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第13章第1节 基本立体图形
题型1 构成空间几何体的基本元素 题型2 棱柱的结构特征
题型3 棱锥的结构特征 题型4 棱台的结构特征
题型5 圆柱的结构特征 题型6 圆锥的结构特征
题型7 圆台的结构特征 题型8 球的结构特征
题型9 平行投影及平行投影作图法 题型10 平面图形的直观图
题型11 空间几何体的直观图 题型12 斜二测法画直观图
题型13 由斜二测直观图还原图形
▉题型1 构成空间几何体的基本元素
【知识点的认识】
1．空间几何体：一切物体都占据着空间的一部分，如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这个空间部分叫做空间几何体（含内部）．
2．构成空间几何体的基本要素：
名称 特征 图形表示 符号表示
点 无大小 点A
直线 无粗细 无限延伸 直线AB 直线l
平面 处处平直 无厚度 无限延伸 面α 面ABCD或面AC
（多选）1．四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解答】解：满足要求的四棱锥有如下三种情形：
①如图，四条侧棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，
连接AC、BD交于点E，连接OE，则OE⊥平面ABCD，OE是四棱锥的高，
则，
所以，
四棱锥的高为；
②如图，有两条侧棱长为，
作OE⊥平面ABCD，记AE＝y，OE＝x，OE是四棱锥的高，
于是，x2+y2＝7，且4﹣x2＝7﹣y2，
解得，
四棱锥的高为；
③如图，三条侧棱（OB、OC、OD）长为条侧棱OA＝2，
，
设AD与BC交于点E，记BE＝x，
由等腰三角形三线合一可得：DE⊥BC、OE⊥BC，
DE 平面AOD，OE 平面AOD，DE∩OE＝E，
则BC⊥平面AOD，
因为BC 平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面AOD，
过O作OM⊥AD，因为平面ABCD∩平面AOD＝AD，
所以OM⊥平面ABCD，OM是四棱锥的高，
则有DE2＝4﹣x2，OE2＝7﹣x2，AE2＝7﹣x2，
因为cos∠OED＝﹣cos∠OEA，
于是，，
将前面的结果代入上式，
解得或，
显然，故，
∴DE＝1，AE＝2，
在△ADO中，AD＝3，AO＝2，OD，
由余弦定理得cos∠ODA，
，，四棱锥的高为．
故选：ACD．
▉题型2 棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别为线段AD1，B1C1上的动点（不含端点），给出下列命题：
①存在点M，N，使三角形MBN为直角三角形；
②存在点M，N，使三角形MBN为等边三角形．
则（　　）
A．①、②均为真命题
B．①、②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【答案】A
【解答】解：设点N在平面ADD1A1上的射影E，正方体棱长为1，
若三角形MBN为直角三角形，MB2＝AB2+AM2＝1+AM2，
，
MN2＝NE2+EM2＝1+EM2，
因为B1N∈（0，1），
所以NB2＜MB2+MN2，NB不为斜边，
设AM＝x，，
B1N＝y，0＜y＜1，
若斜边为MN，有MB2+NB2＝MN2，
，x，y无实数解，
若斜边为MB，有MN2+NB2＝MB2，
，
可取，，①为真命题；
若三角形MBN为等边三角形，因为AM＝B1N＝EM，
所以AM＝B1N＝EM，设AM＝B1N＝x，0＜x＜1，
令，
因为f（0）＝1＞0，，
所以由零点定理知，存在x∈（0，1）使f（x）＝0，则EM＝x有解，AM＝B1N＝EM有解，②为真命题．
故选：A．
3．关于棱柱的说法中不正确的是（　　）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱
B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱
C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱．
【答案】C
【解答】解：对于选项A，由棱柱定义，两个互相平行的面是底面，其余各面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的本质特征，故选项A正确；
对于选项B，这是棱柱的“平移生成”定义，一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，正是棱柱的形成方式，故选项B正确；
对于选项C，这个说法错误，反例：将两个全等的平行四边形按错位方式拼接，
使其余各面虽为平行四边形，但整体不是棱柱，
因为相邻面的公共边不满足“互相平行且方向一致”的要求，故选项C错误；
对于选项D，两个平行且全等的平面多边形为底面，其余不在这两个面上的棱都相互平行，满足棱柱的判定条件，故选项D正确．
故选：C．
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为边AD的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P＝λD1B，则正确结论的个数为（　　）
①当时，EP∥平面AB1C；
②当时，|PE|取得最小值，其值为；
③|PA|+|PC|的最小值为；
④当C1∈平面CEP时，．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），
C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，0，0），
设点P（x，y，z），因为D1P＝λD1B，
所以，即（x，y，z﹣2）＝λ（2，2，﹣2），
解之可得，所以P（2λ，2λ，2﹣2λ），
当时，，
所以，，，
设平面AB1C的法向量为，
则，则，即，
取x1＝1，则y1＝1，z1＝﹣1，
所以．
因为，
所以不成立，所以EP与平面AB1C不平行．故①错误；
因为，
所以
，
所以当时，|PE|取得最小值，且最小值为．故②正确；
因为
，
所以当时，|PA|+|PC|取得最小值，且最小值为．故③正确；
当C1∈平面CEP时，点P∈平面C1CE，
因为，，，
设平面C1CE的法向量为，
则，则，即，
取x2＝2，则y2＝1，z2＝0，所以，
因为，
点P∈平面C1CE，所以2﹣6λ＝0，所以．故④错误．
故选：B．
5．设命题：“直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正方体”，那么，甲是乙的（　　）
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．即非充分又非必要条件
【答案】C
【解答】解：如图所示：
充分性：若ABCD是菱形，则有AC⊥BD，
而几何体ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，
