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第9章第2节 向量运算
题型1 平面向量的加法 题型2 平面向量的减法
题型3 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题型4 平面向量的加减混合运算
题型5 两个平面向量的和或差的模的最值 题型6 平面向量的数乘与线性运算
题型7 平面向量数量积的含义与物理意义 题型8 平面向量数量积的性质及其运算
题型9 平面向量的投影向量 题型10 数量积表示两个平面向量的夹角
题型11 数量积判断两个平面向量的垂直关系
▉题型1 平面向量的加法
【知识点的认识】
向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
1．一条河的两岸平行，河宽240m，货船从河岸边的A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度的大小为m/s，水流速度的大小为m/s，则当货船的行驶路程最短时，其航行时间为（　　）
A．20s B．48s C．60s D．80s
2．在四边形ABCD中，若，则（　　）
A．四边形ABCD一定是等腰梯形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是直角梯形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
3．下列各式化简结果正确的是（　　）
A． B．
C．0 D．
4．（　　）
A． B． C． D．
5．已知四边形ABCD，O为任意一点，若，那么四边形ABCD的形状是（　　）
A．正方形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
6．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，（2，4），（1，3），则　　 ．
▉题型2 平面向量的减法
【知识点的认识】
向量的减法及其几何意义：
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
7．在菱形ABCD中，若∠DAB＝60°，则　 ．
8．在△ABC中，D是BC的中点．若，则 　　 ．
▉题型3 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【知识点的认识】
三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
9．在平行四边形ABCD中，P是BC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的三等分点，若，，E为AD中点，则（　　）
A． B． C． D．
11．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA，记，，则（　　）
A．﹣43 B．﹣34 C．34 D．34
12．若向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行”，则向量表示（　　）
A．向东北方向航行2km
B．向北偏东30°方向航行2km
C．向正北方向航行
D．向正东方向航行
13．某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点C．
（1）在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米）
（2）求向量的模．
▉题型4 平面向量的加减混合运算
【知识点的认识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
14．（　　）
A． B． C． D．
15．化简：（　　）
A． B． C． D．
16．化简（　　）
A． B．0 C． D．
17．已知O为△ABC内切圆的圆心，且2，则 　　 ．
18．已知，是平面内两个不共线向量，，，3，且A，M，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）已知D（1，2），若（﹣1，﹣1），（3，4），且A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
19．化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）sinαcos（π+α）tan（﹣π﹣α）．
▉题型5 两个平面向量的和或差的模的最值
【知识点的认识】
向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减．就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量．当两个向量相加时，有||≤||+||，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有||≥|||﹣|||，当且仅当与方向相反时取得到等号．
另外还有||≤||+||，当且仅当与方向相反时取得到等号．；||≥|||﹣|||，当且仅当与方向相同时取得到等号．
【解题方法点拨】
例：定义*||||sinθ，θ是向量和的夹角，||，||是两向量的模，若点A（﹣3，2），B（2，3），O为坐标原点，则*（　　）
解：∵A（﹣3，2），B（2，3），
∴3×2+2×3＝0，
∴sinθ＝1．
∴*13．
点评：这个题拿来当例题主要是这个题很新颖，很适合高考求变的胃口．其实这个题求的就是他们的最大值，只是多了一个确认的步奏．
【命题方向】
向量和差的模的极值也是一个比较重要的知识点，大家要引起重视，特别是新大纲还增加了向量的知识点，体现了对向量这一块的重视，那么就更加要熟悉这一部分的考点．
20．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时λ＝　　 ．
21．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且||∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是　　 ．
▉题型6 平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥ λ
（2）向量数乘运算的法则
①1；（﹣1）；
②（λμ）λ（μ）μ（λ）；
③（λ+μ）λμ；
④λ（）＝λλ．
一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示．
22．已知D为△ABC所在平面内的一点，，E为CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
23．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
24．在平行四边形ABCD中，，点F是线段DE的中点，若，则μ＝（　　）
A．1 B． C． D．
25．在△ABC中，点D满足，且AB＝2CD，则∠ACB＝（　　）
A． B． C． D．
