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第11章第2节 正弦定理
题型1 利用正弦定理解三角形 题型2 正弦定理与三角形解的存在性和个数
题型3 正弦定理与三角形的外接圆
▉题型1 利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
﹣
【解题方法点拨】
﹣应用正弦定理：用正弦定理解决三角形中的边长和角度问题，特别是在已知部分角和边的情况下．
﹣三角形的解法：在已知两个角和一个边，或两个边和一个角的情况下，利用正弦定理求解其他边和角．
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知△ABC中，AB＝3，BC＝2AC，则△ABC面积的最大值为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
3．在△ABC中，，，则sinC＝（　　）
A． B． C． D．1
4．在△ABC中，已知，则A＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinB＝（　　）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，的平分线交AC于D，则BD＝（　　）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝3，a＝2，C＝150°，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
9．在三角形ABC中，a＝2，，，则A＝（　　）
A． B． C．或 D．或
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝1，，，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 正弦定理与三角形解的存在性和个数
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
【解题方法点拨】
﹣解的存在性：利用正弦定理验证已知条件是否能够构成三角形．
﹣解的个数：分析三角形的解的个数，如是否有唯一解、无解或多个解．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝5，b＝6，则满足条件的三角形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
12．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C． D．
（多选）13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝10，C＝45°．若三角形有两解，则边c的取值可以是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
（多选）14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得△ABC恰有一个解的是（　　）
A． B．
C． D．
15．如果满足∠ABC＝45°，AB＝6，AC＝b的△ABC有且只有一个，那么实数b的取值范围是 　　 ．
16．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若b＝4，A＝30°，写出一个a值，使满足条件的△ABC有2个，则a值可以为 　　 ．
17．在△ABC中，AC＝8，A＝45°，要使△ABC被唯一确定，那么BC的取值范围是 　　 ．
18．如图所示，直线l1，l2之间的距离为2，直线l2，l3之间的距离为1，且点A，B，C分别在l1，l2，l3上运动，，令∠CAF＝α．
（1）判断△ABC能否为正三角形？若能，求出其边长的值；若不能，请说明理由；
（2）求△ABC面积的最小值．
▉题型3 正弦定理与三角形的外接圆
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
﹣
【解题方法点拨】
2R
（ R是△ABC外接圆半径）
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则该三角形外接圆的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．
20．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b cosC＝2a+c，若b＝3，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A． B． C．12π D．3π
21．已知在△ABC中，∠A，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为 　　 ．
22．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆半径等于　　 ．
23．已知△ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c，a＝4，cosB．
（1）若sinA＝2sinC，求△ABC的面积；
（2）设线段AB的中点为D，若，求△ABC外接圆半径R的值．第11章第2节 正弦定理
题型1 利用正弦定理解三角形 题型2 正弦定理与三角形解的存在性和个数
题型3 正弦定理与三角形的外接圆
▉题型1 利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
﹣
【解题方法点拨】
﹣应用正弦定理：用正弦定理解决三角形中的边长和角度问题，特别是在已知部分角和边的情况下．
﹣三角形的解法：在已知两个角和一个边，或两个边和一个角的情况下，利用正弦定理求解其他边和角．