∴BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD 平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BB1D1D，而AC 平面ACB1，
∴平面ACB1与对角面BB1D1D垂直，
此时直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1不是正方体，不满足充分性；
必要性：若直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，
则有AC⊥BD，BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD 平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BB1D1D，而AC 平面ACB1，
∴平面ACB1与对角面BB1D1D垂直，满足必要性，
∴甲是乙的必要非充分条件．
故选：C．
6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别是线段AB1，A1C1上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点P，均存在点Q，使得PQ⊥CD1；②存在点P，对任意的Q，均有PQ⊥DB1则（　　）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
【答案】D
【解答】解：对于①，如图，连接AB1，C1D，PC1
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有正方形CDD1C1，所以C1D⊥CD1，
又AD∥B1C1，AD＝B1C1，所以四边形ADC1B1为平行四边形，故A，B1，C1，D确定唯一的平面，
又B1C1⊥平面CDD1C1，CD1 平面CDD1C1，所以B1C1⊥CD1
又B1C1∩C1D＝C1，B1C1，C1D 平面ADC1B1，所以CD1⊥平面ADC1B1
因为PC1 平面ADC1B1，所以对任意点P，都有CD1⊥PC1，只有Q与C1重合才符合题意，与不为端点矛盾，故对任意点P，不存在点Q，使得PQ⊥CD1，故①不正确；
对于②，如图，连接AB1，BA1交于M，连接MQ，BC1，B1C
由①得CD1⊥平面ADC1B1，又A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形，所以A1B∥CD1，则A1B⊥平面ADC1B1，
因为B1D 平面ADC1B1，所以A1B⊥DB1
又因为正方形BCC1B1，所以BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，所以CD⊥BC1，
因为B1C∩CD＝C，B1C，CD 平面B1CD，所以BC1⊥平面B1CD，又B1D 平面B1CD，所以BC1⊥DB1，
因为A1B∩BC1＝B，A1B，BC1 平面A1BC1，所以DB1⊥平面A1BC1，又MQ 平面A1BC1，所以MQ⊥DB1
于是当点P与M重合时，存在点P，对任意的Q，均有PQ⊥DB1，故②正确．
故选：D．
▉题型3 棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥Sh．
7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱AB、BC、CC1的中点，点P是正方体表面上的任意一点，且直线D1P与平面EFG无交点，则点P的轨迹长度是（　　）
A． B． C． D．．
【答案】D
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵E、F、G分别是棱AB、BC、CC1的中点，
∴EF∥AC，GF∥BC1∥AD1，EF 平面ACD1，AC 平面ACD1，FG 平面ACD1，AD1 平面ACD1，
所以EF∥平面ACD1，FG∥平面ACD1，
又EF∩FG＝F，EF，FG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面ACD1，
∵直线D1P与平面EFG无交点，等价于D1P∥平面EFG，
∵D1∈平面ACD1，且平面EFG∥平面ACD1，
∴D1P 平面ACD1时，D1P∥平面EFG，
∵P是正方体表面的点，
∴轨迹为平面ACD1与正方体表面的交线，即△ACD1的三边AC，CD1，D1A，
∵正方体棱长为2，
∴，
∴点P的轨迹长度为，故D正确．
故选：D．
8．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为π．若正四棱锥S﹣ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥S﹣ABCD在顶点S处的曲率为（　　）
A．π B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示，连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接SO，则SO⊥平面ABCD．
取BC的中点M，连接OM，SM，
所以OM⊥BC，SM⊥BC，
所以∠SMO即为侧面与底面的夹角，
设AB＝BC＝a，则．
在Rt△SOM中，，
所以，
又，所以．
所以正四棱锥S﹣ABCD的每个侧面均为正三角形，
所以顶点S的每个面角均为，
故正四棱锥S﹣ABCD在顶点S处的曲率为．
故选：D．
9．已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（　　）
A．π B． C． D．4π
【答案】B
【解答】解：根据题意，设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，
正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，易得O为底面△ABC的中心，
而△ABC为等边三角形，则，
故．
因为，故，
故Q在以O为圆心，2为半径的圆及其内部，
而三角形ABC内切圆的圆心为O，半径为，而，
故T表示的区域为以O为圆心，2为半径的圆在△ABC内（包含边界）的部分，
设该圆与AB交于D，E两点，则，
即△ODE为正三角形，则弧DE所在的弓形的面积为，
故T表示的区域的面积为．
故选：B．
10．空间有一四面体A﹣BCD，满足AD⊥AB，AD⊥AC，则所有正确的选项为（　　）
①；
②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；
③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；
④若|AB|＜|DA|且|AC|＜|DA|，则∠BDC是锐角．
A．② B．①③ C．②④ D．②③④
【答案】C
【解答】解：对于①，因为AD⊥AB，AD⊥AC，所以，，
所以 （） （） ，所以①错误；
对于②，如果∠BAC是直角，那么 0， （） （） 0，
