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第12章第4节 复数的三角表示
题型1 复数的代数形式与三角形式互化 题型2 复数的辐角和辐角主值
题型3 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
▉题型1 复数的代数形式与三角形式互化
【知识点的认识】
复数的代数形式为a+bi，三角形式为r（cosθ+isinθ），其中r为模，θ为辐角．两种形式可以通过公式互相转换．
【解题方法点拨】
﹣代数形式转三角形式：计算复数的模和辐角θ．
﹣三角形式转代数形式：使用公式a＝rcosθ和b＝rsinθ转换．
1．已知两复数，则z1z2＝（　　）
A． B． C． D．3i
【答案】D
【解答】解：由题意得z1z2（sin60°cos30°﹣cos60°sin30°）i（cos60°cos30°+sin60°sin30°）
sin30°cos30°3i．
故选：D．
（多选）2．关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）
A．
B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．z3＝1
D．z2﹣z+1＝0
【答案】AD
【解答】解：，，
，故A正确；
在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第四象限，故B错误；
，故C错误；
0，故D正确．
故选：AD．
3．在复平面上，设点A、B对应的复数分别为，z2＝cosθ+i sinθ（其中i为虚数单位），当θ由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得A（，1），B（cosθ，sinθ），
因为cos2θ+sin2θ＝1，所以点B在以原点O为圆心，半径为1的圆上．
时对应B1（，），θ时对应B2（，）．
B1B2，
则S弓形＝S扇形﹣S三角形，
又B1B2：，即2x+2y，
A（）到直线的距离为，
则△AB1B2的面积S．
则向量所扫过的图形区域的面积为．
故答案为：．
4．如图，点Z（a，b），复数z＝a+bi（a，b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角（以x非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定0 θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．复数三角形式的乘法公式：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
棣莫佛提出了公式：[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），其中r＞0，n∈N*．
（1）已知，求zw+zw3的三角形式；
（2）已知θ0为定值，0 θ0 π，将复数1+cosθ0+isinθ0化为三角形式；
（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为z1，z2， ，z20，求复数所对应不同点的个数．
【答案】（1）；
（2）；
（3）5．
【解答】解：（1）
；
（2）；
（3）正二十边形每边所对的中心角为，设z1＝cosθ+isinθ（θ为常数），
则，
所以
，
由周期性可知，共有5个不同的值，
故复数所对应不同点的个数为5．
5．已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1．
（1）若，求复数z+i的辐角主值；
（2）若z≠±i，复数ω满足为实数．则复数ω在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由．
（3）已知复平面上点A，B对应的复数分别为z1＝2，z2＝﹣3．记复数的辐角主值为φ．求φ的取值范围．
【答案】（1）；
（2）以（0，0）为圆心、半径为1的圆，不含点（0，1），理由见解析；
（3）．
【解答】解：（1）cosisin，
所以z+i的辐角主值为；
（2）由题意设z＝a+bi（a，b∈R），a≠0，则a2+b2＝1，
为纯虚数，
又因为为实数，
所以为纯虚数或0，设ω＝x+yi（x，y∈R），
所以为纯虚数或0，
即x2+y2＝1，且ω≠i．
所以ω是以（0，0）为圆心、半径为1的圆，不含点（0，1）；
（3）设z＝a+bi（a，b∈R），则a2+b2＝1，
设z﹣z1的一个辐角为α，z﹣z2的一个辐角为β，
，
令a＝cost，b＝sint，0≤t＜2π，
设，即，
解得k范围为，
若Im（z）≥0，则φ的范围是，
若Im（z）＜0，则φ的范围是．
所以φ的范围是．
▉题型2 复数的辐角和辐角主值
【知识点的认识】
复数a+bi的辐角是复平面中该复数点与正实轴的夹角．辐角主值是[0，2π）范围内的角度．
【解题方法点拨】
﹣计算辐角．
﹣主值范围：将计算得到的角度调整到[0，2π）范围内．
6．已知复数，则argz＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，
所以．
故选：C．
7．设复数z满足条件argz∈（π，π），则对应复平面上的点位于第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【解答】解：复数z满足条件argz∈（π，π），
设z＝r（cosθ+isinθ），
则（cos（﹣2θ）+isin2θ）（cos2θ+isin2θ），
argz∈（π，π），
即θ∈（π，π），可得2θ∈（，2π）．
则对应复平面上的点位于第四象限．
故选：D．
8．任意复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）都可以z＝r（cosθ+isinθ）的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数，则z的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
∵0≤θ＜2π，
∴r＝1，．
故z的辐角主值为，
故选：D．
9．已知复数的模为2，辐角为，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由已知可得，
所以，
可得，
故答案为：．
