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第10章第2节 二倍角的三角函数
题型1 求二倍角的三角函数值 题型2 二倍角的三角函数的逆用
▉题型1 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
1．已知0＜α＜π，，则（　　）
A． B．7 C．﹣7 D．
【答案】D
【解答】解：由题意可得，
可得，
则，，
所以，
则．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax+1+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角θ的终边过点P，则cos2θ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：函数f（x）＝ax+1+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（﹣1，3），
又角θ的终边过点P，
则tanθ＝﹣3，
则cos2θ．
故选：C．
3．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，，
所以．
故选：A．
4．已知角α的终边过点（4，﹣3），则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为角α的终边过点（4，﹣3），
则，
所以．
故选：D．
5．已知，则sin4θ+cos4θ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由，可得，即，
所以sinθsin2θ（sinθcos2θ﹣cosθsin2θ）sin（θ﹣2θ）sinθ，
因为有意义，所以sinθ≠0，可得，
所以，即．
因此，．
故选：C．
6．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意得cos（α）＝cos[（α）]＝﹣sin（α），
所以cos[2（α）]＝2cos2（α）﹣1＝2×（）2﹣1．
故选：B．
7．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据，且，
可得，
所以，
可得，
所以．
故选：B．
8．在直角坐标系中，设角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，将角α的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，可得sin（α），
所以cos（2α）＝cos[2（α）]＝1﹣2sin2（α）＝1﹣2，
可得sin[（2α）]＝cos（2α）．
故选：B．
9．若sinαtanα＝cosα﹣4sinα，则sin4α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵sinαtanα＝cosα﹣4sinα，
∴，
∴cos2α﹣sin2α＝4sinαcosα，
∴cos2α＝2sin2α，
∴，
∴．
故选：B．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知锐角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的纵坐标为.若，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为锐角θ的终边与单位圆的交点的纵坐标为，
所以，cosθ，
结合题意，
可得2cos2θ﹣1＝mcosθ，即，解得．
故选：B．
11．已知，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由于，
所以，
故．
故选：A．
12．已知tanθ＝﹣5，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解答】解：因为tanθ＝﹣5，
所以
＝﹣sinθ（cosθ+sinθ）
．
故选：B．
13．若点P（4，﹣3）在角α的终边上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由已知得，
所以．
故选：A．
14．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意得cos（α）cosαsinα，
所以cos（α）sinα，即cosαsinαsinα
整理得，可得cosαcossinαsin，即，
所以．
故选：B．
15．若，且0≤α＜π，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，所以﹣cosα，可得，
又因为sin2，且∈[0，），
所以sin，可得sin．
故选：C．
16．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为，
所以，
所以，所以，所以，
所以．
故选：B．
17．若为第二象限角，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由，又α为第二象限角，
则，
故．
故选：B．
18．已知，且3cosα＝cos（α﹣2β），则tanα的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解答】解：由3cosα＝cos（α﹣2β），得到3cosα＝cosαcos2β+sinαsin2β，
因为，，则0＜2β＜π，cosα≠0，sin2β≠0，
所以
，
又，则tanβ＞0，所以，
当且仅当2，即时取等号．
故选：B．
▉题型2 二倍角的三角函数的逆用
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具有二倍角公式展开模式的表达式，改写成二倍角并求解．
19．若，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以，
即1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α，
所以．
故选：A．
20．已知，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以0＜sinα＜cosα，
则，
所以．
故选：A．
21．函数的最小正周期是（　　）
A． B． C．π D．2π
【答案】B
【解答】解：由题意可得2tan2x，
所以函数f（x）的最小正周期．
故选：B．
22．若tanθ＝2，则（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解答】解：若tanθ＝2，则．
故选：D．
23．cos245°﹣sin245°＝（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解答】解：．
故选：C．
24．计算：sin36°＝ 　　 ．（填近似值不得分）
【答案】．
【解答】解：令θ＝36°，故sin5θ＝0，，
由sin5θ＝sinθcos4θ+cosθsin4θ＝sinθ（2cos22θ﹣1）+2cosθsin2θcos2θ
＝2sinθ（1﹣2sin2θ）2﹣sinθ+4sinθ（1﹣sin2θ）（1﹣2sin2θ）
＝2sinθ﹣8sin3θ+8sin5θ﹣sinθ+4sinθ﹣12sin3θ+8sin5θ
＝16sin5θ﹣20sin3θ+5sinθ＝0，
所以16sin4θ﹣20sin2θ+5＝0，可得，故sin36°．
故答案为：．
25．若，，则sinθ﹣cosθ＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由，得sinθ＜cosθ，
又，
∴sinθ﹣cosθ
．
故答案为：．
26．已知tanθ＝3，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为tanθ＝3，
所以．
故答案为：．
27．已知，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，所以，
所以．
故答案为：．
28．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则角B＝ 　或　 ．
【答案】或．
【解答】解：由cos2B﹣sin2B＝cos2B，因为，可得，
因为B∈（0，π），可得2B∈（0，2π），所以或．
故答案为：或．第10章第2节 二倍角的三角函数
题型1 求二倍角的三角函数值 题型2 二倍角的三角函数的逆用
▉题型1 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
1．已知0＜α＜π，，则（　　）
A． B．7 C．﹣7 D．
2．在平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax+1+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角θ的终边过点P，则cos2θ＝（　　）
A． B． C． D．
3．若，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知角α的终边过点（4，﹣3），则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知，则sin4θ+cos4θ＝（　　）
A． B． C． D．
6．若，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
8．在直角坐标系中，设角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，将角α的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（　　）
A． B． C． D．
9．若sinαtanα＝cosα﹣4sinα，则sin4α＝（　　）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知锐角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的纵坐标为.若，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
11．已知，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
12．已知tanθ＝﹣5，则（　　）
A． B． C． D．3
13．若点P（4，﹣3）在角α的终边上，则（　　）
A． B． C． D．
14．已知，则（　　）
A． B． C． D．
15．若，且0≤α＜π，则的值是（　　）
A． B． C． D．
16．已知，则（　　）
A． B． C． D．
17．若为第二象限角，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
18．已知，且3cosα＝cos（α﹣2β），则tanα的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
▉题型2 二倍角的三角函数的逆用
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具有二倍角公式展开模式的表达式，改写成二倍角并求解．
19．若，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
20．已知，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
21．函数的最小正周期是（　　）
A． B． C．π D．2π
22．若tanθ＝2，则（　　）
A．2 B．4 C． D．
23．cos245°﹣sin245°＝（　　）
A． B． C．0 D．1
24．计算：sin36°＝ 　　 ．（填近似值不得分）
25．若，，则sinθ﹣cosθ＝ 　　 ．
26．已知tanθ＝3，则 　　 ．
27．已知，则 　　 ．
28．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则角B＝ 　　 ．

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