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第12章第1节 复数的概念
题型1 虚数单位i及其性质 题型2 复数的实部与虚部
题型3 纯虚数 题型4 复数的相等
▉题型1 虚数单位i及其性质
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数．
【解题方法点拨】
虚数单位i是定义为满足i2＝﹣1的数．虚数单位是复数运算中的基本元素，用于构造复数，并解决涉及负平方根的问题．
1．已知z1，z2∈C，语句α：z1，z2中至少有一个为虚数，语句β：z1﹣z2为虚数．则α是β的（　　）条件．
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解答】解：若z1、z2皆是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，
因此当z1﹣z2是虚数时，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；
当z1、z2中至少有一个数是虚数，z1﹣z2不一定是虚数，如z1＝z2＝i，即充分性不成立．
故选：C．
（多选）2．已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0＝cosx+isinx为单位复数，复数z1＝a+bi为伴随复数，复数z＝z0z1＝f（x）+g（x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（x），则正确的说法有（　　）
A．f（x）＝acosx﹣bsinx
B．g（x）＝asinx﹣bcosx
C．若，则a，b＝﹣1
D．若a，b＝﹣1且g（x），则锐角x的正弦值sinx
【答案】AD
【解答】解：因为z＝z0z1＝f（x）+g（x）i＝（acosx﹣bsinx）+（asinx+bcosx）i，
所以f（x）＝acosx﹣bsinx，g（x）＝asinx+bcosx，
故选项A正确，选项B错误；
因为f（x），
所以a，b＝1，
故选项C错误；
因为g（x）＝asinx+bcosx，
所以，
又因为x为锐角，则，
所以，
故sinx＝sin[（x）]＝sin（x）coscos（x）sin，
故选项D正确．
故选：AD．
▉题型2 复数的实部与虚部
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
【解题方法点拨】
﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．
﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．
3．若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由（2﹣i）z＝i4×505+2＝﹣1，
得，
则，即的虚部为．
故选：B．
4．（1+5i）i的虚部为（　　）
A．﹣1 B．5 C．1 D．﹣5
【答案】C
【解答】解：（1+5i）i＝﹣5+i的虚部为1．
故选：C．
5．已知i为虚数单位，复数z满足z＝2﹣i，则下列说法正确的是（　　）
A．复数z的模为5
B．复数z的共轭复数为﹣2﹣i
C．复数z的虚部为﹣i
D．复数z在复平面内对应的点在第四象限
【答案】D
【解答】解：对于A，因为，故A不正确；
对于B，因为，故B不正确；
对于C，因为复数z的虚部为﹣1，故C不正确；
对于D，因为复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，
故D正确．
故选：D．
6．若复数的实部与虚部相等，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：复数1+a+i的实部与虚部相等，
得﹣1+a＝1，即a的值为2．
故选：D．
7．复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
则复数的虚部为．
故选：D．
▉题型3 纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．
8．若复数z＝a+1+（2a﹣4）i（a∈R）为纯虚数，则a＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：因为复数z＝a+1+（2a﹣4）i（a∈R）为纯虚数，
所以，解得a＝﹣1．
故选：C．
9．已知复数z＝m+（m﹣1）i（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】C
【解答】解：复数z＝m+（m﹣1）i（i为虚数单位），z为纯虚数，
则，解得m＝0．
故选：C．
10．已知复数z1＝2+i，z2＝﹣2+2i，则（　　）
A．z1+z2为实数 B．|z1+z2|＝2
C．z1+z2的虚部为2 D．z1+z2为纯虚数
【答案】D
【解答】解：z1＝2+i，z2＝﹣2+2i，
则z1+z2＝3i，其虚部为3，故A、C错误，D正确；
，故B错误．
故选：D．
11．已知复数z＝a2﹣1+（a2﹣2a﹣3）i为纯虚数，则实数a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或1
【答案】B
【解答】解：因为复数z＝a2﹣1+（a2﹣2a﹣3）i是纯虚数，
所以a2﹣1＝0且a2﹣2a﹣3≠0，解得a＝1．
故选：B．
12．复数z是纯虚数的一个充分条件为（　　）
A． B．
C．|z﹣1|＝|z+1| D．|z﹣i|+|z﹣3i|＝2
【答案】D
【解答】解：对于A，设z＝a+bi（a，b∈R），则，
因为，所以a+bi＝a﹣bi，即2bi＝0，所以b＝0，
此时z＝a为实数，不是纯虚数，故A错误；
对于B，设z＝a+bi（a，b∈R），则，
因为，解得a＝0，
此时z＝bi，当b＝0 时，z＝0不是纯虚数，故B错误；
对于C，设z＝a+bi（a，b∈R），
则，
，
由|z﹣1|＝|z+1|可得 ，
两边同时平方得（a﹣1）2+b2＝（a+1）2+b2，
展开可得2a+1+b2，化简得4a＝0，即a＝0，
当b＝0时，z＝0不是纯虚数，故C错误；
对于D，设z＝a+bi（a，b∈R），则，，
因为|z﹣i|+|z﹣3i|＝2表示复平面上点Z（a，b） 到点（0，1）和点（0，3）的距离之和为 2，
且点（0，1）和点（0，3）之间的距离为|3﹣1|＝2，
所以点Z（a，b）在线段x＝0（1≤y≤3）上，即a＝0且1≤b≤3，满足a＝0且b≠0，所以z是纯虚数，
若z是纯虚数，设z＝bi（b∈R），则|z﹣i|+|z﹣3i|＝|（b﹣1）i|+|（b﹣3）i|＝|b﹣1|+|b﹣3|，
当1≤b≤3时，|b﹣1|+|b﹣3|＝b﹣1+3﹣b＝2，
所以|z﹣i|+|z﹣3i|＝2是复数z是纯虚数的一个充分条件，故D正确．
