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第9章第3节 向量基本定理及坐标表示
题型1 平面向量的基底 题型2 用平面向量的基底表示平面向量
题型3 平面向量加减法的坐标运算 题型4 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
题型5 平面向量数量积的坐标运算 题型6 平面向量共线（平行）的坐标表示
▉题型1 平面向量的基底
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣基底表示：将任意向量表示为基底向量的线性组合．
﹣转换基底：在不同基底下转换向量表示时，使用相应的基底向量．
1．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于A，假设共线，则存在λ∈R，使得，
因为，不共线，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，
也即 不共线，则能作为基底；
对于B，假设，共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ能使该等式成立，即假设不成立，
也即，不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，也即23， 不共线，则能作为基底．
故选：C．
2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：因为，所以不能作为平面向量的基底，A错误；
因为不存在实数λ，使得，所以不共线，
所以能作为平面向量的基底，B正确；
因为，所以不能作为平面向量的基底，C错误；
因为，所以不能作为平面向量的基底，D错误．
故选：B．
3．下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：只要两向量不共线即可作为基底，
A.，∴共线，不能作为基底；
B．﹣1×7﹣2×5≠0，∴不共线，可以作为基底；
C.3×10﹣5×6＝0，∴，∴不能作为基底；
D.2×9﹣3×6＝0，∴，∴不能作为基底．
故选：B．
（多选）4．已知，是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（　　）
A．和
B．32和﹣64
C．2和2
D．和
【答案】ACD
【解答】解：由题意，与不共线，则有：
选项A，设，则有，无解，
即与不共线，故A中向量可作基底，
同理可判定，选项C、D中向量也不共线，可作为基底，
选项B中，2（），两向量共线，
不能作为平面向量的基底．
故选：ACD．
5．设平面向量，，若不能组成平面上的一个基，则x＝　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：若不能组成平面上的一个基，则，
结合，，可得2x﹣4＝0，解得x＝2．
故答案为：2．
▉题型2 用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣表示转换：将向量写成基底向量的线性组合．例如，用基底和表示为．
﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．
6．已知向量，是平面α的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“l∥α”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：当共面时，直线l可能在平面α内，故“充分性”不成立．
所以是必要不充分条件．
当l∥α时，由于是不共线的向量，故可用作为基底表示出来，
即共面，所以“必要性”成立．
故选：B．
7．在△ABC中，点D在BC边上，且，设，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为点D在BC边上，且，
所以
．
故选：C．
8．在△ABC中，，若，则实数x的值为（　　）
A． B． C． D．﹣1
【答案】D
【解答】解：根据，可得3（），整理得，
由已知，即x（）＝（﹣x），
根据平面向量基本定理，可得﹣x，所以x1．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是线段AD上的一点，若，则x＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，D为BC的中点，E是线段AD上的一点，
设，
则
，
又，
则有，解得．
故选：C．
10．已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：A选项，，故共线，故A选项错误；
B选项，，故共线，故B选项错误；
C选项，，故共线，故C选项错误；
D选项，设，λ∈R，则，
所以，λ无解，故不共线，故D选项正确．
故选：D．
▉题型3 平面向量加减法的坐标运算
【知识点的认识】
﹣向量加法：如果和，则．
﹣向量减法：如果和，则．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．
﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．
11．已知，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（　　）
A．（﹣15，31） B．（15，﹣31） C．（3，7） D．（﹣3，﹣7）
【答案】D
【解答】解：因为（2，1），（﹣3，4），
所以，，
由题意，，则．
故选：D．
12．已知，则（　　）
A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以（2，﹣4）．
故选：A．
13．已知P1（﹣1，2），P2（3，0），点P满足，则点P的坐标为 　（1，1）　 ．
【答案】（1，1）．
【解答】解：因为P1（﹣1，2），P2（3，0），点P满足，
可得P为P1和P2的中点，
则点P的坐标为（，），即（1，1）．
故答案为：（1，1）．
14．已知A（﹣2，1），B（1，3），C（2，4），D（6，7）．
（1）证明：A，C，D三点共线．
（2）若，求．
【答案】（1）证明见详解；
（2）．
【解答】解：（1）证明：由题可得：，
可知，即共线，又有公共点A，
所以A，C，D三点共线．
（2）由（1）可知：，
所以．
15．已知向量．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量的模．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为向量，
