资源简介

第五章第5.4节 数列的应用
题型1 数列的函数特性 题型2 数列的单调性
题型3 数列的最大项最小项 题型4 数列的图象
题型5 数列的应用 题型6 数列递推式
题型7 数列与函数的综合 题型8 数列与不等式的综合
题型9 等差数列与等比数列的综合
▉题型1 数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn
﹣1；前n项和公式Sn
（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an
＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an
是n的一次函数，对应的点（n，an
）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn
，则Sn
＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an
}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn
﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an
}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
1．下列结论中，正确的是（　　）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3， ，n}）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
2．在一个数列中，如果从第一项开始，每一项与它的后面一项的和都为同一常数，那么这个数列定义为“等和数列”．下列数列是等和数列的是（　　）
A．an＝100+n
B．an＝（﹣1）n
C．an
D．an＝2n+1
（多选）3．已知递增数列{an}的通项公式为，则λ的值可能为（　　）
A．﹣10 B．﹣5 C．2 D．6
（多选）4．下列四个命题中，正确的有（　　）
A．数列的第k项为
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣n﹣50，n∈N+，则﹣8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为an＝2n﹣1
D．数列{an}的通项公式为，n∈N+，则数列{an}是递增数列
（多选）5．已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．{an}是递增数列
B．{an}是递减数列
C．an＝12﹣2n
D．数列{Sn}的最大项为S5和S6
▉题型2 数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
6．已知数列{an}是单调递增数列，，n∈N*，则实数m的取值范围为（　　）
A．（2，+∞） B．（1，2） C． D．（2，3）
7．数列{an}的通项公式为，则“{an}为递增数列”是“k＞﹣1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知等比数列{an}的公比为q，则“{an}是递增数列”的一个充分条件是（　　）
A．a1＞0 B．q＞1
C．a1＜0，q＜0 D．a1＜0，0＜q＜1
▉题型3 数列的最大项最小项
【知识点的认识】
数列的最大项最小项是指数列中的最大值和最小值．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
9．已知an（n∈N*），则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是（　　）
A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a50 D．a44，a45
▉题型4 数列的图象
【知识点的认识】
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
数列的图象是指数列项与其序号的关系图．
10．已知an＝3n﹣2，则数列{an}的图象是（　　）
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
▉题型5 数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
11．某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地．若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（　　）
A．160片 B．170片 C．180片 D．190片
12．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正方形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（　　）
A．50% B．62.5% C．75% D．87.5%
（多选）13．已知数列{un}，其前n项和为Sn，若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，恒有|un+1﹣un|+|un﹣un﹣1|+ +|u2﹣u1|≤M，则称{un}为B﹣数列．则下列说法正确的是（　　）
A．若{un}是以1为首项，q（|q|＜1）为公比的等比数列，则{un}为B﹣数列
B．若{un}为B﹣数列，则{Sn}也为B﹣数列
C．若{Sn}为B﹣数列，则{un}也为B﹣数列
D．若{an}，{bn}均为B﹣数列，则{an bn}也为B﹣数列
（多选）14．在数列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（　　）
A．{（﹣1）n}是等方差数列
B．若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列
C．正项等方差数列{an}的首项a1＝1，且a1，a2，a5是等比数列，则an＝2n﹣1
D．若等方差数列{an}的首项为2，公方差为2，若将a1，a2，a3，…a10这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码
（多选）15．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法﹣商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则（　　）
A．S3＝a4 B．
C．an+1﹣an＝n+1 D．a10＝55
（多选）16．如图，三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14， 排列而成，按照此规律，下列结论正确的是（　　）
A．数阵中前7行所有数的和为1190
B．数阵中第8行从左至右的第4个数是101
C．数阵中第10行的第1个数是137
D．数阵中第10行从左至右的第4个数是146
17．已知集合，其中n∈N且n≥3，a1＜a2＜a3＜ ＜an，若对任意的x，y∈A（x≠y），都有，则称集合A具有性质Mk．
（1）集合A＝{1，2，a}具有性质M3，则a的最小值 　 　 ；
（2）已知A具有性质M15，若，则M的最大正整数为 　 　 ．
18．已知k为正整数且k≥2，d为非零实数，数列{an}满足a1＝1，且a1，a2， ，ak是公差为1的等差数列，ak，ak+1， ，a2k是公差为d的等差数列，a2k，a2k+1， ，a3k是公差为d2的等差数列，以此类推．
（1）当k＝10，a20＝50时，求d；
（2）求a3k的最小值（用含k的代数式表示）；
（3）记n除以k的整数部分为s，余数为t，求{an}的通项公式（用含k，d，n，s，t的代数式表示）．
19．将1，2，3，…，n2这n2个数字都填入n×n（n≥3，n∈N+）的方格中，每个方格填入1个数，组成一个正方形数阵，若每行、每列和对角线上的数字之和都相等，则将该数阵称为“n阶幻方”，每行、每列和对角线上的数字之和均称为“幻方和”，记为Tn．
（1）将1～9这9个数字填入如下3×3的正方形网格中，使其构成一个“3阶幻方”．
（2）一个“4阶幻方”的部分数据如下表所示，等比数列{an}中的4项a1，a2，a4，a5均在表内，求{an}的通项公式．
a1
12
a4
13 3 a2 a5
（3）在由1，2，3，…，n2（n≥3，n∈N+）组成的“n阶幻方”中，设，求．
20．设正整数数列A：a1，a2，…，aN（N＞3）满足ai＜aj，其中1≤i＜j≤N．如果存在k∈{2，3，…，N}，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列”．
（Ⅰ）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
（Ⅱ）若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，…，N不是“k阶平衡数列”，其中k∈{2，3，…，N}．
（Ⅲ）如果aN≤2019，且对于任意k∈{2，3，…，N}，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值．
▉题型6 数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an
}中，前n项和Sn
与通项公式an
的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an
的表达式，则an
不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