故选：D．
13．若复数，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：依题意，，
由复数，i为虚数单位）是纯虚数，则，解得a＝﹣3，
所以实数a的值为﹣3．
故选：A．
▉题型4 复数的相等
【知识点的认识】
复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．
【解题方法点拨】
﹣比较分量：通过比较两个复数的实部和虚部，判断它们是否相等．
﹣应用：在复数方程中使用复数相等的条件求解未知数．
14．设z1、z2均是复数，则“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：由z1、z2均是复数，知：
“z12+z22＝0”推不出“z1＝z2＝0”，
比如：i2+12＝0，i≠0，且1≠0，
“z1＝z2＝0” “z12+z22＝0”，
∴“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的必要不充分条件．
故选：B．
15．已知a，b∈R，且，其中i是虚数单位，则a+b＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
【答案】D
【解答】解：由，得a﹣3i＝（1+2i）（b+i）＝（b﹣2）+（2b+1）i，
则，解得．
∴a+b＝﹣6．
故选：D．
（多选）16．已知z1，z2∈C，设z1＝1+i，z2＝a+bi（a，b∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．若z1+z2∈R，则z2＝﹣1﹣i
B．若，则
C．若，则
D．若|z2|＝2，则|z2+4|的最大值为8
【答案】BC
【解答】解：A选项，设z2＝2﹣i，显然满足z1+z2∈R，但z2≠﹣1﹣i，A选项错误；
B选项，由，得（1+i）2+（a+bi）2＝0，所以a2﹣b2+2（1+ab）i＝0，
则解得或，所以，B选项正确；
C选项，由，得，所以，C选项正确；
D选项，若|z2|＝2，则复数z2对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
|z2+4|表示圆上的点与点（﹣4，0）的距离，则距离的最大值为4+2＝6，D选项错误．
故选：BC．
17．i为虚数单位，i2026+i＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝ 　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：因为i4＝1，i2＝﹣1，
所以i2026+i＝（i4）506 i2+i＝﹣1+i＝a+bi，
所以a＝﹣1，b＝1，即a+b＝0．
故答案为：0．
18．已知复数，θ∈（0，π），若z1＝z2，求实数a的取值范围 　[10，+∞）　 ．
【答案】[10，+∞）．
【解答】解：∵z1＝z2，
∴asinθ＝m2+1，2sinθ+4＝2m，
∴，
∵θ∈（0，π），
∴0＜sinθ≤1，令t＝sinθ∈（0，1]，
根据对勾函数单调性可知函数在（0，1]上严格单调递减，
∴，
所以a的范围为[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．
19．若复数z＝﹣1+ai（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a的值为 　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：由复数z＝﹣1+ai（i为虚数单位）的实部和虚部相等，得a＝﹣1，则实数a的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
20．任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），其中i为虚数单位，r＝|z|0，θ∈[0，2π）．
棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立．设两个复数用三角函数形式表示为：z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则：z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
如果令z1＝z2＝…＝zn＝z，则能导出复数乘方公式：zn＝rn（cosnθ+isinnθ）．
请用以上知识解决以下问题．
（1）试将z3i写成三角形式；
（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：sin3θ＝3sinθ﹣4sin3θ；cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ；
（3）计算：cos4θ+cos4（θ+120°）+cos4（θ﹣120°）的值．
【答案】（1）z（cosisin）；
（2）见解析；
（3）．
【解答】解：（1）若z3i，则|z|，可得z＝2（i），
当θ∈[0，2π）时，满足cosθ，sinθ的角θ，
所以将z3i写成三角形式为z（cosisin）．
（2）设模为1的复数z＝cosθ+isinθ，
则z3＝（cosθ+isinθ）3＝cos3θ+3（cos2θ） （isinθ）+3（cosθ） （isinθ）2+（isinθ）3
＝cos3θ+i（3cos2θ sinθ）﹣3cosθsin2θ﹣isin3θ＝（cos3θ﹣3cosθsin2θ）+i（3cos2θ sinθ﹣sin3θ），
由复数乘方公式，得z3＝cos3θ+isin3θ，
所以sin3θ＝3cos2θ sinθ﹣sin3θ＝3（1﹣sin2θ） sinθ﹣sin3θ＝3sinθ﹣4sin3θ，
cos3θ＝cos3θ﹣3cosθsin2θ＝cos3θ﹣3cosθ（1﹣cos2θ）＝4cos3θ﹣3cosθ，原等式成立．
（3）首先证明一个结论：不论x为何值，cosx+cos（x+120°）+cos（x﹣120°）＝0．
因为cos（x+120°）cosxsinx，cos（x﹣120°）cosxsinx，
所以cosx+cos（x+120°）+cos（x﹣120°）＝cosx+（cosxsinx）+（cosxsinx）＝0．
由（2）的结论知cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，得4cos3θ＝cos3θ+3cosθ，
两边都乘以cosθ，可得4cos4θ＝cos3θcosθ+3cos2θ（cos4θ+cos2θ）（1+cos2θ）cos4θ+2cos2θ，
所以cos4θ（cos4θ+2cos2θ）（cos4θ+4cos2θ+3），