所以∠BDC是锐角，②正确；
对于③，如果∠BAC是钝角，不妨设∠BAC＝120°，AB＝AD＝AC＝1，
运用余弦定理可得：BC2＝12+12﹣2×1×1×cos120°，
因为DB＝DC，所以cos∠BDC0，
所以∠BDC为锐角，所以③错误；
对于④， （） （） ||||cos∠BAC，
若|AB|＜|DA|，|AC|＜|DA|，则||||，
因为∠BAC∈（0，π），所以cos∠BAC∈（﹣1，1），|||||cos∠BAC|， 0，所以∠BDC是锐角，④正确；
综上，正确的命题是②④．
故选：C．
11．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为四边形，AC∩BD＝O，且OA＝OC，2OB＝OD，M为PA的中点，，若平面BMN与棱PD相交于点Q，则的值为（　　）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：如图，
因为AC∩BD＝O，且OA＝OC，2OB＝OD，
因为所以，
又，
所以，
又M为PA的中点，，
所以，，
则，
因为平面BMN与棱PD相交于点Q，所以B，M，N，Q四点共面，
所以，
解得．
故选：B．
12．在四棱锥P﹣ABCD中，，，，则该四棱锥的高为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：设平面ABCD的法向量，
则有
令x＝1，可得，又，
所以四棱锥的高．
故选：C．
▉题型4 棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
13．光岳楼位于山东省聊城市古城中央，它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：（　　）
A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m
【答案】A
【解答】解：如图所示，设该正四棱台为ABCD﹣A1B1C1D1，上下底面中心分别为O1，O，
分别取BC，B1C1的中点E，F，连接OO1，O1F，OE，EF，
在平面OO1FE内，作FH⊥OE交OE于H，
则OO1＝9，OEAB＝17.25，O1F16，
显然四边形OO1FH是矩形，则FH＝OO1＝9，OH＝O1F＝16，
所以EH＝OE﹣OH＝1.25，
在直角△FHE中，EF9.1，
即该墩台的斜高约为9.1m．
故选：A．
14．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，截去三棱锥A﹣A1B1C1，则剩余部分是（　　）
A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．三棱柱
【答案】C
【解答】解：如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，
截去三棱锥A﹣A1B1C1后得到的是四棱锥A﹣BCC1B1．
故选：C．
（多选）15．如果一个几何体仅有5个面，则这个几何体可能是（　　）
A．三棱台 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【答案】ABC
【解答】解：对于A，三棱台有五个面，故A正确；
对于B，四棱锥有五个面，故B正确；
对于C，三棱柱有五个面，故C正确；
对于D，四棱柱有6个面，故D错误．
故选：ABC．
16．已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3．则四棱台的高为 　　 ．
【答案】
【解答】解：正四棱台对角面等腰梯形的高即为该正四棱台的高，
因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3，
则该四棱台对角面等腰梯形的上下底边长分别为，腰长为3，
因此等腰梯形的高为，
所以四棱台的高为．
故答案为：．
▉题型5 圆柱的结构特征
【知识点的认识】
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴．
【解题方法点拨】
垂直于圆柱的轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．
17．如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC上靠近点A的四等分点，则EF+FG的最小值为（　　）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【解答】解：将△ABE展开到与△ABC共面，记为△ABP，如图所示：
由题意知，BE⊥CE，且CEBE，BC＝3，
则BE，CE；
由P、B、C共线，得PC＝PB+BC；
可得EF+FG＝PF+FG≥PG，当P，F，G共线时取等号．
又因为PC，CGAC，∠ACB，
在△PCG中，由余弦定理得PG2＝CG2+PC2﹣2CG PCcos∠ACB2，
即PG，所以EF+FG的最小值为．
故选：A．
（多选）18．绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化．在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为15cm的球的一部分，下部是底面半径为12cm的圆柱体，整个石墩的高为48cm，如图所示（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高．球缺的体积，其中R为球的半径，h为球缺的高），下列说法正确的是（　　）
A．石墩上、下两部分的高之比为1：1
B．石墩表面上两点间距离的最大值为
C．每个石墩的体积为7488πcm3
D．将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为
【答案】ACD
【解答】解：如图所示，设球缺的球心为O，由已知可得半径R＝15cm，，
所以，可得SE＝R+OE＝24cm，
石墩上、下两部分的高之比为24：24＝1：1，所以A正确；
由，所以石墩表面上两点间距离的最大值为，所以B错误；
由前面的计算可知上部分球缺的高h＝24cm，
所以石墩的体积，所以C正确；
设该球的半径为r，则（48﹣r）2+122＝r2，解得，所以D正确．
故选：ACD．
▉题型6 圆锥的结构特征
【知识点的认识】
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
【解题方法点拨】
﹣底面圆的性质：计算底面圆的面积和周长．
﹣侧面扇形：侧面的面积为扇形的面积，计算公式为，其中l为母线长度．
﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
﹣体积：计算公式为．