21．数列{an}满足：，若bn＝a2n﹣1 a2n+1，则数列{bn}的前10项的和为（　　）
A． B． C． D．
22．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+log2（1）（n≥2，n∈N*），则a8＝（　　）
A． B．3 C．4 D．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n，设bn＝（n﹣λ）log2（an+2），λ∈R，若数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，4） C．（3，+∞） D．（4，+∞）
24．记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{an}的前n项积，且Sn＝2an，则当Tn取得最小值时，n＝（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
25．数列{an}满足a1＝2，，其前n项的积为Πn，则Π2025＝（　　）
A．2 B．﹣6 C．﹣3 D．1
26．数列{an}中，对任意的m，n∈N*都有am+n＝am an，若，则k＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
27．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
（多选）28．已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．an＝n﹣7
B．
C．使Sn＞0的最小正整数n为13
D．的最小值为﹣3
（多选）29．数列{an}满足：a1＝a2＝1，a3＝2，an＝an﹣1+an﹣3（n≥4，n∈N*），前n项和为Sn，下列结论正确的是（　　）
A．a6＝6
B．S9＝58
C．a2025是偶数
D．Sn＝2Sn﹣3+an﹣1+an﹣2+2（n≥4）
（多选）30．已知数列{an}满足2an+1＝an+an+2，其中a1＝21，a2＝19，设Sn为数列{an}的前n项和，则下列选项正确的有（　　）
A．{an}为等差数列
B．an＝2n+19
C．
D．当n＝11时，Sn有最大值
（多选）31．记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知，则（　　）
A．a1＝2 B．数列{an}单调递增
C．数列单调递增 D．
（多选）32．已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1＝3an+2，且S2＝26，则（　　）
A．a1＝2
B．{an+1}是等比数列
C．是等差数列
D．存在r，s，t且r＜s＜t，使得ar，as，at成等差数列
（多选）33．设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知．则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝1 B．
C． D．0＜an≤2
（多选）34．设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1＝2Sn+1，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{Sn+1}为等比数列
B．数列{an}不是等比数列
C．Sn＝2an﹣1
D．数列是递增数列
35．已知数列{an}中，a1＝3，，n∈N*，则数列{an}的通项公式为 　 ．
36．已知数列{an}满足a1＝2，nan+1＝（n+1）an．数列{bn}满足b1＝2，b2＝4，且数列是等比数列，则bn＝ 　 ；设数列{nbn}的前n项和为Tn，则满足不等式成立的整数n的最小值为 　 ．
37．已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，则S5＝　 ．
38．数列{an}中，满足a1＝1，an+1，则a1+a2+…+a2025＝　 ．
39．已知数列{an}中．a1，an+1，则数列{an}的通项公式为an ．
40．已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），，若a3＝10，则m的所有可能取值之和为 　 ．
41．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1﹣3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的前n项和．
42．若数列{an}满足，则称数列{an}具有性质M．
（1）若数列{an}具有性质M，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，求a4的值；
（2）若，求证：数列{bn}具有性质M；
（3）设各项都为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且，数列{dn}具有性质M，其中d1＝c1，d2＝c2﹣1，d2+d3＝c5，若d1＞2025，求正整数k的最小值．
43．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1﹣3Sn﹣4＝0，a1＝4．
（1）证明：数列{an}是等比数列；
（2）设bn＝log4an，证明：．
▉题型7 数列与函数的综合
【知识点的认识】
数列的函数特性：
等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an
，q，n，Sn
，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．
44．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足，则称数列{xn}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣4，数列{xn}为牛顿数列，设，且a1＝1，xn＞2．则a2024＝　 ．
▉题型8 数列与不等式的综合
【知识点的认识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
[]
（n≥2），
（）（n≥2），
，
2（）2（）．
．
（多选）45．在递增的等比数列{an}中，a3+a4＝12，a3a4＝32，Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列{an}的前n项积，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{Sn}是等比数列
B．数列{lgan}是等差数列
C．
D．
（多选）46．如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为（　　）
A．an＝2n+3 B．
C． D．an＝1+log2n
47．设数列{an}满足．
（1）求{an}的通项公式．
（2）（i）求{an}的前n项和Sn；
（ii）证明：．
48．已知数列{an}满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，求数列的前n项和Tn．
（3）若不等式对任意的n∈N*恒成立，求m的取值范围．
▉题型9 等差数列与等比数列的综合
【知识点的认识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an
＝am
qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an
}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak al
＝am
an
（3）若{an
}，{bn
}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an
bn
}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an
}是递增数列；或 {an
}是递减数列；q＝1 {an
}是常数列；q＜0 {an
}是摆动数列．
49．已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，则（　　）
A．a2023＝4045 B．
C． D．
50．已知数列{an}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2a10.设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b9＝2a7，则S17＝（　　）
A．34 B．39 C．51 D．68
51．已知等比数列{an}的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{}的前5项和为（　　）
A． B．2 C． D．
（多选）52．已知正项等比数列{an}的公比为q，若a3+a4＝4（a1+a2），且，则（　　）
A．q＝2
B．
C．是数列{an}中的项
D．a3，a2+a3，a4成等差数列
（多选）53．已知等比数列{an}的公比不为1，设{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且a3，a2，a4成等差数列，则下列说法正确的是（　　）
A．a5＝8a2
B．数列为等比数列
C．
D．
（多选）54．数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A．若an＝﹣3n+19，则数列{an}的前6项和S6最大
