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第12章第2节 复数的运算
题型1 共轭复数 题型2 复数的加、减运算及其几何意义
题型3 复数的乘法及乘方运算 题型4 复数的除法运算
题型5 复数的混合运算
▉题型1 共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
1．设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝﹣1+2i，则为（　　）
A． B．5 C．2 D．
【答案】D
【解答】解：（1+i）z＝﹣1+2i，
则z（﹣1+3i﹣2i2）（1+3i）i，
∴i，∴（i）（i）．
故选：D．
2．若复数z的共轭复数，则（　　）
A．12+3i B．12﹣3i C．4﹣3i D．﹣4+3i
【答案】B
【解答】解：由，得z＝4+3i，
则4+3i+2（4﹣3i）＝4+8+3i﹣6i＝12﹣3i．
故选：B．
3．复数的共轭复数的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【答案】B
【解答】解：，其共轭复数为﹣2+i，
故所求复数的虚部为1．
故选：B．
4．复数z＝1+i+i2+i3+i4+i5，则在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：由i2＝﹣1，所以z＝1+i﹣1﹣i+1+i＝1+i，
故而，所以在复平面内所对应的点位于第四象限．
故选：D．
5．复数z＝1﹣i3的共轭复数是（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】A
【解答】解：因为z＝1﹣i3＝1﹣（﹣i）＝1+i，
所以z＝1﹣i3的共轭复数是1﹣i．
故选：A．
▉题型2 复数的加、减运算及其几何意义
【知识点的认识】
﹣加法：两个复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的和是（a1+a2）+（b1+b2）i．
﹣减法：两个复数z1和z2的差是（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i．
﹣几何意义：加法和减法可以看作是复平面中向量的平移操作．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对复数的实部和虚部进行加减．
﹣几何解释：将复数加减看作平面上的向量操作，如平移或位移．
6．已知复数z满足|z﹣2﹣2i|＝2，则|z|最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：|z﹣2﹣2i|＝2表示复平面内复数z对应的点在以点（2，2）为圆心，2为半径的圆上，
所以|z|最大值为．
故选：D．
7．已知复数z满足|z﹣i|＝1，则|z|的取值范围是（　　）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，2） D．[0，2]
【答案】D
【解答】解：因为在复平面内，
|z﹣i|＝1表示到点（0，1）距离为1的所有复数对应的点，
即|z﹣i|＝1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，
|z|表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，
最长距离为1+1＝2，
则|z|的取值范围是[0，2]．
故选：D．
8．已知复数z和，则下列说法正确的是（　　）
A．z一定是实数
B．z一定是虚数
C．若，则z是纯虚数
D．若z0，则z是纯虚数
【答案】A
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R），
则，
故∈R，故A正确；
当z＝0时，BCD均不符合，故BCD错误．
故选：A．
9．已知i为虚数单位，z为复数，则下列命题正确的是（　　）
A．若z2+1＝0，则z＝i
B．若z的实部为0，则z是纯虚数
C．若z＝2+i，则z的虚部是i
D．若，则
【答案】D
【解答】解：若z2+1＝0，则z＝±i，故A错误；
若z＝0符合题意，且0不是纯虚数，故B错误；
复数z＝2+i的虚部是1，故C错误；
设z＝a+bi（a，b∈R），则，
所以，即a＝1，b＝2，所以，故D正确．
故选：D．
10．若（1﹣i）+（2+3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a﹣b＝（　　）
A．5 B．1 C．0 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：（1﹣i）+（2+3i）＝a+bi，
则3+2i＝a+bi，
故a＝3，b＝2，
所以a﹣b＝1．
故选：B．
11．已知复数z1，z2满足z1＝iz2且，则对于任意的复数z，的最小值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），根据题意可知，，
所以，，
根据对称性，不妨取z1＝1，z2＝﹣i，
则|z﹣z1|，|z﹣z2|，|z+z2|的几何意义为复平面中到点A（1，0），B（0，﹣1），C（0，1）的距离，
∴，
如图，将△ACP顺时针旋转90°得到△ADE，D（2，1），
则AP⊥AE，AP＝AE，所以，
又△ACP △ADE，所以PC＝ED，
所以．
故答案为：．
▉题型3 复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
【解题方法点拨】
﹣直接计算：使用复数的分量进行乘法运算．
﹣极坐标形式：利用极坐标形式进行复数乘方运算，简化计算过程．
