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第12章第3节 复数的几何意义
题型1 复数对应复平面中的点 题型2 由复平面中的点确定复数
题型3 复数的模
▉题型1 复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
1．在复平面内，复数（2+3i）（1﹣2i）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数，则在复平面内z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在复平面内，对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．在复平面内，O为原点，向量，对应的复数分别为2+3i，﹣1+4i，那么向量对应的复数的虚部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
▉题型2 由复平面中的点确定复数
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣从点到复数：通过点的坐标（x，y），直接确定复数x+yi．
﹣几何解释：理解复数的几何意义并应用于实际问题中．
6．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（　　）
A．1i B．1i C．﹣1i D．﹣1i
7．在复平面内，已知复数z1＝1﹣i对应的向量为，现将向量绕点O逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为z2，则（　　）
A．2i B． C．2 D．
8．已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，则这个正方形的第4个顶点所对应的复数z4＝（　　）
A．2﹣i B．﹣2+i C．2+i D．﹣2﹣i
9．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣2，1），则i z＝（　　）
A．1+2i B．﹣2+i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
10．设是复数z的共轭复数．在复平面内，复数z+2与对应的点关于y轴对称，则 　 ．
11．已知复数z与复平面内的点（1，2）对应，则 　．
12．已知复数z满足2z3﹣2i，其中i为虚数单位．
（1）求z；
（2）若复数z，2﹣i在复平面xOy内对应的点分别为A，B，若四边形OABC是复平面内的平行四边形，求点C对应的复数．
▉题型3 复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
13．若z1＝2+2i，z2＝1﹣i，则|z1+z2|＝（　　）
A． B． C．3 D．
14．已知z∈C，且|z﹣1|＝1，i为虚数单位，则|z﹣2i|的最大值是（　　）
A． B． C．2 D．
15．若复数z满足，则|z|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
16．已知复数z满足|z﹣2i|＝1，则|z|的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．已知复数z＝a+（a﹣2）i（a∈R）的虚部是实部的3倍，则|z|＝（　　）
A．4 B． C．3 D．
18．已知复数z满足z i＝（1+i），则|z|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
19．已知复数z＝3+4i（i为虚数单位），则（　　）
A．5 B．3 C． D．
20．已知复数z＝i（1﹣2i），则|z|＝（　　）
A．1 B．2 C． D．5
21．已知复数z＝1﹣i，则|z|＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
22．设i为虚数单位，复数z＝cosθ+isinθ（θ∈R），则|z﹣i|的最大值为　　 ．第12章第3节 复数的几何意义
题型1 复数对应复平面中的点 题型2 由复平面中的点确定复数
题型3 复数的模
▉题型1 复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
1．在复平面内，复数（2+3i）（1﹣2i）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：（2+3i）（1﹣2i）＝2+3i﹣4i﹣6i2＝8﹣i，
故复数在复平面内对应的点为（8，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
2．已知复数，则在复平面内z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：，
故对应的点为（﹣1，﹣1），在第三象限．
故选：C．
3．在复平面内，对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：因为i2025＝i，
所以
，
在复平面内，对应的点的坐标为（﹣2026，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
4．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解答】解：因为，
所以由复数的几何意义可知，z对应的点坐标为，位于第一象限．
故选：A．
5．在复平面内，O为原点，向量，对应的复数分别为2+3i，﹣1+4i，那么向量对应的复数的虚部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
【答案】B
【解答】解：由向量，对应的复数分别为2+3i，﹣1+4i，可知，（﹣1，4），
可得（﹣1，4）﹣（2，3）＝（﹣3，1），
所以向量对应的复数为﹣3+i，其虚部为1．
故选：B．
▉题型2 由复平面中的点确定复数
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣从点到复数：通过点的坐标（x，y），直接确定复数x+yi．