19．已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a，若点A，B，C，D在该圆锥的侧面上，点A1，B1，C1，D1在该圆锥的底面上，则a＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解答】解：过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一组对棱AA1，CC1作圆锥SO1的截面，如图所示：
由题意可得：SO1＝2，，
设这个正方体的棱长为a，则OO1＝a，
面对角线，
所以，
由OC∥O1N，
可得△SOC～△SO1N，
，即，
解得：a＝1，
故选：C．
20．已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为l，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则l＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：圆锥的轴截面是钝角三角形，
故过圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值是两母线的夹角为时，
所以S最大值l×l×sin8，解得l＝4．
故选：B．
21．如图，圆锥的顶点为V，将半径为R的球O'置于该圆锥内，使得球O'与圆锥侧面相切于圆O，平面β与球O切于点F，A为圆O上一点，V，A，O，F，四点共面，且VA∥平面β，平面β截该圆锥所得截口曲线为Γ，M为曲线Γ上一动点，记圆O所在平面为平面α，α∩β＝l，MN⊥l，垂足为N，VM交圆O于点P，∠AVO＝θ．某同学根据自己的研究给出下列四个结果：
①PM＝MF；
②MN∥VA；
③F是双曲线的一部分；
④若Rtanθ越大，则曲线Γ的开口越大．
则上述四个结果中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：由题意知，MP、MF均与球O′相切，所以PM＝MF，命题①正确；
由VA∥平面β，得存在直线m β，使VA∥m，
由α∩β＝l，MN⊥l，则VA⊥l，所以m⊥l，
所以m∥MN，所以VA∥MN，命题②正确；
由题意知，F是抛物线的一部分，命题③错误；
由题意，连接NA，则NA过点O、P，
由VA＝VP，得MN＝MP＝MF，所以F为抛物线的焦点，
作FG⊥l，垂足为G，取FG的中点为H，则∠HO′F＝∠VAO′＝θ，
所以Rtanθ＝HF，不妨以H为原点，以HF为x轴建立平面直角坐标系，
所以抛物线的解析式为y2＝4Rtanθx，
所以开口随Rtanθ增大而增大，命题④正确．
综上，正确的命题序号是①②④．
故选：C．
22．设圆锥的旋转轴与母线所成的角为，用一个不过圆锥顶点的平面截这个圆锥，设这个平面与圆锥旋转轴所成的角为，则这个平面与圆锥的侧面相截得到的平面曲线为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解答】解：已知圆锥的旋转轴与母线所成的角为，
用平面截这个圆锥，这个平面与圆锥旋转轴所成的角为，则平面与圆锥的母线平行，
可得这个平面与圆锥的侧面相截得到的平面曲线为抛物线．
故选：D．
▉题型7 圆台的结构特征
【知识点的认识】
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．
【解题方法点拨】
﹣底面和顶面圆的性质：分别计算底面和顶面的面积．
﹣侧面带弯的矩形：计算侧面面积，公式为π（r1+r2）l，其中l为母线长度．
﹣表面积：计算公式为．
﹣体积：计算公式为．
23．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（　　）寸．（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：由题意可知天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
则天池盆体积为（立方寸）
故盆中积水体积为（立方寸），
故平地降雨量约为（寸）．
故选：C．
24．圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（　　）
A．圆台的母线长是20
B．圆台的表面积是1100π
C．圆台的高是
D．圆台的体积是
【答案】C
【解答】解：设圆台的母线长为l，则360°＝180°，解得l＝20，所以A正确；
∴圆台的侧面积S侧面＝π（10+20）×20＝600π；
圆台的表面积S＝π×102+π×202+600π＝1100π；所以B正确；
圆台的高为10，所以C不正确；
∴圆台的体积Vπ（100+400+10×20）×10π．所以D正确．
故选：C．
25．下列命题中正确的是（　　）
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；
②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线；
③圆台的两个底面平行．
A．①② B．② C．③ D．①③
【答案】C
【解答】解：对于①，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长l，
设该等腰三角形顶角为θ，则截面三角形面积为，当时面积S最大，
当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不是最大的，所以命题①错误；
对于②，圆柱的母线是指圆柱的侧面上与上下底面垂直的线段，且长等于高，所以命题②错误；
对于③，根据圆台定义知，平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与圆锥底面的部分称为圆台，所以圆台的两个底面平行，命题③正确．
故选：C．
26．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若AD＝DB，∠ABC＝120°，且圆台的表面积为42π，则该圆台的高为　　 ．
【答案】．
【解答】解：设AD＝DB＝r，圆台高为h，上下底面半径分别为r1，r2，则圆台的母线长为r，
则，，得，
所以圆台的表面积为：，
解得，故圆台的高．
故答案为：．
▉题型8 球的结构特征
【知识点的认识】
球是所有距离球心相等的点组成的几何体．球的主要特征是半径r．
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．
【解题方法点拨】
﹣表面积：计算公式为．
﹣体积：计算公式为．
27．已知球O的半径为5，球心到平面α的距离为4，则球O被平面α截得的截面面积为　9π　 ．
【答案】9π．
【解答】解：设截面圆的半径为r，球O的半径为R，球心到平面α的距离为d，
则r2+d2＝R2，
因为球O的半径为5，球心到平面α的距离为4，
所以r2+16＝25，
可得r＝3，
所以截面面积为πr2＝9π．
故答案为：9π．
28．在正四面体P﹣ABC中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则　　 ；若记该正四面体和其外接球的体积分别为V1和V2，则　　 ．
【答案】；．
【解答】解：将正四面体P﹣ABC放置于正方体中，可得正方体的外接球即为该正四面体的外接球，如图，
