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第11章第3节 正弦定理、余弦定理的应用
题型1 三角形中的几何计算 题型2 解三角形
▉题型1 三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
1．在△ABC中，已知AB＝2，点O为三角形的外接圆的圆心，若，且x+2y＝1，则△ABC的面积的最大值为（　　）
A．2 B．8 C．16 D．18
【答案】A
【解答】解：取AC的中点D，如图所示，
因为，所以，
因为x+2y＝1，所以B，O，D三点共线，
因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，
设AD＝DC＝m，由AB＝2，可得，
所以，
当且仅当m2＝4﹣m2，即时取得等号，
故△ABC面积最大值为2．
故选：A．
2．在△ABC中，“”是“sin2A+sin2B＝1”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，当时，
则A+B，
故sin2A+sin2Bsin2A+cos2A＝1，故充分性成立，
当A＝120°，B＝30°，满足sin2A+sin2B＝1，但C，故必要性不成立，
综上所述，在△ABC中，“”是“sin2A+sin2B＝1”的充分不必要条件．
故选：A．
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，则a＝（　　）
A．5 B．8 C． D．
【答案】A
【解答】解：设外接圆半径为R，由正弦定理得，，
因为，
所以，
即，
在△ABC中，B∈（0，π），，
所以，所以，即，
所以b2＝a2+c2﹣2accosB，
即49＝a2+9+3a，解得a＝5或a＝﹣8（舍）．
故选：A．
4．若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．如图，已知在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．若b＝c，且满足，则其布洛卡角θ的正切值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，b＝c，即AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，
点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，则∠PCB＝∠PBA，
在△PCB与△PBA中，∠PCB＝∠PBA，∠PAB＝∠PBC＝θ，
所以△PCB∽△PBA，则，
即，所以且，
在△ABC中，由余弦定理，
可得，
因为0＜∠ABC＜π，所以，
所以∠BAC，，
在△PAC中，由正弦定理得，
解得．
故选：C．
5．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了600m到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则青城山的山高PQ为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了600m到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，
故∠PAQ＝45°，∠BAQ＝15°∠PAB＝30°，∠APQ＝45°，
又∠PBC＝60°，则∠BPC＝30°，即有∠BPA＝15°，∠PBA＝135°，
在△ABP中，AB＝600，由正弦定理得，
且，
则，
在Rt△PAQ中，，
所以山高PQ为米．
故选：A．
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（a﹣c）2＝b2﹣ac，则∠B为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为（a﹣c）2＝b2﹣ac，整理可得：a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理可得：a2+c2﹣b2＝2accosB，
可得cosB，
因为B∈（0，π），可得B．
故选：B．
7．如图，在△PAC中，B是边AC上的点，其中，，，，则AB＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在△PBC中，，，
由正弦定理得，BC＝8，
所以，
在△PAB中，，
由正弦定理得，
所以．
故选：D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点M在AB上，CM与BD交于点E，若，则图中阴影部分的面积占四边形ABCD面积的（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，
所以△BEM∽△DEC，
又，所以，
所以，
因为，
所以，，，
设图中阴影部分的面积为S，S△BEM＝a，则S△DEC＝9a，S△BEC＝3a，S△DEM＝3a，
所以．
故选：A．
9．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若，则C＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，
由正弦定理可得，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理可得cosC，
又因为∈（0，π），
可得C．
故选：C．
10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinA+bsinB＝asinB+csinC．
（1）求C；
（2）若ab＝6，c，求△ABC的周长．
【答案】（1）；
（2）5．
【解答】解：（1）因为asinA+bsinB＝asinB+csinC，
由正弦定理整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2abcosC，
可得cosC，
又因为C∈（0，π），可得C；
（2）因为ab＝6，c，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣2ab﹣2ab（a+b）2﹣3ab，
可得a+b5，
所以△ABC的周长为a+b+c＝5．
▉题型2 解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
11．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为（　　）时，所遮阴影面ABC′面积达到最大．
A．75° B．60° C．50° D．45°
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于D，连接C′D，由题知C′D⊥AB，
