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期末复习(二)相交线与平行线
01 知识结构图
02 重难点突破
重难点1 与相交线有关的角度计算
【例1】 如图,直线 AB,CD 相交于点O,OM⊥CD 于点 O,OA平分∠MOE,∠BOD=28°,求∠COE 的度数.
【思路点拨】 根据垂直和对顶角的性质得到 根据角平分线的性质得到∠AOE=∠AOM=62°,然后由角的和差关系得到∠COE的度数.
【解答】
方法指导
解决此类问题的方法一般是运用“对顶角相等”实现角度的转化，借助垂直和角平分线的性质进行角度的计算.
变式训练
1.如图，已知a⊥b，垂足为O，直线c经过点O，则∠1与∠2 的关系一定成立的是 ( )
A.相等 B.互余
C.互补 D.对顶角
2.如图,点O在直线AB 上,OC⊥OD,OC,OF分别平分∠AOE 和∠BOD.若∠AOC=20°,则∠BOF 的度数为
重难点2 平行线的性质与判定
【例2】 如图,如果∠1=∠3,∠2=60°,那么∠4的度数为 ( )
A.60°
B.100°
C.120°
D.130°
变式训练
3.如图，直线a，b被直线c 所截，下列条件能使a∥b的是 ( )
A.∠1=∠6
B.∠2=∠6
C.∠1=∠3
D.∠5=∠7
4.如图,直线 l ∥l ,直线l 分别与l ,l 相交于点A,C,BC⊥l 交 l 于点 B.若∠1=70°,则∠2的度数为 ( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
5.已知l ∥l ,直线l分别与l ,l 相交于点 C,D，把一块含 30°角的三角板按如图所示的方式摆放.若∠1=130°,则∠2= .
重难点3 用尺规作已知直线的平行线
【例3】 如图，利用直尺和圆规，过点 A 作直线l的平行线AB，并说明你的作图依据.
【思路点拨】 先过点 A 任意作一条与l相交的直线，再用尺规作出一对相等的同位角即可得到平行线.
【解答】
方法指导
这里借助“同位角相等，两直线平行”作已知直线的平行线，在运用尺规作图的过程中，需要操作规范，保留作图的痕迹.
变式训练
6.如图，要在一张不规则的四边形纸上，过点 M画一条直线平行于AB，用尺规完成这个任务(保留作图痕迹).
思想方法 辅助线构造法
【例 4】 如图，直线 求∠2+∠3的度数.
【思路点拨】 过点 B 作l 的平行线 BD，则∠2转化为∠ABD与∠CBD的和，再利用平行线的性质求解.
【解答】
方法指导
常用的辅助线：过拐点，作平行线.
变式训练
7.为保护中学生的视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示,其中 BC⊥AB,ED∥AB,经使用发现,当∠DCB=140°时，台灯光线最佳，则此时∠EDC的度数为 ( )
A.130°
B.120°
C.110°
D.100°
8.在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线 AB，CD 和一块含 60°角的直角三角板EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°)”为主题开展数学活动.
(1)如图1，小明把三角板的60°角的顶点G放在CD上.若∠2=2∠1,求∠1的度数.
(2)如图2，小颖把三角板的两个锐角的顶点E,G分别放在 AB 和 CD 上,请你探索∠AEF与∠FGC 之间的数量关系，并说明理由.
复习自测
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.下列图中，∠1，∠2是对顶角的为 ( )
2.如图,直线 AD,BE 被直线 BF 和 AC 所截,则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )
A.∠4,∠2 B.∠2,∠6
C.∠5,∠4 D.∠2,∠4
3.如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4
C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180°
4.如果一个角的余角与它的补角互补，那么这个角的度数为 ( )
A.25° B.30° C.40° D.45°
5.如图，直线a，b被直线c 所截，下列说法正确的是 ( )
A.当∠1=∠2时,一定有a∥b
B.当a∥b时,一定有∠1=∠2
C.当a∥b时,一定有∠1+∠2=90°
D.当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b
6. 已知在△ABC中,BC=6,AC=3,CP⊥AB,垂足为 P，则CP的长可能是 ( )
A.2 B.4 C.5 D.7
7.将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，∠F=30°,∠C=45°,AB 与 DE 相交于点 G.当 EF∥BC时,∠EGB的度数是 ( )
A.135° B.120° C.115° D.105°
8.结合图形有如下判断或推理：
①如图甲,如果CD⊥AB,D 为垂足,那么点 C到AB的距离等于C，D两点间的距离；
②如图乙,如果AB∥CD,那么∠B=∠D;
③如图丙,如果∠ACD=∠CAB,那么 AD∥BC;
④如图丁,如果∠1=∠2,∠D=120°,那么∠BCD=60°.
