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第10章第1节 两角和与差的三角函数
题型1 求两角和与差的三角函数值 题型2 两角和与差的三角函数的逆用
▉题型1 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）＝cosαcosβ sinαsinβ
﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
1．已知，则α+β＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，且，则的值为（　　）
A． B． C．0 D．
4．已知0＜α＜π，cos，则sin（α）＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数f（x）＝2cos2x+2cosx﹣1，在x＝θ处取得最小值，则（　　）
A． B．1 C．3 D．
6．已知，tanα＝2tanβ，则sin（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
7．若，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知且，则cosx﹣sinx的值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知，则cos（2α﹣2β）＝（　　）
A． B． C． D．
10．已知，则（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．3
▉题型2 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）＝cosαcosβ sinαsinβ
﹣将具有右侧模式的表达式改写成两角和与差的三角函数形式并计算．
11．设p：0＜a＜1，q：关于x的方程有实数解，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．化简sin（170°﹣α）cos（70°+α）﹣cos（10°+α）sin（70°+α）＝（　　）
A．1 B． C． D．
13．计算：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（　　）
A． B． C． D．
14．sin40°cos70°﹣cos40°sin70°的值为（　　）
A． B． C． D．
15．sin23°cos37°+sin67°sin37°＝ 　　 ．
16．已知f（x）＝Asin（ωx+φ）＝20sinx+21cosx，则tanφ＝ 　　 ．
17．代数式可化为Asin（α﹣φ）（A＞0，φ∈（0，π））的形式，此时φ＝ 　 ．
18．方程在[0，2π]上的解为 　　 ．
19．已知，且，则β＝　　 ．
20．函数y＝sinx﹣cosx，x∈（0，π）的值域是 　 ．
21．已知x∈（0，1），y∈（0，+∞），满足，则xy的值是 　　 ．
22．（1）已知角α以x轴的非负半轴为始边，P（1，3）为终边上一点．求的值；
（2）已知α，β都是锐角，，求cosβ的值．第10章第1节 两角和与差的三角函数
题型1 求两角和与差的三角函数值 题型2 两角和与差的三角函数的逆用
▉题型1 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）＝cosαcosβ sinαsinβ
﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
1．已知，则α+β＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由tanα+tanβ，
得，所以sin（α+β）cosαcosβ，
又sin（α+β）＝2cos（α﹣β），所以cosαcosβ＝2cos（α﹣β），
即cosαcosβ＝2cosαcosβ+sinαsinβ，
整理得cosαcosβ＝sinαsinβ，即tanαtanβ．
所以tan（α+β）1，
又0＜α＜π，0＜β＜π，所以α+β，α+β．
故选：C．
2．已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，则α∈（，），所以sin（α）＞0，
且sin（α），
而sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin．
故选：A．
3．已知，且，则的值为（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解答】解：由题意得cos（x）＝cos[（x）]＝sin（x），
结合，，
可得，
所以
．
故选：D．
4．已知0＜α＜π，cos，则sin（α）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为0＜α＜π，cos，
所以，所以sin，
所以，即，
所以sin，cosα，
则sin（α）cos．
故选：D．
5．已知函数f（x）＝2cos2x+2cosx﹣1，在x＝θ处取得最小值，则（　　）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝2cos2x+2cosx﹣1，，
所以，
根据二次函数性质可知，当cosx时，函数取得最小值，
故θ，
则sinθcosθ＝sincos．
故选：A．
6．已知，tanα＝2tanβ，则sin（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为知，tanα＝2tanβ，
由tanα＝2tanβ，可得sinαcosβ＝2cosαsinβ，
又因为，
所以，
所以．
故选：B．
7．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据cosα﹣2sinβ＝1，两边平方得cos2α﹣4cosαsinβ+4sin2β＝1…①，
由，两边平方得sin2α+4sinαcosβ+4cos2β＝2…②，
