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期末复习(四)三角形
01 知识结构图
02 重难点突破
重难点1 三角形的边及有关线段
【例1】 如图,在△ABC中,D,E,F分别为边AC，BD，CE的中点.若阴影部分的面积为4 cm ,则△ABC的面积为 ( )
A.8 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.18 cm
变式训练
1.已知三角形的两边长分别为4 和6，若它的第三边长为偶数，则这个三角形第三条边的长是 (写出一个即可).
2.如图,在△ABC中,AD 是边BC 上的中线,E是AD 的中点,过点 E 作垂线交 BC 于点 F,已知BC=10,△ABD的面积为12,则 EF 的长为 ( )
A.1.2
B.2.4
C.3.6
D.4.8
重难点2 三角形中有关角度的计算
【例 2】 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=50°,D 为 AB 上一点,过点 D 作DE∥AC.若CD平分∠ADE,则∠BCD的度数为 ( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
变式训练
3.如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A落在△ABC外的点A'处,折痕为 DE.已知∠BDA'=110°,∠C=70°,∠B=80°,求∠CEA'的度数.
重难点3 全等三角形的性质与判定
【例3】 如图,已知CA=CB,点 E,F在射线CD 上,满足∠BEC=∠CFA,且∠BEC+∠ECB+∠ACF=180°.
(1)试说明:△BCE≌△CAF.
(2)试判断线段 EF,BE,AF 的数量关系,并说明理由.
【解答】
方法指导
(1)判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的；(2)证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等，当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形，它的步骤是：先证全等，再利用全等的性质求解；(3)探究两条线段的关系时，一般可先利用全等的性质证明线段或角相等，进而通过线段的转换或角的转换判断线段的等量关系与位置关系.
变式训练
4.如图,在四边形 ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F 分别在AB,AD 上,AE=AF,CE=CF.试说明:CB=CD.
思想方法1 分类讨论思想
【例4】 已知等腰三角形的两边长分别是8cm 和4 cm,那么它的周长是 .
方法指导
在三角形中，往往会遇到三角形的形状或边不确定的情况，此时就要进行分类讨论，综合各类结果得出答案，注意分类时要做到不重不漏.
变式训练
5.已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 .
思想方法2 方程思想
【例5】 已知在△ABC中, 则△ABC是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.无法确定
变式训练
6. 已知在△ABC中,∠A=∠B+∠C,∠B=2∠C-6°,则∠C的度数为 .
【例6】 如图,将△ABC沿DE,HG,EF 翻折,三个顶点均落在点 O 处.若∠1=131°,则∠2的度数为 .
变式训练
7.如图,在△CEF 中,∠E=80°,∠F=50°,AB∥CF,AD∥CE,连接 BC,CD,则∠A 的度数是 ( )
A.45° B.50° C.55° D.80°
复习自测
一、选择题(每小题3分，共21分)
1.如图,在△ABC 中,AD⊥BC于点 D,BE⊥CA 于点 E,则边 AC 上的高是 ( )
A. AD
B. AB
C. DC
D. BE
2.已知在△ABC中,∠A=48°,∠B=42°,则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
3.小方画了一个两边长分别为3和5的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.11 B.13 C.8 D.11或13
4.如图,AD是△ABC的中线,CE 是△ACD的中线,DF是△CDE的中线.如果△DEF 的面积是2，那么△ABC的面积为 ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
5. 如图,AB=CD,AB∥CD,判定△ABC≌△CDA 的依据是 ( )
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
6.如图,已知△ABC 的高 AD、角平分线 AE,∠B=24°,∠ACD=56°,那么∠AED 的度数是 ( )
A.45° B.42° C.41° D.40°
7.如图,已知在 Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,BE 平分∠ABC,交 AD 于点 E,EF∥AC，FE的延长线交AB 于点G，下列结论一定成立的是 ( )
A. AB=BF B. AE=ED
C. AD=DC D.∠ABE=∠DFE
二、填空题(每小题4分，共24分)
8.已知△ABC≌△DEF,且△ABC 的周长为20,AB=8,BC=3,则DF= .
9.如图，∠ABC=∠BAD,请你添加一个条件： ，使△ABC≌△BAD(只添一个即可).
10.如图，要测量池塘AB 的宽度，在池塘外选取一点 P,连接 AP,BP 并各自延长,使 PC=PA,PD=PB,连接CD,测得 CD=25 m,则池塘宽AB= m.
