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第11章第1节 余弦定理
题型1 余弦定理
▉题型1 余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，，则△ABC解的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
2．在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
3．在△ABC中，BC＝7，AC＝3，AB＝5，则A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
4．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝3：5：7，且该三角形的面积为，则△ABC的最小边长等于（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔OP的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的A，B（A，B与该信号塔的塔底O在同一水平面上）两个测量点：从A点观测该信号塔塔顶P的仰角为30°，从B点观测该信号塔塔顶P的仰角为45°，且，则这座信号塔的高度OP＝（　　）
A．米 B．米 C．40米 D．80米
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2＝b2+c2，则A的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，，AC＝2，，则A＝（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
8．已知△ABC满足，则cosA的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，满足，则A＝（　　）
A．150° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c＝4，b＝3.8，则此三角形（　　）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．无法判断有几解
11．在△ABC中，，AB＝3，BC＝4，则AC＝（　　）
A． B． C． D．
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c2+9＝a2+3c，则A＝（　　）
A． B． C． D．
13．已知在△ABC中，AB，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
14．在△ABC中，a＝2，，，则B＝（　　）
A．15° B．60° C．75° D．105°
15．三角形ABC中，，则B＝（　　）
A．30° B．60° C．150° D．120°
16．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2﹣bc，则A等于（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
17．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则最大角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝6，b+c＝8，，则△ABC的面积是（　　）
A． B．7 C． D．
19．小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（　　）
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个钝角三角形
D．能作出无数个钝角三角形
20．在△ABC中，若△ABC的面积为6，c＝5，，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5第11章第1节 余弦定理
题型1 余弦定理
▉题型1 余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，，则△ABC解的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【解答】解：法一：在ΔABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
所以，即，
解得或，所以ΔABC解的个数是2个．
法二：由正弦定理得，
所以sinBsinA，
结合正弦函数的性质，可知角B有一个锐角、一个钝角满足条件，
所以ΔABC解的个数是2个．
故选：C．
2．在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】A
【解答】解：因为BC＝2，AC＝1，AB，
所以由余弦定理得：，
因为0°＜∠A＜180°，所以∠A＝45°．
故选：A．
3．在△ABC中，BC＝7，AC＝3，AB＝5，则A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】C
【解答】解：BC＝7，AC＝3，AB＝5，
则．
因为∠BAC为△ABC的内角，∠BAC∈（0，π），
所以∠BAC＝120°．
故选：C．
4．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝3：5：7，且该三角形的面积为，则△ABC的最小边长等于（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解答】解：因为sinA：sinB：sinC＝3：5：7，由正弦定理可得a：b：c＝3：5：7，
设a＝3k，b＝5k，c＝7k，k＞0，
由余弦定理可得cosA，
在△ABC中，sinA，
又因为S△ABCbcsinA5k×7k15，可得k＝2，
所以△ABC的最小的边为3k＝6．
故选：B．
5．某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔OP的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的A，B（A，B与该信号塔的塔底O在同一水平面上）两个测量点：从A点观测该信号塔塔顶P的仰角为30°，从B点观测该信号塔塔顶P的仰角为45°，且，则这座信号塔的高度OP＝（　　）
A．米 B．米 C．40米 D．80米
【答案】C
【解答】解：根据题意画出图形，如下图所示：
设OP＝h米，则AP＝2h米，米，AB＝80米，
在△ABP中，由余弦定理可得：AP2＝AB2+BP2﹣2AB BPcos∠ABP，
即，
解得h＝40或h＝﹣80（舍去），
则OP＝40米．
故选：C．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2＝b2+c2，则A的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由2a2＝b2+c2，可得，当且仅当b＝c时取等号，
因为0＜A＜π，y＝cosx在（0，π）单调递减，所以，即A的最大值为．
故选：B．
7．在△ABC中，，AC＝2，，则A＝（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【解答】解：△ABC中，，AC＝2，，
则由余弦定理，
又0°＜A＜180°，所以A＝60°．
故选：B．
8．已知△ABC满足，则cosA的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据，
可得2|| ||cosC+5|| ||cosB＝3|| ||cosA，
即2abcosC+5accosB＝3bccosA，
由余弦定理得2abcosC＝a2+b2﹣c2，2accosB＝a2+c2﹣b2，2bccosA＝b2+c2﹣a2，
所以，整理得5a2＝3b2，
所以，
当且仅当10a2＝6b2＝15c2时，等号成立，可得cosA的最小值为．
故选：C．
9．在△ABC中，满足，则A＝（　　）
A．150° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【答案】A
【解答】解：根据，可得b2+c2﹣a2bc，
由余弦定理得cosA，结合A为三角形的内角，可得A＝150°．
故选：A．
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，c＝4，b＝3.8，则此三角形（　　）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．无法判断有几解
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，，c＝4，b＝3.8，
法（i）由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB，
代入数据得3.82＝a2+16﹣4即a2﹣4a+1.56＝0，
解得．
所以此三角形有两解．
法（ii）因为csinB＝423.5＜b＜c，所以该三角形有两个解．
故选：C．
11．在△ABC中，，AB＝3，BC＝4，则AC＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，，AB＝3，BC＝4，
可得．
故选：A．
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c2+9＝a2+3c，则A＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由b＝3及c2+9＝a2+3c，得b2+c2﹣a2＝bc，
由余弦定理可得b2+c2﹣a2＝2bccosA，
所以cosA，
因为0＜A＜π，所以．
故选：C．
13．已知在△ABC中，AB，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，AB，
由余弦定理得．
故选：B．
14．在△ABC中，a＝2，，，则B＝（　　）
A．15° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【解答】解：△ABC中，a＝2，，，
由余弦定理可得cosB，
而cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°sin45°﹣sin30°cos45°．
且0°＜B＜180°，所以B＝75°．
故选：C．
15．三角形ABC中，，则B＝（　　）
A．30° B．60° C．150° D．120°
【答案】D
【解答】解：根据余弦定理可得，
结合B∈（0，π），可得B，即B＝120°，D项符合题意．
故选：D．
16．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2﹣bc，则A等于（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【解答】解：由a2＝b2+c2﹣bc，可得b2+c2﹣a2＝bc，
所以cosA，结合A为三角形的内角，可得A＝60°．
故选：B．
17．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则最大角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵sinA：sinB：sinC＝2：3：4，
∴由正弦定理化简得：a：b：c＝2：3：4，
分别设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
则最大角为C，
∴cosC，
故选：D．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝6，b+c＝8，，则△ABC的面积是（　　）
A． B．7 C． D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，根据余弦定理可得：
64，
解得，
因为A是三角形内角，即0＜A＜π，所以sinA＞0，
已知，则，
可得：．
故选：C．
19．小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（　　）
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个钝角三角形
D．能作出无数个钝角三角形
【答案】C
【解答】解：设a，b，c边上的高分别为，
则根据三角形的面积关系可得，a：b：c＝3：7：8，
所以最大角为C，设a＝3x，b＝7x，c＝8x，
由余弦定理可得，cosC，
所以能作出一个钝角三角形．
故选：C．
20．在△ABC中，若△ABC的面积为6，c＝5，，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：根据0，可知A为锐角，结合，解得．
由△ABC的面积为6，可得bcsinA＝6，即b×56，解得b＝3．
所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得a4．
故选：C．

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