由①+②，可得1+4（sinαcosβ﹣cosαsinβ）+4＝3，整理得，
结合α﹣β∈（，），解得，即，
结合cosα﹣2sinβ＝1，可得，即，
化简得，
所以cos（β）cosβsinβ（）．
故选：A．
8．已知且，则cosx﹣sinx的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：（cosx﹣sinx）2＝1﹣2sinx cosx＝1，
因为，所以cosx＜sinx，所以cosx﹣sinx．
故选：B．
9．已知，则cos（2α﹣2β）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意得，解得，
所以sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，
可得cos（2α﹣2β）＝cos[2（α﹣β）]＝1﹣2sin2（α﹣β）＝1﹣2×（）2．
故选：D．
10．已知，则（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．3
【答案】A
【解答】解：由，可得4cosα＝2cosα+sinα，化简得sinα＝2cosα，
所以tanα2，可得．
故答案为：A．
▉题型2 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）＝cosαcosβ sinαsinβ
﹣将具有右侧模式的表达式改写成两角和与差的三角函数形式并计算．
11．设p：0＜a＜1，q：关于x的方程有实数解，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：若关于x的方程有实数解，
由2sin（x）∈[﹣2，2]，
则﹣2≤a≤2，
因为（0，1） [﹣2，2]，
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
12．化简sin（170°﹣α）cos（70°+α）﹣cos（10°+α）sin（70°+α）＝（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意得sin（170°﹣α）＝sin[180°﹣（10°+α）]＝sin（10°+α），
所以原式＝sin（10°+α）cos（70°+α）﹣cos（10°+α）sin（70°+α）
．
故选：C．
13．计算：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
＝sin20°cos10°+cos20°sin10°
＝sin30°．
故选：A．
14．sin40°cos70°﹣cos40°sin70°的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：sin40°cos70°﹣cos40°sin70°＝sin（40°﹣70°）＝sin（﹣30°）．
故选：C．
15．sin23°cos37°+sin67°sin37°＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：原式＝sin23°cos37°+cos23°sin37°
＝sin（23°+37°）
＝sin60°
．
故答案为：．
16．已知f（x）＝Asin（ωx+φ）＝20sinx+21cosx，则tanφ＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，可得f（x）＝20sinx+21cosx
（sinx cosx ）sin（x+φ），
其中，
所以．
故答案为：．
17．代数式可化为Asin（α﹣φ）（A＞0，φ∈（0，π））的形式，此时φ＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
φ∈（0，π）
所以．
故答案为：．
18．方程在[0，2π]上的解为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，所以，
因为x∈[0，2π]，所以．
故答案为：．
19．已知，且，则β＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为sin（α﹣β）cosα﹣cos（β﹣α）sinα＝sin[（α﹣β）﹣α]＝sin（﹣β）＝﹣sinβ，
由题意可得，即，
且，可知．
故答案为：．
20．函数y＝sinx﹣cosx，x∈（0，π）的值域是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：y＝sinx﹣cosxsin（x），
又x∈（0，π），x∈（，），
所以sin（x）∈（，1]，
可得y＝sinx﹣cosxsin（x）∈，
即函数y＝sinx﹣cosx，x∈（0，π）的值域是．
故答案为：．
21．已知x∈（0，1），y∈（0，+∞），满足，则xy的值是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：x∈（0，1），y∈（0，+∞），
令f（x）＝2ycosπxy2cos（πx+φ）+y22cos（πx+φ）+y2，其中tanφ.①
∵f（x）＝0，
∴2cos（πx+φ）+y20，
∴﹣2cos（πx+φ）2（当且仅当y2，即y时取等号），②
∴cos（πx+φ）≤﹣1，又cos（πx+φ）≥﹣1，
∴cos（πx+φ）＝﹣1，
∴πx+φ＝2kπ+π（k∈Z），
∴φ＝2kπ+π﹣πx（k∈Z），③
由①②③得tanφ＝tan（﹣πx）1，又x∈（0，1），
∴﹣πx，解得x，
∴xy．
故答案为：．
22．（1）已知角α以x轴的非负半轴为始边，P（1，3）为终边上一点．求的值；
（2）已知α，β都是锐角，，求cosβ的值．
【答案】（1）3；
（2）．
【解答】解：（1）根据题意，可得tanα3，
所以tanα＝3；
（2）由，可得，
根据，
可得，．
所以cosβ＝ cos[α﹣（α﹣β）]＝ cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）．

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