因此∠C′DC就是遮阳篷ABC与地面所成的角，
因为C′D⊥AB，则求遮阴影面ABC”面积最大，即是求C′D最大，
又，，
设∠DCC'＝θ，，由正弦定理，
得，
当且仅当时取等号，此时所遮阴影面ABC”面积最大，．
故选：B．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，其外接圆半径R，内切圆半径r，sinA：sinB：sinC＝2：3：4．
①若△ABC面积为，则△ABC的周长为　18　 ；
②若，则△ABC的内切圆半径r＝　　 ．
【答案】①18；②．
【解答】解：①在△ABC中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，
其外接圆半径R，sinA：sinB：sinC＝2：3：4，
根据正弦定理，
可得a：b：c＝2：3：4，
令a＝2t，b＝3t，c＝4t（t＞0），
由余弦定理得；
所以，
由△ABC面积为，
得，
解得t＝2，所以△ABC的周长a+b+c＝9t＝18；
②由①知，
而，则，
由正弦定理c＝2RsinC，得，
解得t＝15，所以．
故答案为：①18；②．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝b2+c2﹣bc．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c＝4，△ABC的面积为，求a的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由a2＝b2+c2﹣bc，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
可得cosA，
在△ABC中，A∈（0，π），
故；
（2）由，
解得bc＝2，
又bc＝b2+c2﹣a2，可得bc＝（b+c）2﹣2bc﹣a2，
故a2＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣6＝10，
故．
14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若c＝3，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）根据题意可知，，由正弦定理得，
∵B∈（0，π），可得sinB＞0，∴，
若cosA＝0，则sinA＝0，不合题意，故cosA≠0，∴，
又∵A∈（0，π），∴；
（2）∵△ABC的面积为，可得，可得bc＝6，
又∵c＝3，∴b＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，
可得，∴，
∴△ABC的周长为．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，满足（，cosB），（cosC，），且acosB．
（1）求B的值；
（2）若b，△ABC的面积是，∠ABC的角平分线BD交AC于点D．
①求a+c；
②求BD的值．
【答案】（1）B．
（2）①7；②．
【解答】解：（1）因为（，cosB），（cosC，），
所以acosBcosCcosB，
由正弦定理知，sinAcosBsinBcosCsinCcosBsin（B+C）sinA，
因为sinA≠0，
所以cosB，
又B∈（0，π），所以B．
（2）①因为△ABC的面积是，
所以acsin∠ABCacsin，即ac＝10，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accos∠ABC，
所以19＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac ，即（a+c）2＝49，
所以a+c＝7．
②因为∠ABC的角平分线BD交AC于点D，
所以∠ABD＝∠CBD∠ABC，
因为S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
所以BD csin∠ABDBD asin∠CBDBD（a+c）sinBD 7，
所以BD．
16．在△ABC中，角A、B、C对应边为a、b、c，其中b＝2．
（1）若A+C，且a＝2c，求边长c的值；
（2）若A﹣CcsinA，求△ABC的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由a＝2c，可得sinA＝2sinC，结合，得，
即，则，
可得，
由于，故，
则，
故，
得；
（2）由题意知，故，
由于sinA＞0，故，结合，可知C为锐角，则，
故，，sinB＝sinsin （）＝sincoscossin，
故，得c；
所以S△ABC．
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2+c2＝a2+bc．
（1）若sinC＝3sinB，b＝1，求△ABC的面积；
（2）若b+c＝2，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）[1，2）．
【解答】解：（1）由题意，sinC＝3sinB，b＝1，
所以，
所以c＝3b＝3，
可得，
由于A∈（0，π），
可得，
可得△ABC的面积；
（2）由题意及均值不等式可得：
a2＝b2+c2﹣bc
＝（b+c）2﹣3bc
＝1，当且仅当b＝c＝1时等号成立，
可得a≥1，
又b+c＞a，可得a＜2，
可得a的取值范围是[1，2）．
18．已知函数．
（1）若，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，2a2＝2c2+bc，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为sinx
sinxcosx
＝sin（x），
且，可得，
所以，
即函数f（x）的值域为；
（2）由得，，
由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣bc，
又2a2＝2c2+bc，即2（b2+c2﹣bc）＝2c2+bc，即，
可得，即，
由正弦定理可得：．
19．已知点M（sinxcosx，sin2x），，O为坐标原点，函数．
（1）求f（x）的解析式及最小正周期．
（2）三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，AB＝2AC，BD＝2．若，求△ACD的面积．
【答案】（1），最小正周期为π；
（2）或．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
则f（x）的最小正周期T＝π；
（2）因为，所以，
因为A∈（0，π），所以，则或，
所以或；
当时，因为AB＝2AC，所以，
所以AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC，所以，所以，