11.将一副三角板按如图所示的方式叠放，则∠α= .
12.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使 EC=BC,过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于点F.若EF=5cm ,则AE= cm.
13.如图,在△ABC 中,D 为 BC 的中点.若AB=4,AD=3,AC=x,则x的取值范围是
三、解答题(共55分)
14.(10分)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,且 BF=CE,∠B=∠E.
(1)请添加一个条件(不再添加辅助线)： ,使△ABC≌△DEF.
(2)添加了条件后,试说明:△ABC≌△DEF.
15.(10分)已知:如图,△ABC.
(1)求作:△DEF,使△DEF≌△ABC(要求:在指定区域内尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
(2)根据作图过程写出△DEF≌△ABC 的依据: .
作图区域：
16.(11分)如图,在△ABC中,三个内角的平分线 AD,BM,CN 交于点O,OE⊥BC于点 E.∠BOD 与∠COE 是否相等 请说明理由.
17.(12 分)如图,点 B,E 分别在 AC,DF 上,∠AGB=∠EHF,∠C=∠D.
(1)试判断∠A 与∠F 的关系，并说明理由.
(2)若AG=FH,试问:AB=FE吗 为什么
18.(12分)综合与实践:
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”.如图，在筝形 ABCD 中，AB=AD,CB=CD.
【操作应用】(1)如图 1，将“筝形功能器”上的点 A 与∠PRQ的顶点R 重合,AB,AD分别放置在角的两边 RP，RQ上，并过点 A，C画射线AE.试说明:AE是∠PRQ的平分线.
【实践拓展】(2)实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图2，在仪器上的点 A 处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点 B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点 C，即判断门框是水平的.实践小组的判断正确吗 请说明理由.
期末复习(四) 三角形
重难点突破
【例1】 C
【例2】 B
【例3】 解:(1)∵∠BEC+∠ECB+∠ACF=180°,∠BEC+∠ECB+∠CBE=180°,∴∠CBE=∠ACF.在△BCE 和△CAF
中 ∴△BCE≌△CAF(AAS).(2)AF+EF=BE,理由如下:∵△BCE≌△CAF,∴AF=CE,CF=BE.∵CE+EF=CF,∴AF+EF=BE.
【例4】 20cm
【例5】 A
【例6】 49°
变式训练
1.4或6或8 2. B
3.解:在△ABC中,∠A=180°-∠B-∠C=180°-80°-70°=30°.由折叠的性质,知∠A=∠A'=30°,∠ADE=∠A'DE, =70°.∴∠ADE=∠A'DE=35°.∴∠A'ED=∠AED=180°-30°-35°=115°.∴∠DEF=180°-∠AED=65°.∴∠CEA'=
4.解:连接 AC.在△AEC 和△AFC 中 △AFC(SSS).∴∠CAE=∠CAF.∵∠B=∠D=90°,即CB⊥AB,CD⊥AD,∴CB=CD.
5.8或5 6.32°7. B
复习自测
1. D 2. B 3. D 4. C 5. B 6. D 7. A 8.9 9. AD=BC(答案不唯一) 10.25 11.165° 12.3 13.214.解:(1)AB=DE(答案不唯一) (2)∵BF=CE,∴BF+FC=CE+FC,即 BC=EF.在△ABC和△DEF中, △ABC≌△DEF(SAS).
15.解:(1)略.(2)SSS
16.解:∠BOD=∠COE.理由:∵∠ABO+∠BAO+∠BOA=180°,∠BOD+∠BOA=180°,∴∠BOD=∠ABO+∠BAO= ∠ACB.∵OE⊥BC,∴∠COE+∠BCO=90°.∴∠COE=
17.解:(1)∠A=∠F.理由如下:∵∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF,∴∠DGF=∠EHF.∴BD∥CE.∴∠C=∠ABD.又∵∠C=∠D,∴∠D=∠ABD.∴AC∥DF,∴∠A=∠F.
(2)AB = FE. 理 由 如 下: 在 △ABG 和 △FEH 中,
∴△ABG≌△FEH(ASA).∴AB=FE.
18.解:(1)在△ABC和△ADC中,能=50°;∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠BAC=∠DAC.∴AE 是∠PRQ的平分线.(2)实践小组的判断正确.理由如下：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.由(1)知,AC平分∠BAD,∴AC⊥BD.∵AC是铅垂线，∴BD是水平的.∴门框是水平的.∴实践小组的判断正确.

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