10．若复数（i为虚数单位），则argz＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：复数2（i）＝2（cosi），
则argz，
故答案为：．
11．已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则arg（a+bi）＝　π﹣arctan3　 ．（用反三角形式书写）
【答案】π﹣arctan3
【解答】解：因为a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，所以a＝﹣1，b＝3．
所以arg（a+bi）＝arg（﹣1+3i），幅角的正切值为﹣3，（﹣1，3）在第二象限，
因为，所以arg（﹣1+3i）＝π﹣arctan3．
故答案为：π﹣arctan3．
12．复数sin1﹣icos1的辐角主值是 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：复数sin1﹣icos1＝cos（1）+isin（1），
所以复数sin1﹣icos1的辐角主值是：1．
故答案为：1．
13．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．
形如z＝a+bi（a，b∈R）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，i2＝﹣1．当b＝0时，z为实数；当b≠0且a＝0时，z为纯虚数．其中，叫做复数z的模．
设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R
如图，点Z（a，b），复数z＝a+bi可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
一般地，任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．
r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
（1）设复数z1＝r1（cosα+isinα），z2＝r2（cosβ+isinβ），求z1 z2、的三角形式；
（2）设复数z3＝1﹣cosθ+isinθ，z4＝1+cosθ+isinθ，其中θ∈（π，2π），求argz3+argz4；
（3）在△ABC中，已知a、b、c为三个内角A、B、C的对应边．借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②a＝bcosC+ccosB，b＝acosC+ccosA，c＝acosB+bcosA．
注意：使用复数以外的方法证明不给分．
【答案】（1）
（2）argz3+argz4．
（3）证明见解答．
【解答】解：（1）z1 z2＝r1（cosα+isinα） r2（ cosβ+isinβ）＝r1r2[coscxcosβ﹣sinαsinβ+i（sinαcosβ+coscxsinβ）]
＝r1r2[cos（α+β）+isin（α+β）]，
＝r1[cosαcosβ+sinαsinβ+i（sinαcosβ﹣cosαsinβ）]
．
（2）设tanz3＝α，tang4＝β，z3的模为r3，z4的模为r4，α，β∈[0，2π），
对于z3＝1﹣cosθ+isinθ，有，θ∈（π，2 π），
对于z4＝1+cosθ+isinθ，有，θ∈（π，2π），
所以，，α，，
所以tanα+tanβ．
，所以无意义，
即α+β的角的终边在y轴上，又α+β∈（3π，4π），
所以，argz3+argz4．
（3）证明：如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点A作BC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，
则，所以c（cosA+isinA）+a[cos（﹣C）+isin（﹣C）]＝b，
即ccosA+icsinA+acosC﹣iasinC＝b，即（ccosA+acosC）+i（csinA﹣asinC）＝b，
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，
所以，ccosA+acosC＝b，
同理，，
bcosC+ccosB＝a，所以，
a＝bcosC+ccosB，b＝acosC+ccosA，c＝acosB+bcosA．
▉题型3 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝r1（cosθ1+isinθ1）和z2＝r2（cosθ2+isinθ2）的乘积是z1z2＝r1r2（cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2））．
﹣除法：复数z1除以复数z2是．
【解题方法点拨】
﹣三角形式计算：利用三角形式进行复数乘法和除法，简化计算．
﹣几何意义：理解复数乘法和除法在复平面中的几何意义，如旋转和缩放．
14．已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x＝（a，b），对应复数z＝a+bi，向量x逆时针旋转一个角度θ，得到复数z'＝（a+bi）（cosθ+isinθ）＝acosθ﹣bsinθ+i（asinθ+bcosθ），于是对应向量x'＝（acosθ﹣bsinθ，asinθ+bcosθ）．这就是向量的旋转公式．已知正三角形ABC的两个顶点坐标是A（1，4），B（3，2），根据此公式，求得点C的坐标是 　（2，3）（答案不唯一）．　 ．（任写一个即可）
【答案】（2，3）（答案不唯一）．
【解答】解：∵A（1，4），B（3，2），
∴，要得到一个等边三角形，可把逆时针旋转，得到，
则（2cos2sin，2sin2cos）＝（1，），
设C（x，y），则，
由（x﹣1，y﹣4）＝（1，），可得，
解得．
∴点C的坐标是（2，3）．
故答案为：（2，3）（答案不唯一）．
15．设z，那么z+z2+z3+z4+z5+z6＝　0　 ．
【答案】0
【解答】解：∵zcosisin，∴z6＝cos2π+isin2π＝1，∴z+z2+z3+z4+z5+z60，
故答案为：0．第12章第4节 复数的三角表示
题型1 复数的代数形式与三角形式互化 题型2 复数的辐角和辐角主值
题型3 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
▉题型1 复数的代数形式与三角形式互化
【知识点的认识】
复数的代数形式为a+bi，三角形式为r（cosθ+isinθ），其中r为模，θ为辐角．两种形式可以通过公式互相转换．
【解题方法点拨】
