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第14章第2节 抽样
题型1 简单随机抽样及其适用条件 题型2 抽签法简单随机抽样及其步骤
题型3 求随机数法抽样的样本 题型4 分层随机抽样及其适用条件
题型5 分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量 题型6 由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
▉题型1 简单随机抽样及其适用条件
【知识点的认识】
一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n≤N）个个体作为样本，
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；
如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称简单随机抽样．
【解题方法点拨】
﹣使用简单随机抽样方法时，确保所有个体的抽取概率相等，适合均匀分布的总体．
1．下列说法正确的个数是（　　）
①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；
②系统抽样在总体均分以后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
③百货商场的抽奖活动是抽签法；
④系统抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等（有剔除时例外）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：对于①，总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法，命题正确；
对于②，系统抽样在总体均分以后的第一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样，∴②错误；
对于③，百货商场的抽奖活动是抽签法，也叫抓阄，命题正确；
对于④，系统抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等（有剔除时概率也相等），④错误；
综上，正确的命题有2个．
故选：B．
（多选）2．下列有关统计的叙述正确的是（　　）
A．种植某种花的球根200个，进行调查发芽天数的试验，样本是200个球根
B．为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是4位
C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量可以进行抽查的方法
D．从2000名运动员中抽取20名运动员进行统计分析，每名运动员被抽到的可能性都为
【答案】BD
【解答】解：对于选项A，由样本的概念可知，样本应为200个球根的发芽天数，故选项A错误；
对于选项B，由于所编号码的位数和读数的位数要一致，因此所编号码的位数最少是四位，从0 000到1 000，或者是从0 001到1 001等，故选项B正确；
对于选项C，跳伞运动员的伞包及伞的质量应采取普查的方法，故选项C错误；
对于选项D，抽样中个体被抽到的可能性为，故选项D正确．
故选：BD．
3．用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么n＝ 　8　 ．
【答案】8
【解答】解：因为用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中逐个抽取，个体a在第一次就被抽取的可能性为，
因此，
所以n＝8．
故答案为：8．
▉题型2 抽签法简单随机抽样及其步骤
【知识点的认识】
﹣抽签法：将每个个体标记，随机抽取一定数量的标记来选择样本．
【解题方法点拨】
﹣步骤包括列出所有个体、编号、随机抽取标记．
4．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个．
方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下列说法正确的是（　　）
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】B
【解答】解：对于①②，根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误；
对于③④，由于总体中有差异较明显的三个层（一级品、二级品和三级品），故③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．
故选：B．
（多选）5．2023春节档期有流浪地球2，满江红，深海，无名，交换人生5部电影，现采用抽签法决定放映顺序，记事件A：“满江红不是第一场，无名不是最后一场”，事件B：“深海是第一场”，则下列结论中正确的是（　　）
A．事件B包含144个样本点
B．
C．
D．
【答案】BC
【解答】解：A选项，事件B包含样本点数为24，A错误；
B选项，P（A），B正确；
C选项，P（AB），C正确；
D选项，P（B|A），D错误．
故选：BC．
▉题型3 求随机数法抽样的样本
【知识点的认识】
1、概念：
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，随机数应用很广泛，利用它可以帮助我们进行随机抽样，还可以利用它在某一个范围得到每一个数机会是均等的这一特征来模拟试验，这样可代替我们自己做大量重复的试验，从而使我们顺利地求出有关事件的概率．
2、均匀随机数的产生：
随机数的产生可以人工产生，例如抽签、摸球、转盘等方法，但这样做费时、费力，而且有时很难确保抽到每一个数的机会是均等的．因此，我们现在主要是通过计算器和计算机来产生随机数的．
【解题方法点拨】
典例1：随机摸拟法产生的区间[0，1]上的实数（　　）
A．不是等可能的 B．0出现的机会少 C．1出现的机会少 D．是均匀分布的
解析：用随机模拟法产生的区间[0，1]上的实数是均匀分布的，每一个数产生的机会是均等的．故选D
典例2：利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分（y＝2﹣2x﹣x2与x轴围成的图形）的面积．
解：（1）利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）进行平移和伸缩变换，a＝a1*4﹣3，b＝b1*3，得到一组[﹣3，1]上的均匀随机数和一组[0，3]上的均匀随机数；
（3）统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1（满足条件b＜2﹣2a﹣a2的点（a，b）的个数）；
（4）计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值；
（5）设阴影部分面积为S，由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为．
∴．
∴S，
即为阴影部分的面积的近似值．
典例2：两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船停靠泊位的时间分别为1h与2h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是 　　 ．
解析：用两个变量代表两船时间，找出两变量的取值和满足的条件，设x、y分别代表第一艘船、第二艘船到达泊位的时间，由题意0≤x≤24，0≤y≤24，y﹣x≤1，x﹣y≤2，如图所示阴影部分表示必须有一艘船等待，则概率