26．如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
27．已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则xy＝（　　）
A． B． C． D．
28．在平行四边形ABCD中，E是CD边上靠近点C的三等分点，则（　　）
A． B． C． D．
▉题型7 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
29．向量在向量方向上的数量投影为 　　 ．
▉题型8 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 　①②　 ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
30．如图，在正八边形ABCDEFGH中，点O为正八边形的中心，点M，N分别是GH，CD边的中点，且MN⊥AF，点P是正八边形内一动点（含边界），已知OQ＝2，，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
31．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC+2ccosB＝a2，，O为△ABC的外心，则的值为（　　）
A． B． C． D．
32．如图，正方形ABCD的边长为2．E为边BC的中点，F为边CD上一点，当取得最大值时，tan∠EAF＝（　　）
A． B． C． D．
33．在△ABC中，∠ABC＝45°，，，则（　　）
A． B． C． D．
34．在边长为1的正方形ABCD中，，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为　　 ．
▉题型9 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
35．如图，在△ABC中，，，，F为AD与BE的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（　　）
A． B． C． D．
36．记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
37．若向量，满足||＝3， 6，则在上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
38．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．（3，3）
（多选）39．在下列四个选项，其中正确的有（　　）
A．与向量同方向的单位向量
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为（1，2，2）
（多选）40．已知向量，，则（　　）
A．向量的夹角为
B．若，则λ＝﹣1
C．向量在向量上的投影向量为
D．若，则k＝﹣4
▉题型10 数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 　60°　 ．
解：cos60°+isin60°．
∴复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
41．已知向量，满足||＝||＝1，（1，1），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
42．已知点，B（m，3），O为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
43．已知向量，，设，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
44．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，则与的夹角为钝角的概率是（　　）
A． B． C． D．
45．设向量，满足||＝||＝1及|32|，则，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
▉题型11 数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量，垂直的向量可能为（　　）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵， （3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵， （﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵， （4，3），∴C成立；
对于D：∵， （4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
46．已知向量，若与垂直，则实数m的值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．1
47．已知（x，1），（3﹣x，﹣2），且⊥，则实数x＝（　　）
A．﹣3 B．6 C．﹣1或﹣2 D．1或2
48．已知向量满足2且，则（　　）
A． B． C． D．
49．已知向量，满足||＝2，⊥（2），且（1，1），则||＝（　　）
A． B．2 C． D．3
50．已知向量，，若，则（　　）
A．2m﹣n＝0 B．2m+n＝0 C．m﹣2n＝0 D．m+2n＝0第9章第2节 向量运算
题型1 平面向量的加法 题型2 平面向量的减法
题型3 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题型4 平面向量的加减混合运算
题型5 两个平面向量的和或差的模的最值 题型6 平面向量的数乘与线性运算
题型7 平面向量数量积的含义与物理意义 题型8 平面向量数量积的性质及其运算
题型9 平面向量的投影向量 题型10 数量积表示两个平面向量的夹角
题型11 数量积判断两个平面向量的垂直关系
▉题型1 平面向量的加法
【知识点的认识】
向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
1．一条河的两岸平行，河宽240m，货船从河岸边的A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度的大小为m/s，水流速度的大小为m/s，则当货船的行驶路程最短时，其航行时间为（　　）
A．20s B．48s C．60s D．80s
【答案】C
【解答】解：当航线垂直于河岸时，航程最短，
因为船在静水中的速度的大小为m/s，水流速度的大小为m/s，
如图，
由题意可知，，，
由勾股定理可得，即船只的实际航行速度为4m/s，
则航行时间为s．
故选：C．
2．在四边形ABCD中，若，则（　　）
A．四边形ABCD一定是等腰梯形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是直角梯形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
【答案】D
