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第9章第4节 向量应用
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量的综合题
▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
1．向量与的夹角为120°，||＝2，||＝4，则在上的投影等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．向量在向量方向上的数量投影为 　　 ．
3．已知A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影数量为　 ．
▉题型2 平面向量的综合题
【知识点的认识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
4．在锐角△ABC中，，若点O为△ABC的外心，且，实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）看作一个向量，记，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，z1，z2，z3，z4∈C，规定如下运算法则：
①；
②；
③；
④．
则下列结论错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，则
C．
D．
6．下列说法正确的是（　　）
A．若两个非零向量共线，则A，B，C，D必在同一直线上
B．若与共线，与共线，则与也共线
C．若，则
D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°
7．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且，若P为△ABC的费马点，则（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．
（多选）8．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，规定如下运算法则：①；②；③；④．则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则的取值范围为
（多选）9．如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝10，∠BAC＝60°，BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，AM、BN相交于点P，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．△ABC的内切圆的半径为
C．与夹角的余弦值为
D．过点P作直线交线段AB和BC于点E、F，则的取值范围是
（多选）10．已知点O为△ABC所在平面内一点，满足，（其中λ，μ∈R）（　　）
A．当λ＝μ时，直线OC过边AB的中点
B．若λ＝2，μ＝3时，△AOB与△AOC的面积之比为2：3
C．若，且λ＝μ＝1，则
D．若，且，则λ，μ满足λ2+μ2＝1
（多选）11．已知，是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（　　）
A． B． C． D．1
（多选）12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M是△ABC的重心
B．若，则点M在边BC的延长线上
C．若O在△ABC所在的平面内，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，满足以下条件，则
D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的
13．已知扇形AOB半径为1，∠AOB＝60°，弧AB上的动点P满足，则λ+μ的取值范围为　 ．
14．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b＝7，D是边AC上一点．
（1）求△ABC外接圆的半径；
（2）若BD是∠ABC的平分线，且△ABC的周长为15，求线段BD的长；
（3）若，且，求△ABC的面积．
15．给定平面上一些点的集合D及若干个点P1，P2， ，Pn，Pi∈D（i＝1，2， ，n），若对于 P∈D，为定值，我们就称（D，P1，P2， ，Pn）为一个稳定点集．
（1）判断集合D＝{（x，y）|x≥0，y≥0，x+y≤2}与点P1（0，0），P2（2，0），P3（0，2）构成的（D，P1，P2，P3）是不是稳定点集，并说明理由；
（2）判断集合U＝{（x，y）|x2+y2＝2}，以及点A（1，1），B（1，﹣1），C（﹣1，1），D（﹣1，﹣1）构成的（U，A，B，C，D）是不是稳定点集，并说明理由；
（3）若集合D＝{（x，y）|x2+y2＝1}及单位圆O：x2+y2＝1中的内接2024边形的顶点P1，P2， ，P2024构成的（D，P1，P2，…，P2024）是一个稳定点集，求的值．
16．已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边，且c＝4，b＝5，a＝6，线段BC边对应的高为AD，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H．