可得cos4（θ+120°）[cos（4θ+480°）+4cos（2θ+240°）+3][cos（4θ+120°）+4cos（2θ﹣120°）+3]，
cos4（θ﹣120°）[cos（4θ﹣480°）+4cos（2θ﹣240°）+3][cos（4θ﹣120°）+4cos（2θ+120°）+3]，
所以cos4θ+cos4（θ+120°）+cos4（θ﹣120°）
[（cos4θ+4cos2θ+3）][cos（4θ+120°）+4cos（2θ﹣120°）+3][cos（4θ﹣120°）+4cos（2θ+120°）+3]
[cos4θ+cos（4θ+120°）+cos（4θ﹣120°）][cos2θ+cos（2θ﹣120°）+cos（2θ+120°）]
．第12章第1节 复数的概念
题型1 虚数单位i及其性质 题型2 复数的实部与虚部
题型3 纯虚数 题型4 复数的相等
▉题型1 虚数单位i及其性质
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数．
【解题方法点拨】
虚数单位i是定义为满足i2＝﹣1的数．虚数单位是复数运算中的基本元素，用于构造复数，并解决涉及负平方根的问题．
1．已知z1，z2∈C，语句α：z1，z2中至少有一个为虚数，语句β：z1﹣z2为虚数．则α是β的（　　）条件．
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
（多选）2．已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0＝cosx+isinx为单位复数，复数z1＝a+bi为伴随复数，复数z＝z0z1＝f（x）+g（x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（x），则正确的说法有（　　）
A．f（x）＝acosx﹣bsinx
B．g（x）＝asinx﹣bcosx
C．若，则a，b＝﹣1
D．若a，b＝﹣1且g（x），则锐角x的正弦值sinx
▉题型2 复数的实部与虚部
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
【解题方法点拨】
﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．
﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．
3．若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
4．（1+5i）i的虚部为（　　）
A．﹣1 B．5 C．1 D．﹣5
5．已知i为虚数单位，复数z满足z＝2﹣i，则下列说法正确的是（　　）
A．复数z的模为5
B．复数z的共轭复数为﹣2﹣i
C．复数z的虚部为﹣i
D．复数z在复平面内对应的点在第四象限
6．若复数的实部与虚部相等，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
▉题型3 纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．
8．若复数z＝a+1+（2a﹣4）i（a∈R）为纯虚数，则a＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
9．已知复数z＝m+（m﹣1）i（i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
10．已知复数z1＝2+i，z2＝﹣2+2i，则（　　）
A．z1+z2为实数 B．|z1+z2|＝2
C．z1+z2的虚部为2 D．z1+z2为纯虚数
11．已知复数z＝a2﹣1+（a2﹣2a﹣3）i为纯虚数，则实数a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或1
12．复数z是纯虚数的一个充分条件为（　　）
A． B．
C．|z﹣1|＝|z+1| D．|z﹣i|+|z﹣3i|＝2
13．若复数，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
▉题型4 复数的相等
【知识点的认识】
复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．
【解题方法点拨】
﹣比较分量：通过比较两个复数的实部和虚部，判断它们是否相等．
﹣应用：在复数方程中使用复数相等的条件求解未知数．
14．设z1、z2均是复数，则“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．已知a，b∈R，且，其中i是虚数单位，则a+b＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
（多选）16．已知z1，z2∈C，设z1＝1+i，z2＝a+bi（a，b∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．若z1+z2∈R，则z2＝﹣1﹣i
B．若，则
C．若，则
D．若|z2|＝2，则|z2+4|的最大值为8
17．i为虚数单位，i2026+i＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝ 　　 ．
18．已知复数，θ∈（0，π），若z1＝z2，求实数a的取值范围 　　 ．
19．若复数z＝﹣1+ai（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a的值为 　　 ．
20．任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），其中i为虚数单位，r＝|z|0，θ∈[0，2π）．
棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立．设两个复数用三角函数形式表示为：z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则：z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
如果令z1＝z2＝…＝zn＝z，则能导出复数乘方公式：zn＝rn（cosnθ+isinnθ）．
请用以上知识解决以下问题．
（1）试将z3i写成三角形式；
（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：sin3θ＝3sinθ﹣4sin3θ；cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ；
（3）计算：cos4θ+cos4（θ+120°）+cos4（θ﹣120°）的值．

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