【解答】解：可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．
故选：D．
3．下列各式化简结果正确的是（　　）
A． B．
C．0 D．
【答案】D
【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：D．
4．（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意可得：．
故选：D．
5．已知四边形ABCD，O为任意一点，若，那么四边形ABCD的形状是（　　）
A．正方形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
【答案】B
【解答】解：由得，；
∴；
∴BA∥CD，且BA＝CD；
∴四边形ABCD的形状是：平行四边形．
故选：B．
6．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，（2，4），（1，3），则　（﹣1，﹣1）　 ．
【答案】（﹣1，﹣1）
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，
又∵（2，4），（1，3），
∴（﹣1，﹣1）
故（﹣1，﹣1）
故答案是：（﹣1，﹣1）．
▉题型2 平面向量的减法
【知识点的认识】
向量的减法及其几何意义：
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
7．在菱形ABCD中，若∠DAB＝60°，则　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：由已知可得AB＝AD，又因为∠DAB＝60°，
故△ABD是等边三角形，即BD＝AB，
故．
故答案为：1．
8．在△ABC中，D是BC的中点．若，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为D是BC的中点，
所以，
又，，
所以．
故答案为：．
▉题型3 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【知识点的认识】
三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
9．在平行四边形ABCD中，P是BC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由已知可得：，
则．
故选：B．
10．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的三等分点，若，，E为AD中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据条件：，
∴．
故选：A．
11．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA，记，，则（　　）
A．﹣43 B．﹣34 C．34 D．34
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA，
记，，
则．
故选：B．
12．若向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行”，则向量表示（　　）
A．向东北方向航行2km
B．向北偏东30°方向航行2km
C．向正北方向航行
D．向正东方向航行
【答案】B
【解答】解：如图，
易知tanα，所以α＝30°．故的方向是北偏东30°．
又．
故选：B．
13．某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点C．
（1）在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米）
（2）求向量的模．
【答案】（1）作图见解析；
（2）米．
【解答】解：（1）根据题意，作出向量，如图：
（2）依题意，，
因为10，且10，
所以向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米，
所以（米）．
▉题型4 平面向量的加减混合运算
【知识点的认识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
14．（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：原式．
故选：C．
15．化简：（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由向量的线性运算，．
故选：C．
16．化简（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解答】解：根据向量加减法则化简可知，原式．
故选：D．
17．已知O为△ABC内切圆的圆心，且2，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设BC的中点D，圆O与AB，AC分别相切于点F，E，
由D为BC的中点，知．即2，
又，所以，即，
因为O为△ABC的内切圆的圆心，所以AB＝AC，OD⊥BC．
不妨设OD＝1，则OA＝3，OE＝OF＝1．
在Rt△OAE中，．
由△OEA∽△CDA，知，即，解得，且CE＝CD，
又，所以．
故答案为：．
18．已知，是平面内两个不共线向量，，，3，且A，M，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）已知D（1，2），若（﹣1，﹣1），（3，4），且A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】（1）﹣4；
（2）A（﹣3，﹣1）．
【解答】解：（1）因为，是平面内两个不共线向量，，，3，
所以，
因为A，M，C三点共线，所以存在μ∈R使得，
即，
因为是平面内两个不共线向量，
所以，解得λ＝﹣4．
（2）当，时，
，
设A（x，y），则，
因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以，则，解得，
所以A（﹣3，﹣1）．
19．化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）sinαcos（π+α）tan（﹣π﹣α）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）sin2α．
【解答】解：（1）；
（2）原式；
（3）原式＝sinα（﹣cosα）[﹣tan（π+α）]
＝sinα（﹣cosα）（﹣tanα）
．
▉题型5 两个平面向量的和或差的模的最值
【知识点的认识】
向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减．就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量．当两个向量相加时，有||≤||+||，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有||≥|||﹣|||，当且仅当与方向相反时取得到等号．