B．若等比数列{an}是单调递减数列，则公比q满足0＜q＜1
C．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2025＞0，则a1013＞0
D．已知{an}为等差数列，则数列也是等差数列
（多选）55．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝Sn+2，{bn}为等差数列，且b2＝a1，b8＝a3，记集合A＝{x∈N*|bn≤x≤an}中元素的个数为cn，数列{cn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．bn＝n
C．
D．
（多选）56．已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的有（　　）
A．若，则数列{an}是等差数列
B．若数列{an}是等差数列且a1＞0，S8＝S18，则当n＝13时，Sn取得最大值
C．若数列{an}是公比不等于﹣1的等比数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列
D．若数列{an}是等差数列，则S2n+1＝（2n+1）an+1
（多选）57．已知{an}是等差数列，公差d不为0，若a2，a5，a9成等比数列，则（　　）
A．a1﹣d＞0 B．a1d＞0
C．a1（a1﹣d）＞0 D．a1a2＜0
58．在单调递增数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等比数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等差数列（n∈N*），那么a200＝ 　 　 ．
59．已知等差数列{an}满足a2+a5＝12，a6＝11，正项等比数列{bn}满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{bn}的前n项积Tn．
60．已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．第五章第5.4节 数列的应用
题型1 数列的函数特性 题型2 数列的单调性
题型3 数列的最大项最小项 题型4 数列的图象
题型5 数列的应用 题型6 数列递推式
题型7 数列与函数的综合 题型8 数列与不等式的综合
题型9 等差数列与等比数列的综合
▉题型1 数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn
﹣1；前n项和公式Sn
（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an
＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an
是n的一次函数，对应的点（n，an
）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn
，则Sn
＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an
}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn
﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an
}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
1．下列结论中，正确的是（　　）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3， ，n}）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
【答案】A
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3， ，n}）上的函数，A正确；
对于B，数列1，2，3，4，5只有5项，该数列项数有限，B错误；
对于C，数列﹣1，1，﹣1，1，﹣1，1， 的通项公式可以为，也可以为an＝cosnπ，该数列通项公式不唯一，C错误；
对于D，该数列的通项公式可以为bn，D错误．
故选：A．
2．在一个数列中，如果从第一项开始，每一项与它的后面一项的和都为同一常数，那么这个数列定义为“等和数列”．下列数列是等和数列的是（　　）
A．an＝100+n
B．an＝（﹣1）n
C．an
D．an＝2n+1
【答案】B
【解答】解：对于A：an+an+1＝100+n+100+n+1＝2n+201，不是常数，故A不是，
对于B：an+an+1＝（﹣1）n+（﹣1）n+1＝0总等于同一个常数，故B是，
对于C：an+an+1＝2n+3n+1，或3n+2n+1，不是常数，故C不是，
对于D：an+an+1＝3×2n+2，不是常数，故D不是，
故选：B．
（多选）3．已知递增数列{an}的通项公式为，则λ的值可能为（　　）
A．﹣10 B．﹣5 C．2 D．6
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，数列{an}的通项公式为，则，
若{an}是递增数列，则有an+1﹣an＞0对n∈N*恒成立．
即，
即λ＞﹣2n（n+2）对n∈N*恒成立，
又由当n≥1且n∈Z时，2n≥2，n+2≥3，
则﹣2n（n+2）≤﹣6，
若λ＞﹣2n（n+2）对n∈N*恒成立，必有λ＞﹣6，
分析选项：B、C、D符合．
故选：BCD．
（多选）4．下列四个命题中，正确的有（　　）
A．数列的第k项为
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣n﹣50，n∈N+，则﹣8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为an＝2n﹣1
D．数列{an}的通项公式为，n∈N+，则数列{an}是递增数列
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，数列{}的通项公式为an，则第k项ak，A正确；
对于B，已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣n﹣50，n∈N+，若an＝﹣8，则有n2﹣n﹣50＝﹣8，解可得n＝7或﹣6（舍），即﹣8是该数列的第7项，B正确；
对于C，数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n+1﹣1，C错误；
对于D，an1，有an﹣an﹣1＝（1）﹣（1）0，数列{an}是递增数列，D正确；
故选：ABD．
（多选）5．已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．{an}是递增数列
B．{an}是递减数列
C．an＝12﹣2n
D．数列{Sn}的最大项为S5和S6
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，数列{an}的前n项和为Sn＝11n﹣n2，
当n＝1时，a1＝S1＝10，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝11n﹣n2﹣[11（n﹣1）﹣（n﹣1）2]＝12﹣2n，
故an＝12﹣2n，
则{an}是首项为10，公差为﹣2的等差数列，
由此依次分析选项：
对于A，{an}是递减数列，A错误；
对于B，{an}是递减数列，B正确；
对于C，an＝12﹣2n，C正确；
对于D，{an}是递减数列，由an＝12﹣2n＝0，可得n＝6，即该等差数列第6项为0，第一项到第五项为正数，从第7项开始为负，所以S5＝S6最大，即数列{Sn}的最大项为S5和S6，D正确；
故选：BCD．
▉题型2 数列的单调性
【知识点的认识】
数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
6．已知数列{an}是单调递增数列，，n∈N*，则实数m的取值范围为（　　）
A．（2，+∞） B．（1，2） C． D．（2，3）
【答案】C
【解答】解：由题意可得，由于数列{an}为单调递增数列，
即 n∈N*，，
整理得，
令，则，n∈N*，
所以数列{bn}单调递减，故是数列{bn}的最大项，
则m的取值范围为，故C正确．
故选：C．
7．数列{an}的通项公式为，则“{an}为递增数列”是“k＞﹣1”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：，若{an}为递增数列，
故，
故k＞﹣2n﹣1，
由于﹣2n﹣1≤﹣3，故k＞﹣3，
当k＞﹣1时，，
则数列{an}为递增数列，
故“{an}为递增数列”是“k＞﹣1”的必要不充分条件．
故选：B．
8．已知等比数列{an}的公比为q，则“{an}是递增数列”的一个充分条件是（　　）
A．a1＞0 B．q＞1
C．a1＜0，q＜0 D．a1＜0，0＜q＜1
【答案】D
【解答】解：当a1＜0，0＜q＜1时，数列中所有的项均为负数，即an＜0，
由等比数列的定义q，
所以01，
所以an+1＞an，即数列为递增数列，
所以a1＜0，0＜q＜1 “{an}是递增数列”
故选：D．
▉题型3 数列的最大项最小项
【知识点的认识】
数列的最大项最小项是指数列中的最大值和最小值．
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
9．已知an（n∈N*），则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是（　　）
A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a50 D．a44，a45
【答案】D
【解答】解：an1