（1）求△ABC中高AD的长度；
（2）若∠BAC的角平分线交BC于E，求证；
（3）欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是G，O，H，则G，O，H三点共线，且|OH|＝3|OG|．请合理运用欧拉线定理，求的值．
17．定义函数f（x）＝asinx+bcosx的“积向量”为，向量的“积函数”为f（x）＝asinx+bcosx．
（1）若a＝1，，求f（x）最大值及对应x的取值集合；
（2）若向量的“积函数”f（x）满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为g（x），其最大值为t，求（t﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时，的关系．
18．三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知点D是AB的中点，点E在线段BC上，且BE＝2EC，线段CD与线段AE交于M．（b+c）（sinB﹣sinC）＝（a﹣c）sinA，S△ABC．
（1）求角B的大小；
（2）若xy，求x+y的值；
（3）若点G是三角形ABC的重心，求||的最小值．
19．如图，设Ox、Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系，在α仿射坐标系中，若，则记．
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在α仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求cosα的值；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值．
20．定义：设O为坐标原点，若非零向量，函数f（x）的解析式满足f（x）＝asinx+bcosx，则称f（x）为的伴随函数，为f（x）的伴随向量．
（1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
（2）若函数f（x）为向量的伴随函数，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（C）恰好为函数f（x）的最大值．
（i）若∠ACB的角平分线交AB于点D，c＝2，求CD的最大值；
（ii）在锐角△ABC中，求的范围．
21．定义函数f（x）＝msinx+ncosx的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为f（x）＝msinx+ncosx，其中O为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为f（x），求f（x）在x∈R的值域；
（2）若函数的“源向量”为，且以O为圆心，为半径的圆内切于正△ABC（顶点C恰好在y轴的正半轴上），求证：为定值；
（3）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数h（x）的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
22．锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知（b+c）（sinB﹣sinC）＝（a﹣c）sinA，S△ABC，点D是AB的中点，点E在线段BC上，且BE＝2EC，线段CD与线段AE交于点M．
（1）求角B的大小；
（2）若，求x+y的值；
（3）若点G是三角形ABC的重心，求||的最小值．第9章第4节 向量应用
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量的综合题
▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
1．向量与的夹角为120°，||＝2，||＝4，则在上的投影等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：，
在上的投影为 ，
故选：B．
2．向量在向量方向上的数量投影为 　4　 ．
【答案】4
【解答】解：向量（3，5），（1，1），
∴1×3+1×5＝8，||，
所以在方向上的数量投影为||cosθ4．
故答案为：4．
3．已知A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影数量为　　 ．
【答案】
【解答】解：∵C（﹣2，﹣1），D（3，4），∴（5，5），
同理可得（2，1），
∴5×2+5×1＝15，5
设、的夹角为α，
则向量在方向上的投影数量为||cosα
故答案为：
▉题型2 平面向量的综合题
【知识点的认识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
4．在锐角△ABC中，，若点O为△ABC的外心，且，实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为O为△ABC的外心，且，
所以，
所以，
，
即，