另外还有||≤||+||，当且仅当与方向相反时取得到等号．；||≥|||﹣|||，当且仅当与方向相同时取得到等号．
【解题方法点拨】
例：定义*||||sinθ，θ是向量和的夹角，||，||是两向量的模，若点A（﹣3，2），B（2，3），O为坐标原点，则*（　　）
解：∵A（﹣3，2），B（2，3），
∴3×2+2×3＝0，
∴sinθ＝1．
∴*13．
点评：这个题拿来当例题主要是这个题很新颖，很适合高考求变的胃口．其实这个题求的就是他们的最大值，只是多了一个确认的步奏．
【命题方向】
向量和差的模的极值也是一个比较重要的知识点，大家要引起重视，特别是新大纲还增加了向量的知识点，体现了对向量这一块的重视，那么就更加要熟悉这一部分的考点．
20．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时λ＝　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：∵，而 ||||cos，2，
∴cos，，，∈[[0，π]，∴，
∴||2，
||2，2||＝4，
∵向量满足|22|＝||，∴|22|，
如图所示，
若，，2（），，
则，，
∴||＝|2（）|＝2，∴C在以E为圆心，2为半径的圆上，
若，则，
由图象可得当且仅当E，C，D三点共线且ED⊥OD时，||最小，即（λ∈R）取最小值，
此时，，
又，，∴λ＝3．
故答案为：3．
21．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且||∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是　6　 ．
【答案】6
【解答】解：如图，设，，
由||＝1，且||∈{1，2}，
分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的k的最大值为6．
故答案为：6
▉题型6 平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥ λ
（2）向量数乘运算的法则
①1；（﹣1）；
②（λμ）λ（μ）μ（λ）；
③（λ+μ）λμ；
④λ（）＝λλ．
一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示．
22．已知D为△ABC所在平面内的一点，，E为CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为E为CD的中点，所以，
又，
所以．
故选：A．
23．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
【答案】C
【解答】解：点O是BC的中点，，，m＞0，n＞0，
由题意，，又M，O，N共线，则m+n＝2，
且m＞0，n＞0，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9．
故选：C．
24．在平行四边形ABCD中，，点F是线段DE的中点，若，则μ＝（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由，F是DE的中点，
可得
，
所以．
故选：C．
25．在△ABC中，点D满足，且AB＝2CD，则∠ACB＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由，可得D为AB的中点，
因为AB＝2CD，所以AD＝BD＝CD，
则∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
而∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝π，
则，
即∠ACB＝∠ACD+∠BCD．
故选：D．
26．如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵E、G、F三点共线，
∴设，
∵，F为BC的中点，
∴，，
则，
又，
∴，解得．
故选：B．
27．已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则xy＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得：
，
又因为，即，
所以．
故选：B．
28．在平行四边形ABCD中，E是CD边上靠近点C的三等分点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，E是CD边上靠近点C的三等分点，
则有，
在平行四边形ABCD中，
，
，
所以．
故选：A．
▉题型7 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
29．向量在向量方向上的数量投影为 　4　 ．
【答案】4
【解答】解：向量（3，5），（1，1），
∴1×3+1×5＝8，||，
所以在方向上的数量投影为||cosθ4．
故答案为：4．
▉题型8 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 　①②　 ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
30．如图，在正八边形ABCDEFGH中，点O为正八边形的中心，点M，N分别是GH，CD边的中点，且MN⊥AF，点P是正八边形内一动点（含边界），已知OQ＝2，，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题可得Q为AF的中点，所以 （） 2 2||cos，，
当P在MN上的投影点与N重合时，在上的投影向量为，又因为因为OQ＝2，
所以2|| ||＝2×2×（2）＝816．
即的最大值为816．
故选：D．
31．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC+2ccosB＝a2，，O为△ABC的外心，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由及正弦定理，
可得，
即，而sinC≠0，
所以，即，
因为A∈（0，π），所以，
所以，解得，
由2bcosC+2ccosB＝a2及正弦定理，
可得2sinBcosC+2sinCcosB＝asinA，
即2sin（B+C）＝asinA，即2sin（π﹣A）＝asinA，
则有2sinA＝asinA，又sinA≠0，所以a＝2，
设△ABC的外接圆半径为R，
则，即，
又，
所以．
故选：C．
32．如图，正方形ABCD的边长为2．E为边BC的中点，F为边CD上一点，当取得最大值时，tan∠EAF＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
则由题意，A（0，0），E（2，1），设F（x，2），0≤x≤2，
，，
则2x+2，当x＝2时，取得最大值，
此时，，
故，
，
所以．
故选：B．
33．在△ABC中，∠ABC＝45°，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为在△ABC中，∠ABC＝45°，，，