∵442＝1936，452＝2025，
∴n≤44时，数列{an}单调递减，且0＜an＜1；n≥45时，数列{an}单调递减，且an＞1．
∴在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44，a45．
故选：D．
▉题型4 数列的图象
【知识点的认识】
由于数列{an
}中的每一项an
与它的序号n是一一对应的，所以数列{an
}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an
，记为an
＝f（n）．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值f（1），f（2），…，f（n），…就是数列{an
}．
数列的图象是指数列项与其序号的关系图．
10．已知an＝3n﹣2，则数列{an}的图象是（　　）
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
【答案】D
【解答】解：an＝3n﹣2，变量n∈N*，数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点，
故选：D．
▉题型5 数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
11．某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地．若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（　　）
A．160片 B．170片 C．180片 D．190片
【答案】B
【解答】解：根据题意，设每一排大理石的数目组成数列{an}，
由于从第二排开始后面每一排比前一排多2片，即an﹣an﹣1＝2，（n≥2），
数列{an}为公差为2的等差数列，且a1＝8，
则S10＝10a1d＝80+90＝170，
故选：B．
12．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正方形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（　　）
A．50% B．62.5% C．75% D．87.5%
【答案】C
【解答】解：依题意将这块原材料如下切割得到第5代芯片，其中12块无坏点，4块有坏点，
故第5代芯片的产品良率为．
故选：C．
（多选）13．已知数列{un}，其前n项和为Sn，若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，恒有|un+1﹣un|+|un﹣un﹣1|+ +|u2﹣u1|≤M，则称{un}为B﹣数列．则下列说法正确的是（　　）
A．若{un}是以1为首项，q（|q|＜1）为公比的等比数列，则{un}为B﹣数列
B．若{un}为B﹣数列，则{Sn}也为B﹣数列
C．若{Sn}为B﹣数列，则{un}也为B﹣数列
D．若{an}，{bn}均为B﹣数列，则{an bn}也为B﹣数列
【答案】ACD
【解答】解：对于A，，于是，
，故A正确；
对于B，为假命题．事实上设，易知数列{xn}是B﹣数列，
但|Sn+1﹣Sn|+|Sn﹣Sn﹣1|+ +|S3﹣S2|+|S2﹣S1|＝n，
由n的任意性可知，数列{Sn}不是B﹣数列．故B错误；
对于C，为真命题．事实上，因为数列{Sn}是B﹣数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N*，有Sn+1﹣Sn|+|Sn﹣Sn﹣1|+ +|S3﹣S2|+|S2﹣S1|≤M，即|xn+1|+|xn|+ +|x2|≤M，
于是|xn+1﹣xn|+|xn﹣xn﹣1|+ +|x2﹣x1|
≤|xn+1|+2|xn|+ +2|x2|+|x1|≤2M+|x1|，
所以数列{xn}是B﹣数列，故C正确；
对于D，若数列{an}，{bn}是B﹣数列，则存在正数M1，M2，对任意的n∈N*，
有|an+1﹣an|+|an﹣an﹣1|+…+|a3﹣a2|+|a2﹣a1|≤M，|bn+1﹣bn|+|bn﹣bn﹣1|+…+|b3﹣b2|+|b2﹣b1|≤M2，
因为|an|＝|an﹣an﹣1+ +a2﹣a1+a1|≤
|an﹣an﹣1|+ +|a2﹣a1|+|a1|≤M1+|a2|，
同理可得|bn|≤M2+|b1|，记K1＝M1+|a1|，K2＝M2+|a1|，
则有|an+1bn+1﹣anbn|＝|an+1bn+1﹣anbn+1+anbn+1﹣anbn|
≤|bn+1+||an+1﹣an|+|an||bn+1﹣bn|
≤|K2||an+1﹣an|+|K1||bn+1﹣bn|≤K2M1+K1M2，
因此数列{}也是B﹣数列，故D正确．
故选：ACD．
（多选）14．在数列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（　　）
A．{（﹣1）n}是等方差数列
B．若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列
C．正项等方差数列{an}的首项a1＝1，且a1，a2，a5是等比数列，则an＝2n﹣1
D．若等方差数列{an}的首项为2，公方差为2，若将a1，a2，a3，…a10这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码
【答案】ABD
【解答】解：选项A．若an＝（﹣1）n，则an2＝1，则an2﹣an﹣12＝0，所以{（﹣1）n}是等方差数列，故A正确．
选项B．由数列{an}是等差数列，则an﹣an﹣1＝d，
由数列{an}既是等方差数列，则an2﹣an﹣12＝p，则（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）＝p，
即d（an+an﹣1）＝p，
当d＝0时，数列{an}为常数列，
当d≠0时，an+an﹣1，结合an﹣an﹣1＝d，可得an，所以数列{an}为常数列，故B正确．
选项C．由题意an2＝1+（n﹣1）p，则a2，a5，
由a1，a2，a5等比数列，则a22＝a1a5，即1+p，解得p＝2或p＝0，
当p＝0时，an＝1，满足题意，故C不正确．
选项D．数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，则an2＝4+2（n﹣1）＝2n+2，
由题意a1＝2，an＝±（n≥2），
所以a2，a3， a10中的每一项，可能取正或负，有2种取法．
所以a1，a2，a3，…a10有29＝512种不同的排法结果，故D正确．
故选：ABD．
（多选）15．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法﹣商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则（　　）
A．S3＝a4 B．
C．an+1﹣an＝n+1 D．a10＝55
【答案】ACD
【解答】解：根据题意，设第n层有an个球，则a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，……，
则有S3＝a1+a2+a3＝10，A正确；
归纳可得：an+1﹣an＝n+1，则B错误，C正确；
由此可得，
将n＝5代入可得：a10＝55，D正确．
故选：ACD．
（多选）16．如图，三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14， 排列而成，按照此规律，下列结论正确的是（　　）
A．数阵中前7行所有数的和为1190
B．数阵中第8行从左至右的第4个数是101
C．数阵中第10行的第1个数是137
D．数阵中第10行从左至右的第4个数是146
【答案】ACD
【解答】解：根据题意，设该等差数列为{bn}，易得{bn}的首项为2，公差为3，则bn＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，
依次分析选项：
对于A，数阵中前7行共1+2+3+ +7＝28个数，数阵中前7行所有数的和为S，A正确；
对于B，令bn＝3n﹣1＝101，解得n＝34，前7行共28个数，第8行有8个数，所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数，B错误；
对于C，记每一行的第1个数组成数列{an}，则a1＝2，a2﹣a1＝3，a3﹣a2＝6＝3×2，a4﹣a3＝9＝3×3， ，an﹣an﹣1＝3×（n﹣1），
累加得，
又由a1＝2，则an，则a10＝137；C正确；
对于D，由C的结论，a10＝137，则数阵中第10行从左至右的第4个数是137+（4﹣1）×3＝146，D正确．
故选：ACD．
17．已知集合，其中n∈N且n≥3，a1＜a2＜a3＜ ＜an，若对任意的x，y∈A（x≠y），都有，则称集合A具有性质Mk．
（1）集合A＝{1，2，a}具有性质M3，则a的最小值 　6　 ；
（2）已知A具有性质M15，若，则M的最大正整数为 　134　 ．
【答案】6；134．
【解答】解：（1）由性质M3定义知：，解得a≥6，且a∈N*，
所以a的最小值为6．
（2）由题设，且a1＜a2＜ ＜an，
所以，
所以，
所以，所以M的最大正整数为134．
故答案为：6；134．
18．已知k为正整数且k≥2，d为非零实数，数列{an}满足a1＝1，且a1，a2， ，ak是公差为1的等差数列，ak，ak+1， ，a2k是公差为d的等差数列，a2k，a2k+1， ，a3k是公差为d2的等差数列，以此类推．
（1）当k＝10，a20＝50时，求d；
（2）求a3k的最小值（用含k的代数式表示）；
（3）记n除以k的整数部分为s，余数为t，求{an}的通项公式（用含k，d，n，s，t的代数式表示）．