P
6．某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为01，02，…，40，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：
0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202
9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214
1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336
若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（　　）
A．37 B．32 C．14 D．16
【答案】D
【解答】解：依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14，
57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16，
则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16．
故选：D．
7．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（　　）
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77
A．457 B．253 C．007 D．860
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次读取的数据为：253，313，457（舍去），860（舍去），736（舍去），253（舍去），007，328，
所以第3个样本编号为007．
故选：C．
8．某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是 　729　 ．
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
【答案】729．
【解答】解：由题意可得，从685开始向右数，依次所取的编号为：685，696，827，310，729，…，
所以第5个数字为729．
故答案为：729．
9．某校有36个班，每班有45人，要求从每班随机选派5人观看“校十佳歌手赛”决赛．在这个问题中样本容量是　180　 ．
【答案】180
【解答】解：该问题中样本容量是36×5＝180．
故答案为：180．
▉题型4 分层随机抽样及其适用条件
【知识点的认识】
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．适用于总体异质性的情况．
【解题方法点拨】
﹣按照层的比例进行样本分配，根据层的异质性选择适当的分层方法．
10．某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　）
A．40，32 B．42，30 C．44，28 D．46，26
【答案】A
【解答】解：根据分层抽样原理知，，，
所以抽取男生40人，女生32人．
故选：A．
11．某中学选派270名学生参加南昌市广播体操比赛，其中高一108人，高二、高三各81人，现要在比赛前抽取10人参加检验训练熟练度，考虑选用简单随机抽样、分层抽样两种方案，将学生按高一、高二、高三依次统一编号为1，2，…，270．如果抽到的号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．
则不可能为分层抽样的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解答】解：由分层抽样得：
高一学生抽4人，高二、高二学生各抽3人，
∴1至108的号码中抽4个，109至189的号码中抽3个，190到270的号码中抽3个，
①②③均满足条件，
在④中，1至108的号码中抽3个，109至189的号码中抽3个，190到270的号码中抽4个，不满足条件．
∴不可能为分层抽样的是④．
故选：D．
12．忻城县高级中学有1100名高一学生，1000名高二学生，1200名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取33名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（　　）
A．高三每一个学生被抽到的概率最大
B．高三每一个学生被抽到的概率最小
C．高一每一个学生被抽到的概率最大
D．每位学生被抽到的概率相等
【答案】D
【解答】解：由题意知，抽样比例为，
所以33人中，高一要抽11人，高二要10人，高三要12人，
故高一每位学生被抽到的概率为，
高二每位学生被抽到的概率为，
高三每位学生被抽到的概率为，
在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等，
故每位学生被抽到的概率相等．
故选：D．
▉题型5 分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量
【知识点的认识】
﹣比例分配：根据每层在总体中的比例分配样本量．
﹣计算：每层样本量＝总样本量×层的比例．
【解题方法点拨】
﹣确定每层样本的分配比例，并计算各层的样本量．
13．某地区的鸿蒙用户中心的客服人员现要从购买智界汽车的50名车主，享界汽车的60名车主，问界汽车的40名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽取的人数为（　　）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解答】解：由题可得：需抽取人．
故选：B．
14．某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高三年级抽取的人数为（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】C
【解答】解：高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200人，
故高三年级人数为：3600﹣1300﹣1200＝1100；
抽样比为：；
因此，高三年级抽取人数为：．
故选：C．
15．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为1：1：4，用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本．若样本中C型号的产品有120件，则样本容量n为（　　）
A．150 B．180 C．200 D．250
【答案】B
【解答】解：由分层抽样得：
，
解得样本容量n＝180．
故选：B．
16．某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为4：5：6，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（　　）人．
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】D
【解答】解：用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，
则高三年级应该抽取．
故选：D．