所以．
故选：A．
34．在边长为1的正方形ABCD中，，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为在边长为1的正方形ABCD中，，F为线段BE上的动点，G为AF中点，
所以建系如图：
则，
设，
则，
，
由，
因t∈[0，1]，则当t＝1时，取得最小值为．
故答案为：．
▉题型9 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
35．如图，在△ABC中，，，，F为AD与BE的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设（λ，μ∈R），
∵A、F、D三点共线，B、F、E三点共线，
∴，解得，
则，
，
当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
36．记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，所以，
可得在方向上的投影向量为．
故选：C．
37．若向量，满足||＝3， 6，则在上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为||＝3， 6，
所以在上的投影向量为．
故选：D．
38．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．（3，3）
【答案】D
【解答】解：由，，可得，
，且，
则，，
则向量在向量上的投影向量为：
（3，3）．
故选：D．
（多选）39．在下列四个选项，其中正确的有（　　）
A．与向量同方向的单位向量
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为（1，2，2）
【答案】ACD
【解答】解：向量，
则||，
故与向量同方向的单位向量，故A正确；
对空间中任意一点O，有，
，
故P，A，B，C四点不共面，故B错误；
两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C正确；
向量，，
则9×1+4×2+（﹣4）×2＝9，，
故在上的投影向量为：（1，2，2），故D正确．
故选：ACD．
（多选）40．已知向量，，则（　　）
A．向量的夹角为
B．若，则λ＝﹣1
C．向量在向量上的投影向量为
D．若，则k＝﹣4
【答案】ABD
【解答】解：对于A，向量，，
则，，，
∴，又，
∴，A正确；
对于B，∵，
∴，解得：λ＝﹣1，B正确；
对于C，向量在向量上的投影向量为，C错误；
对于D，向量，，
则，，
∵若，∴﹣5（2﹣2k）＝5（﹣6+k），解得：k＝﹣4，D正确．
故选：ABD．
▉题型10 数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 　60°　 ．
解：cos60°+isin60°．
∴复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
41．已知向量，满足||＝||＝1，（1，1），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为（1，1），所以，
所以，
因为||＝||＝1，所以，
所以，
，
设与的夹角为θ，所以，
因为θ∈[0，π]，所以．
故选：B．
42．已知点，B（m，3），O为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，，
∵，的夹角为锐角，
∴且不存在实数λ使得，即，不共线，
①，∵，
∴，解得，
②，不共线，若，共线，则，
整理得2m2+m﹣6＝0，解得m＝﹣2或，
∴m≠﹣2且，综上，且．
故选：D．
43．已知向量，，设，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，，
所以，，
所以，，，
设与的夹角为θ，
则，
又θ∈[0，π]，所以，
即与的夹角为．
故选：C．
44．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，则与的夹角为钝角的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：若∥，则可得，解得m＝1且n＝2，
当θ为钝角时，，且不共线，
所以，即n＞2m﹣3，且n≠4﹣2m，
当m＝1时，有n＞﹣1且n≠2，所以n可取1、3、4、5、6；
当m＝2时，有n＞1，n可取2、3、4、5、6；
当m＝3时，有n＞3，n可取4、5、6；
当m＝4时，有n＞5，n可取6；
当m＝5或m＝6时，n＞2m﹣3＞6，此时无解．
综上所述，满足条件的m、n有14种可能，
根据先后抛掷两次，可知得到的样本点共36种，所以θ为钝角的概率．
故选：C．
45．设向量，满足||＝||＝1及|32|，则，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：将||平方，得，
由已知有：9+4﹣12cosθ＝7，∴，因为两个向量的夹角范围为：0≤θ≤π，
则θ．
故选：A．
▉题型11 数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有 1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量，垂直的向量可能为（　　）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵， （3，﹣4）5，∴A不成立；
对于B：∵， （﹣4，3），∴B不成立；
对于C：∵， （4，3），∴C成立；
对于D：∵， （4，﹣3），∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
46．已知向量，若与垂直，则实数m的值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：已知向量，若与垂直，
故，故m．
故选：B．
47．已知（x，1），（3﹣x，﹣2），且⊥，则实数x＝（　　）
A．﹣3 B．6 C．﹣1或﹣2 D．1或2
【答案】D
【解答】解：已知（x，1），（3﹣x，﹣2），且⊥，
可得x（3﹣x）﹣2＝0，解得x＝1或2．
故选：D．
48．已知向量满足2且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
则，即，即，
，即，
故，解得||．
故选：D．
49．已知向量，满足||＝2，⊥（2），且（1，1），则||＝（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解答】解：因为，所以，即，
又因为，所以，
又，所以，
所以，所以，所以．
故选：D．
50．已知向量，，若，则（　　）
A．2m﹣n＝0 B．2m+n＝0 C．m﹣2n＝0 D．m+2n＝0
【答案】B
【解答】解：向量，，
则，（0，3），
若，
则3（2m+n）＝0，即2m+n＝0．
故选：B．

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