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第五章第5.2节 等差数列
题型1 等差数列的概念与判定 题型2 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项
题型3 等差数列通项公式的应用 题型4 等差数列的前n项和
题型5 求等差数列的前n项和 题型6 由等差数列的前n项和求解数列
题型7 等差数列前n项和的性质
▉题型1 等差数列的概念与判定
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
（多选）1．下列数列是等差数列的是（　　）
A．0，0，0，0，0，… B．1，1，111，1111，…
C．﹣5，﹣3，﹣1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…
2．数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则an＝ 　 ．
3．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝4，an+2＝2an+1﹣an+2．
（1）证明：{an+1﹣an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）设，若数列{bn}是递增数列，求实数k的取值范围．
▉题型2 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
4．已知等差数列{an}满足a2+a9+a10＝6，则a7等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（1）求an和Sn；
（2）令，（n∈N*），求证数列{bn}是等差数列．
▉题型3 等差数列通项公式的应用
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
6．设等差数列﹣4.2，﹣3.7，﹣3.2， 的前n项和为Sn，则当n＝　　 时，Sn取得最小值．
7．在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若a2+a7＝6，则S8＝ 　 　 ．
8．已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足an＜1.1的n的最小值为 　 　 ．
▉题型4 等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝11（a5+2），则公差为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．2
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，则k＝（　　）
A．11 B．9 C．8 D．6
11．广丰永和塔位于江西省上饶市广丰区的水尾山森林公园风景区内，塔为砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上．每当夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层（一层）进入塔身，沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层到二层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周结束，走的总步数为（　　）
A．332 B．387 C．352 D．368
12．设等差数列{an}的公差为d，共前n项和为Sn，已知S16＞0，S17＜0，则下列结论不正确的是（　　）
A．a1＞0，d＜0
B．S8与S9均为Sn的最大值
C．a8+a9＞0
D．a9＜0
13．设等差数列{an}的前n项和Sn，若S3＝9，S6＝36，则a8+a9+a10＝（　　）
A．63 B．51 C．45 D．27
（多选）14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a10＝9，S20＝200，则（　　）
A．{an}的公差为3
B．a6＝1
C．Sn有最小值﹣25
D．数列为递增数列
（多选）15．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣9n，则（　　）
A．an＝2n+9
B．an＝2n﹣10
C．若第k项满足5＜ak＜8，则k＝8
D．若第k项满足5＜ak＜8，则k＝9
（多选）16．在等差数列{an}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，则下列命题中正确的有（　　）
A．若S7＞S8，则a8＜0
B．若S7＞S8，则S6＞S7
C．若S3＝S11，则S14＝0
D．若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最小项
17．已知数列an中，a1＝﹣60，an+1＝an+3，那么|a1|+|a2|+…+|a30|的值为　 　 ．
▉题型5 求等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
18．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则（　　）
A． B． C． D．
19．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，100，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为（　　）
A．438 B．450 C．254 D．278
20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝a5，若a1，a2，am成等比数列，则m＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
21．将数列{2n﹣1}和{3n}中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列{an}的前50项和为（　　）
A．2160 B．2240 C．2236 D．2490
22．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＜S7，则一定正确的是（　　）
A．a1＜0 B．a6＜a7 C．S7＞0 D．S13＞0