外接球球心O为正方体的体对角线的中点，设正四面体P﹣ABC的棱长为2a，则正方体棱长为，
由外接球直径等于正方体的体对角线，得正四面体P﹣ABC外接球半径，
当过PA中点M的正四面体外接球截面过球心O时，截面圆面积最大，截面圆半径为R，
当该截面到球心O的距离最大时，截面圆面积最小，此时球心O到截面距离为，
可得最小截面圆半径，因此；
正四面体P﹣ABC外接球体积，
正四面体P﹣ABC的体积，因此．
故答案为：；．
29．若球的表面积为100π，球心到平面α的距离为4，则平面α截球所得圆面面积为 　9π　 ．
【答案】9π．
【解答】解：设球的半径为R，平面α截球所得圆的半径r，
由题意可得，解得，
所以平面α截球所得圆面面积为πr2＝9π．
故答案为：9π．
30．素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术入门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、锥体、球体以及它们的组合体和穿插体．如图，十字穿插体，是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体拼接而成，体现了数学的对称美．已知在如下的十字穿插体中，，则平面EMN截该十字穿插体的外接球的截面面积为 　9π　 ．
【答案】9π．
【解答】解：该十字穿插体的外接球球心即为长方体ABCD﹣A1B1C1D1 的中心O，
半径．
球心O到平面EMN的距离d，即为球心O到长方体侧面的距离，
所以d＝1，
根据球和几何体的关系，
所以球的截面圆的半径 ．
所以截面面积为9π．
故答案为：9π．
▉题型9 平行投影及平行投影作图法
【知识点的认识】
1．平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．
2．分类：
①正投影：投射线垂直于投影面
②斜投影：投射线倾斜于投影面
正投影能正确表达物体的真实形状和大小，作图比较方便，在作图中应用最广泛．
斜投影在实际应用中较少，特点是直观性强，但作图麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只作为一种辅助图样．
3．平行投影的基本性质：
（1）平行直线的投影仍是平行或重合直线．
（2）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等．
（3）与投影面平行的图形，它的投影与这个图形全等；倾斜于投影面的平面图形，其投影仍为一平面图形．
（4）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
31．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则直线a、b在上的投影不可能是（　　）
A．两条平行直线
B．两条互相垂直的直线
C．同一条直线
D．一条直线及直线外一点
【答案】C
【解答】解：不妨以长方体为例，则异面直线A1D与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，选项A正确；
异面直线AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，所以选项B正确；
异面直线DD1与BC1在平面ABCD上的投影是一条直线和直线外一点，选项D正确；
异面直线a、b在一个平面的投影不可能是同一条直线，选项C错误．
故选：C．
▉题型10 平面图形的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．
2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
32．如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的直观图，O′C′＝4，，则四边形OABC的面积S＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题可得：平行四边形O′A′B′C′的面积，
根据直观图与原图面积关系，
所以．
故选：C．
33．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．3 B． C．8 D．
【答案】D
【解答】解：由题意可知，等腰梯形A′B′C′D′中，A′B′＝4，C′D′＝2，
所以等腰梯形A′B′C′D′的高为1，
所以等腰梯形A′B′C′D′的面积为S'3，
所以四边形ABCD的面积是S6．
故选：D．
34．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（　　）
A．10+2 B．3 C．10+4 D．12
【答案】A
【解答】解：根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B＝4，高OA＝2O'A'＝6，AB＝2，
∴直角三角形OAB的周长为10+2．
故选：A．
▉题型11 空间几何体的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感．
2．空间几何体的直观图画法：斜二测画法（关键是确定图形的各顶点）
【解题方法点拨】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
空间几何体的直观图特点：原来平行关系不变，平行于y轴的线段长度减半，平行于x、z轴的线段长度不变．
35．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）
A．8cm B．6cm C．2（1）cm D．2（1）cm
【答案】A
【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在y'轴上，
可求得其长度为 ，故在平面图中其在y轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为2 ，其原来的图形如图所示，
则原图形中的平行四边形中，一边长为1，另一边长为3，它的周长是8
观察四个选项，A选项符合题意．
故选：A．
36．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，AD＝2，则直角梯形ABCD的直观图A′B′C′D′的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解答】解：易知直观图A′B′C′D′为梯形，
其高，
C′D′＝CD＝2，A′B′＝AB＝6，
所以直观图A′B′C′D′的面积为．
故选：C．
37．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列三个命题：①AC∥EB；②AC与DG成60°角；③DG与MN成异面直线且夹角为60°．其中正确的是 　②③　 ．