所以，
；
（2）因为向量，
所以，
所以．
▉题型4 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
【知识点的认识】
﹣数乘：对向量进行标量k的数乘，结果为．
﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．
【解题方法点拨】
﹣数乘计算：将向量的每个分量乘以标量k，得到数乘结果．
﹣线性运算应用：在计算问题中应用线性运算规则，如向量的缩放和组合问题．
16．已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（　　）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】A
【解答】解：根据（1，），可得||2，
所以与同向的单位向量为 （1，）＝（）．
故选：A．
17．漏窗，俗称花墙头、花墙洞、漏花窗、花窗，在中国传统园林建筑中一种满格的装饰性透空窗，透过漏窗可隐约看到窗外景物．漏窗是中国古代的重要文化遗产之一，体现着古代劳动人们的高超技艺和伟大的智慧，在苏州园林中的应用达到如火纯青，直到现在，还被引用在建筑中，非常的美观．如图1是正八边形漏窗，在图2的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，，则λ＝（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：正八边形每个内角为135°，故现可设正八边形每个边长为2，
以正八边形的中心为原点，建系O（0，0），O'（1，1），连接O'A6，O'A5，
可得，
∴，，
同理，，，，
∴，，，
，
∴，
∴．
故选：B．
18．已知向量，，．若，则（　　）
A．（3，4） B．（13，4） C．（﹣3，﹣4） D．（9，8）
【答案】B
【解答】解：∵，
∴，
∴x＝13，y＝4，
∴．
故选：B．
19．已知向量，，若，则实数t＝　﹣6　 ．
【答案】﹣6．
【解答】解：由，向量，，
则得，解得t＝﹣6．
故答案为：﹣6．
20．已知向量满足，则　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：将已知条件两式相加，可得，即，
两式相减，可得，即．
故．
故答案为：﹣1．
▉题型5 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
21．已知，，，则m＝（　　）
A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2
【答案】A
【解答】解：因为，，
因为，
因为，可得 （）＝0，
即1×2+2×（2﹣m）＝0，
解得m＝3．
故选：A．
22．设向量，，则（　　）
A．“x＝﹣1”是“”的必要条件
B．“x＝﹣3”是“”的必要条件
C．“x＝﹣2”是“”的充分条件
D．“x＝0”是“”的充分条件
【答案】D
【解答】解：对于AC， x+2＝x2 x＝﹣1或2，
所以“x＝﹣1”是“”的充分不必要条件，
且“x＝﹣2”是“”的既不充分也不必要条件，
所以AC两项均错误；
对于BD， （x+2）x+x＝0 x＝0或﹣3，
所以“x＝﹣3”是“”的充分且不必要条件，
且“x＝0”是“”的充分条件，可知B项错误且D项正确．
故选：D．
23．已知向量，，若，则k＝（　　）
A．﹣5 B． C． D．5
【答案】C
【解答】解：根据题意，可得k（﹣k+2，k﹣3），
因为，且，
所以（k） 2（﹣k+2）﹣3（k﹣3）＝0，解得．
故选：C．
24．已知向量，，若，则实数λ＝（　　）
A．﹣9 B．﹣1 C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意可得，．
因为，所以，
所以4×（1﹣3λ）+（﹣1）×（﹣2﹣λ）＝0，解得．
故选：D．
25．已知向量（1，0），，若||＝||，则||＝（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解答】解：向量（1，0），，
∴（，m），
∵||＝||，
∴1，
解得m2，
则||1．
故选：C．
▉题型6 平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
26．已知，，若，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由，，得，，
若，则5（2+λ）＝5（1﹣2λ），解得λ．
故选：B．
27．已知向量，若∥，则λ+μ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【解答】解：因为，
所以
因为∥，
所以﹣（1+μ）＝λ，所以λ+μ＝﹣1．
故选：B．
28．已知向量（3，λ），（﹣2，1），若∥，则λ＝（　　）
A． B． C．﹣6 D．6
【答案】A
【解答】解：向量（3，λ），（﹣2，1），∥，
则﹣2λ＝3×1，解得．
故选：A．
29．已知向量，，若，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解答】解：由，可得1﹣3x＝0，
解得．
故选：D．
30．已知向量，，若，则k＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：，．
则﹣4（3﹣k）＝7（﹣1+2k），解得．
故选：B．
31．已知向量，，且∥，则实数λ＝（　　）
A．﹣5 B．﹣10 C．5 D．10
【答案】C
【解答】解：向量，，
则，
因为∥，
所以，解得λ＝5．
故选：C．
32．已知向量（1，﹣m），（3m+2，﹣1），且∥，则m＝（　　）
A．﹣1或 B．3 C． D．﹣1
【答案】A
【解答】解：因为向量（1，﹣m），（3m+2，﹣1），且∥，
所以，即3m2+2m﹣1＝0，解得m＝﹣1或m．
故选：A．
33．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
【答案】A
【解答】解：点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，设点P的坐标为（x，y），
则（x﹣3，y+2）（﹣8，1）＝（﹣4，），
∴x﹣3＝﹣4，y+2，求得x＝﹣1，y，故点C的坐标为（﹣1，），
故选：A．
34．已知平面向量与共线，则y＝（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：，，
则4y＝﹣1×2，解得．
故选：C．第9章第3节 向量基本定理及坐标表示
题型1 平面向量的基底 题型2 用平面向量的基底表示平面向量