23．若Sn为等差数列{an}的前n项和，且，则数列{an}的公差d＝（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
24．原始的蚊香出现在宋代，根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，收贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，做一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧，交线段BA的延长线于点F，再以点B为圆心，BF为半径逆时针画圆弧，交线段CB延长线于点G，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有9个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为（　　）
A．52π B．44π C．93π D．70π
（多选）25．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S7＞S9＞S8，下列说法正确的是（　　）
A．d＜0
B．数列{Sn}的最小项为S8
C．|a8|＞|a9|
D．能使Sn＜0时n的最大值为15
（多选）26．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，公差为d，S16＞0，a9＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．d＜0
B．当n＝8时，Sn取得最大值
C．a4+a5+a18＜0
D．使得Sn＞0成立的最大自然数n是17
（多选）27．已知等差数列{an}是递减数列，且a6＝﹣2a3，前n项和为Sn，则下列结论正确的有（　　）
A．d＜0
B．a1＞0
C．当n＝5时，Sn最小
D．当Sn＜0时，n的最小值为8
28．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝﹣5．
（1）求{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和为Sn，并求Sn的最大值．
29．在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和．
（1）若a1+a2+a3＝39，a4+a5+a6＝30，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1＝25，S17＝S9，则数列{an}的前多少项和最大？
▉题型6 由等差数列的前n项和求解数列
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
30．设公差d≠0的等差数列{an}中，a2，a5，a9成等比数列，则（　　）
A． B． C． D．
（多选）31．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，则（　　）
A．为等差数列
B．是等差数列
C．若{Sn}为首项不为0的等差数列，则是等差数列
D．若a4＝10，S9＝117，则an＝4n﹣6
32．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且，则　　 ．
▉题型7 等差数列前n项和的性质
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
33．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且，则（　　）
A． B． C． D．
34．已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，则“ n∈N*，Sn≥S9”是“a9≤0“的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
35．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
（多选）36．设数列{an}是等差数列，公差为d，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则（　　）
A．d＞0 B．a8＝0
C．S7或S8为Sn的最大值 D．S5＞S6
（多选）37．已知数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法正确的是（　　）
A．若Sn＝an，则{an}是等差数列
B．若a1＝2，an+1＝2an+3，则{an+3}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列
D．若{an}是等比数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列
（多选）38．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝9，S10＝0，则（　　）
A．{|an|}的前10项和为50
B．{an}是递增数列
C．当n＝4时，Sn取得最小值
D．若Sn＞0，则n的最小值为11
（多选）39．设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有（　　）
A．当n＝15时，Sn取最大值
B．当n＝30时，Sn＝0
C．当d＞0时，a10+a22＞0
D．当d＜0时，|a10|＞|a22|
40．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则 　 ．第五章第5.2节 等差数列
题型1 等差数列的概念与判定 题型2 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项
题型3 等差数列通项公式的应用 题型4 等差数列的前n项和
题型5 求等差数列的前n项和 题型6 由等差数列的前n项和求解数列
题型7 等差数列前n项和的性质
▉题型1 等差数列的概念与判定
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
（多选）1．下列数列是等差数列的是（　　）
A．0，0，0，0，0，… B．1，1，111，1111，…
C．﹣5，﹣3，﹣1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…
【答案】AC
【解答】解：对于A：易知该数列是以0为首项，以0为公差的等差数列，故选项A正确；
对于B：由1﹣1≠111﹣1，得该数列不是等差数列，故选项B错误；
