资源简介

(共28张PPT)
第4讲　基本不等式
考点一　基本不等式的理解
[例1]　(多选)下列说法正确的是(　　)
A.当x>1时,x+的最小值为2
B.函数y=sin x+,x∈,当且仅当x=时取到最小值
C.当x<0时,x+≤-2
D.函数y=的最大值为
CD
[解析]　对于A,当x>1时,x+>2,故A错误;
对于B,y=sin x+≥2=,不是定值,故B错误;
对于C,当x<0时,x+=-≤-2,
当且仅当x=,即x=-1时取“=”,故C正确;
对于D,y=的定义域为[0,1],当x∈(0,1)时,
y=≤ =,
当且仅当x=时取“=”,又当x=0或x=1时y=0,故D正确.
1.下列说法正确的是(　　)
A.不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的
B.y=x+的最小值是2
C.已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为3
D.y=+的最小值为2
C
跟踪训练
解析:对于A,前者成立的条件是a,b∈R,后者成立的条件是a≥0,b≥0,故A错误.对于B,x可以是负数,故B错误.对于C,由已知,得12=4x+3y≥ 2,即12≥2,解得xy≤3(当且仅当4x=3y时取等号),故C正确.对于D,y=+≥2,当且仅当=,即x2+2=1时取等号,显然不能取到,故D错误.
考点二　利用基本不等式求最值
角度1　配凑法求最值
[例2]　当0[解析]　∵y=x(8-2x)=[2x·(8-2x)]≤=8,
当且仅当2x=8-2x,即x=2时,等号成立,
∴y=x(8-2x)的最大值为8.
8
配凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.
方法总结
角度2　常数代换法求最值
[例3]　(2026·江西南昌模拟)已知正数a,b满足8a+4b=ab,则8a+b的最小值为(　　)
A.54　　　　　　　　　 B.56
C.72 D.81
[解析] ∵8a+4b=ab,a>0,b>0,∴+=1,∴8a+b=(8a+b)=×
+40≥2+40=72,当且仅当=,即a=6,b=24时取等号.
C
常数代换法求解最值的基本步骤
1.根据已知条件或其变形确定定值(常数).
2.把确定的定值(常数)变形为1.
3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式.
4.利用基本不等式求解最值.
方法总结
角度3　利用消元法求最值
[例4]　已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 .
6
[解析]　法一(换元消元法):由已知得x+3y=9-xy.
因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,
所以3xy≤,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以x+3y+≥9,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.
令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,
解得t≥6,即x+3y的最小值为6.
法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,
得x=,
所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6,
当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时等号成立,所以x+3y的最小值为6.
当所求最值的代数式中的变量有多个时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值.
方法总结
2.若0A.1 B.
C. D.
解析:因为0×=,当且仅当4x2=1-4x2,即x= 时,等号成立,则y=x
.
C
跟踪训练
3.(2026·河北邢台模拟)已知x>0,y>0,x+2y=2,则+的最小值为(　　)
A.4 B.4
C.8 D.8
解析:x>0,y>0,x+2y=2,
则+=(+)(x+2y)= 8++ ≥ 8+2 =8,
当且仅当=,即y=,x=1时取等号,故+的最小值为8.
C
4.若a>0,b>0,2ab+a+2b=3,则a+2b的最小值是(　　)
A. B.1
C.2 D.
C
解析:法一:因为a>0,b>0,3=2ab+a+2b≤+(a+2b),当且仅当a=2b 时取等号,所以(a+2b)2+4(a+2b)-12≥0,即(a+2b+6)(a+2b-2)≥0,解得a+2b≥2,
所以当a=2b=1 时,a+2b取得最小值2.
法二:因为2ab+a+2b=3,所以a=,
所以a+2b=-1++2b=+(2b+1)-2≥2-2=2,当且仅当=2b+1,即b=,a=1时取等号,故a+2b 的最小值为2.