题型3 平面向量加减法的坐标运算 题型4 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
题型5 平面向量数量积的坐标运算 题型6 平面向量共线（平行）的坐标表示
▉题型1 平面向量的基底
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣基底表示：将任意向量表示为基底向量的线性组合．
﹣转换基底：在不同基底下转换向量表示时，使用相应的基底向量．
1．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）4．已知，是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（　　）
A．和
B．32和﹣64
C．2和2
D．和
5．设平面向量，，若不能组成平面上的一个基，则x＝　　 ．
▉题型2 用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣表示转换：将向量写成基底向量的线性组合．例如，用基底和表示为．
﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．
6．已知向量，是平面α的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“l∥α”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．在△ABC中，点D在BC边上，且，设，，则（　　）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，，若，则实数x的值为（　　）
A． B． C． D．﹣1
9．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是线段AD上的一点，若，则x＝（　　）
A． B． C． D．
10．已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（　　）
A．
B．
C．
D．
▉题型3 平面向量加减法的坐标运算
【知识点的认识】
﹣向量加法：如果和，则．
﹣向量减法：如果和，则．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．
﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．
11．已知，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（　　）
A．（﹣15，31） B．（15，﹣31） C．（3，7） D．（﹣3，﹣7）
12．已知，则（　　）
A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C． D．
13．已知P1（﹣1，2），P2（3，0），点P满足，则点P的坐标为 　　 ．
14．已知A（﹣2，1），B（1，3），C（2，4），D（6，7）．
（1）证明：A，C，D三点共线．
（2）若，求．
15．已知向量．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量的模．
▉题型4 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
【知识点的认识】
﹣数乘：对向量进行标量k的数乘，结果为．
﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．
【解题方法点拨】
﹣数乘计算：将向量的每个分量乘以标量k，得到数乘结果．
﹣线性运算应用：在计算问题中应用线性运算规则，如向量的缩放和组合问题．
16．已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（　　）
A．
B．或
C．
D．或
17．漏窗，俗称花墙头、花墙洞、漏花窗、花窗，在中国传统园林建筑中一种满格的装饰性透空窗，透过漏窗可隐约看到窗外景物．漏窗是中国古代的重要文化遗产之一，体现着古代劳动人们的高超技艺和伟大的智慧，在苏州园林中的应用达到如火纯青，直到现在，还被引用在建筑中，非常的美观．如图1是正八边形漏窗，在图2的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，，则λ＝（　　）
A． B． C． D．2
18．已知向量，，．若，则（　　）
A．（3，4） B．（13，4） C．（﹣3，﹣4） D．（9，8）
19．已知向量，，若，则实数t＝　　 ．
20．已知向量满足，则　　 ．
▉题型5 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
21．已知，，，则m＝（　　）
A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2
22．设向量，，则（　　）
A．“x＝﹣1”是“”的必要条件
B．“x＝﹣3”是“”的必要条件
C．“x＝﹣2”是“”的充分条件
D．“x＝0”是“”的充分条件
23．已知向量，，若，则k＝（　　）
A．﹣5 B． C． D．5
24．已知向量，，若，则实数λ＝（　　）
A．﹣9 B．﹣1 C． D．
25．已知向量（1，0），，若||＝||，则||＝（　　）
A． B． C．1 D．
▉题型6 平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
26．已知，，若，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
27．已知向量，若∥，则λ+μ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
28．已知向量（3，λ），（﹣2，1），若∥，则λ＝（　　）
A． B． C．﹣6 D．6
29．已知向量，，若，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．
30．已知向量，，若，则k＝（　　）
A． B． C． D．
31．已知向量，，且∥，则实数λ＝（　　）
A．﹣5 B．﹣10 C．5 D．10
32．已知向量（1，﹣m），（3m+2，﹣1），且∥，则m＝（　　）
A．﹣1或 B．3 C． D．﹣1
33．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
34．已知平面向量与共线，则y＝（　　）
A．﹣1 B． C． D．1

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