【答案】（1）4；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）根据题设条件可知a1＝1，a2， ，a10为公差为1的等差数列，
根据等差数列的通项公式可得a10＝a1+9＝10，
又a10，a11， ，a20为公差为d的等差数列，
根据等差数列通项公式的推广公式可得a20＝a10+10d＝50，
解得d＝4；
（2）由题可知：a1＝1，a2，a3， ，ak为公差为1的等差数列，
根据等差数列的通项公式可得ak＝a1+（k﹣1）＝k，
ak，ak+1，ak+2， ，a2k为公差为d的等差数列，
因此a2k＝ak+kd＝k（1+d），
a2k，a2k+1，a2k+2， ，a3k为公差d2的等差数列，
因此，
又k为正整数，因此，因此a3k的最小值为；
（3）记n除以k的整数部分为s，余数为t，因此n＝ks+t，
当s≥1时，aks，aks+1，aks+2， ，ak（s+1）是公差为ds的等差数列，
而，
依次类推得，
累加得，
当d＝1时，ak（s+1）＝k（s+1），
当d≠1，根据等比数列的求和公式可得，
也因此
由题，t∈[0，k），因此
当s＝0时，aks+t＝at＝t，仍然满足上式，
综上所述，
19．将1，2，3，…，n2这n2个数字都填入n×n（n≥3，n∈N+）的方格中，每个方格填入1个数，组成一个正方形数阵，若每行、每列和对角线上的数字之和都相等，则将该数阵称为“n阶幻方”，每行、每列和对角线上的数字之和均称为“幻方和”，记为Tn．
（1）将1～9这9个数字填入如下3×3的正方形网格中，使其构成一个“3阶幻方”．
（2）一个“4阶幻方”的部分数据如下表所示，等比数列{an}中的4项a1，a2，a4，a5均在表内，求{an}的通项公式．
a1
12
a4
13 3 a2 a5
（3）在由1，2，3，…，n2（n≥3，n∈N+）组成的“n阶幻方”中，设，求．
【答案】（1）
8 1 6
3 5 7
4 9 2
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）
8 1 6
3 5 7
4 9 2
（2）由题意得，
由表可得，得
得，
由，得a1＝1，则；
（3）由题意得，
则
，
因此．
20．设正整数数列A：a1，a2，…，aN（N＞3）满足ai＜aj，其中1≤i＜j≤N．如果存在k∈{2，3，…，N}，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列”．
（Ⅰ）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
（Ⅱ）若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，…，N不是“k阶平衡数列”，其中k∈{2，3，…，N}．
（Ⅲ）如果aN≤2019，且对于任意k∈{2，3，…，N}，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由不为整数，
可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；
数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，
则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；
（Ⅱ）证明：若N为偶数，设k＝2m（m∈N ），考虑1，2，3，…，k这k项，其和为S．
所以这k项的算术平均值为：，此数不是整数；
若k为奇数，设k＝2m+1，m∈N ，考虑1，2，3，4，5，…，k+1；
这k项，其和为S′，所以这k项的算术平均数为：m+1，
此数不是整数；故数列A，1，2，3，4，…，N不是“k阶平衡数列”，其中k∈{2，3，4，…N}；
（Ⅲ）在数列A中任意两项as，at，（s≠t），
对于任意k∈{2，3，4，5，…，N}，在A中任意取两项as，at，相异的k﹣1项，
并设这k﹣1项和为Sn．由题意可得Sn+as，Sn+at都是k的倍数，
即Sn+as＝pk，Sn+at＝qk，（p，q为整数），可得as﹣at＝（p﹣q）k，
即数列中任意两项之差都是k的倍数，k∈{2，3，…，N}，
因此所求数列A的任意两项之差都是2，3，…，N的倍数，
如果数列A的项数超过8，那么a2﹣a1，a3﹣a2，…，a8﹣a7均为2，3，4，5，6，7的倍数，
即a2﹣a1，a3﹣a2，…，a8﹣a7均为420的倍数，（420为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），
a8﹣a1＝a2﹣a1+a3﹣a2+..+a8﹣a7＞420×7＝2940，
即a8＞2940+a1＞2940，这与aN≤2019矛盾，
故数列A的项数至多7项．
数列A的项数为7，那么a2﹣a1，a3﹣a2，…，a7﹣a6均为2，3，4，5，6的倍数，
即a2﹣a1，a3﹣a2，…，a7﹣a6均为60的倍数，（60为2，3，4，5，6的最小公倍数），
又a7≤2019，且a1＜a2＜…＜a7，
所以a6≤2019﹣60，a5≤2019﹣2×60，…，a1≤2019﹣6×60，
所以a1+a2+…+a7≤2019+（2019﹣60）+…+（2019﹣6×600＝12873，
当且仅当ai＝2019﹣60（7﹣i）＝1599+60i（i＝1，2…，7），a1+a2+…+a7取得最大值12873；
验证可得此数列为“k阶平衡数列”，k∈{2，3，…，N}，
如果数列的项数小于或等于6，由aN≤2019，
可得数列中所有项的之和小于或等于2019×6＝12114，
综上可得数列A中所有元素之和的最大值为12873．
▉题型6 数列递推式
【知识点的认识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an
}中，前n项和Sn
与通项公式an
的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an
的表达式，则an
不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
21．数列{an}满足：，若bn＝a2n﹣1 a2n+1，则数列{bn}的前10项的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，
当n≥2时，a1+2a2+3a3+ +（n﹣1）an﹣1＝n﹣1，
两式相减可得nan＝1（n≥2），即（n≥2），
a1＝1也满足上式，∴（n∈N*），
∴，
∴数列{bn}的前10项的和为b1+b2+ +b10
．
故选：C．
22．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+log2（1）（n≥2，n∈N*），则a8＝（　　）
A． B．3 C．4 D．
【答案】C
【解答】解：由Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+log2（1），可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+log2，
即为an+1＝an+log2（n+1）﹣log2n，
即an+1﹣an＝log2（n+1）﹣log2n，n≥2，
又a1＝1，a2＝2，可得上式对n＝1也成立，
则a8＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a8﹣a7）＝1+1+log23﹣log22+log24﹣log23+...+log28﹣log27＝2﹣1+3＝4．
故选：C．
23．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n，设bn＝（n﹣λ）log2（an+2），λ∈R，若数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，4） C．（3，+∞） D．（4，+∞）
【答案】B
【解答】解：根据题意，数列{an}满足Sn＝2an﹣2n，
当n＝1时，有S1＝a1＝2a1﹣2，解得a1＝2，
当n≥2时，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2n﹣[2an﹣1﹣2（n﹣1）]＝2an﹣2an﹣1﹣2，（n≥2），
变形可得an＝2an﹣1+2，（n≥2），则有an+2＝2（an﹣1+2），（n≥2），
所以数列{an+2}是以a1+2＝4为首项、2为公比的等比数列，
则有，变形可得，
所以，
若数列{bn}是递增数列，则当且仅当bn+1﹣bn＞0对任意的正整数恒成立，
所以恒成立，
变形可得λ＜2n+2对任意的正整数恒成立，λ＜（2n+2）min＝4，
所以实数λ的取值范围是（﹣∞，4）．
故选：B．
24．记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{an}的前n项积，且Sn＝2an，则当Tn取得最小值时，n＝（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解答】解：由Sn＝2an，可得，解得，
当n≥2时，由，可得，
两式相减得an＝2an﹣1，
可得，
由an＞0，，，
因此T1＞T2＞ ＞T12＜T13＜ ，
所以当Tn取得最小值时，n＝12．
故选：B．
25．数列{an}满足a1＝2，，其前n项的积为Πn，则Π2025＝（　　）
A．2 B．﹣6 C．﹣3 D．1
【答案】A
【解答】解：由a1＝2，，可得a2＝﹣3，，，a5＝2，a6＝﹣3，…，
由此可知数列{an}的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，
所以数列{an}的前2025项之积为1506×2＝2．
故选：A．