12．已知复数z1＝2﹣i，z2＝a+2i（其中i为虚数单位，a∈R）．若z1 z2是纯虚数，则a＝（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【答案】B
【解答】解：z1 z2＝（2﹣i）（a+2i）＝（2a+2）+（4﹣a）i，
因为z1 z2是纯虚数，所以 a＝﹣1．
故选：B．
13．已知复数z＝（3+i）（2﹣ai），a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，则a＝（　　）
A． B．6 C．﹣6 D．
【答案】C
【解答】解：z＝（3+i）（2﹣ai）＝6+a+（2﹣3a）i，
由z为纯虚数，得，即a＝﹣6．
故选：C．
14．若复数z满足（z﹣i）（1+2i）＝5，则z （　　）
A．5 B．2 C． D．1
【答案】B
【解答】解：由（z﹣i）（1+2i）＝5，
得z﹣i，
则z＝1﹣i．
所以，．
故选：B．
15．设z＝2+i，则（　　）
A．3+4i B．3﹣4i C．1+6i D．1﹣6i
【答案】A
【解答】解：z＝2+i，则（2+i）（2﹣i+2i）＝（2+i）（2+i）＝4+4i+i2＝3+4i．
故选：A．
16．已知复数z满足2﹣zi＝3i，则z＝（　　）
A．﹣3﹣2i B．﹣3+2i C．3+2i D．3﹣2i
【答案】A
【解答】解：2﹣zi＝3i，
则zi＝2﹣3i，即z3﹣2i．
故选：A．
17．i2025＝（　　）
A．0 B．1 C．i D．﹣i
【答案】C
【解答】解：i4＝1，
则i2025＝i4×506+1＝i．
故选：C．
▉题型4 复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
18．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：，
则在复平面内复数对应的点为（7，﹣3），位于第四象限．
故选：D．
19．已知z＝1+i，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题可得：．
故选：A．
20．已知复数z满足z（1﹣i）＝|1+i|2，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i
【答案】C
【解答】解：因为z（1﹣i）＝|1+i|2＝（）2＝2，
所以z1+i．
所以z的虚部为1．
故选：C．
21．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为，
所以z+1＝2i（z﹣1），
所以1+2i＝z（2i﹣1），
则，
所以．
故选：D．
22．已知复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：复数z满足，
则z＝（1﹣i）（﹣2+i）＝﹣1+3i，
故，
故复数z的共轭复数在复平面内对应的点（﹣1，﹣3）位于第三象限．
故选：C．
23．若复数z满足z （1﹣i）＝|1﹣i|2，则z＝（　　）
A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i
【答案】A
【解答】解：由z （1﹣i）＝|1﹣i|2＝2，
得z．
故选：A．
▉题型5 复数的混合运算
【知识点的认识】
复数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法的组合运算．混合运算需要按照运算优先级处理，确保准确性．
【解题方法点拨】
﹣运算顺序：根据运算优先级（括号、乘除、加减）进行混合运算．
﹣应用：在复数计算中应用混合运算解决复杂问题．
24．已知复数z满足，则z的虚部为（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【答案】B
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
由，得2（a+bi）+a﹣bi＝3﹣i，
即3a+bi＝3﹣i，得a＝1，b＝﹣1，
所以z的虚部为﹣1．
故选：B．
25．复数的虚部为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i
【答案】A
【解答】解：因为
1﹣3i，
故虚部为﹣3．
故选：A．
26．已知复数z满足i2027 z＝1+2i，则复数z在复平面对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：根据i2027＝i2024 i3＝i3＝﹣i，
结合i2027 z＝1+2i，可得﹣iz＝1+2i，
两边都乘以i，可得z＝i（1+2i）＝﹣2+i，对应的点为（﹣2，1），在第二象限．
故选：B．
27．（2﹣i）（1﹣4i）＝（　　）
A．﹣9﹣2i B．﹣2﹣9i C．6﹣9i D．2﹣9i
【答案】B
【解答】解：由题意，（2﹣i）（1﹣4i）＝2﹣8i﹣i﹣4＝﹣2﹣9i．
故选：B．
28．若复数z＝x+yi（x，y∈R），满足，则x+y的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵z＝x+yi（x，y∈R），∴，
由，得（2+i）（1﹣i）＝x﹣yi+x＝2x﹣yi，
可得3﹣i＝2x﹣yi，则2x＝3，y＝1，即x，y＝1，
∴．
故选：A．第12章第2节 复数的运算
题型1 共轭复数 题型2 复数的加、减运算及其几何意义
题型3 复数的乘法及乘方运算 题型4 复数的除法运算
题型5 复数的混合运算
▉题型1 共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