由圆的性质有∠AOB＝2∠C，∠AOC＝2∠B，设△ABC的外接圆半径为R，
则，
由于二倍角公式可得，
即﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）＝﹣m，
故，
故，故，
因为，故，又cos2A+sin2A＝1，可得，
由于角A为锐角，所以，即，
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）看作一个向量，记，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，z1，z2，z3，z4∈C，规定如下运算法则：
①；
②；
③；
④．
则下列结论错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，则
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于A，2i+3i+2+i2＝1+5i；故A正确；
对于B，若，则，
所以z1＝z2＝0，
所以，故B正确；
对于C，，
而，
设z1＝x1+y1i，z2＝x2+y2i，z3＝x3+y3i，z4＝x4+y4i，x1，y1，x2，y2，x3，y3，x4，y4∈R，
则x1﹣y1i，x2﹣y2i，x3﹣y3i，x4﹣y4i，
则
＝（x1x3+y1y3+x2x4+y3y4）+（﹣x1y3+x3y1﹣x2y4+x4y2）i，
＝（x1x3+y1y3+x2x4+y3y4）﹣（﹣x1y3+x3y1﹣x2y4+x4y2）i，
所以与互为共轭复数，不一定相等，故C错误；
对于D，设，
则（z3+z5，z4+z6），
则将，代入可得：
，故D正确．
故选：C．
6．下列说法正确的是（　　）
A．若两个非零向量共线，则A，B，C，D必在同一直线上
B．若与共线，与共线，则与也共线
C．若，则
D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°
【答案】D
【解答】解：若两个非零向量，共线，则线段AB与线段CD平行或在一条直线上，故A错误；
若，满足向量与平行，与平行，但与不一定平行，故B错误；
若，则与方向不一定相同，则不一定成立，故C错误；
若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°，故D正确．
故选：D．
7．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且，若P为△ABC的费马点，则（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．
【答案】D
【解答】解：因为，
角A，B，C为三角形ABC的内角，
则A+B+C＝π，
，
所以，
即．因为sinC≠0，所以．
因为B∈（0，π），所以．
由三角形内角和性质可知，△ABC的三个内角均小于120°，结合题设易知P点一定在△ABC的内部．
由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accosB＝3，
解得，
所以|PA| |PB|+|PB| |PC|+|PA| |PC|＝3，
所以．
故选：D．
（多选）8．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，规定如下运算法则：①；②；③；④．则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则的取值范围为
【答案】ACD
【解答】解：对于选项A，选项B，
∵，∴，，故选项A正确，选项B错误；
对于选项C，
设，则，∴，，，
∴，故选项C正确；
对于选项D，
∵，
∵θ∈R，∴0≤sin2θ≤1，∴，
∴的取值范围为，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）9．如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝10，∠BAC＝60°，BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，AM、BN相交于点P，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．△ABC的内切圆的半径为
C．与夹角的余弦值为
D．过点P作直线交线段AB和BC于点E、F，则的取值范围是
【答案】ACD
【解答】解：对于A，在△ABC中，AB＝4，AC＝10，
由余弦定理得，解得（负根舍去），则A正确；
对于B，设△ABC的内切圆的半径为r，则，即C△ABCr＝AB×ACsinA，
即，解得，故B错误；
对于C，如图所示
以A为原点，建立平面直角坐标系，易知A（0，0），C（10，0），设B（x，y），
由两点间距离公式得x2+y2＝16，（x﹣10）2+y2＝76，
解得x＝2，（负根舍去），
故，由中点坐标公式得N（5，0），，
故，，设与的夹角为θ，
故，故C正确；
对于D，易知由于BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，
而P是△ABC两条中线的交点，故P是△ABC的重心，所以，
设，，，
由于P在直线EF上，所以（）＝1，即，
而0＜p≤1，0＜q≤1，所以，
故得2，
所以pq，pq，
故得pq．，