低于C：易知该数列是以﹣5为首项，2为公差的等差数列，选项C正确；
对于D：由3﹣2≠5﹣3，得该数列不是等差数列，选项D错误．
故选：AC．
2．数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则an＝ 　3n2﹣n ．
【答案】3n2﹣n．
【解答】解：数列是以2为首项，3为公差的等差数列，
可得：，
故得．
故答案为：3n2﹣n．
3．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝4，an+2＝2an+1﹣an+2．
（1）证明：{an+1﹣an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）设，若数列{bn}是递增数列，求实数k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）k＜4．
【解答】解：（1）因为an+2＝2an+1﹣an+2，所以an+2﹣an+1﹣（an+1﹣an）＝2an+1﹣an+2﹣2an+1+an＝2为常数，
又a2﹣a1＝3，所以数列{an+1﹣an}是公差为2，首项为3的等差数列．
所以an+1﹣an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1，
当n≥2时，（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+ +（a2﹣a1）＝2（n﹣1）+1+2（n﹣2）+ +2×1+1，
所以，又a1＝1，所以，又n＝1，满足，
所以数列{an}的通项公式为．
（2）由（1）知，因为数列{bn}是递增数列，
所以，对n∈N*恒成立，
得到k＜（n+1）2n2对n∈N*恒成立，所以k＜4．
▉题型2 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
4．已知等差数列{an}满足a2+a9+a10＝6，则a7等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：因为等差数列{an}满足a2+a9+a10＝6，
由等差数列的性质可得，a2+a9+a10＝a2+a7+a12＝3a7＝6，解得a7＝2．
故选：B．
5．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（1）求an和Sn；
（2）令，（n∈N*），求证数列{bn}是等差数列．
【答案】（1）an＝2n+1，Sn＝n2+2n；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若a3＝7，a5+a7＝26，则有，解可得，
故an＝a1+（n﹣1）d＝2n+1，
则Sn＝na1d＝n2+2n；
（2）证明：由（1）的结论，Sn＝n2+2n，则n+2，
满足bn﹣bn﹣1＝1，n≥2且n∈N；
故数列{bn}是等差数列．
▉题型3 等差数列通项公式的应用
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
6．设等差数列﹣4.2，﹣3.7，﹣3.2， 的前n项和为Sn，则当n＝　9　 时，Sn取得最小值．
【答案】9．
【解答】解：由题可得：公差d＝﹣3.7﹣（﹣4.2）＝0.5，故an＝﹣4.2+0.5 （n﹣1）＝0.5n﹣4.7，
令an≤0，即0.5n﹣4.7≤0，解得n≤9.6，
即当n≥10时，an＞0，当n≤9时，an＜0，
故当n＝9时，Sn取得最小值．
故答案为：9．
7．在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若a2+a7＝6，则S8＝ 　24　 ．
【答案】24．
【解答】解：在等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，a2+a7＝6，
则S8（a1+a8）＝4（a2+a7）＝4×6＝24．
故答案为：24．
8．已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足an＜1.1的n的最小值为 　11　 ．
【答案】11．
【解答】解：为首项和公差均为1的等差数列，
由等差数列的定义可得，则，
所以令，解得n＞10，所以满足条件的n的最小值为11．
故答案为：11．
▉题型4 等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝11（a5+2），则公差为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．2
【答案】D
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴S11（a1+a11）＝11a6＝11（a5+2），
∴a6﹣a5＝2，即{an}公差为d＝2．
故选：D．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，则k＝（　　）
A．11 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，，
∵数列{an}为等差数列，
∴ak﹣1+ak+1＝2ak，a1+a2k﹣1＝2ak，
又，
∴ak（ak﹣2）＝0，∴ak＝0或ak＝2，
∵，
∴ak≠0，则ak＝2，
∴2（2k﹣1）＝22，解得k＝6．
故选：D．
11．广丰永和塔位于江西省上饶市广丰区的水尾山森林公园风景区内，塔为砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上．每当夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层（一层）进入塔身，沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层到二层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周结束，走的总步数为（　　）
A．332 B．387 C．352 D．368
【答案】A
【解答】解：设从第n（1≤n≤8，n∈N*）层到第 （n+1）层所走的台阶数为an，绕第m（2≤m≤9，m∈N*）层塔一周所走的步数为bm，
由题意知，a1＝26，an+1﹣an＝﹣2，b9＝12，bm+1﹣bm＝﹣3，
所以数列{an}是首项为26，公差为﹣2的等差数列，数列{bm}是公差为﹣3的等差数列，
所以an＝28﹣2n，n∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，