法三:因为2ab+a+2b=3,所以(2b+1)(a+1)=4,所以a+2b=(2b+1)+(a+1)-2≥ 2-2=2,当且仅当2b+1=a+1,即b=,a=1时取等号,故a+2b 的最小值为2.
考点三　与基本不等式有关的恒(能)成立问题
[例5]　已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
B
[解析]　因为不等式(x+y)(+)≥9 对任意正实数x,y恒成立,所以(x+y)(+)的最小值大于或等于9.因为(x+y)(+)=1+a++≥a+2+1,当且仅当y=x 时等号成立,所以a+2+1≥9,所以≥2 或≤-4(舍去),所以a≥4,即正实数a 的最小值为4.
x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)min≥a; x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)max≤
a. x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)max≥a; x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)min
≤a.
方法总结
5.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+A.(-1,4)
B.(-4,1)
C.(-∞,-1)∪(4,+∞)
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
C
跟踪训练
解析:因为两个正实数x,y满足+=1,所以x+=(x+)(+) =2++≥2+2=4,
当且仅当=,即x=2,y=8时取等号.
因为不等式x+4,解得m<-1或m>4,
即实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).
教材延展
基本不等式链
知识背景 人教A版必修第一册P58T10,解决此问题时,得出新的不等关系≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立).
结论拓展 若a>0,b>0,则≤≤≤(当且仅当a=b时等号成立).其中和分别叫作a,b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.
[例]　(多选)(2022·新课标Ⅱ卷)对任意x,y,x2+y2-xy=1,则 (　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
[解析]　由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3()2,
解得-2≤x+y≤2,
当且仅当x=y=-1时,x+y=-2,
当且仅当x=y=1时,x+y=2,所以A错误,B正确;
由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤,即x2+y2≤2,当且仅当x=y=1时等号成立,故C正确,D错误.
BC
利用基本不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值问题的求解更加简便.
方法总结
(多选)设正实数a,b满足a+b=1,则( 　　)
A.有最大值
B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值
D.+有最大值
ACD
跟踪训练
解析:对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时取“=”,A正确;对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误;对于C,由≥=,得a2+b2≥,当且仅当a=b=时等号成立,C正确;对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时等号成立,D正确.(共25张PPT)
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A组　基础保分练
1.若x<0,则关于x+ ,下列结论正确的是(　　)
A.有最小值,且最小值为2
B.有最大值,且最大值为2
C.有最小值,且最小值为-2
D.有最大值,且最大值为-2
解析:因为x<0,所以-x>0,-x+≥2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以x+≤
-2.
D
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2.已知m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(　　)
A.9　　　　　　　　　 B.18
C.9 D.27
解析:因为m>0,n>0,
由基本不等式m+n≥2得,
m+n≥18,当且仅当m=n=9时,等号成立,
所以m+n的最小值是18.
B
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3.已知正数x,y满足+=2,则x+y的最小值为(　　)
A.2 B.4
C.2+ D.2+
解析:因为正数x,y满足+=2,
所以x+y=(x+y)(+)=≥(4+2)=2+,当且仅当=,即x=,y=时等号成立,所以x+y的最小值为2+.
D
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4.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
D
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解析:由x+3y=5xy,可得+=5,
则3x+4y=(3x+4y)
=
≥=5,
当且仅当=且x+3y=5xy,
即x=1,y=时取等号.
故3x+4y的最小值为5.
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5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:m2)的计算公式是W=(长+4)× (宽+4).在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000 m2,平整每平方米收费1元,则估算平整完这块场地所需的最少费用(单位:元)是(　　)
A.10 000 B.10 480
C.10 816 D.10 818
C
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解析:设矩形场地的长为x m,则宽为,
故W=(x+4)(+4)=4x++10 016≥2+10 016=10 816,当且仅当4x=,即x=100时,等号成立,所以估算平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816=10 816(元).