﹣代数形式转三角形式：计算复数的模和辐角θ．
﹣三角形式转代数形式：使用公式a＝rcosθ和b＝rsinθ转换．
1．已知两复数，则z1z2＝（　　）
A． B． C． D．3i
（多选）2．关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）
A．
B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．z3＝1
D．z2﹣z+1＝0
3．在复平面上，设点A、B对应的复数分别为，z2＝cosθ+i sinθ（其中i为虚数单位），当θ由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积为 　 ．
4．如图，点Z（a，b），复数z＝a+bi（a，b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角（以x非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定0 θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．复数三角形式的乘法公式：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
棣莫佛提出了公式：[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），其中r＞0，n∈N*．
（1）已知，求zw+zw3的三角形式；
（2）已知θ0为定值，0 θ0 π，将复数1+cosθ0+isinθ0化为三角形式；
（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为z1，z2， ，z20，求复数所对应不同点的个数．
5．已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1．
（1）若，求复数z+i的辐角主值；
（2）若z≠±i，复数ω满足为实数．则复数ω在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由．
（3）已知复平面上点A，B对应的复数分别为z1＝2，z2＝﹣3．记复数的辐角主值为φ．求φ的取值范围．
▉题型2 复数的辐角和辐角主值
【知识点的认识】
复数a+bi的辐角是复平面中该复数点与正实轴的夹角．辐角主值是[0，2π）范围内的角度．
【解题方法点拨】
﹣计算辐角．
﹣主值范围：将计算得到的角度调整到[0，2π）范围内．
6．已知复数，则argz＝（　　）
A． B． C． D．
7．设复数z满足条件argz∈（π，π），则对应复平面上的点位于第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
8．任意复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）都可以z＝r（cosθ+isinθ）的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数，则z的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知复数的模为2，辐角为，则 　 ．
10．若复数（i为虚数单位），则argz＝　　 ．
11．已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则arg（a+bi）＝　　 ．（用反三角形式书写）
12．复数sin1﹣icos1的辐角主值是 　　 ．
13．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．
形如z＝a+bi（a，b∈R）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，i2＝﹣1．当b＝0时，z为实数；当b≠0且a＝0时，z为纯虚数．其中，叫做复数z的模．
设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R
如图，点Z（a，b），复数z＝a+bi可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
一般地，任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．
r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
（1）设复数z1＝r1（cosα+isinα），z2＝r2（cosβ+isinβ），求z1 z2、的三角形式；
（2）设复数z3＝1﹣cosθ+isinθ，z4＝1+cosθ+isinθ，其中θ∈（π，2π），求argz3+argz4；
（3）在△ABC中，已知a、b、c为三个内角A、B、C的对应边．借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②a＝bcosC+ccosB，b＝acosC+ccosA，c＝acosB+bcosA．
注意：使用复数以外的方法证明不给分．
▉题型3 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝r1（cosθ1+isinθ1）和z2＝r2（cosθ2+isinθ2）的乘积是z1z2＝r1r2（cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2））．
﹣除法：复数z1除以复数z2是．
【解题方法点拨】
﹣三角形式计算：利用三角形式进行复数乘法和除法，简化计算．
﹣几何意义：理解复数乘法和除法在复平面中的几何意义，如旋转和缩放．
14．已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x＝（a，b），对应复数z＝a+bi，向量x逆时针旋转一个角度θ，得到复数z'＝（a+bi）（cosθ+isinθ）＝acosθ﹣bsinθ+i（asinθ+bcosθ），于是对应向量x'＝（acosθ﹣bsinθ，asinθ+bcosθ）．这就是向量的旋转公式．已知正三角形ABC的两个顶点坐标是A（1，4），B（3，2），根据此公式，求得点C的坐标是 　　 ．（任写一个即可）
15．设z，那么z+z2+z3+z4+z5+z6＝　　 ．

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