b2＝b9﹣7×（﹣3）＝33，bm＝b2+（m﹣2）×（﹣3）＝39﹣3m，m∈{2，3，4，5，6，7，8，9}，
所以数列{an}所有项的和为152，
数列{bm}所有项的和为180，
所以这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周结束，走的总步数为152+180＝332．
故选：A．
12．设等差数列{an}的公差为d，共前n项和为Sn，已知S16＞0，S17＜0，则下列结论不正确的是（　　）
A．a1＞0，d＜0
B．S8与S9均为Sn的最大值
C．a8+a9＞0
D．a9＜0
【答案】B
【解答】解：∵等差数列{an}中，S16＞0，S17＜0，
∴S160，S1717a9＜0，
即a8+a9＞0，a9＜0，C正确；D正确，
∴a8＞0，a9＜0，d＝a9﹣a8＜0，a1＞0，A正确，
当n＝8时，Sn取得最大值，B错误．
故选：B．
13．设等差数列{an}的前n项和Sn，若S3＝9，S6＝36，则a8+a9+a10＝（　　）
A．63 B．51 C．45 D．27
【答案】B
【解答】解：由题意知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，
设首项为a1，公差为d，
则，即，
解得，故a8+a9+a10＝3a1+24d＝51．
故选：B．
（多选）14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a10＝9，S20＝200，则（　　）
A．{an}的公差为3
B．a6＝1
C．Sn有最小值﹣25
D．数列为递增数列
【答案】BC
【解答】解：对于A，由题意可得，解得d＝2，a1＝﹣9，故A错误；
对于B，an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11，故a6＝1，故B正确；
对于C，，
当n＝5时，Sn取到最小值﹣25，故C正确；
对于D，，且，故D错误．
故选：BC．
（多选）15．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣9n，则（　　）
A．an＝2n+9
B．an＝2n﹣10
C．若第k项满足5＜ak＜8，则k＝8
D．若第k项满足5＜ak＜8，则k＝9
【答案】BC
【解答】解：由于数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣9n，
当n＝1时，解得a1＝﹣8；
当n≥2时，，
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣10，故B正确，A错误；
由于第k项满足5＜ak＜8，所以5＜2k﹣10＜8，解得，由于k∈N+，故k＝8，故C正确．
故选：BC．
（多选）16．在等差数列{an}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，则下列命题中正确的有（　　）
A．若S7＞S8，则a8＜0
B．若S7＞S8，则S6＞S7
C．若S3＝S11，则S14＝0
D．若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最小项
【答案】AC
【解答】解：∵S7＞S8，
∴7a1+21d＞8a1+28d，
∴a1＜﹣7d，
∴a8＝a1+7d＜0，故A正确；
∵d＜0，
∴a6＞a7，a7＝a1+6d＜﹣d，则不能判断a7的正负，故B不一定成立；
由{an}是等差数列，S3＝S11，则3a1+3d＝11a1+55d，
即2a1+13d＝0，
∴a1d＞0，
∴d＜0，
∴S14（a1+a14）＝7（a1+a1+13d）＝0，故C正确，
∴Sn＝na1d（n2﹣14n），
∴S7是{Sn}中的最大值，故D错误．
故选：AC．
17．已知数列an中，a1＝﹣60，an+1＝an+3，那么|a1|+|a2|+…+|a30|的值为　765　 ．
【答案】765
【解答】解：{an}是等差数列，an＝﹣60+3（n﹣1）＝3n﹣63，an≥0，解得n≥21．
∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|
＝﹣（a1+a2+…+a20）+（a21+…+a30）＝S30﹣2S20
（﹣60+60﹣63） 20＝765．
故答案为：765
▉题型5 求等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
18．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由，得，
故．
故选：C．
19．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，100，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为（　　）
A．438 B．450 C．254 D．278
【答案】B
【解答】解：两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，100，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：
2，14，26，…，98是公差为12，项数为9的等差数列，
∴由等差数列前n项和公式得：
新数列{an}的各项之和为．
故选：B．
20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝a5，若a1，a2，am成等比数列，则m＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若S3＝a5，即a1+a2+a3＝a5，则有3a1+3d＝a1+4d，变形可得d＝2a1，
若a1，a2，am成等比数列，即a1，3a1，（2m﹣1）a1是等比数列，
则有a1×（2m﹣1）a1＝9，解可得m＝5．
故选：C．
21．将数列{2n﹣1}和{3n}中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列{an}的前50项和为（　　）
A．2160 B．2240 C．2236 D．2490
【答案】C
【解答】解：由题意，数列{an}的前50项必在数列{2n﹣1}前50项之内取得，
{2n﹣1}中第50个数为2×50﹣1＝99，第41个数为2×41﹣1＝81，
因为34＝81＜99，35＝243＞99，
则数列{an}的前50项和S50中含{2n﹣1}中元素46个，含{3n}中元素4个，
所以．
故选：C．