则，
，
，
由于，4]，
，则D正确，
故选：ACD．
（多选）10．已知点O为△ABC所在平面内一点，满足，（其中λ，μ∈R）（　　）
A．当λ＝μ时，直线OC过边AB的中点
B．若λ＝2，μ＝3时，△AOB与△AOC的面积之比为2：3
C．若，且λ＝μ＝1，则
D．若，且，则λ，μ满足λ2+μ2＝1
【答案】AD
【解答】解：对于A，设AB的中点为D，当λ＝μ时，λμ2λ，
即O，C，D三点共线，直线OC过边AB的中点，选项A正确；
对于B，延长OA至A′，使OA′＝3OA，延长OB至B′，使OB′＝2OB，
连接A′B′，设其中点为E，连接OE并延长至C'，使EC′＝EO，
连接A′C′，B′C′，则四边形OA′C′B′是平行四边形，
所以23，λ＝2，μ＝3时，23，
所以，即C，O，C′三点共线，且，
根据同底等高三角形面积相等，则S△AOC＝S△AOC′＝S△AOB′＝2S△AOB，
即△AOB与△AOC的面积之比为1：2，选项B错误；
对于C，由于且λ＝μ＝1时，，
故O为△ABC的外心和重心，故△ABC为等边三角形，
则∠BAO＝30°，由可得，
故，选项C错误；
对于D，因为，且，
由得，，
所以，即λ2+μ2＝1，选项D正确．
故选：AD．
（多选）11．已知，是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】CD
【解答】解：根据题意，设，，，
若，则，∠AOB＝60°，
又由，是平面内的两个单位向量，则∠BOE＝AOE＝30°，如图：
设t（）＝t（），过点C作CD⊥OB，垂足为D，连接AC，过点A作AM⊥OB，垂足为M，
则|t（）|＝||＝||，∠BOE＝30°，则|t（）|||＝||，
则有|t（）||t（）|＝||+||≥||，（当且仅当ACM三点共线时等号成立）
故|t（）||t（）|的最小值为，
故选：CD．
（多选）12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M是△ABC的重心
B．若，则点M在边BC的延长线上
C．若O在△ABC所在的平面内，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，满足以下条件，则
D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的
【答案】ACD
【解答】解：对于选项A，，所以，
因此，
因此点M是△ABC的重心，因此A选项正确；
对于选项B，如果，那么，
因此点M在边BC的反向延长线上，因此B选项错误；
如图，对于选项C，延长OC到D，使得，同理，
由于，因此，
以OE，OD为邻边作出平行四边形ODGE，因此，
所以，所以，
由于，
所以同理，
，
因此，所以选项C正确；
如图，对于选项D，设M为AD中点，
因为，
因此，所以，
根据，
因此2x+2y＝1，因此D，C，B三点共线，
因此．所以选项D正确．
故选：ACD．
13．已知扇形AOB半径为1，∠AOB＝60°，弧AB上的动点P满足，则λ+μ的取值范围为　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如下图所示：
所以可得，B（1，0），
若，则P（cosθ，sinθ），
，，，
因为，
所以可得，
故可以得到，
解得，，
，
因为，所以，
所以，当时，，
当θ＝0时，，
所以λ+μ的取值范围为，
故答案为：．
14．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b＝7，D是边AC上一点．
（1）求△ABC外接圆的半径；
（2）若BD是∠ABC的平分线，且△ABC的周长为15，求线段BD的长；
（3）若，且，求△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意知，b（sinA﹣cosC）＝（c﹣a）cosB，
由正弦定理得sinB（sinA﹣cosC）＝（sinC﹣sinA）cosB，
即sinBsinA+sinAcosB＝sinBcosA+cosBsinC＝sin（B+C），
因为sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，
所以sinBsinA+sinAcosB＝sinA，
因为A∈（0，π），所以sinA≠0，
所以sinB+cosB＝1，即2sin（B）＝1，所以sin（B），
因为B∈（0，π），所以B∈（，），所以，，
令△ABC外接圆的半径为R，
根据正弦定理可得，解得R；
（2）由（1）知B，
在△ABC中，由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2+ac，
所以a2+c2+ac＝49，即（a+c）2﹣ac＝49，
因为△ABC的周长为15，b＝7，所以a+c＝8，
所以82﹣ac＝49，解得ac＝15，
因为，
因为BD是∠ABC的平分线，
所以（a+c） BD，
由a+c＝8，解得；
（3）因为，
所以，
又，所以，即a2+c2﹣ac＝19，
又a2+c2+ac＝49，解得ac＝15，
所以．
15．给定平面上一些点的集合D及若干个点P1，P2， ，Pn，Pi∈D（i＝1，2， ，n），若对于 P∈D，为定值，我们就称（D，P1，P2， ，Pn）为一个稳定点集．
