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第10章第3节 几个三角恒等式
题型1 三角函数恒等式的证明 题型2 半角的三角函数
题型3 三角函数的积化和差公式 题型4 三角函数的恒等变换及化简求值
▉题型1 三角函数恒等式的证明
【知识点的认识】
三角函数恒等式：
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）═﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
1．（1）化简：；
（2）求证：．
【答案】（1）tan（α+β）；
（2）证明详见解析．
【解答】解：（1）原式；
（2）证明：左边，
右边，
综上所述，．
2．求证： tan．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：左边右边．
3．（1）化简：．
（2）证明恒等式：．
【答案】（1）tanθ；（2）证明见解析．
【解答】（1）解：
tanθ；
（2）证明：右边
左边．
∴．
4．证明：．
【答案】证明详见解析．
【解答】证明：由二倍角公式sin2θ＝2sinθcosθ，cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ以及sin2θ+cos2θ＝1可得，，得证．
5．求证：（）．
【答案】详见解答过程．
【解答】证明：左
右．
6．在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；
（2）若a+c＝mb（m＞1），
（i）证明：；
（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．
【答案】（1）Bmax；
（2）（i）证明过程见详解；
（ii）φ（m）存在，且φ（m）．
【解答】解：（1）由a+c＝2b，
所以由余弦定理可得cosB，
当且仅当a＝c时cosB最小，B∈（0，π），
所以Bmax；
（2）（i）：证明：因为a+c＝mb（m＞1），由正弦定理可得，
所以可得sinA+sinC＝msinB，
所以2sin cos2msin cos，
因为，
所以cosmcos，
展开整理可得（1+m）sinsin（m﹣1）coscos，
故tan tan；
（ii）由（i）可得tan tan及半角公式可得tan可得
（tantan）2 ，
对其展开整理可得4m﹣2（m2+1）（cosA+cosC）＝﹣4mcosAcosC，
4m，
即，
即1，
与原三角式作比较可得φ（m）存在，且φ（m）．
▉题型2 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan．
【解题方法点拨】
例：函数的最小正周期为 　π　 ．
解：∵
＝sinx+tanx（1﹣cosx）
＝sinx+tanx﹣sinx
＝tanx
∴T＝π
故答案为：π
这个题的解题关键就是正切函数半角的转化，所用的公式就是这里列出来的上面一种，像这个问题的思路其实是简单的，就是化简，化成一个单独的三角函数，而且只能是把tanx化成正余弦函数．
7．已知α为锐角，cosα，则sin（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：cosα，
则cosα，
故1﹣cosα，即，
∵α为锐角，
∴，
∴sin．
故选：D．
8．若cosα，α是第三象限的角，则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由，α是第三象限的角，
∴可得，
则，
故选：A．
9．已知α为第三象限角，且，则的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵α为第三象限角，
∴cosα＜0，sinα＜0，tanα＞0，
∴
tanα＝﹣2，
即tanα＝2，
∵α为第三象限角，
∴为第二或第四象限，tan，
，即，
解得，
∴．
故答案为：．
10．已知α∈（0，），cosα，则sin　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为α∈（0，），
所以0，
因为cosα＝1﹣2sin2，
则sin．
故答案为：．
11．若，α是第三象限的角，则　　 ．
【答案】
【解答】解：∵，α是第三象限的角，∴，
∴．
∵，∴，化为，，解得或﹣3．
∵α是第三象限的角，∴，∴（k∈Z）．
①当k＝2n（n∈N*）时，，可知是第二象限的角，则，∴；
②当k＝2n+1（n∈N*）时，，可知是第四象限的角，则，∴；
因此应舍去，故．
∴．
故答案为．
12． 1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法．要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分．高斯墓碑上刻着如图所示的图案．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题可知，
则，
则
，
由，
得，
故．
故答案为：．
13．若锐角α满足，则角α的度数为 　50°　 ．
【答案】50°．
【解答】解：因为，
所以，
，
，
，
因为α为锐角，
所以α＝50°．
故答案为：50°
14．已知，　　 ．
【答案】
【解答】解：∵，
∴α∈（0，），
∴sinα．
∴，
故答案为：．
15．已知且，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，所以，所以，
又因为，可得．
故答案为：．
16．已知且，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为且，
所以，
所以，
则，解得，
则．
故答案为：．
17．（1）已知，，求的值；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解答】解：（1）由，，则，
由（负值舍）．
（2）证明：，得证．
▉题型3 三角函数的积化和差公式
【知识点的认识】
三角函数的积化和差公式：
（1）sinαsinβ[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]
cosαcosβ[cos（α﹣β）+cos（α+β）]
（2）sinαcosβ[sin（α+β）+sin（α﹣β）]
cosαsinβ[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]
（3）tanαtanβ
tanαcotβ．
18．已知角α，β满足tanα＝2，sinβ＝2cos（α﹣β）sinα，则tanβ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：已知角α，β满足tanα＝2，sinβ＝2cos（α﹣β）sinα，
由三角函数积化和差公式，得：
，
所以sin（2α﹣β）＝0，即：β＝2α+kπ，（k∈Z），
所以：．
故选：D．
▉题型4 三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
【解题方法点拨】
例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于 　　
解：，，，，
∴原式．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
19．若，则（　　）
A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
【答案】B
【解答】解：因为，所以，
所以，所以，
所以1﹣tanαtanβ＝tanβ+tanα，
所以．
故选：B．
20．以下各式的值错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：根据，可知A项错误；
由，可知B正确；
根据，可知C项正确；
根据，可知D项正确，