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6.已知x>y>0且4x+3y=1,则+的最小值为 (　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
B
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解析:由x>y>0得2x-y>0,x+2y>0,
令a=2x-y,b=x+2y,则a+2b=4x+3y,
由4x+3y=1得a+2b=1,
故+=(a+2b)
=5++≥5+2=9,
当且仅当=,且a+2b=1,
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即a=b=时,等号成立,
也即2x-y=,x+2y=,
即x=,y=时,等号成立,
故+的最小值为9.
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7.(多选)下列说法正确的是(　 　)
A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4
B.函数y=的最小值是2
C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6
D.若x+y=4,则x2+y2的最小值是8
ACD
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解析: A选项,对于函数y=2x+(x<0),
2x+=-[(-2x)+]≤-2=-4,
当且仅当-2x=,即x=-1时等号成立,所以A选项正确;
B选项,y==+≥
2=2,
=无实数解,所以等号不成立,所以B选项错误;
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C选项,对于函数y=x+(x>-2),x+2>0,
x+=x+2+-2≥2-2=6,
当且仅当x+2=,即x=2时等号成立,所以C选项正确;
D选项,由基本不等式得≥()2,
所以x2+y2≥2·()2=2×22=8,
当且仅当x=y=2时等号成立,所以D选项正确.
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8.(多选)设正实数x,y满足x+2y=3,则下列说法正确的是(　 　)
A.+的最小值为4
B.xy的最大值为
C.+的最小值为2
D.x2+4y2的最小值为
ABD
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解析:对于A,+=+=++2≥2+2=4,当且仅当x=y=1时取等号,故A正确;对于B,xy=×x×2y≤×()2=×=,当且仅当x=2y,即x=,y=时取等号,故B正确;对于C,(+)2=x+2y+2≤3+2
=3+3=6,则+≤,当且仅当x=2y,即x=,y=时取等号,故C错误;对于D,x2+4y2=(x+2y)2-4xy≥9-4×=,当且仅当x=,y=时取等号,故D正确.
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9.函数f(x)=x2+的最小值是 .
解析:由f(x)=x2+=x2+2+-2
≥2-2=4-2=2,
当且仅当x2+2=,即x=0时,等号成立.
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10.已知0解析: y=x(1-2x)=·2x(1-2x)≤·[]2=,
当且仅当2x=1-2x,即x=时等号成立.
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11.若正实数x,y满足x+3y=1,且不等式a≤有解,则a的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
C
B组　能力提升练
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解析:因为x>0,y>0,x+3y=1,
则=+
=(x+3y)
=++10
≥2+10=16,
当且仅当=,
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即x=y=时,等号成立,
所以0<≤.因为不等式a≤有解,所以a小于等于的最大值,所以a≤,
即a的最大值为.
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12.(多选)(2026·云南保山模拟)若实数a,b满足3(a-b)2=6-4ab,则下列不等式正确的是(　 　)
A.b-a≥-
B.-≤ab≤
C.≤a2+b2≤3
D.a+b>
ABC
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解析:由3(a-b)2=6-4ab,
得3a2+3b2=6+2ab≥6ab,得ab≤,当且仅当a=b=±时,等号成立,
同理得,3a2+3b2=6+2ab≥-6ab,得ab≥-,当且仅当a=-b=±时,等号成立,
综上可得,-≤ab≤,故B正确;
由3(a-b)2=6-4ab可得ab=[6-3(a-b)2],则有-≤≤,
解得0≤(a-b)2≤3,则-≤b-a≤,故A正确;
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由-≤ab≤及3a2+3b2=6+2ab得,-≤≤,
解得≤a2+b2≤3,故C正确;
由3a2+3b2=6+2ab,
得3(a+b)2=6+8ab,
即ab=,
因为-≤ab≤,则-≤≤,则-≤a+b≤ ,故D错误.
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13.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层,根据当年的物价,每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究,该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层的厚度h(单位:cm)满足关系:N(h)=(0≤h≤10).如果不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗
费用的总和,那么使F(h)达到最小值的隔热层的厚度h= cm.
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解析:由题意及N(h)=,可得N(0)==10,即m=40,∴N(h)=.
隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和F(h)=30N(h)+9h=+9h=+3(3h+4)-12≥2-12=108(万元),当且仅当=3(3h+4),即h=cm时,F(h)达到最小值.第4讲 基本不等式
考点一　基本不等式的理解
[例1]　(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.当x>1时,x+的最小值为2
B.函数y=sin x+,x∈,当且仅当x=时取到最小值
C.当x<0时,x+≤-2
D.函数y=的最大值为
[答案]　CD
[解析]　对于A,当x>1时,x+>2,故A错误;
对于B,y=sin x+≥2=,不是定值,故B错误;
对于C,当x<0时,x+=-≤-2,
当且仅当x=,即x=-1时取“=”,故C正确;
对于D,y=的定义域为[0,1],当x∈(0,1)时,
y=≤ =,
当且仅当x=时取“=”,又当x=0或x=1时y=0,故D正确.
1.下列说法正确的是 (　　)
A.不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的
B.y=x+的最小值是2
C.已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为3
D.y=+的最小值为2
答案:C
解析:对于A,前者成立的条件是a,b∈R,后者成立的条件是a≥0,b≥0,故A错误.对于B,x可以是负数,故B错误.对于C,由已知,得12=4x+3y≥2,即12≥2,解得xy≤3(当且仅当4x=3y时取等号),故C正确.对于D,y=+≥2,当且仅当=,即x2+2=1时取等号,显然不能取到,故D错误.
考点二　利用基本不等式求最值
角度1　配凑法求最值
[例2]　当0[答案]　8
[解析]　∵y=x(8-2x)=[2x·(8-2x)]≤=8,
当且仅当2x=8-2x,即x=2时,等号成立,
∴y=x(8-2x)的最大值为8.
方法总结
配凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.
角度2　常数代换法求最值
[例3]　(2026·江西南昌模拟)已知正数a,b满足8a+4b=ab,则8a+b的最小值为 (　　)
A.54　　　　　　　　　 B.56
C.72 D.81
[答案]　C
[解析]　∵8a+4b=ab,a>0,b>0,∴+=1,∴8a+b=(8a+b)=×+40≥2+40=72,当且仅当=,即a=6,b=24时取等号.
方法总结
常数代换法求解最值的基本步骤
1.根据已知条件或其变形确定定值(常数).
2.把确定的定值(常数)变形为1.
3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式.
4.利用基本不等式求解最值.
角度3　利用消元法求最值
[例4]　已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　　.
[答案]　6
[解析]　法一(换元消元法):由已知得x+3y=9-xy.
因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,
所以3xy≤,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以x+3y+≥9,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.
令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,
解得t≥6,即x+3y的最小值为6.
法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,
得x=,
所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6,
当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时等号成立,所以x+3y的最小值为6.
方法总结
当所求最值的代数式中的变量有多个时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值.
2.若0A.1 B.
C. D.
答案:C
解析:因为03.(2026·河北邢台模拟)已知x>0,y>0,x+2y=2,则+的最小值为 (　　)
A.4 B.4
C.8 D.8
答案:C
解析:x>0,y>0,x+2y=2,
则+=(+)(x+2y)=(8++)≥(8+2)=8,
当且仅当=,即y=,x=1时取等号,故+的最小值为8.
4.若a>0,b>0,2ab+a+2b=3,则a+2b的最小值是(　　)
A. B.1
C.2 D.
答案:C
解析:法一:因为a>0,b>0,3=2ab+a+2b≤+(a+2b),当且仅当a=2b 时取等号,所以(a+2b)2+4(a+2b)-12≥0,即(a+2b+6)(a+2b-2)≥0,解得a+2b≥2,
所以当a=2b=1 时,a+2b取得最小值2.
法二:因为2ab+a+2b=3,所以a=,
所以a+2b=-1++2b=+(2b+1)-2≥2-2=2,当且仅当=2b+1,即b=,a=1时取等号,故a+2b 的最小值为2.