又AD为∠BAC的角平分线，所以，所以AD＝BD＝2，
所以CD＝AD sin∠CAD＝1，，
所以；
当时，因为，所以，，
因为AD为∠BAC的角平分线，所以，
在△ABD中，由正弦定理得：，
因为，所以在△ACD中，由正弦定理得：，
因为sin∠CDA＝sin（∠BAD+∠B）＝sin∠BADcosB+cos∠BADsinB，
所以，
综上所述：△ACD的面积为或．
20．如图，有一条宽为60m的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC）养殖观赏鱼，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE＝h1，AD＝h2，C，B两点分别在两岸l1，l2上，设∠ABD＝α．
（1）若α＝30°，求养殖区域面积的最大值；
（2）现拟沿着养殖区域△ABC三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若h1＝30m，求观赏长廊总长f（α）的最小值．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】（1）α＝30°时，，
所以，
又因为（当且仅当h1＝h2时等号成立），
所以h1h2≤900，
于是，
因此，养殖区域面积的最大值为．
（2）由题意，，
所以，
所以△ABC的周长，
其中．
设t＝sinα+cosα，则，
所以．
所以，
于是当时，，
因此，观赏长廊总长的最小值为．第11章第3节 正弦定理、余弦定理的应用
题型1 三角形中的几何计算 题型2 解三角形
▉题型1 三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
1．在△ABC中，已知AB＝2，点O为三角形的外接圆的圆心，若，且x+2y＝1，则△ABC的面积的最大值为（　　）
A．2 B．8 C．16 D．18
2．在△ABC中，“”是“sin2A+sin2B＝1”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，则a＝（　　）
A．5 B．8 C． D．
4．若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．如图，已知在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．若b＝c，且满足，则其布洛卡角θ的正切值为（　　）
A． B． C． D．
5．学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了600m到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则青城山的山高PQ为（　　）
A． B．
C． D．
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（a﹣c）2＝b2﹣ac，则∠B为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△PAC中，B是边AC上的点，其中，，，，则AB＝（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点M在AB上，CM与BD交于点E，若，则图中阴影部分的面积占四边形ABCD面积的（　　）
A． B． C． D．
9．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若，则C＝（　　）
A． B． C． D．
10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinA+bsinB＝asinB+csinC．
（1）求C；
（2）若ab＝6，c，求△ABC的周长．
▉题型2 解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
11．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为（　　）时，所遮阴影面ABC′面积达到最大．
A．75° B．60° C．50° D．45°
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，其外接圆半径R，内切圆半径r，sinA：sinB：sinC＝2：3：4．
①若△ABC面积为，则△ABC的周长为　　 ；
②若，则△ABC的内切圆半径r＝　　 ．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝b2+c2﹣bc．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c＝4，△ABC的面积为，求a的值．
14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若c＝3，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，满足（，cosB），（cosC，），且acosB．
（1）求B的值；
（2）若b，△ABC的面积是，∠ABC的角平分线BD交AC于点D．
①求a+c；
②求BD的值．
16．在△ABC中，角A、B、C对应边为a、b、c，其中b＝2．
（1）若A+C，且a＝2c，求边长c的值；
（2）若A﹣CcsinA，求△ABC的面积．
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2+c2＝a2+bc．
（1）若sinC＝3sinB，b＝1，求△ABC的面积；
（2）若b+c＝2，求a的取值范围．
18．已知函数．
（1）若，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，2a2＝2c2+bc，求的值．
19．已知点M（sinxcosx，sin2x），，O为坐标原点，函数．
（1）求f（x）的解析式及最小正周期．
（2）三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，AB＝2AC，BD＝2．若，求△ACD的面积．
20．如图，有一条宽为60m的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC）养殖观赏鱼，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE＝h1，AD＝h2，C，B两点分别在两岸l1，l2上，设∠ABD＝α．
（1）若α＝30°，求养殖区域面积的最大值；
（2）现拟沿着养殖区域△ABC三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若h1＝30m，求观赏长廊总长f（α）的最小值．

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