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期末复习(五)图形的轴对称
01 知识结构图
02 重难点突破
重难点 1 轴对称及其性质
【例1】 下列标点符号中，是轴对称图形的是 ( )
方法指导
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.轴对称图形是针对一个图形本身而言，成轴对称是对两个图形而言，注意它们的区别.
变式训练
1.如图,△ABC 与△A'B'C'关于直线MN 对称，P为MN 上任一点，下列结论中错误的是( )
A.△AA'P 是等腰三角形
B. MN 垂 直 平 分AA',CC'
C.△ABC 与△A'B'C'的面积相等
D.直线 AB,A'B'的交点不一定在MN 上
重难点2 等腰三角形的轴对称性
【例2】 如图,在△ABC中,AB=AC,过点C作CN∥AB且CN=AC,连接AN 交 BC 于点M.试说明:BM=CM.
【思路点拨】 通过 CN∥AB且CN=AC,可得出∠BAM=∠CAM,即 AM为∠BAC 的平分线.再由等腰三角形“三线合一”即可得出结论.
【解答】
方法指导
等边对等角是等腰三角形的性质定理，注意与等腰三角形的判定定理区分开.判定线段相等有多种方法，利用等腰三角形“三线合一”，通过判定线段是等腰三角形顶角的平分线或者底边上的高，即可得到线段是等腰三角形底边上的中线，从而得到线段相等.
>变式训练<
2.如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C= .
3.如图,BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点 D为圆心，DB 的长为半径作弧交 BC的延长线于点 E，则∠DEC=
重难点3 线段及角的轴对称性
【例3】 如图,在△ABC中,BD 平分∠ABC,BC 的垂直平分线交 BC于点E，交BD 于 点 F,连 接 CF. 若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF= .
【思路点拨】 根据角平分线的定义求出∠DBC=∠ABD=24°,∠ABC=2∠ABD=48°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得FC=FB，求出∠FCB，即可求出答案.
变式训练
4. 如图,在 △ABC 中,∠C= 90°,BD 平分∠ABC交AC于点D,DE是斜边AB 的垂直平分线.
(1)DE=CD吗 为什么
(2)AD=BD吗 为什么
(3)如果 DE=1 cm,BD=2cm ,求AC的长.
重难点4 根据轴对称的性质画图
【例4】 如图，有一条小船及A，B两点，如果该小船先从点 A航行到达岸边l 的点 P 处补货后，再航行到点 B，且要求航程最短，试在图中画出点 P的位置.
【解答】
变式训练
5.把图中(实线部分)补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的蝴蝶图案.
6.请作出图中四边形ABCD关于直线a的轴对称图形(要求：不写作法，但必须保留作图痕迹).
思想方法1 转化思想
【例5】如图所示，已知O是∠APB内的一点,M,N分别是点O 关于 PA,PB 的对称点,连接OM,ON,MN,MN与PA,PB分别相交于点E,F,连接EO,FO,已知MN=8cm .
(1)求△OEF的周长.
(2) 连 接 PM,PN,若∠APB = α,求 (用含α的代数式表示)
【思路点拨】 (1)根据轴对称的性质，可得EM=EO,FN=FO,故△OEF的周长即为线段MN的长;(2)连接PM,PN,PO,根据轴对称的性质,可得∠MPA=∠OPA,∠NPB=∠OPB,即可得出结果.
【解答】
方法指导
本题考查了轴对称的性质，解题关键在于利用轴对称的性质将△OEF 的周长转化为MN 的长，将∠MPN转化为2∠APB.转化思想就是在解决数学问题时，采用某种方式，借助某些图形的性质、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而准确、快速地解决问题.
变式训练
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交 AB 于点 D，交AC于点E.若△ABC与△EBC的周长分别是40 cm,24 cm,则 AB= cm.
思想方法2 分类讨论思想
【例6】 已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交 AB 于点 D，交直线 AC 于点E,∠AEB=70°,求∠BAC的度数.
【思路点拨】 因为题目中没有给出图形，所以 AB的垂直平分线与AC 的交点可能在线段AC上，也可能在线段 CA 的延长线上，故需要我们分情况画出图形进行分析.
【解答】
方法指导
对于没有画出图形的几何问题，要特别注意是否有多种情况，需要我们分情况进行分析，在分类讨论、分情况证明时，我们必须认真审题，全面考虑，做到不重不漏，一次分类必须按同一个标准进行，分出的每一部分都是互相独立的，但解题方法往往是类似的.
变式训练
8.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点 D在边 BC上，连接AD.若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为 .