其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分，共20分)
9.如图，从书店到公路最近的路线是 (填序号)，其数学原理是 .
10. 如图，请填写一个条件: ,使a∥b.
11.如图,AB 与 DE 相交于点O,OC⊥AB,OF是∠AOE 的平分线.若∠COD = 36°,则∠AOF= .
12. 为响应国家新能源建设，乐清市公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线最大夹角为 62°，如图，电池板 AB 与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板CD与水平线夹角为 48°,要使 AB∥CD,需将电池板 CD 逆时针旋转α(0<α<90)度,则α= .
13.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点 D,C 分别落在点 D',C'的位置.若 则∠BFC'=
三、解答题(共48分)
14.(10分)如图所示,点 A,O,B在同一条直线上,∠BOC=40°,射线 OC⊥射线 OD,射线OE平分∠AOC,求∠DOE 的大小.
15.(12 分)如图,已知∠ACD=75°,点 E 在AB 上.
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不必写作法)：以点 E 为顶点,EB 为一边,作∠FEB=∠A,EF 交CD 于点 F.
(2)在(1)的条件下,求∠CFE的度数.
16.(12分)如图,已知∠B=43°,∠BDC=43°,∠A=∠1.试说明:∠2=∠BDE.
17.(14分)综合与探究
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界.
数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的图形，并提出了一个问题：
AB∥CD,∠B=125°,∠C=25°,求∠BPC的度数.
小康的解法如下：
解:如图1,过点 P 向左作PQ∥AB.
∵AB∥CD,
∴PQ∥CD(根据1).
∵AB∥PQ,
∴∠B+∠BPQ=180°(根据2).
……
(1)①小康的解法中的根据1是指
②根据2是指
(2)按照上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程.
(3)聪明的小明在图1的基础上，将图1改为图2,其中AB∥CD,∠B=125°,∠PQC=65°,∠C=145°,求∠BPQ的度数.
期末复习(二)相交线与平行线
重难点突破
【例1】 解:∵∠AOC=∠BOD=28°,OM⊥CD,∴∠AOM=90°-∠AOC=90°-28°=62°.∵OA 平分∠MOE,∴∠AOE=∠AOM=62°.∴∠COE=∠AOE-∠AOC=62°-28°=34°.
【例2】 C
【例3】解：图略.作图依据：同位角相等，两直线平行.(答案不唯一)
【例4】 解:过点B向右作BD∥l .∵BD∥l ,l ∥l ,∴BD∥l ∥l .∴∠ABD=∠1=20°,∠CBD+∠3=180°.∴∠2+∠3=
变式训练
1. B 2.35°3. B 4. B 5.20°
6.解:略.
7. A
8.解:(1)∵AB∥CD,∴∠1=∠EGD.∵∠2+∠FGE+∠EGD= 1(2)∠AEF+∠FGC=90°.理由:过点 F 向右作FP∥AB.∵CD∥AB,∴FP∥AB∥CD,∴∠AEF=∠EFP,∠FGC=∠GFP.∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG.∵∠EFG=90°,∴∠AEF+∠FGC=90°.
复习自测
1. C 2. B 3. D 4. D 5. D 6. A 7. D 8. B 9.① 垂线段最短 10.∠1=∠4(答案不唯一) 11.27° 12.20 13.50°
14.解:∵点A,O,B在同一条直线上,∠BOC=40°,∴∠AOC=140°.∵射线OE平分∠AOC,∴∠EOC=70°.∵OC⊥OD,∴∠COD=90°.∴∠DOE=∠EOC+∠COD=160°.
15.解:(1)如图,∠FEB即为所求.(2)∵∠FEB=∠A,∴AC∥EF.∴∠ACD+∠CFE=180°.∵∠ACD=75°,∴∠CFE=
16.解:∵∠B=43°,∠BDC=43°,∴∠B=∠BDC.∴AB∥CD.∴∠A=∠C.∵∠A=∠1,∴∠C=∠1.∴AC∥DE.∴∠2=∠BDE.
17.解：(1)①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②两直线平行,同旁内角互补 (2)∵∠B=125°,∴∠BPQ=55°.∵PQ∥CD,∠C=25°,∴∠C=∠CPQ=25°,∴∠BPC=∠BPQ+ (3)过点 P 向左作PN∥AB,过点Q向右作QM∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥PN∥QM∥CD.∴∠B+∠BPN=180°,∠NPQ=∠PQM,∠MQC+∠C=180°.∵∠B=125°,∠C=145°,∴∠BPN=180°-∠B=180°-125°= , =∠PQM=30°.∴∠BPQ=∠BPN+∠NPQ=55°+30°=85°.

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