﹣几何解释：理解复数的几何意义并应用于实际问题中．
6．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（　　）
A．1i B．1i C．﹣1i D．﹣1i
【答案】B
【解答】解：因为复数z对应的点的坐标是，
所以z＝1i，因此1i．
故选：B．
7．在复平面内，已知复数z1＝1﹣i对应的向量为，现将向量绕点O逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为z2，则（　　）
A．2i B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：复数z1＝1﹣i对应的向量为，
则，
将向量绕点O逆时针旋转90°所得向量坐标为x，y，x＞0，
则，解得x＝y＝1，
故，即z2＝2+2i，
所以．
故选：A．
8．已知复数在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，则这个正方形的第4个顶点所对应的复数z4＝（　　）
A．2﹣i B．﹣2+i C．2+i D．﹣2﹣i
【答案】B
【解答】解：由，
设复数z1＝1+2i，z2＝2﹣i，z3＝﹣1﹣2i在复平面上分别对应点A（1，2），B（2，﹣1），C（﹣1，﹣2），
设正方形的第四个顶点对应的坐标是D（x，y），则其对应的复数为x+yi，x，y∈R，
结合对应点的位置特征知：，又，
∴（x﹣1，y﹣2）＝（﹣3，﹣1），∴x﹣1＝﹣3，y﹣2＝﹣1，
∴x＝﹣2，y＝1，故这个正方形的第四个顶点对应的复数是﹣2+i．
故选：B．
9．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣2，1），则i z＝（　　）
A．1+2i B．﹣2+i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
【答案】D
【解答】解：∵复数z对应的点的坐标是（﹣2，1），
∴z＝﹣2+i，
∴i z＝i（﹣2+i）＝﹣2i+i2＝﹣1﹣2i．
故选：D．
10．设是复数z的共轭复数．在复平面内，复数z+2与对应的点关于y轴对称，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则，z+2＝（a+2）+bi，
因为复数z+2与对应的点关于y轴对称，
所以a+2+a＝0且b＝2﹣b，解得a＝﹣1，b＝1，
则．
故答案为：．
11．已知复数z与复平面内的点（1，2）对应，则 　﹣1+i ．
【答案】﹣1+i．
【解答】解：∵复数z与复平面内的点（1，2）对应，
∴z＝1+2i，
则．
故答案为：﹣1+i．
12．已知复数z满足2z3﹣2i，其中i为虚数单位．
（1）求z；
（2）若复数z，2﹣i在复平面xOy内对应的点分别为A，B，若四边形OABC是复平面内的平行四边形，求点C对应的复数．
【答案】（1）z＝1﹣2i；
（2）1+i．
【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则，
故，
所以解得：a＝1，b＝﹣2，
∴z＝1﹣2i；
（2）由（1）得：A（1，﹣2），B（2，﹣1），
因为四边形OABC是复平面内的平行四边形，
所以
故点C对应的复数为1+i．
▉题型3 复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
13．若z1＝2+2i，z2＝1﹣i，则|z1+z2|＝（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解答】解：由z1＝2+2i，z2＝1﹣i，
得z1+z2＝（2+2i）+（1﹣i）＝3+i，
则|z1+z2|．
故选：A．
14．已知z∈C，且|z﹣1|＝1，i为虚数单位，则|z﹣2i|的最大值是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：由复数模的几何意义可知|z﹣1|＝1表示以C（1，0）为圆心，r＝1为半径的圆，
则圆心C到点M（0，2）的距离为，
则|z﹣2i|的最大值为．
故选：A．
15．若复数z满足，则|z|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：由，得，所以．
故选：B．
16．已知复数z满足|z﹣2i|＝1，则|z|的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：|z﹣2i|＝1的几何意义为复平面内动点Z到定点（0，2）的距离为定值1，
如图：
由图可知，|z|的最小值为2﹣1＝1．
故选：B．
17．已知复数z＝a+（a﹣2）i（a∈R）的虚部是实部的3倍，则|z|＝（　　）
A．4 B． C．3 D．
【答案】B
【解答】解：由题意可知，a﹣2＝3a，解得a＝﹣1，
所以z＝﹣1﹣3i，．
故选：B．
18．已知复数z满足z i＝（1+i），则|z|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：由已知可得，
则．
故选：B．
19．已知复数z＝3+4i（i为虚数单位），则（　　）
A．5 B．3 C． D．
【答案】D
【解答】解：由复数z＝3+4i，得，
所以．
故选：D．
20．已知复数z＝i（1﹣2i），则|z|＝（　　）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【解答】解：复数z＝i（1﹣2i）＝2+i，
则|z|．
故选：C．
21．已知复数z＝1﹣i，则|z|＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解答】解：已知z＝1﹣i，
则|z|．
故选：B．
22．设i为虚数单位，复数z＝cosθ+isinθ（θ∈R），则|z﹣i|的最大值为　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：z＝cosθ+isinθ，θ∈R，
则z﹣i＝cosθ﹣i+isinθ＝cosθ+（sinθ﹣1）i，
2，当且仅当sinθ＝﹣1时等号成立，即最大值为2．
故答案为：2．

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