26．数列{an}中，对任意的m，n∈N*都有am+n＝am an，若，则k＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：数列{an}中，对任意的m，n∈N*都有am+n＝am an，若，
令m＝1，可得，所以，
所以，数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式，可得，
由等比数列的求和公式，可得（）k﹣（）k+10＝（）5﹣（）15，
所以，解得k＝5．
故选：D．
27．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【解答】解：an
∵n＝1时适合an＝2n﹣10，∴an＝2n﹣10．
∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，
∴k＜9，又∵k∈N+，∴k＝8，
故选：B．
（多选）28．已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．an＝n﹣7
B．
C．使Sn＞0的最小正整数n为13
D．的最小值为﹣3
【答案】BCD
【解答】解：对于A，因为，所以当n＝1时，6＝0；
当n≥2时，n﹣7，
所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由Sn＞0，解得n＞12或n＜1，因为n为正整数，所以使Sn＞0的最小正整数n为13，故C正确；
对于D，当n＝1时，，当n≥2时，，
所以当n＝3或4时，取得最小值为﹣3，故D正确．
故选：BCD．
（多选）29．数列{an}满足：a1＝a2＝1，a3＝2，an＝an﹣1+an﹣3（n≥4，n∈N*），前n项和为Sn，下列结论正确的是（　　）
A．a6＝6
B．S9＝58
C．a2025是偶数
D．Sn＝2Sn﹣3+an﹣1+an﹣2+2（n≥4）
【答案】ABD
【解答】解：由a1＝a2＝1，a3＝2，an＝an﹣1+an﹣3（n≥4，n∈N*），
可得a4＝a3+a1＝3，a5＝a4+a2＝4，a6＝a5+a3＝6，
a7＝a6+a4＝9，a8＝a7+a5＝13，a9＝a8+a6＝19，
可得S9＝1+1+2+3+4+6+9+13+19＝58，故A正确，B正确；
由数列{an}的递推式，可得数列{an}从第5项起，每隔7项为偶数、偶数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇数，
不断重复出现，而2025﹣4＝2021＝288×7+5，可得a2025为奇数，故C错误；
由n≥4时，an＝an﹣1+an﹣3，可得an﹣an﹣1＝an﹣3，
可得an＝a3+（a4﹣a3）+...+（an﹣an﹣1）＝2+a1+a2+...+an﹣3＝2+Sn﹣3，
而2Sn﹣3+an﹣1+an﹣2+2＝Sn﹣3+an﹣1+an﹣2+an＝Sn，故D正确．
故选：ABD．
（多选）30．已知数列{an}满足2an+1＝an+an+2，其中a1＝21，a2＝19，设Sn为数列{an}的前n项和，则下列选项正确的有（　　）
A．{an}为等差数列
B．an＝2n+19
C．
D．当n＝11时，Sn有最大值
【答案】AD
【解答】解：由2an+1＝an+an+2得an+1﹣an＝an+2﹣an+1，
且a2﹣a1＝19﹣21＝﹣2，
所以{an}是以首项为21公差为﹣2的等差数列，故A正确；
所以an＝21﹣2（n﹣1）＝﹣2n+23，故B错误；
，故C错误；
，
因为n∈N*，所以当n＝11时Sn有最大值，为121，故D正确．
故选：AD．
（多选）31．记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知，则（　　）
A．a1＝2 B．数列{an}单调递增
C．数列单调递增 D．
【答案】AB
【解答】解：因为，所以，解得a1＝2，故A正确；
因为Sn＝（an﹣1）a1＝2an﹣2，所以当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，
两式相减得：an＝2an﹣2an﹣1，所以an＝2an﹣1，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
因为，
所以数列{an}为递增数列，故B正确，D错误；
因为，所以，
因为n∈N*，所以，所以．．．，
所以数列不是单调递增数列，故C错误．
故选：AB．
（多选）32．已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1＝3an+2，且S2＝26，则（　　）
A．a1＝2
B．{an+1}是等比数列
C．是等差数列
D．存在r，s，t且r＜s＜t，使得ar，as，at成等差数列
【答案】BC
【解答】解：对于A，因为an+1＝3an+2，S2＝26，所以a2＝3a1+2，a1+a2＝26，解得a1＝6，a2＝20，故A错误；
对于B，由an+1＝3an+2，可得an+1+1＝3（an+1），又因为a1+1＝7，所以，
所以{an+1}是首项为7，公比为3的等比数列，故B正确；
对于C，因为，
所以是等差数列，故C正确；
对于D，假设存在r，s，t且r＜s＜t，使得ar，as，at成等差数列，则2as＝ar+at，
又因为，所以2（7 3s﹣1﹣1）＝7 3r﹣1﹣1+7 3t﹣1﹣1，
所以2×3s＝3r+3t，两边同时除以3r得：2×3s﹣r＝1+3t﹣r，
因为s﹣r≥1，t﹣r≥2，故左边是3的倍数，右边不是3的倍数，等式不成立，故D错误．
故选：BC．
（多选）33．设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知．则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝1 B．
C． D．0＜an≤2
【答案】ACD
【解答】解：正项数列{an}的前n项和为Sn，已知，
对于A，令n＝1得，，解得a1＝S1＝1，故A正确；
对于B和C，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，所以，
即为22SnSn﹣12SnSn﹣11，可得，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式可得，又因为{an}是正项数列，所以．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，所以，当n＝1时，a1＝1，也满足条件，
所以，故B错误，C正确；
对于D，因为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）34．设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1＝2Sn+1，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{Sn+1}为等比数列
B．数列{an}不是等比数列
C．Sn＝2an﹣1
D．数列是递增数列
【答案】ACD
【解答】解：设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1＝2Sn+1，
可知S1＝a1＝1，S1+1＝1+1＝2，
可得Sn+1+1＝2Sn+1+1＝2（Sn+1），
则数列{Sn+1}是首项和公比均为2的等比数列，故A正确；
由等比数列的通项公式可得，∴，
当n≥2时，，
上式对n＝1也成立，则数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误；
∵，∴Sn＝2an﹣1，故C正确；
∵，∴，
∴数列是递增数列，故D正确．
故选：ACD．
35．已知数列{an}中，a1＝3，，n∈N*，则数列{an}的通项公式为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：数列{an}中，a1＝3，，n∈N*，
可得2，
则数列是首项为1，公差为2的等差数列，
可得，即．
故答案为：．
36．已知数列{an}满足a1＝2，nan+1＝（n+1）an．数列{bn}满足b1＝2，b2＝4，且数列是等比数列，则bn＝ 　2n ；设数列{nbn}的前n项和为Tn，则满足不等式成立的整数n的最小值为 　199　 ．
【答案】2n；199．
【解答】解：由数列{an}满足a1＝2，nan+1＝（n+1）an，得，
故可得，
故an＝2n，
因为，，所以的公比为2，．
所以，所以2n+1＝2bn，故得；
依题意，，
，
两式相减得：（1﹣n） 2n+1﹣2，
则，
因为成立，
即（n﹣1） 2n+1+2≥198 2n+1+2，
当k＞0时，y＝k 2n+1+2是增函数，故n﹣1≥198，解得n≥199，
故整数n的最小值为199．
故答案为：2n；199．
37．已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，则S5＝　10　 ．
【答案】10．
【解答】解：因为，且数列{an}的首项为1，
所以a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，
所以S5＝1+2+4+1+2＝10．
故答案为：10．
38．数列{an}中，满足a1＝1，an+1，则a1+a2+…+a2025＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，所以，
所以，，，…，．
各式相乘，可得：，
显然a1＝1满足上式，则，
所以数列{an}的前n项和为，
所以a1+a2+ +a2025．
故答案为：．
39．已知数列{an}中．a1，an+1，则数列{an}的通项公式为an　 ．
【答案】an
【解答】解：由题意得an+1，则﹣2an+1 an＝an+1﹣an，
两边除以an+1 an得，2，
∴数列{}是以为首项，2为公差的等差数列，