【答案】②③．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于①，将正方体的展开图还原成正方体，如图：
分析易得：AC与EB不平行，故①错误；
对于②，连接AF、FC，因为△ACF为正三角形，且DG∥AF，
则∠CAF即为异面直线AC与DG所成角的平面角，
而∠CAF＝60°，所以AC与DG成60°角，故②正确；
对于③，同理DG与MN成60°角，由图可知DG与MN成异面直线，故③正确．
故答案为：②③．
▉题型12 斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
38．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＝2
B．
C．四边形ABCD的周长为
D．四边形ABCD的面积为
【答案】D
【解答】解：如图过D'作DE⊥O'B'，
由等腰梯形A'B'C'D'可得：△A'D'E是等腰直角三角形，
即，即B错误；
还原平面图为下图，
即，即A错误；
过C作CF⊥AB，由勾股定理得，
故四边形ABCD的周长为：，即C错误；
四边形ABCD的面积为：，即D正确．
故选：D．
39．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为直角梯形A′B′C′D′，其中，C′D′∥A′B′，B′C′⊥A′B′，，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．6 B． C．12 D．
【答案】D
【解答】解：由题可得△A′B′D′为等腰直角三角形，所以，
因为B′C′⊥A′B′，可得，所以B′C′＝C′D′＝2，
将直角梯形A′B′C′D′还原为平面图形ABCD，如图所示，
可得直角梯形ABCD，且，，
则直角梯形ABCD的面积为．
故选：D．
40．已知△ABC的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角△A1B1C1，，那么△ABC的面积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据斜二测画法画出原图形，如图所示：
则△ABC为直角三角形，且AC＝A1C1，AB＝2A1B1＝2，
所以△ABC的面积为：2．
故答案为：．
▉题型13 由斜二测直观图还原图形
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
【解题方法点拨】
﹣解析图形：通过观察斜二测图的长度和角度信息，恢复图形的空间关系．
﹣几何知识：利用几何知识推断图形的真实尺寸和结构．
41．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'．若O'是斜边B'C'的中点，且，则原图中BC边上的高为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，O'是斜边B'C'的中点，
直观图中A′B′∥y′轴，所以原图中AB∥y轴，即为BC边上的高，
因为A′B′＝2，所以AB＝4．
故选：C．
42．如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′＝1，B′C′＝3，则原四边形ABCD的周长为（　　）
A． B． C．12 D．
【答案】C
【解答】解，根据题意，直观图中，A′B′＝1，B′C′＝3，∠A′O′B′＝45°，
则，
将直观图还原为原图，如图，
则，
所以，
所以原四边形ABCD的周长为12．
故选：C．第13章第1节 基本立体图形
题型1 构成空间几何体的基本元素 题型2 棱柱的结构特征
题型3 棱锥的结构特征 题型4 棱台的结构特征
题型5 圆柱的结构特征 题型6 圆锥的结构特征
题型7 圆台的结构特征 题型8 球的结构特征
题型9 平行投影及平行投影作图法 题型10 平面图形的直观图
题型11 空间几何体的直观图 题型12 斜二测法画直观图
题型13 由斜二测直观图还原图形
▉题型1 构成空间几何体的基本元素
【知识点的认识】
1．空间几何体：一切物体都占据着空间的一部分，如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这个空间部分叫做空间几何体（含内部）．
2．构成空间几何体的基本要素：
名称 特征 图形表示 符号表示
点 无大小 点A
直线 无粗细 无限延伸 直线AB 直线l
平面 处处平直 无厚度 无限延伸 面α 面ABCD或面AC
（多选）1．四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别为线段AD1，B1C1上的动点（不含端点），给出下列命题：
①存在点M，N，使三角形MBN为直角三角形；
②存在点M，N，使三角形MBN为等边三角形．
则（　　）
A．①、②均为真命题
B．①、②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
3．关于棱柱的说法中不正确的是（　　）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱
B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱
C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱．
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为边AD的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P＝λD1B，则正确结论的个数为（　　）
①当时，EP∥平面AB1C；
②当时，|PE|取得最小值，其值为；
③|PA|+|PC|的最小值为；
④当C1∈平面CEP时，．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设命题：“直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正方体”，那么，甲是乙的（　　）
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．即非充分又非必要条件
6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别是线段AB1，A1C1上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点P，均存在点Q，使得PQ⊥CD1；②存在点P，对任意的Q，均有PQ⊥DB1则（　　）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
▉题型3 棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥Sh．
7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱AB、BC、CC1的中点，点P是正方体表面上的任意一点，且直线D1P与平面EFG无交点，则点P的轨迹长度是（　　）
