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期末复习(三)概率初步
重难点突破
重难点1 事件的分类
【例1】 下列事件中， 是必然事件， 是不可能事件， 是随机事件.(填序号)
①标准大气压下，水在0℃时就开始结冰；
②小明买彩票，中500万奖金；
④三条线段可以组成三角形；
⑤打开电视机，正在播广告；
⑥你在一大串钥匙中随便选中一把，用它打开了门；
⑦一个有理数的绝对值是负数.
变式训练
1.有两个事件，事件A：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件 B：367人中至少有2人生日相同.下列说法正确的是( )
A.事件A，B都是随机事件
B.事件A，B都是必然事件
C.事件A 是随机事件，事件 B 是必然事件
D.事件A 是必然事件，事件B是随机事件
重难点2 频率的稳定性
【例2】某批足球的质量检测结果如下：
抽取足球数n 100 200 400 600 800 1 000
合格的数量m 93 192 384 564 759 950
合格的频率m 0.93 0.96 0.96 0.94
(1)填写表中的空格(结果精确到0.01).
(2)画出关于合格频率的折线统计图.
(3)从这批足球中任意抽取一个足球是合格品的概率估计值是多少 并说明理由.
(4)若某工厂计划生产10 000个足球，估计生产出的足球中合格品有 个.
【解答】
方法指导
在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在一个常数附近波动，这个常数就是事件发生概率的估计值.
变式训练
2.数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的试验后，整理的试验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3 000 5 000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1 056 1587 2 650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523| 0.528| 0.527| 0.528| 0.529 0.530
根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 .(结果精确到0.01)
重难点3 等可能事件的概率
【例3】 下表记录了某中学统计的七年级 500名学生体重达标情况(单位：人)，在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 .
偏瘦 标准 超重 肥胖
80 350 46 24
变式训练
3.如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”.将这枚骰子掷出后：
(1)数字几朝上的概率最小
(2)奇数面朝上的概率是多少
复习自测
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同.若随机从袋中摸出一个球，则摸中哪种球的可能性最大 ( )
A.红球 B.黄球 C.白球 D.蓝球
2.(2023·丽水)某校准备组织红色研学活动，需要从梅歧、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅歧红色教育基地的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是( )
A.至少有1个球是白球
B.至少有1个球是黑球
C.至少有2个球是白球
D.至少有2个球是黑球
4.已知抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是 ( )
A.连续抛一枚质地均匀的硬币2次必有1次正面朝上
B.连续抛一枚质地均匀的硬币10次都可能正面朝上
C.大量重复抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的频率接近
D.通过抛一枚质地均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
5.从6个水果中任选1个，若选中苹果的概率是 ，则这6个水果中不是苹果的有 ( )
A.6个 B.4个 C.3个 D.2个
6.在一个不透明的口袋中装有4个红球和12个白球，它们除颜色外完全相同.对多次摸球试验的结果进行统计，则摸到红球的频率稳定在哪个数附近 ( )
A.25% B.4% C.12% D.16%
7.如图，小明有两根长度为4 cm，9 cm的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的5根木棒供他选择，现从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为( )
A.
B.
C.
D.
8.数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分，共20分)
9.“画一个三角形，它的任意两边之和大于第三边”是一个 事件.(填“随机”“必然”或“不可能”)
10.小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是
11.如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为 .
12.一个袋中装有a个红球，10个黄球，b个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么a与b的关系是 .
13.一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同.若白球有9个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是 .
三、解答题(共48分)
14.(10分)一个不透明的口袋中装有4个白球、6个红球，这些球除颜色外完全相同，搅匀后随机摸出一球，发现是白球.
(1)如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它仍是白球的概率是多少
(2)如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它仍是白球的概率是多少
15.(12分)如图，有一个转盘，转盘被分成4个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(若指针指向两个扇形的分界线，则重新转)，求下列事件的概率：
(1)指针指向绿色.
(2)指针指向红色或黄色.
(3)指针不指向红色.
16.(12分)下图是两个全等的含 30°角的直角三角形.
(1)将其相等的边拼在一起，组成一个没有重叠部分的平面图形，请你画出所有不同的拼接平面图形的示意图.
(2)若将(1)中平面图形分别印制在质地、形状、大小完全相同的卡片上，洗匀后从中随机抽取一张，求抽取的卡片上的平面图形为轴对称图形的概率.
17.(14分)某商场进行有奖促销活动.活动规则：购买500元商品就可以获得一次转转盘的机会(转盘分为5个扇形区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、不获奖)，转盘指针停在哪个获奖区域就可以获得一件该区域相应等级的奖品.商场工作人员在制作转盘时，将获奖扇形区域圆心角分配如下表：
奖次 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖
圆心角 1° 10° 30° 90°
促销公告 凡购买本商场商品均有可能获得下列大奖： 特等奖：液晶电视一台 一等奖：自行车一辆 二等奖：圆珠笔一支 三等奖：卡通画一张
(1)获得圆珠笔的概率是多少
(2)如果不用转盘，请设计一种等效试验方案.(要求写清楚替代工具和试验规则)
重难点突破
【例1】 ① ⑦ ②③④⑤⑥
【例2】 解:(1)0.95 0.95 (2)略.(3)从这批足球中任意抽取一个足球是合格品的概率估计值是0.95.理由如下：∵从折线统计图中可知，随着抽取足球数的增加，频率逐渐稳定在0.95 附近，∴从这批足球中任意抽取一个足球是合格品的概率估计值是0.95.(4)9 500
【例3】7/10
变式训练
1. C 2.0.53
3.解:(1)∵骰子有20个面,1个面标有“1”,2个面标有“2”,3个面标有“3”,4个面标有“4”,5个面标有“5”,其余的面标有“6”,∴P(6朝上) P(5朝上) P(4朝上)= P(3朝 上)= ,P(2(朝上) P(1朝上)= .∴数字1朝上的概率最小.(2)∵奇数包括了1，3，5，∴P(奇数面朝)
复习自测
1. A 2. B 3. B 4. A 5. B 6. A 7. B 8. D 9.必然10. 11. 12. a+b=10 13.3
14.解：(1)如果将白球放回，P(摸到白球) (2)如果这个白球不放回，那么第二次摸球时，有3个白球和6个红球，则P(摸到白球)
15.解：转盘被分成4个相同的扇形，即共有4种等可能的结果。(1)∵指针指向绿色有1种等可能的结果，∴指针指向绿色的概率为 .(2)∵指针指向红色或黄色共有3种等可能的结果，∴指针指向红色或黄色的概率为 ,(3)∵指针不指向红色，即指针指向绿色或黄色共有2种等可能的结果，∴指针不指向红色的概率为
16.解:(1)如图所示.
(2)只有②③⑤⑥是轴对称图形，故抽取的卡片上的平面图形为轴对称图形的概率为
17.解：(1)获得圆珠笔的概率为 (2)答案不唯一，如：可采用“抓阄”或“抽签”等方法替代：在一个不透明的箱子里放进360个除标号不同外，其他均一样的乒乓球，其中1个标“特等奖”，10个标“一等奖”，30个标“二等奖”，90个标“三等奖”，其余标“不获奖”，摸出标有哪个奖次的乒乓球，则获相应等级的奖品.

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