法三:因为2ab+a+2b=3,所以(2b+1)(a+1)=4,所以a+2b=(2b+1)+(a+1)-2≥2-2=2,当且仅当2b+1=a+1,即b=,a=1时取等号,故a+2b 的最小值为2.
考点三　与基本不等式有关的恒(能)成立问题
[例5]　已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
[答案]　B
[解析]　因为不等式(x+y)(+)≥9 对任意正实数x,y恒成立,所以(x+y)(+)的最小值大于或等于9.因为(x+y)(+)=1+a++≥a+2+1,当且仅当y=x 时等号成立,所以a+2+1≥9,所以≥2 或≤-4(舍去),所以a≥4,即正实数a 的最小值为4.
方法总结
x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)min≥a; x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)max≤a. x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)max≥a; x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)min≤a.
5.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+A.(-1,4)
B.(-4,1)
C.(-∞,-1)∪(4,+∞)
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
答案:C
解析:因为两个正实数x,y满足+=1,所以x+=(x+)(+)=2++≥2+2=4,
当且仅当=,即x=2,y=8时取等号.
因为不等式x+4,解得m<-1或m>4,
即实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).
　　　　　基本不等式链
人教A版必修第一册P58T10,解决此问题时,得出新的不等关系≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立).
若a>0,b>0,则≤≤≤(当且仅当a=b时等号成立).其中和分别叫作a,b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.
[例]　(多选)(2022·新课标Ⅱ卷)对任意x,y,x2+y2-xy=1,则 (　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
[答案]　BC
[解析]　由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3()2,
解得-2≤x+y≤2,
当且仅当x=y=-1时,x+y=-2,
当且仅当x=y=1时,x+y=2,所以A错误,B正确;
由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤,即x2+y2≤2,当且仅当x=y=1时等号成立,故C正确,D错误.
方法总结
利用基本不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值问题的求解更加简便.
(多选)设正实数a,b满足a+b=1,则 (　　)
A.有最大值
B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值
D.+有最大值
答案:ACD
解析:对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时取“=”,A正确;对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误;对于C,由≥=,得a2+b2≥,当且仅当a=b=时等号成立,C正确;对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时等号成立,D正确.
[A组　基础保分练]
1.若x<0,则关于x+,下列结论正确的是 (　　)
A.有最小值,且最小值为2
B.有最大值,且最大值为2
C.有最小值,且最小值为-2
D.有最大值,且最大值为-2
答案:D
解析:因为x<0,所以-x>0,-x+≥2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以x+≤-2.
2.已知m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(　　)
A.9　　　　　　　　　 B.18
C.9 D.27
答案:B
解析:因为m>0,n>0,
由基本不等式m+n≥2得,
m+n≥18,当且仅当m=n=9时,等号成立,
所以m+n的最小值是18.
3.已知正数x,y满足+=2,则x+y的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.2+ D.2+
答案:D
解析:因为正数x,y满足+=2,
所以x+y=(x+y)(+)=≥(4+2)=2+,当且仅当=,即x=,y=时等号成立,所以x+y的最小值为2+.
4.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案:D
解析:由x+3y=5xy,可得+=5,
则3x+4y=(3x+4y)
=
≥=5,
当且仅当=且x+3y=5xy,
即x=1,y=时取等号.
故3x+4y的最小值为5.
5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:m2)的计算公式是W=(长+4)× (宽+4).在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000 m2,平整每平方米收费1元,则估算平整完这块场地所需的最少费用(单位:元)是 (　　)
A.10 000 B.10 480
C.10 816 D.10 818
答案:C
解析:设矩形场地的长为x m,则宽为 m,
故W=(x+4)(+4)=4x++10 016≥2+10 016=10 816,当且仅当4x=,即x=100时,等号成立,所以估算平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816=10 816(元).
6.已知x>y>0且4x+3y=1,则+的最小值为 (　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
答案:B
解析:由x>y>0得2x-y>0,x+2y>0,
令a=2x-y,b=x+2y,则a+2b=4x+3y,
由4x+3y=1得a+2b=1,
故+=(a+2b)
=5++≥5+2=9,
当且仅当=,且a+2b=1,
即a=b=时,等号成立,
也即2x-y=,x+2y=,
即x=,y=时,等号成立,
故+的最小值为9.