A． B． C． D．．
8．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为π．若正四棱锥S﹣ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥S﹣ABCD在顶点S处的曲率为（　　）
A．π B． C． D．
9．已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（　　）
A．π B． C． D．4π
10．空间有一四面体A﹣BCD，满足AD⊥AB，AD⊥AC，则所有正确的选项为（　　）
①；
②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；
③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；
④若|AB|＜|DA|且|AC|＜|DA|，则∠BDC是锐角．
A．② B．①③ C．②④ D．②③④
11．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为四边形，AC∩BD＝O，且OA＝OC，2OB＝OD，M为PA的中点，，若平面BMN与棱PD相交于点Q，则的值为（　　）
A． B． C．4 D．5
12．在四棱锥P﹣ABCD中，，，，则该四棱锥的高为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
▉题型4 棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
13．光岳楼位于山东省聊城市古城中央，它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：（　　）
A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m
14．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，截去三棱锥A﹣A1B1C1，则剩余部分是（　　）
A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．三棱柱
16．已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3．则四棱台的高为 　　 ．
▉题型5 圆柱的结构特征
【知识点的认识】
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴．
【解题方法点拨】
垂直于圆柱的轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．
17．如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC上靠近点A的四等分点，则EF+FG的最小值为（　　）
A． B．4 C．6 D．
（多选）18．绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化．在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为15cm的球的一部分，下部是底面半径为12cm的圆柱体，整个石墩的高为48cm，如图所示（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高．球缺的体积，其中R为球的半径，h为球缺的高），下列说法正确的是（　　）
A．石墩上、下两部分的高之比为1：1
B．石墩表面上两点间距离的最大值为
C．每个石墩的体积为7488πcm3
D．将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为
▉题型6 圆锥的结构特征
【知识点的认识】
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
【解题方法点拨】
﹣底面圆的性质：计算底面圆的面积和周长．
﹣侧面扇形：侧面的面积为扇形的面积，计算公式为，其中l为母线长度．
﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
﹣体积：计算公式为．
19．已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a，若点A，B，C，D在该圆锥的侧面上，点A1，B1，C1，D1在该圆锥的底面上，则a＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
20．已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为l，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则l＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
21．如图，圆锥的顶点为V，将半径为R的球O'置于该圆锥内，使得球O'与圆锥侧面相切于圆O，平面β与球O切于点F，A为圆O上一点，V，A，O，F，四点共面，且VA∥平面β，平面β截该圆锥所得截口曲线为Γ，M为曲线Γ上一动点，记圆O所在平面为平面α，α∩β＝l，MN⊥l，垂足为N，VM交圆O于点P，∠AVO＝θ．某同学根据自己的研究给出下列四个结果：
①PM＝MF；
②MN∥VA；
③F是双曲线的一部分；
④若Rtanθ越大，则曲线Γ的开口越大．
则上述四个结果中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．设圆锥的旋转轴与母线所成的角为，用一个不过圆锥顶点的平面截这个圆锥，设这个平面与圆锥旋转轴所成的角为，则这个平面与圆锥的侧面相截得到的平面曲线为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
▉题型7 圆台的结构特征
【知识点的认识】
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．
【解题方法点拨】
﹣底面和顶面圆的性质：分别计算底面和顶面的面积．
﹣侧面带弯的矩形：计算侧面面积，公式为π（r1+r2）l，其中l为母线长度．
﹣表面积：计算公式为．
﹣体积：计算公式为．
23．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（　　）寸．（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A．3 B．4 C．5 D．6
24．圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（　　）
A．圆台的母线长是20
B．圆台的表面积是1100π
C．圆台的高是
D．圆台的体积是
25．下列命题中正确的是（　　）