综上所述，只有A项是错误的．
故选：A．
21．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：原式．
故选：B．
22．的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：原式 ．
故选：A．
23．若函数在区间上恰有唯一极值点，则ω的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，
因为ω＞0，且x∈，所以，
因为f（x）在区间上恰有唯一极值点，
所以，解得，
所以ω的取值范围为．
故选：C．
24．设，则有（　　）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【答案】C
【解答】解：，
，
，
因为函数y＝sinx在上为增函数，且0°＜24°＜26°＜32°＜90°，
故sin24°＜sin26°＜sin32°，即a＜c＜b．
故选：C．
25．已知，，4sinαcosα（1﹣2sin2α）（1+sinβ）+（1﹣cos4α）cosβ＝0，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由4sinαcosα（1﹣2sin2α）（1+sinβ）+（1﹣cos4α）cosβ＝0，可得2sin2αcos2α（1+sinβ）+2sin22αcosβ＝0，
因为，可得sin2α≠0，
所以cos2α（1+sinβ）+sin2αcosβ＝0，即cos2α+sin（2α+β）＝0，
所以，
根据，，
结合正弦函数在上单调递增，可得，
所以，则，可得．
故选：C．
26．设acos6°sin6°，b，c，则有（　　）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【答案】D
【解答】解：∵acos6°sin6°＝sin30°cos6°﹣cos30°sin6°＝sin24°，
bsin26°，
csin25°．
∵0°＜24°＜25°＜26°＜90°
∴sin26°＞sin25°＞sin24°，
即有：a＜c＜b，
故选：D．
27．设a＝sin14°+cos14°，，，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【答案】D
【解答】解：根据题意，a＝sin14°+cos14°sin（45°+14°）sin59°，
b（2sin31°cos31°）sin62°，c2sin60°，
因为函数ysinx在锐角范围内是增函数，
所以，即a＜c＜b．
故选：D．
28．已知tanθ＝3，求下列各式的值．
（1）；
（2）sin2θ+sinθcosθ﹣cos2θ．
【答案】（1）﹣1；
（2）．
【解答】解：（1）原式1；
（2）原式．第10章第3节 几个三角恒等式
题型1 三角函数恒等式的证明 题型2 半角的三角函数
题型3 三角函数的积化和差公式 题型4 三角函数的恒等变换及化简求值
▉题型1 三角函数恒等式的证明
【知识点的认识】
三角函数恒等式：
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）═﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
1．（1）化简：；
（2）求证：．
2．求证： tan．
3．（1）化简：．
（2）证明恒等式：．
4．证明：．
5．求证：（）．
6．在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；
（2）若a+c＝mb（m＞1），
（i）证明：；
（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．
▉题型2 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan．
【解题方法点拨】
例：函数的最小正周期为 　π　 ．
解：∵
＝sinx+tanx（1﹣cosx）
＝sinx+tanx﹣sinx
＝tanx
∴T＝π
故答案为：π
这个题的解题关键就是正切函数半角的转化，所用的公式就是这里列出来的上面一种，像这个问题的思路其实是简单的，就是化简，化成一个单独的三角函数，而且只能是把tanx化成正余弦函数．
7．已知α为锐角，cosα，则sin（　　）
A． B． C． D．
8．若cosα，α是第三象限的角，则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
9．已知α为第三象限角，且，则的值为 　　 ．
10．已知α∈（0，），cosα，则sin　　 ．
11．若，α是第三象限的角，则　　 ．
12． 1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法．要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分．高斯墓碑上刻着如图所示的图案．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则 　　 ．
13．若锐角α满足，则角α的度数为 　　 ．
14．已知，　　 ．
15．已知且，则　 ．
16．已知且，则　　 ．
17．（1）已知，，求的值；
（2）证明：．
▉题型3 三角函数的积化和差公式
【知识点的认识】
三角函数的积化和差公式：
（1）sinαsinβ[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]
cosαcosβ[cos（α﹣β）+cos（α+β）]
（2）sinαcosβ[sin（α+β）+sin（α﹣β）]
cosαsinβ[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]
（3）tanαtanβ
tanαcotβ．
18．已知角α，β满足tanα＝2，sinβ＝2cos（α﹣β）sinα，则tanβ＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型4 三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
【解题方法点拨】
例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于 　　
解：，，，，
∴原式．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
19．若，则（　　）
A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
20．以下各式的值错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
21．若，则（　　）
A． B． C． D．
22．的值为（　　）
A． B． C． D．
23．若函数在区间上恰有唯一极值点，则ω的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
24．设，则有（　　）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
25．已知，，4sinαcosα（1﹣2sin2α）（1+sinβ）+（1﹣cos4α）cosβ＝0，则（　　）
A． B． C． D．
26．设acos6°sin6°，b，c，则有（　　）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
27．设a＝sin14°+cos14°，，，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
28．已知tanθ＝3，求下列各式的值．
（1）；
（2）sin2θ+sinθcosθ﹣cos2θ．

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