22．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＜S7，则一定正确的是（　　）
A．a1＜0 B．a6＜a7 C．S7＞0 D．S13＞0
【答案】D
【解答】解：由题意S6＜S7，
则a7＝S7﹣S6＞0，
根据等差数列的求和公式和等差数列的性质可得，无法判断ABC选项，
同理可得，D对．
故选：D．
23．若Sn为等差数列{an}的前n项和，且，则数列{an}的公差d＝（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
∴，解得d＝6．
故选：C．
24．原始的蚊香出现在宋代，根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，收贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，做一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧，交线段BA的延长线于点F，再以点B为圆心，BF为半径逆时针画圆弧，交线段CB延长线于点G，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有9个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为（　　）
A．52π B．44π C．93π D．70π
【答案】A
【解答】解：由题意除了A点外，每画一圈增加2个交点，
所以9个交点至少要画（9﹣1）÷2＝4圈，
每圈是3段弧，每段弧的半径增加1个单位．
记增加的弧的长度组成数列{an}，
则，，a3，
，…，，
所以数列{an}是首项为，公差为的等差数列，
所以有9个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为．
故选：A．
（多选）25．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S7＞S9＞S8，下列说法正确的是（　　）
A．d＜0
B．数列{Sn}的最小项为S8
C．|a8|＞|a9|
D．能使Sn＜0时n的最大值为15
【答案】BC
【解答】解：等差数列{an}中，S7＞S9＞S8，
所以a8+a9＜0，a8＜0，a9＞0，故d＞0，A错误；
根据等差数列的性质可得，当n＝8时，Sn取得最小值，B正确；
因为a8+a9＜0，a8＜0，a9＞0，
所以0＜a9＜﹣a8，即|a8|＞|a9|，C正确；
因为S1515a8＜0，S16＝8（a1+a16）＝8（a8+a9）＜0，S1717a9＞0，
故使Sn＜0时n的最大值为16，D错误．
故选：BC．
（多选）26．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，公差为d，S16＞0，a9＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．d＜0
B．当n＝8时，Sn取得最大值
C．a4+a5+a18＜0
D．使得Sn＞0成立的最大自然数n是17
【答案】ABC
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，公差为d，S16＞0，a9＜0，
对于A，∵等差数列{an}中，，a9＜0，
∴a8＞0，a9＜0，d＝a9﹣a8＜0，故A正确；
对于B，由上知显然当n＝8时，Sn取得最大值，故B正确；
对于C，a4+a5+a18＝3a1+24d＝3（a1+8d）＝3a9＜0，故C正确；
对于D，S16＝8（a1+a16）＝8（a8+a9）＞0，，
故Sn＞0成立的最大自然数n＝16，故D错误．
故选：ABC．
（多选）27．已知等差数列{an}是递减数列，且a6＝﹣2a3，前n项和为Sn，则下列结论正确的有（　　）
A．d＜0
B．a1＞0
C．当n＝5时，Sn最小
D．当Sn＜0时，n的最小值为8
【答案】ABD
【解答】解：由a6＝﹣2a3，得a1+5d＝﹣2（a1+2d），即a1＝﹣3d，
由等差数列{an}是递减数列，知d＜0，则a1＞0，
而，
当n＝3或n＝4时，Sn最大，
令，解得n＞7，即当Sn＜0时，n的最小值为8．
故选：ABD．
28．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝﹣5．
（1）求{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和为Sn，并求Sn的最大值．
【答案】（1）an＝﹣2n+5；
（2），最大值为4．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由已知得，解得a1＝3，d＝﹣2，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝﹣2n+5；
（2）∵a1＝3，d＝﹣2，
∴，
当n＝2时，前n项和取得最大值，最大值为4．
29．在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和．
（1）若a1+a2+a3＝39，a4+a5+a6＝30，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1＝25，S17＝S9，则数列{an}的前多少项和最大？
【答案】（1）an＝15﹣n；
（2）数列{an}的前13项和最大．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则a4+a5+a6＝a1+3d+a2+3d+a3+3d＝a1+a2+a3+9d，
即9d＝30﹣39＝﹣9，解得：d＝﹣1，
∴a1+a2+a3＝3a1+3d＝3a1﹣3＝39，
解得：a1＝14，∴an＝14﹣（n﹣1）＝15﹣n；
（2）设等差数列{an}的公差为d1，
由S17＝S9得：，∴100d1＝﹣8a1＝﹣200，
解得：d1＝﹣2，∴，
则当n＝13时，Sn取得最大值，即数列{an}的前13项和最大．
▉题型6 由等差数列的前n项和求解数列
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
30．设公差d≠0的等差数列{an}中，a2，a5，a9成等比数列，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为公差d≠0的等差数列 {an}中，a2，a5，a9成等比数列，
所以a2a9，
即，解得8d＝a1，
所以．
故选：A．
（多选）31．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，则（　　）