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；
②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线；
③圆台的两个底面平行．
A．①② B．② C．③ D．①③
26．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若AD＝DB，∠ABC＝120°，且圆台的表面积为42π，则该圆台的高为　　 ．
▉题型8 球的结构特征
【知识点的认识】
球是所有距离球心相等的点组成的几何体．球的主要特征是半径r．
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．
【解题方法点拨】
﹣表面积：计算公式为．
﹣体积：计算公式为．
27．已知球O的半径为5，球心到平面α的距离为4，则球O被平面α截得的截面面积为　　 ．
28．在正四面体P﹣ABC中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则　　 ；若记该正四面体和其外接球的体积分别为V1和V2，则　　 ．
29．若球的表面积为100π，球心到平面α的距离为4，则平面α截球所得圆面面积为 　　 ．
30．素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术入门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、锥体、球体以及它们的组合体和穿插体．如图，十字穿插体，是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体拼接而成，体现了数学的对称美．已知在如下的十字穿插体中，，则平面EMN截该十字穿插体的外接球的截面面积为 　　 ．
▉题型9 平行投影及平行投影作图法
【知识点的认识】
1．平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．
2．分类：
①正投影：投射线垂直于投影面
②斜投影：投射线倾斜于投影面
正投影能正确表达物体的真实形状和大小，作图比较方便，在作图中应用最广泛．
斜投影在实际应用中较少，特点是直观性强，但作图麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只作为一种辅助图样．
3．平行投影的基本性质：
（1）平行直线的投影仍是平行或重合直线．
（2）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等．
（3）与投影面平行的图形，它的投影与这个图形全等；倾斜于投影面的平面图形，其投影仍为一平面图形．
（4）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
31．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则直线a、b在上的投影不可能是（　　）
A．两条平行直线
B．两条互相垂直的直线
C．同一条直线
D．一条直线及直线外一点
▉题型10 平面图形的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．
2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
32．如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的直观图，O′C′＝4，，则四边形OABC的面积S＝（　　）
A． B． C． D．
33．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．3 B． C．8 D．
34．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（　　）
A．10+2 B．3 C．10+4 D．12
▉题型11 空间几何体的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感．
2．空间几何体的直观图画法：斜二测画法（关键是确定图形的各顶点）
【解题方法点拨】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
空间几何体的直观图特点：原来平行关系不变，平行于y轴的线段长度减半，平行于x、z轴的线段长度不变．
35．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）
A．8cm B．6cm C．2（1）cm D．2（1）cm
36．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，AD＝2，则直角梯形ABCD的直观图A′B′C′D′的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
37．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列三个命题：①AC∥EB；②AC与DG成60°角；③DG与MN成异面直线且夹角为60°．其中正确的是 　　 ．
▉题型12 斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
38．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＝2
B．
C．四边形ABCD的周长为
D．四边形ABCD的面积为
39．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为直角梯形A′B′C′D′，其中，C′D′∥A′B′，B′C′⊥A′B′，，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．6 B． C．12 D．
40．已知△ABC的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角△A1B1C1，，那么△ABC的面积为 　　 ．
▉题型13 由斜二测直观图还原图形
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
【解题方法点拨】
﹣解析图形：通过观察斜二测图的长度和角度信息，恢复图形的空间关系．
﹣几何知识：利用几何知识推断图形的真实尺寸和结构．
41．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'．若O'是斜边B'C'的中点，且，则原图中BC边上的高为（　　）
A．2 B． C．4 D．
42．如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′＝1，B′C′＝3，则原四边形ABCD的周长为（　　）
A． B． C．12 D．

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