（1）判断集合D＝{（x，y）|x≥0，y≥0，x+y≤2}与点P1（0，0），P2（2，0），P3（0，2）构成的（D，P1，P2，P3）是不是稳定点集，并说明理由；
（2）判断集合U＝{（x，y）|x2+y2＝2}，以及点A（1，1），B（1，﹣1），C（﹣1，1），D（﹣1，﹣1）构成的（U，A，B，C，D）是不是稳定点集，并说明理由；
（3）若集合D＝{（x，y）|x2+y2＝1}及单位圆O：x2+y2＝1中的内接2024边形的顶点P1，P2， ，P2024构成的（D，P1，P2，…，P2024）是一个稳定点集，求的值．
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）是，理由见解析；
（3）0．
【解答】解：（1）根据定义：若对于 P∈D，为定值，
我们就称（D，P1，P2， ，Pn）为一个稳定点集．
不是稳定点集，理由如下：
取Q1（0，0），则；
取Q1（﹣2，0），Q2（2，0），则，
故（D，P1，P2，P3）不是稳定点集．
（2）是稳定点集，
设 P∈U，P（x0，y0），则，
则
，为定值，
所以（U，A，B，C，D）是稳定点集．
（3）由题：集合D＝{（x，y）|x2+y2＝1}及单位圆O：x2+y2＝1，
中的内接2024边形的顶点P1，P2， ，P2024构成的（D，P1，P2，…，P2024）是一个稳定点集，
设P是单位圆上任意一点，故为定值，
所以，
因为，故，
因为为定值，故为定值，
因为P是单位圆上任意一点，故，故．
16．已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边，且c＝4，b＝5，a＝6，线段BC边对应的高为AD，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H．
（1）求△ABC中高AD的长度；
（2）若∠BAC的角平分线交BC于E，求证；
（3）欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是G，O，H，则G，O，H三点共线，且|OH|＝3|OG|．请合理运用欧拉线定理，求的值．
【答案】；
（2）证明见解析；
（3）．
【解答】解：（1）△ABC中，c＝4，b＝5，a＝6，
由余弦定理得cosA，
所以sinA；
根据面积相等知，，
解得：AD；
（2）连接AI延长交BC于点E，如图所示：
根据角平分线定理知：，
则；
又在△ABE中，BI平分∠B，
根据角平分线定理知：，
；
根据欧拉线定理知：；
所以，
；
所以，
所以．
17．定义函数f（x）＝asinx+bcosx的“积向量”为，向量的“积函数”为f（x）＝asinx+bcosx．
（1）若a＝1，，求f（x）最大值及对应x的取值集合；
（2）若向量的“积函数”f（x）满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为g（x），其最大值为t，求（t﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时，的关系．
【答案】（1）最大值为2，x的取值集合为；
（2）；
（3）最小值为，此时．
【解答】解：（1）若a＝1，，则由题意，
可得，
当，k∈Z，即，k∈Z时，
函数有最大值2，
此时对应x的取值集合为；
（2）由“积函数”f（x）满足，
可得，
令，则有，
所以，k∈Z，即，k∈Z，
所以；
（3）因为，，
所以
＝（2λcosα+2μcosβ，2λsinα﹣2μsinβ），
所以g（x）＝（2λcosα+2μcosβ）sinx+（2λsinα﹣2μsinβ）cosx
＝2λsin（x+α）+2μsin（x﹣β）≤2λ+2μ，
此时存在x0满足，k1∈Z，k2∈Z，
当且仅当x＝x0时等号成立，
所以α+β＝2（k1﹣k2）π，即α＝﹣β+2kπ，k∈Z，
所以2λsin（x+α）+2μsin（x﹣β）＝2λsin（x﹣β）+2μsin（x﹣β）
＝（2λ+2μ）sin（x﹣β）≤（2λ+2μ）成立，
且，则t＝2λ+2μ，
所以，
当t＝1时，（t﹣2）（λ+μ）取得最小值为．
18．三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知点D是AB的中点，点E在线段BC上，且BE＝2EC，线段CD与线段AE交于M．（b+c）（sinB﹣sinC）＝（a﹣c）sinA，S△ABC．
（1）求角B的大小；
（2）若xy，求x+y的值；
（3）若点G是三角形ABC的重心，求||的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由题意，（b+c）（sinB﹣sinC）＝（a﹣c）sinA，
由正弦定理，可得（b+c）（b﹣c）＝（a﹣c）a，
整理得a2+c2﹣b2＝ac，
故，
因为B∈（0，π），所以；
（2）如图，
由题意可得，
因为A，E，M三点共线，
故可设，
又因D，C，M三点共线，
故，解得，
所以，
故；
（3）因为，
所以，
因为，所以ac＝1，
于是，两边平方化简得：
4a2﹣2ac+c2≥4ac﹣2ac＝2ac＝2，
当且仅当2a＝c时取等号，
所以，即，
所以的最小值为．
19．如图，设Ox、Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系，在α仿射坐标系中，若，则记．