复习自测
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.下列图案中，是轴对称图形的是 ( )
2.如图,已知五边形ABCDE 和五边形A B C D E 关于直线 MN 对称，点 B 到直线 MN 的距离是3，则下列说法中正确的是 ( )
A.点 A 到 MN的距离是3
B.点 B 到 MN的距离是3
C.点 C 到 MN的距离是3
D.点 D 到 MN的距离是3
3.关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线就是这条线段的对称轴，其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是( )
A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
5.如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.如图,已知等腰三角形 ABC,AB=AC.若以点 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交腰 AC于点 E，则下列结论一定正确的是 ( )
A. AE=EC B. AE=BE
C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
7.如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点 A 落在点 A'处,BC 为折痕.若 BE 是∠A'BD 的平分线，则∠CBE的度数为 ( )
A.65° B.115° C.90° D.75°
8.如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD=115°,∠B=∠D=90°,在 BC,CD上分别找点M,N,使△AMN 的周长最小,则∠AMN+∠ANM= ( )
A.110° B.120° C.130° D.100°
二、填空题(每小题4分，共20分)
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC 的中点,∠BAD=20°,则∠C= .
10.如图，将一副七巧板拼成一只小猫，则图中∠AOB= .
11.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点 D,连接 CD.若 CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为 .
12.如图,△ABC的三边 AB,BC,AC的长分别为40，50，60，其中三条角平分线相交于点 O，则S△ABO : S△BCO : S△CAO= .
13.如图,在 △ABC 中,AB=AC,∠BAC=130°,△AFD 和△ABD 关于直线AD 对称,∠FAC的平分线交 BC 于点G,连接 FG,当△DFG为等腰三角形时，∠FDG 的度数为
三、解答题(共48分)
14.(6分)如图,作出△ABC关于直线l 的对称图形.
15.(8分)某中学七(2)班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，BO桌面上摆满了糖果，站在 C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你在图上帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.
16.(10 分)如图,AB∥DC,E 是 BC 上一点,AB=BE,CD=CE.试说明:AE⊥DE.
17.(11分)已知:在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
(1)如图1,若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠BDC的度数.
(2)如图2,连接AD,作 DE⊥AB,DE=1,AC=4,求△ADC的面积.
18.(13分)如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC 于点 D,边 AB 的垂直平分线 EF 交 BD 于点 E,交 AB 于点 F,连接AE.
(1)比较∠AED 与∠ABC 的大小,并说明理由.
(2)若△ADE 是等腰三角形,求∠CAB 的度数.
【例1】 A
【例2】 解:∵CN=AC,∴∠N=∠CAN.∵AB∥CN,∴∠BAM=∠N.∴∠BAM=∠CAM.又∵AB=AC,∴BM=CM.
【例3】 48°
【例4】解：①作出点 A关于直线l的对称点A'；②连接A'B 交直线l于点P，则点 P 即为所求，图略.
【例5】 解:(1)∵M,N分别是点O关于PA,PB的对称点,∴EM=EO,FN=FO.∴△OEF的周长为OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN=8cm.(2)连接PM,PN,PO.∵M,N 分别是点O关于PA,PB的对称点,∴∠MPA=∠OPA,∠NPB=∠OPB.∴∠MPN=2∠APB=2α.
【例6】 解:如图1,∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠BAC=∠ABE.∵∠AEB=70°,
∴∠BAC=∠ABE= ×(180°-70°)=55°;
如图2,∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∴∠BAE=∠ABE.
∵
综上所述,∠BAC 的度数为 55°或125°.
变式训练
1. D 2.40°3.30°
4.解:(1)∵BD平分∠ABC,CD⊥BC,DE⊥AB,∴DE=CD.(2)∵DE是斜边AB 的垂直平分线,∴AD=BD.(3)∵DE=CD=1cm,AD=BD=2cm,∴AC=AD+CD=3cm.
5.解:图略.
6.解:略.
7.16 8.130°或90°
复习自测
1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6. C 7. C 8. C 9.70°10.90°11.105° 12.4:5:6 13.50°或65°或80°
14.解:略.
15.解:图略.①分别作点C关于OA,OB的对称点M,N;②连接MN,分别交OA,OB于点 D,E;③连接CD,CE,则C→D→E→C为所求的行走路线.
16.解:∵AB∥DC,∴∠B+∠C=180°.∵AB=BE,CD=CE,∴∠A=∠AEB,∠CED=∠D.
∵∠B+∠A+∠AEB=∠C+∠CED+∠D=180°,
∴∠AEB+∠CED= (180°-∠B+ -∠AEB-∠CED=90°.∴AE⊥DE.
17.解:(1)∵BD平分 30°.∵CD平分∠ACB,∴∠DCB= ∠ACB= ×40°= 130°.(2)作 DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H,∵BD 平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC,∴DH=DE=1,∵CD 平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC,∴DF=DH=1.∴S△NC= DF
18.解:(1)∠AED=∠ABC.理由如下:∵EF垂直平分AB,∴EA=EB.∴∠EAB=∠EBA.∴∠AEB = 180°-∠EAB-∠EBA=180°-2∠EBA.∴∠AED=180°-∠AEB=180°-(180°-2∠EBA)=2∠EBA.∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBA.∴∠AED=∠ABC.(2)设∠DBC=x°,则∠ABD=∠DBC=∠BAE=x°.∴∠ABC=2x°.∵△ADE是等腰三角形,∴∠EAD=∠AED.∴∠EAD=∠ABC=2x°.∴∠CAB=∠BAE+∠EAD=3x°.∵∠ABC+∠CAB=90°,∴2x+3x=90,解得x=18.∴∠CAB=3x°=54°.

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