选）36．已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．an＝n﹣7
B．
C．使Sn＞0的最小正整数n为13
D．的最小值为﹣3
（多选）37．已知数列{an}满足2an+1＝an+an+2，其中a1＝21，a2＝19，设Sn为数列{an}的前n项和，则下列选项正确的有（　　）
A．{an}为等差数列
B．an＝2n+19
C．
D．当n＝11时，Sn有最大值
（多选）38．设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知．则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝1 B．
C． D．0＜an≤2
（多选）39．如图，有一列曲线P0，P1，P2，…，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1（k＝0，1，2，3， ）是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记Sk为曲线Pk所围成图形的面积，则（　　）
A．P3的边数为128 B．
C．Pn的边数为3×4n D．
（多选）40．已知数列{an}满足，设{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有（　　）
A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2
B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝15
C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024
D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036
（多选）41．大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{an}满足a1＝0，，则（　　）
A．a4＝6
B．an+2＝an+2（n+1）
C．
D．a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7﹣a8＝﹣20
（多选）42．已知数列{an}的前n项和，则下列说法正确的是（　　）
A．a1＝1
B．数列{an}为单调递增数列
C．数列{an}是等比数列
D．
（多选）43．已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），且满足an+4Sn﹣1Sn＝0（n≥2），a1，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}的前n项和为Sn
B．数列{an}的通项公式为an
C．数列{an}为递增数列
D．数列{}为递增数列
44．已知数列{an}中，a1＝3，，n∈N*，则数列{an}的通项公式为 　 ．
45．已知数列{an}满足a1＝2，nan+1＝（n+1）an．数列{bn}满足b1＝2，b2＝4，且数列是等比数列，则bn＝ 　 ；设数列{nbn}的前n项和为Tn，则满足不等式成立的整数n的最小值为 　 ．
46．设递增的等比数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，若对 n∈N*，满足和，则公比q的取值范围是 　 ．
47．数列{an}中，满足a1＝1，an+1，则a1+a2+…+a2025＝　 ．
48．已知数列{an}满足，且，则an＝　 ．
49．已知数列{an}满足，则　 　 ．
50．在数列{an}中，a1＝1，an+1﹣an＝n，n∈N+，则a10＝　　 ．
51．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1﹣3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的前n项和．
52．若数列{an}满足，则称数列{an}具有性质M．
（1）若数列{an}具有性质M，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，求a4的值；
（2）若，求证：数列{bn}具有性质M；
（3）设各项都为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且，数列{dn}具有性质M，其中d1＝c1，d2＝c2﹣1，d2+d3＝c5，若d1＞2025，求正整数k的最小值．
53．已知数列{an}满足：（n∈N*），数列{bn}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求b1+b2+…+b99．
54．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1﹣3Sn﹣4＝0，a1＝4．
（1）证明：数列{an}是等比数列；
（2）设bn＝log4an，证明：．
55．在数列{an}中，若存在k（k≥2，k∈N）项之和等于{an}中的某一项，则称{an}是“k和数列”．
（1）若an＝2n﹣1，判断{an}是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由．
（2）在正项数列{bn}中，b1＝1，且 n∈N*，b2n＝2．
证明：①{bn}可能是等比数列；
②若{bn}为等比数列，则{bn}不是“k和数列”．
56．传球是排球运动中最基本、最重要的一项技术．传球是由准备姿势、迎球、击球、手型、用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张、小胡、小郭、小李、小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
（1）记小胡、小李、小陈这三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；
（2）若刚好抽到小胡、小李、小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记n次传球后球在小胡手中的概率为pn，n＝1，2，3， ．
①直接写出p1，p2，p3的值；
②求pn+1与pn的关系式（n∈N*），并求．
57．已知数列{an}中，a1＝1，满足an+1＝2an+2n﹣1（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+2n+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，若不等式λ 2n+Sn+4＞0对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
58．已知数列{an}的前n项和为．
（1）求a1，a2，a3．
（2）求这个数列的通项公式．
59．（1）数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝5Sn﹣3（n∈N*），求an的通项公式．
（2）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2﹣3n﹣1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
60．已知数列{an}的第一项a1＝2，且an+1an（n＝1，2，3，4…）．
（1）计算a2，a3，a4的值．
（2）试猜想这个数列的通项公式（不用写出推导过程）．

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