∴（n﹣1）×2＝2n，
则an，
故答案为：an．
40．已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），，若a3＝10，则m的所有可能取值之和为 　46　 ．
【答案】46．
【解答】解：由，a3＝10，
当an为偶数时，得，即a2＝20，再由，得a1＝40；
当an为奇数时，得a3＝3a2+1，即a2＝3，再由a2＝3a1+1，得，不符合题意，
当a2＝3时，再由，得a1＝6．
综上，m的所有可能取值之和为40+6＝46．
故答案为：46．
41．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1﹣3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的前n项和．
【答案】（1）an＝（）n﹣1；（2）（）n+1n．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1﹣3，
可得2S1＝2a1＝3a2﹣3，即2a1＝3a1q﹣3，
当n≥2时，由2Sn＝3an+1﹣3，可得2Sn﹣1＝3an﹣3，两式相减可得2an＝3an+1﹣3an，
即an+1an，可得q，a1＝1，
则an＝（）n﹣1；
（2）Sn[（）n﹣1]，
则数列{Sn}的前n项和为[n]（）n+1n．
42．若数列{an}满足，则称数列{an}具有性质M．
（1）若数列{an}具有性质M，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，求a4的值；
（2）若，求证：数列{bn}具有性质M；
（3）设各项都为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且，数列{dn}具有性质M，其中d1＝c1，d2＝c2﹣1，d2+d3＝c5，若d1＞2025，求正整数k的最小值．
【答案】（1）；
（2）证明见解答；
（3）9．
【解答】解：（1）因为a1＝1，a2＝2，a3＝3，
所以a1+a2＝3，a2+a3＝5，
因为数列{an}具有性质M，且，
所以，所以，所以；
（2）证明：因为，所以b1＝4，b2＝8，故b1+b2＝12≠0，
所以（常数），
由题中新定义知，数列{bn}具有性质M；
（3）因为，
所以当n≥2时，，
两式相减得，，
即（cn+cn﹣1）（cn﹣cn﹣1﹣2）＝0，
由数列{cn}各项都为正数，可得cn﹣cn﹣1﹣2＝0，
所以cn﹣cn﹣1＝2，
又当n＝1是，，解得c1＝1，
所以数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以c1＝1，c2＝3，c5＝c1+4×2＝9，
所以d1＝1，d2＝c2﹣1＝2，d1+d2＝3，d2+d3＝c5＝9，
所以，
因为数列{dn}具有性质M，所以{dn+dn+1}成等比数列，其首项与公比均为3，
所以，
所以，即，
因为，
所以数列{}是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
则，由38＝6561知，
①若k为偶数，则k＞log38101，即k≥10；
②若k为奇数，则k＞log38099，即k≥9；
综上①②可得，k的最小值为k＝9．
43．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1﹣3Sn﹣4＝0，a1＝4．
（1）证明：数列{an}是等比数列；
（2）设bn＝log4an，证明：．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【解答】解：（1）证明：当n＝1时，a2＝3a1+4＝16，
当n≥2时，由an+1＝3Sn+4，得an＝3Sn﹣1+4，
两式作差可得：an+1﹣an＝3an，则an+1＝4an，所以，
又因为，所以数列{an}是首项和公比都为4的等比数列，．
（2）证明：由（1）可知，，则bn＝log4an＝n，
所以，
所以．
▉题型7 数列与函数的综合
【知识点的认识】
数列的函数特性：
等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an
，q，n，Sn
，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．
44．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足，则称数列{xn}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣4，数列{xn}为牛顿数列，设，且a1＝1，xn＞2．则a2024＝　22023 ．
【答案】22023．
【解答】解：由题设可得，
故，，
因为xn＞2，故xn﹣2＞0，故，
故即an+1＝2an，
而a1＝1≠0，故，
故{an}为等比数列，故．
所以．
故答案为：22023．
▉题型8 数列与不等式的综合
【知识点的认识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
[]
（n≥2），
（）（n≥2），
，
2（）2（）．
．
（多选）45．在递增的等比数列{an}中，a3+a4＝12，a3a4＝32，Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列{an}的前n项积，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{Sn}是等比数列
B．数列{lgan}是等差数列
C．
D．
【答案】BCD
【解答】解：在递增的等比数列{an}中，设公比为q，
由a3+a4＝12，a3a4＝32，可得a3＝4，a4＝8，
即有a1q2＝4，a1q3＝8，解得a1＝1，q＝2，
则an＝2n﹣1，Sn2n﹣1，不是等比数列，
Tn＝a1a2a3...an，故A错误，C正确；
lgan＝（n﹣1）lg2，数列{lgan}是首项为0，公差为lg2的等差数列，故B正确；
anan+1＝22n﹣1，数列{anan+1}是首项为2，公比为4的等比数列，则a1a2+a2a3+...+anan+1，故D正确．
故选：BCD．
（多选）46．如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为（　　）
A．an＝2n+3 B．
C． D．an＝1+log2n
【答案】AD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：an+1﹣an＝2（n+1）+3﹣2n﹣3＝2＞0，故A符合；
对于B：，故B不符合；
对于C：，故C不符合；
对于D：，故D符合．
故选：AD．
47．设数列{an}满足．
（1）求{an}的通项公式．
（2）（i）求{an}的前n项和Sn；
（ii）证明：．
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）证明见解析．
【解答】解：（1）数列{an}满足，
当n＝1时，，得a1＝6．
当n≥2时，由，
可得...，
两式相减，得，
得，
上式对n＝1也成立，
所以数列{an}的通项公式为．
（2）（i）由题意得Sn＝2×31+3×32+4×33+...+（n+1） 3n，
3Sn＝2×32+3×33+4×34+...+（n+1） 3n+1，
所以﹣2Sn＝2×3+32+33+...+3n﹣（n+1） 3n+1＝6（n+1） 3n+1
所以．
（ii）证明：由（i）可得，
则，
下面运用分析法证明．
要证，即证．
设函数，x∈（0，+∞），
则，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）＞f（0）＝0，
即当x＞0时，，
令，则，即，
故．
48．已知数列{an}满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，求数列的前n项和Tn．
（3）若不等式对任意的n∈N*恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）数列{an}满足，
当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，由，
可得，
两式相减可得．
所以，
上式对n＝1也成立，
所以{an}的通项公式为．
（2）在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，
知，得，
则，
，
相减可得
，
所以．
（3）得（﹣1）nm＜2+Tn，
又因为，
当n为奇数时，由对任意的n∈N*恒成立，
得m＞（﹣2﹣Tn）max＝﹣2﹣T1，即，
当n为偶数时，由对任意的n∈N*恒成立，
得m＜（2+Tn）min＝2+T2，即，
所以．
▉题型9 等差数列与等比数列的综合
【知识点的认识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an
＝am
qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an
}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak al
＝am
an
（3）若{an
}，{bn
}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an
bn
}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an
}是递增数列；或 {an
}是递减数列；q＝1 {an
}是常数列；q＜0 {an
}是摆动数列．
49．已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，则（　　）