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由，
则，b2+c2﹣a2＝﹣bc，
故，
由0＜A＜π，所以．
故选：C．
2．已知△ABC中，AB＝3，BC＝2AC，则△ABC面积的最大值为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】D
【解答】解：设AC＝x，因为BC＝2AC，所以BC＝2x，
，
由余弦定理，
因为sin2A+cos2A＝1，所以，
则，
因为36x2﹣（9﹣3x2）2＝36x2﹣（81﹣54x2+9x4）＝﹣9x4+90x2﹣81，
令t＝x2（t＞0），则y＝﹣9t2+90t﹣81，图象开口向下，对称轴为，
所以当t＝5时，y取得最大值，81＝﹣225+450﹣81＝144，
因为，
所以，
即△ABC面积的最大值为3．
故选：D．
3．在△ABC中，，，则sinC＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：在三角形ABC中，由已知以及正弦定理可得：sin2A﹣sin2Bsin2C，
所以（sinA+sinB）（sinA﹣sinB）sin2C，
即，
即2sin（A+B）sin（A﹣B）＝sin2C，
又因为sin（A+B）＝sinC，得：2sinC sin（A﹣B）＝sin2C，
在△ABC中，sinC≠0，，
所以．
故选：C．
4．在△ABC中，已知，则A＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由已知，
＝cos2B﹣cos2A＝（1﹣sin2B）﹣（1﹣sin2A）＝sin2A﹣sin2B，
所以，
则，
又A为三角形内角，所以．
故选：D．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinB＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以由，可得．
故选：A．
6．在△ABC中，的平分线交AC于D，则BD＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，，
法（i）由正弦定理可得：，
解得，
而A为三角形内角，
所以，所以．
根据正弦定理，解得．
法（ii）在△ABC中，，
由正弦定理可得：，解得，
而A为三角形内角，
所以，可得AB1，
因为BD为角B的平分线，所以，
所以S△ABCAC ABAB BDsinBC BDsin（AB+BC） BD，
即BD．
故选：D．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，，
由余弦定理得，
当且仅当，即时等号成立，
所以cosA≥cos，结合余弦函数在（0，π）上单调递减，可得，所以A的最大值为．
故选：D．
8．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝3，a＝2，C＝150°，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由正弦定理可得sinA，
故选：A．
9．在三角形ABC中，a＝2，，，则A＝（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解答】解：由正弦定理得，可得sinA，所以或，
因为a＜b，可得A＜B，所以．
故选：A．
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝1，，，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：若c＝1，，，
由正弦定理，代值可得，
解得．
故选：A．
▉题型2 正弦定理与三角形解的存在性和个数
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
【解题方法点拨】
﹣解的存在性：利用正弦定理验证已知条件是否能够构成三角形．
﹣解的个数：分析三角形的解的个数，如是否有唯一解、无解或多个解．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝5，b＝6，则满足条件的三角形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【解答】解：因为，a＝5，b＝6，可得，
所以bsinA＜a＜b，可知满足条件的三角形有2个．
故选：C．
12．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C． D．
【答案】C
【解答】解：2
∴a＝2sinA
A+C＝180°﹣45°＝135°
A有两个值，则这两个值互补
若A≤45°，则C≥90°，
这样A+B＞180°，不成立
∴45°＜A＜135°
又若A＝90，这样补角也是90°，一解
所以sinA＜1
a＝2sinA
所以2＜a＜2
故选：C．
（多选）13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝10，C＝45°．若三角形有两解，则边c的取值可以是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BC
【解答】解：因为b＝10，C＝45°，
所以由余弦定理得：c2＝a2+102﹣2×a×10×cos45°，
即a2﹣10a+100﹣c2＝0，
因为三角形有两解，
所以方程a2﹣10a+100﹣c2＝0有两个正根a1，a2，
所以a1+a2＝100，a1a2＝100﹣c2＞0，Δ＝（10）2﹣4（100﹣c2）＞0，
解得5c＜10，结合选项可得B，C正确．
故选：BC．
（多选）14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得△ABC恰有一个解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解答】解：对于A，由正弦定理，可得sinB1，