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在α仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求cosα的值；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由题意得：又因为、分别为Ox、Oy同向的单位向量，，
所以；
（2）由，，可得，，
则，
，
6﹣10，
根据与的夹角为可得：
，
解得，即，所以cosoα的值为；
（3）依题意设B（m，0），C（0，n）（m＞0，n＞0），且，
BC＝1，，
因为F为BC为中点，，
因为E为BD中点，同理可得，
所以，
由题意可知，，，
则
，
在△OBC中依据余弦定理得m2+n2﹣mn＝1，
所以mn＝m2+n2﹣1，代入上式得，
，
在△OBC中，由正弦定理，
设∠BCO＝θ，则，且，
所以，，
，
φ为锐角，且，因为，则，
故当时，8m2+5n2取最大值，
则．
20．定义：设O为坐标原点，若非零向量，函数f（x）的解析式满足f（x）＝asinx+bcosx，则称f（x）为的伴随函数，为f（x）的伴随向量．
（1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
（2）若函数f（x）为向量的伴随函数，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（C）恰好为函数f（x）的最大值．
（i）若∠ACB的角平分线交AB于点D，c＝2，求CD的最大值；
（ii）在锐角△ABC中，求的范围．
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）．
【解答】解：（1）由已知得：，
根据题意可知：；
（2）（i）根据题意由可知：f（x）＝24sin x+7cosx，
利用辅助角公式得：，
其中，，当时，
f（x）取到最大值f（C），所以，则，
同理，
由二倍角公式得：，
如图，由三角形面积可得：，
可得ab﹣b，
再由余弦定理得：，
因为，
所以，则，
当且仅当时取等号；
（ii）利用正弦定理角化边可得：，因为，
再利用和差化积和积化和差可得：
．
代入，，
则，
当 A＝B时，取最大值1，利用已知函数，（a＞0）在（0，+∞）上单调递减，
可知是单调递减函数所以可得：，
当，时，
可得：，
此时可得，
，由于此三角形是锐角三角形，所以根据单调递减性可得：．
21．定义函数f（x）＝msinx+ncosx的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为f（x）＝msinx+ncosx，其中O为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为f（x），求f（x）在x∈R的值域；
（2）若函数的“源向量”为，且以O为圆心，为半径的圆内切于正△ABC（顶点C恰好在y轴的正半轴上），求证：为定值；
（3）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数h（x）的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
【答案】（1）[﹣2，2]；
（2）证明见解析；
（3）[﹣32，8）．
【解答】解：（1）函数f（x）的“源向量”为，
所以，
所以函数f（x）的值域为[﹣2，2]，
（2）因为，则，则AB＝6，
又，所以），
且，从而，
，
则
9cos2α+9sin2α+36＝45；
因此可得为定值．
（3）如下图所示：
函数h（x）的“源向量”为，
则h（x）＝cosx，则，
则，
则又，
即，
所以，
因为，即bc≤80，当且仅当b＝c时取等号，
又因为当顶点A无限接近顶点C，边b无限接近0，即bc无限接近0，
综上所述0＜bc≤80，
令，则，
从而，其中4＜t≤8，
所以，
即的取值范围[﹣32，8）．
22．锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知（b+c）（sinB﹣sinC）＝（a﹣c）sinA，S△ABC，点D是AB的中点，点E在线段BC上，且BE＝2EC，线段CD与线段AE交于点M．
（1）求角B的大小；
（2）若，求x+y的值；
（3）若点G是三角形ABC的重心，求||的最小值．
【答案】（1）B；
（2）x+y；
（3）．
【解答】解：（1）由（b+c）（sinB﹣sinC）＝（a﹣c）sinA，可得（b+c）（b﹣c）＝a（a﹣c），
整理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得cosB，结合B∈（0，π），可得B；
（2）根据，可得，
由D为AB中点，得，
结合与共线，可得，整理得2x+y﹣1＝0…①，
由得（x﹣1）y，由，可得，
结合与共线，可得，整理得2x+3y﹣2＝0…②．
①/②组成方程组，解得x，y，所以x+y；
（3）由（2）得，可得，
因为G为△ABC的重心，CD为AB边上的中线，所以（），
所以．
根据S△ABCBA BCsin，可得BA BC＝1，所以．
因为||2＝（）2
BA BC，当且仅当BA＝2BC时，等号成立．
因此，当BA、BC时，||2有最小值，此时||取得最小值．

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