A．a2023＝4045 B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），已知a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，
∴，即（1+3d）2＝（1+d）（1+7d），整理得：d＝1（d≠0）．
∴a2023＝1+2022×1＝2023，故A错误；
，，，故B错误；
，则，故C错误；
，故D正确．
故选：D．
50．已知数列{an}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2a10.设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b9＝2a7，则S17＝（　　）
A．34 B．39 C．51 D．68
【答案】D
【解答】解：设数列{an}的公比为q，则q＝2．由条件有，解得；
设{bn}的公差为d，则，所以．
故选：D．
51．已知等比数列{an}的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{}的前5项和为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解答】解：等比数列{an}的首项为1，∵4a1，2a2，a3成等差数列，
∴2×2a2＝a3+4a1，∴4a1q＝a1（q2+4），解得q＝2．
∴an＝2n﹣1，．
则数列{}的前5项和．
故选：C．
（多选）52．已知正项等比数列{an}的公比为q，若a3+a4＝4（a1+a2），且，则（　　）
A．q＝2
B．
C．是数列{an}中的项
D．a3，a2+a3，a4成等差数列
【答案】ABD
【解答】解：正项等比数列{an}的公比为q，由a3+a4＝4（a1+a2），可得，
所以q＝2，故A正确；
所以，故B正确；
，
令，即2n﹣1＝1020，
显然该方程无整数解，所以不是数列{an}中的项，故C错误；
因为，，，
且，即a3+a4＝2（a2+a3），所以a3，a2+a3，a4成等差数列，故D正确．
故选：ABD．
（多选）53．已知等比数列{an}的公比不为1，设{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且a3，a2，a4成等差数列，则下列说法正确的是（　　）
A．a5＝8a2
B．数列为等比数列
C．
D．
【答案】BCD
【解答】解：等比数列{an}的公比q不为1，设{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且a3，a2，a4成等差数列，
可得a3+a4＝2a2，
整理得q2+q﹣2＝0，则q＝﹣2，
则a5＝﹣8a2，故A错误；
由Sn （﹣2）n，
所以，
则数列是首项为，公比为﹣2的等比数列，故B正确；
由an＝（﹣2）n﹣1，
可得，
当n为奇数时，，单调递减，所以，
当n为偶数时，单调递增，所以，
故，故CD正确．
故选：BCD．
（多选）54．数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A．若an＝﹣3n+19，则数列{an}的前6项和S6最大
B．若等比数列{an}是单调递减数列，则公比q满足0＜q＜1
C．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2025＞0，则a1013＞0
D．已知{an}为等差数列，则数列也是等差数列
【答案】ACD
【解答】解：对于A选项，由an＝﹣3n+19≥0，可得，故数列{an}前6项的和最大，A对；
对于B选项，当a1＜0，q＞1时，则an＜0，
则，所以an+1＜an，此时等比数列{an}也是递减数列，B错；
对于C选项，，则a1013＞0，C对；
对于D选项，若{an}为等差数列，由等差数列的求和公式可得，，
则，所以也是等差数列，D对．
故选：ACD．
（多选）55．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝Sn+2，{bn}为等差数列，且b2＝a1，b8＝a3，记集合A＝{x∈N*|bn≤x≤an}中元素的个数为cn，数列{cn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．bn＝n
C．
D．
【答案】ABD
【解答】解：对于A，等比数列{an}中，由an+1＝Sn+2，得an＝Sn﹣1+2（n≥2），
两式相减得an+1﹣an＝Sn﹣Sn﹣1＝an，即an+1＝2an，所以q＝2，
又a2＝a1+2＝2a1，解得a1＝2，所以，正确；
对于B，等差数列{bn}中，b2＝a1＝2，b8＝a3＝8，得6d＝b8﹣b2＝6，解得d＝1，
所以bn＝b2+（n﹣2）d＝n，正确；
对于C，由A＝{x∈N*|bn≤x≤an}，得A＝{x∈N*|n≤x≤2n}，
则集合A中元素的个数为2n﹣n+1，即，错误；
对于D，由等差数列与等比数列的求和公式可得，，正确．
故选：ABD．
（多选）56．已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的有（　　）
A．若，则数列{an}是等差数列
B．若数列{an}是等差数列且a1＞0，S8＝S18，则当n＝13时，Sn取得最大值
C．若数列{an}是公比不等于﹣1的等比数列，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列
D．若数列{an}是等差数列，则S2n+1＝（2n+1）an+1
【答案】BCD
【解答】解：A．∵，
当n≥2时，，
当n＝1时，，不满足上式，
∴，故a2＝5，a3＝7，
∵a2﹣a1≠a3﹣a2，数列{an}不是等差数列，故选项A错误．
B．∵S8＝S18，∴8a1+28d＝18a1+153d，故，
∵a1＞0，∴d＜0．
由S8＝S18得a9+a10+ +a17+a18＝5（a13+a14）＝0，
∴a13＞0，a14＜0，
∴当1≤n≤13时，an＞0，当n≥14时，an＜0，
∴当n＝13时，Sn取得最大值，故选项B正确．
C．设等比数列{an}的公比为q（q≠﹣1），
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，S2n﹣Sn＝na1，S3n﹣S2n＝na1，可得Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列．
当q≠1时，，
∴，
∵，
∴，
∵q≠±1，∴Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列，故选项C正确．
D．∵数列{an}是等差数列，
∴，故选项D正确．
故选：BCD．
（多选）57．已知{an}是等差数列，公差d不为0，若a2，a5，a9成等比数列，则（　　）
A．a1﹣d＞0 B．a1d＞0
C．a1（a1﹣d）＞0 D．a1a2＜0
【答案】BC
【解答】解：∵a2，a5，a9成等比数列，∴，
解得a1＝8d，
则，0，
0，a1﹣d＝7d的符号不确定．
故选：BC．
58．在单调递增数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等比数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等差数列（n∈N*），那么a200＝ 　10100　 ．
【答案】10100．
【解答】解：因为数列{an}单调递增，a1＝1，a2＝2，可知an＞0，
因为a2n，a2n+1，a2n+2成等差数列，a2n﹣1，a2n，a2n+1成等比数列，
由题意可得：2a2n+1＝a2n+a2n+2，a2n﹣1a2n+1，
即，则，
可得，
在等式左右两边同时除以得，
故数列{}为等差数列，且，
所以数列的首项为，公差为1的等差数列，
则，即，
且，可得，
所以a200＝100×（100+1）＝10100．
故答案为：10100．
59．已知等差数列{an}满足a2+a5＝12，a6＝11，正项等比数列{bn}满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{bn}的前n项积Tn．
【答案】（1）an＝2n﹣1；
（2）．
【解答】解：（1）等差数列{an}满足a2+a5＝12，a6＝11，
设等差数列{an}的公差为d，
可得a1+d+a1+4d＝12，即2a1+5d＝12；
且a1+5d＝11，
解得a1＝1，d＝2，
所以an＝2n﹣1．
（2）因为正项等比数列{bn}满足，
又Tn＝b1b2...bn，b1bn＝b2bn﹣1＝b3bn﹣2＝...＝bn﹣1b2＝bnb1，
（b1bn）（b2bn﹣1）...（bnb1）＝（211）n，又Tn＞0，
所以．
60．已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
【答案】见试题解答内容
【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3＝12，得，而b1＝2，所以q2+q﹣6＝0．又因为q＞0，解得q＝2．所以，．
由b3＝a4﹣2a1，可得3d﹣a1＝8．
由S11＝11b4，可得a1+5d＝16，联立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得an＝3n﹣2．
所以，{an}的通项公式为an＝3n﹣2，{bn}的通项公式为．
（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n＝6n﹣2，有，，
上述两式相减，得．
得．
所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．

展开更多......

收起↑