1．设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝﹣1+2i，则为（　　）
A． B．5 C．2 D．
2．若复数z的共轭复数，则（　　）
A．12+3i B．12﹣3i C．4﹣3i D．﹣4+3i
3．复数的共轭复数的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
4．复数z＝1+i+i2+i3+i4+i5，则在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．复数z＝1﹣i3的共轭复数是（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
▉题型2 复数的加、减运算及其几何意义
【知识点的认识】
﹣加法：两个复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的和是（a1+a2）+（b1+b2）i．
﹣减法：两个复数z1和z2的差是（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i．
﹣几何意义：加法和减法可以看作是复平面中向量的平移操作．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对复数的实部和虚部进行加减．
﹣几何解释：将复数加减看作平面上的向量操作，如平移或位移．
6．已知复数z满足|z﹣2﹣2i|＝2，则|z|最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知复数z满足|z﹣i|＝1，则|z|的取值范围是（　　）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，2） D．[0，2]
8．已知复数z和，则下列说法正确的是（　　）
A．z一定是实数
B．z一定是虚数
C．若，则z是纯虚数
D．若z0，则z是纯虚数
9．已知i为虚数单位，z为复数，则下列命题正确的是（　　）
A．若z2+1＝0，则z＝i
B．若z的实部为0，则z是纯虚数
C．若z＝2+i，则z的虚部是i
D．若，则
10．若（1﹣i）+（2+3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a﹣b＝（　　）
A．5 B．1 C．0 D．﹣3
11．已知复数z1，z2满足z1＝iz2且，则对于任意的复数z，的最小值为　　 ．
▉题型3 复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
【解题方法点拨】
﹣直接计算：使用复数的分量进行乘法运算．
﹣极坐标形式：利用极坐标形式进行复数乘方运算，简化计算过程．
12．已知复数z1＝2﹣i，z2＝a+2i（其中i为虚数单位，a∈R）．若z1 z2是纯虚数，则a＝（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
13．已知复数z＝（3+i）（2﹣ai），a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，则a＝（　　）
A． B．6 C．﹣6 D．
14．若复数z满足（z﹣i）（1+2i）＝5，则z （　　）
A．5 B．2 C． D．1
15．设z＝2+i，则（　　）
A．3+4i B．3﹣4i C．1+6i D．1﹣6i
16．已知复数z满足2﹣zi＝3i，则z＝（　　）
A．﹣3﹣2i B．﹣3+2i C．3+2i D．3﹣2i
17．i2025＝（　　）
A．0 B．1 C．i D．﹣i
▉题型4 复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
18．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
19．已知z＝1+i，则（　　）
A． B． C． D．
20．已知复数z满足z（1﹣i）＝|1+i|2，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i
21．若，则（　　）
A． B． C． D．
22．已知复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．若复数z满足z （1﹣i）＝|1﹣i|2，则z＝（　　）
A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i
▉题型5 复数的混合运算
【知识点的认识】
复数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法的组合运算．混合运算需要按照运算优先级处理，确保准确性．
【解题方法点拨】
﹣运算顺序：根据运算优先级（括号、乘除、加减）进行混合运算．
﹣应用：在复数计算中应用混合运算解决复杂问题．
24．已知复数z满足，则z的虚部为（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
25．复数的虚部为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i
26．已知复数z满足i2027 z＝1+2i，则复数z在复平面对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
27．（2﹣i）（1﹣4i）＝（　　）
A．﹣9﹣2i B．﹣2﹣9i C．6﹣9i D．2﹣9i
28．若复数z＝x+yi（x，y∈R），满足，则x+y的值为（　　）
A． B． C． D．

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