结合B为三角形的内角可知B，
所以△ABC中，c，△ABC唯一确定，故A项符合题意；
对于B，由正弦定理，可得sinBsinA，
结合b＞a，且，
可知有两个符合条件的角B，故△ABC有两个解，B项不符合题意；
对于C，由A，a＝4，b＝2，
根据勾股定理得c，△ABC有唯一解，C项符合题意；
对于D，由正弦定理，可得sinBsinA，
结合，由正弦函数的性质可知角B有唯一解，△ABC唯一确定，故D项符合题意．
故选：ACD．
15．如果满足∠ABC＝45°，AB＝6，AC＝b的△ABC有且只有一个，那么实数b的取值范围是 　{b|b＝3或b≥6}　 ．
【答案】{b|b＝3或b≥6}．
【解答】解：因为∠ABC＝45°，AB＝6，AC＝b，
由正弦定理可得，，
则sinC，
若△ABC有且只有一个，则sinC1或，
解得b＝3或b≥6．
故答案为：{b|b＝3或b≥6}．
16．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若b＝4，A＝30°，写出一个a值，使满足条件的△ABC有2个，则a值可以为 　3（答案不唯一）　 ．
【答案】3（答案不唯一）
【解答】解：若b＝4，A＝30°，且满足条件的△ABC有两个，
则根据正弦定理得bsinA＜a＜b，即2＜a＜4，取a＝3符合题意．
故答案为：3（答案不唯一）．
17．在△ABC中，AC＝8，A＝45°，要使△ABC被唯一确定，那么BC的取值范围是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，A＝45°，AC＝8，
由正弦定理得：，则，
三角形只有一个解，则sinB＝1或0＜sinB≤sinA，
则BC＝ACsinA或BC≥AC，即或BC≥8，
所以BC的取值范围是．
故答案为：．
18．如图所示，直线l1，l2之间的距离为2，直线l2，l3之间的距离为1，且点A，B，C分别在l1，l2，l3上运动，，令∠CAF＝α．
（1）判断△ABC能否为正三角形？若能，求出其边长的值；若不能，请说明理由；
（2）求△ABC面积的最小值．
【答案】（1）△ABC可以为正三角形，边长为；
（2）．
【解答】解：（1）△ABC可以是正三角形，理由如下：
过C作CD⊥l1，过B作BE⊥l1，
垂足分别为D，E，如图，
由∠CAF＝α，，得，
在△ACD中，，
在△ABE中，，
由△ABC是正三角形，得AC＝AB，
即，整理得，
又sin2α+cos2α＝1，解得，
所以；
（2）由（1）知，
，
而，
由，得，
则当，即时，取得最大值，
即取最大值，
所以时，S△ABC取得最小值．
▉题型3 正弦定理与三角形的外接圆
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
﹣
【解题方法点拨】
2R
（ R是△ABC外接圆半径）
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则该三角形外接圆的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：∵，∴c﹣2b+2acosC＝0，∴sinC﹣2sinB+2sinAcosC＝0．
∴sinC﹣2sin（A+C）+2sinAcosC＝0，
∴sinC﹣2sinAcosC﹣2sinCcosA+2sinAcosC＝0，
∴sinC﹣2sinCcosA＝0，∵sinC＞0，∴，
∴，设该三角形外接圆的半径为r，
由正弦定理得，
∴r＝1．
故选：A．
20．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b cosC＝2a+c，若b＝3，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A． B． C．12π D．3π
【答案】D
【解答】解：∵2b cosC＝2a+c，若b＝3，
∴cosC，可得：a2+c2﹣b2＝﹣ac，
∴cosB，
∴由B∈（0，π），可得：B，
设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得：2R，解得R，
可得△ABC的外接圆面积为S＝πR2＝3π．
故选：D．
21．已知在△ABC中，∠A，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在△ABC中，∠A，AB＝2，AC＝3，
利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB AC cosA，整理得BC，
所以，解得R．
故答案为：．
22．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆半径等于　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：由题得，
∴，
整理得tanC＝1，
由于：0＜C＜π，
∴，
∴，
解得R＝1．
∴三角形的外接圆的半径为1．
故答案为1．
23．已知△ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c，a＝4，cosB．
（1）若sinA＝2sinC，求△ABC的面积；
（2）设线段AB的中点为D，若，求△ABC外接圆半径R的值．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）因为sinA＝2sinC，
所以a＝2c，
又a＝4，
所以c＝2，
因为cosB，
所以sinB，
所以△ABC的面积SacsinB．
（2）因为线段AB的中点为D，若，
在△BCD中，由余弦定理可得19＝16+BD2﹣2×4×BD×（），整理可得BD2+2BD﹣3＝0，解得BD＝1或﹣3（舍去），
所以c＝AB＝2，
在△ABC中，由余弦定理可得b2，
所以由正弦定理可得△ABC外接圆半径R．

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