7.(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4
B.函数y=的最小值是2
C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6
D.若x+y=4,则x2+y2的最小值是8
答案:ACD
解析:A选项,对于函数y=2x+(x<0),
2x+=-[(-2x)+]≤-2=-4,
当且仅当-2x=,即x=-1时等号成立,所以A选项正确;
B选项,y==+≥
2=2,
=无实数解,所以等号不成立,所以B选项错误;
C选项,对于函数y=x+(x>-2),x+2>0,
x+=x+2+-2≥2-2=6,
当且仅当x+2=,即x=2时等号成立,所以C选项正确;
D选项,由基本不等式得≥()2,
所以x2+y2≥2·()2=2×22=8,
当且仅当x=y=2时等号成立,所以D选项正确.
8.(多选)设正实数x,y满足x+2y=3,则下列说法正确的是 (　　)
A.+的最小值为4
B.xy的最大值为
C.+的最小值为2
D.x2+4y2的最小值为
答案:ABD
解析:对于A,+=+=++2≥2+2=4,当且仅当x=y=1时取等号,故A正确;对于B,xy=×x×2y≤×()2=×=,当且仅当x=2y,即x=,y=时取等号,故B正确;对于C,(+)2=x+2y+2≤3+2=3+3=6,则+≤,当且仅当x=2y,即x=,y=时取等号,故C错误;对于D,x2+4y2=(x+2y)2-4xy≥9-4×=,当且仅当x=,y=时取等号,故D正确.
9.函数f(x)=x2+的最小值是　　　　　　.
答案:2
解析:由f(x)=x2+=x2+2+-2
≥2-2=4-2=2,
当且仅当x2+2=,即x=0时,等号成立.
10.已知0答案:
解析:y=x(1-2x)=·2x(1-2x)≤·[]2=,
当且仅当2x=1-2x,即x=时等号成立.
[B组　能力提升练]
11.若正实数x,y满足x+3y=1,且不等式a≤有解,则a的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:因为x>0,y>0,x+3y=1,
则=+
=(x+3y)
=++10
≥2+10=16,
当且仅当=,
即x=y=时,等号成立,
所以0<≤.因为不等式a≤有解,所以a小于等于的最大值,所以a≤,
即a的最大值为.
12.(多选)(2026·云南保山模拟)若实数a,b满足3(a-b)2=6-4ab,则下列不等式正确的是 (　　)
A.b-a≥-
B.-≤ab≤
C.≤a2+b2≤3
D.a+b>
答案:ABC
解析:由3(a-b)2=6-4ab,
得3a2+3b2=6+2ab≥6ab,得ab≤,当且仅当a=b=±时,等号成立,
同理得,3a2+3b2=6+2ab≥-6ab,得ab≥-,当且仅当a=-b=±时,等号成立,
综上可得,-≤ab≤,故B正确;
由3(a-b)2=6-4ab可得ab=[6-3(a-b)2],则有-≤≤,
解得0≤(a-b)2≤3,则-≤b-a≤,故A正确;
由-≤ab≤及3a2+3b2=6+2ab得,-≤≤,
解得≤a2+b2≤3,故C正确;
由3a2+3b2=6+2ab,
得3(a+b)2=6+8ab,
即ab=,
因为-≤ab≤,则-≤≤,则-≤a+b≤ ,故D错误.
13.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层, 根据当年的物价,每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究,该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层的厚度h(单位:cm)满足关系:N(h)=(0≤h≤10).如果不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和,那么使F(h)达到最小值的隔热层的厚度h=　　　　cm.
答案:
解析:由题意及N(h)=,可得N(0)==10,即m=40,∴N(h)=.
隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和F(h)=30N(h)+9h=+9h=+3(3h+4)-12≥2-12=108(万元),当且仅当=3(3h+4),即h= cm时,F(h)达到最小值.

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