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4.1 因式分解
一、教学目标
1.经历从数的整除变形到式的分解的探索过程，理解因式分解的意义，掌握因式分解的定义，能准确判断一个变形是否为因式分解.
2.能通过对比整式乘法与因式分解的互逆变形，理解二者之间的联系与区别，能规范完成简单的互逆变形操作.
3.体会＂化归＂与＂互逆＂的数学思想，感受因式分解在简化计算、解决整除问题中的价值，提升代数推理与变形能力.
二、教学重点及难点
重点：理解因式分解的概念，能判断一个变形是否为因式分解.
难点：准确把握＂把多项式化成几个整式乘积的形式＂这一核心要求，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，以及在具体问题中灵活运用这种互逆关系进行变形.
三、教学过程
【探究新知】
探究：因式分解的概念.
教师带领学生复习：在学习新知识前，我们先回顾整式乘法的内容.
想一想，（1）整式的乘法有哪几种类型？
（2）平方差公式与完全平方公式是什么？
【学生活动】学生独立回忆整式乘法法则与乘法公式，在小组内交流补充，主动分享对旧知的理解.
学生回答：（1）①单项式×单项式；②单项式×多项式；③多项式×多项式.
（2）它们是特殊的整式乘法公式：
①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
教师提问：630 可以被哪些整数整除？我们是怎么解决这个问题的？
【学生活动】学生独立思考，小组交流方法，全班分享思路.
答案预设：
对 630 进行分解质因数，就能找出它的所有因数.
教师追问：既然数可以分解因数，那么类似地，多项式可以分解成几个整式的积吗？
让我们通过一道题试一试：993－99 能被 100 整除吗？你是怎样想的？
【学生活动】学生先独立尝试不同计算方法，再在小组内对比简便算法.
教师：让我们一起看一下小明和小亮的方法.
小明的方法：
993－99
＝99×992－99×1
＝99×(992－1)
＝99×(99－1)(99＋1)
＝98×99×100，
所以993-99能被 100 整除.
小亮的方法：
(993－99)÷100
＝(970299－99)÷100
＝970200÷100
＝9702，
所以993-99能被 100 整除.
教师：大家更喜欢谁的做法呢？
【学生】更喜欢小明的做法.
教师点拨：观察小明的方法，他把993 99化成了几个整数乘积（98×99×100）的形式，这样就能快速判断整除性.
提问：想一想，993-99还能被哪些正整数整除？
【学生活动】学生先独立观察分解后的乘积形式 98×99×100，在练习本上尝试写出能整除的正整数；随后同桌之间互相补充遗漏的因数，小组内汇总所有可能的正整数，并说明判断依据.
答案预设：还能被 98、99 整除.
又 98＝1×98＝2×49＝7×14，
所以 993－99 还能被 1、2、7、14、49 整除.
又 99＝1×99＝3×33＝9×11，
所以 993－99 还能被 3、9、11、33 整除.
【课堂互动】
教师提问：你能把 a3－a 化成几个整式乘积的形式吗？与同伴进行交流.
【师生活动】学生先回顾小明分解993－99的思路，尝试对a3－a进行变形；随后在小组内分享自己的分解步骤，互相纠正步骤中的错误，完善变形过程.
答案预设：
a3－a
＝a×a2－a×1
＝a×(a2－1)
＝a×(a－1)(a＋1).
设计意图：本环节以数的整除问题为切入点，通过小明简便算法的示范，引导学生体会“将数式化为乘积形式”的核心思想，再类比迁移到多项式变形，为抽象因式分解概念做好铺垫，同时渗透化归思想，感受因式分解在简化计算中的价值.
教师提问：观察下面拼图过程，写出相应的代数式. 等号两边的代数式有什么不同？
（1）
【学生活动】学生先独立计算各图形面积，在练习本上写出代数式；随后同桌之间对照等式，互相说说等号两边代数式的形式差异.
答案预设：am+bm+cm＝m(a+b+c).
教师追问：等号左边和右边的代数式在形式上有什么本质不同？
学生回答：左边是多项式，右边是整式乘积的形式.
（2）
【学生活动】学生先独立计算各图形面积，在练习本上写出代数式；随后小组内交流等式写法，对比不同写法的等价性.
答案预设：x2+2x+1＝(x+1)2.
学生：等号左边为多项式，右边为整式乘积形式.
教师：结合两组拼图的变形，你能总结出这类变形的共同特征吗？
【学生活动】学生在小组内讨论、归纳两组变形的共性，尝试用自己的语言描述变形的本质.
学生回答预设：都是把一个多项式化成了几个整式乘积的形式.
教师总结：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解.
例如：a3－a＝ a (a＋1) (a－1)，am＋bm＋cm＝m (a＋b＋c).
因式分解也可称为分解因式.
注意：
①分解的对象必须是多项式；
②因式分解的结果：积的形式；
③结果中的每一个因式都必须是整式；
④必须分解到每个因式都不能再分解为止.
设计意图：本环节通过拼图面积变形，直观呈现多项式和差与整式乘积的形式差异，引导学生归纳变形共性，为抽象概括因式分解定义提供具象支撑，同时渗透数形结合与化归思想，高效衔接新知学习.
【探究新知】
探究：因式分解与整式乘法的关系.
教师提问：我们通过几道题来练习巩固.
1.计算下列各式：
(1) 3x(x－1)＝____________；
(2) m(a＋b－1)＝____________；
(3) (m＋4)(m－4)＝____________；
(4) (y－3)2＝____________.
2.根据上面的算式进行因式分解：
(1) 3x2－3x＝________；
(2) ma＋mb－m＝__________；
(3) m2－16＝__________；
(4) y2－6y＋9＝__________.
【学生活动】学生独立完成计算与因式分解，小组对比两组变形，说出发现.
答案预设：
1.(1) 3x2－3x；(2) ma＋mb－m；(3) m2－16；(4) y2－6y＋9.
2.(1) 3x(x－1)；(2) m(a＋b－1)；(3) (m＋4)(m－4)；(4) (y－3)2.
教师追问：根据上面的试题，想一下因式分解与整式乘法有什么关系？
学生回答：整式乘法是从积到和差，因式分解是从和差到积，二者是互为逆运算的变形过程.
设计意图：通过整式乘法与因式分解的互逆操作练习，让学生直观感知二者是方向相反的恒等变形，在对比中深化对因式分解定义的理解，同时为后续学习因式分解的具体方法奠定基础，渗透互逆的数学思想.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解.
2.因式分解与整式乘法的关系：两种变形互为逆运算变形过程.

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