A．为等差数列
B．是等差数列
C．若{Sn}为首项不为0的等差数列，则是等差数列
D．若a4＝10，S9＝117，则an＝4n﹣6
【答案】ABC
【解答】解：数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，
∵ 是等差数列，∴ 为等差数列，故A正确．
an+k，an+2k，an+3k，an+4k， 等间隔，
∴ 是等差数列，故B正确．
∵{an} 是等差数列，{Sn} 是首项不为0的等差数列，
∴{an} 是各项不为0的常数列，∴ 是常数列，即等差数列，故C正确．
∵，解得 a5＝13，
又a4＝10，∴d＝a5﹣a4＝3，an＝3n﹣2，故D错误．
故选：ABC．
32．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且，则　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：，，
则，所以．
故答案为：2．
▉题型7 等差数列前n项和的性质
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
33．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且，
则，
故选：D．
34．已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，则“ n∈N*，Sn≥S9”是“a9≤0“的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，若 n∈N*，Sn≥S9，即Sn的最小值为S9，
必有数列{an}为递增数列，且当1≤n≤9时，an≤0，
必有a9≤0，
反之，若a9＜a10≤0＜a11时，有Sn≥S10成立，Sn≥S9不成立，
故“ n∈N*，Sn≥S9”是“a9≤0“的充分不必要条件．
故选：C．
35．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵{an}，{bn}是等差数列，
∴．
故选：A．
（多选）36．设数列{an}是等差数列，公差为d，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则（　　）
A．d＞0 B．a8＝0
C．S7或S8为Sn的最大值 D．S5＞S6
【答案】BC
【解答】解：由S6＝S9得S9﹣S6＝0，即a7+a8+a9＝0，又a7+a9＝2a8，
∴3a8＝0，∴a8＝0，∴B正确；
由a8＝a1+7d＝0，得，又a1＞0，∴d＜0，∴数列{an}是单调递减的等差数列，
∴，∴S7或S8为Sn的最大值，A错误，C正确；
∵S6﹣S5＝a6＞0，∴S6＞S5，所以D错误．
故选：BC．
（多选）37．已知数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法正确的是（　　）
A．若Sn＝an，则{an}是等差数列
B．若a1＝2，an+1＝2an+3，则{an+3}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列
D．若{an}是等比数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列
【答案】ABC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，数列{an}中，若Sn＝an，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣an﹣1，则有an﹣1＝0，由此可得an＝0，则数列{an}是等差数列，A正确；
对于B，若a1＝2，an+1＝2an+3，变形可得an+1+3＝2an+3+3＝2（an+3），则{an+3}是等比数列，B正确；
对于C，由等差数列的性质，若{an}是等差数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列，可得C正确；
对于D，等比数列{an}中，当q＝﹣1，n为偶数时，Sn＝0，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n不成等比数列，D错误；
故选：ABC．
（多选）38．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝9，S10＝0，则（　　）
A．{|an|}的前10项和为50
B．{an}是递增数列
C．当n＝4时，Sn取得最小值
D．若Sn＞0，则n的最小值为11
【答案】ABD
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
a10＝9，S10＝0，
则，解得，B正确；
an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11，
故{|an|}的前10项和为：9+7+5+3+1+1+3+5+7+9＝50，A对；
Sn＝na1d＝n2﹣10n＝（n﹣5）2﹣25，
当n＝5时，Sn取得最小值﹣25，故C错误；
Sn＞0，
则n2﹣10n＞0，解得n＞10或n＜0（舍去），
故Sn＞0，则n的最小值为11，故D正确．
故选：ABD．
（多选）39．设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有（　　）
A．当n＝15时，Sn取最大值
B．当n＝30时，Sn＝0
C．当d＞0时，a10+a22＞0
D．当d＜0时，|a10|＞|a22|
【答案】BC
【解答】解：∵d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，S10＝S20，
∴10a120a1d，
解得a1＝﹣14.5d，
Sn＝na114.5nd（n﹣15）2，
当d＞0时，当n＝15时，Sn取最小值；当d＜0时，当n＝15时，Sn取最大值，故A错误；
当n＝30时，Sn（n﹣15）20，故B正确；
当d＞0时，a10+a22＝2a1+30d＝d＞0，故C正确；
当d＜0时，|a10|＝|a1+9d|＝﹣5.5d，
|a22|＝|a1+21d|＝﹣6.5d，
∴当d＜0时，|a10|＜|a22|，故D错误．
故选：BC．
40．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，
由等差数列性质得：
．
故答案为：．

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