17．为庆祝中国共产党成立100周年，赣州市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生1200人、1000人、800人，现欲采用分层随机抽样法组建一个30人的高一、高二、高三学生红歌传唱队，则应抽取高一学生（　　）
A．6人 B．8人 C．10人 D．12人
【答案】D
【解答】解：采用分层随机抽样法组建一个30人的高一、高二、高三学生红歌传唱队，
则应抽取高一学生人．
故选：D．
18．2021年元月份，河北、黑龙江等地相继出现疫情，学生春节放寒假期间，某大学鼓励大学生积极参加到各个社区作为志愿者抗击疫情，下面是新学期开学后学校随机抽取100人，对其参加志愿者的天数统计，得到如下统计表：
参加志愿者的天数 x≤5 5＜x＜10 x≥10
人数 10 70 20
若以这100人参加志愿者天数位于各区间的频率代替该大学所有学生参加志愿者天数位于该区间的概率．根据上表，用分层抽样的方法从这100人中随机抽取20人，则抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解答】解：由题意得选中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人概率为，
故抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为．
故选：A．
19．某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（　　）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】B
【解答】解：采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，
那么应抽取高二年级学生的人数为．
故选：B．
20．某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高二年级应抽取的人数是（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】A
【解答】解：由分层抽样的性质可得：高二年级应抽取的人数是：人．
故选：A．
21．某小区对小区内的2000名居民进行走访调查，各年龄段男、女居民人数如表．已知在小区的居民中随机抽取1人，抽到20岁～50岁女居民的概率是0.19．现用分层随机抽样的方法在全小区抽取200名居民，则应在50岁以上的居民中抽取的女居民人数为（　　）
1岁～20岁 20岁～50岁 50岁以上
女居民 370 X Y
男居民 380 370 250
A．75 B．50 C．25 D．20
【答案】C
【解答】解：由题意可得，解得X＝380，
所以Y＝2000﹣370﹣380﹣370﹣380﹣250＝250．
现用分层随机抽样的方法在全小区居民中抽取200名居民，
应在50岁以上的居民中抽取的女居民人数为．
故选：C．
22．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2．下列说法中正确的个数是（　　）个
①男生样本量为30；②每个女生入样的概率均为；③所有样本的均值为166cm；④所有样本的方差为22.2cm2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，
按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，
得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2．
对于①，抽样比为，∴样本中男生有人，故①正确；
对于②，每个女生入样的概率等于抽样比，故②错误；
对于③，由分层抽样知，样本中男生有30人，女生有20人，
所有的样本均值为：，故③正确；
对于④，设男生分别为x1，x2， ，x30，平均数，，
女生分别为y1，y2， ，y20，平均数，，
总体的平均数为，方差为S2，
，
∵，
而，
∴，
同理可得，
∴，故④错误．
故选：B．
▉题型6 由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
【知识点的认识】
﹣样本平均数估计总体平均数：将各层的样本平均数按层的比例加权求和得到总体的估计值．
【解题方法点拨】
﹣使用加权平均的方法计算总体的估计值，权重为各层样本量的比例．
23．某校中秋节举行诗歌朗诵比赛，共有6名评委，选手甲得分的平均分和方差分别为84和17，若去掉最高分90和最低分78后，选手甲得分的方差变为（　　）
A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．9.5
【答案】B
【解答】解：不妨记剔除数据的平均数为，方差为，剩余四个得分的平均数为，方差为，
则，，
，
由总体数据的方差的性质得，则．
故选：B．
24．某学校数学教研组举办了数学知识竞赛（满分100分），其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600．现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，则高一年级参赛选手成绩的样本平均数为（　　）
A．69 B．70 C．73 D．79
【答案】B
【解答】解：高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600，
现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，
则样本中高一、高二、高三年级参赛选手的人数比为5：4：3，
设高一年级参赛选手成绩的样本平均数为a，
∵高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，
则75，解得a＝70．
∴高一年级参赛选手成绩的样本平均数为70．
故选：B．
25．一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，用分层抽样从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，抽出的男运动员平均身高为180.1cm，抽出的女运动员平均身高为168.2cm，则估计该田径队运动员的平均身高为（　　）
A．174.6cm B．175cm C．175.5cm D．176cm
【答案】B
【解答】解：由题意，田径队男、女队员的比例为24：18＝4：3，
用分层抽样从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，
设男运动员4x名，女运动员3x名，则4x+3x＝14，解得x＝2，
即男运动员8名，女运动员6名，
故该田径队运动员的平均身高大约为．
故选：B．
（多选）26．某班有男生30人，女生20人．在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为；方差分别为，该班成绩的均分和方差为，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解答】解：对于A、B，该班成绩的均分为，所以A正确，B错误；
对于C、D，
，
所以，同理，
该班成绩的方差为
，所以D正确，C错误．
故选：AD．
27．研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名女工员、20名男员工的体重数据，计算得到10名女员工的平均体重为52（单位：kg），方差为6；20名男员工的平均体重为64（单位：kg），方差为3．则这30名员工体重的平均数是 　60　 ，方差是 　36　 ．
【答案】60；36．
【解答】解：10名女员工的平均体重为52（单位：kg），方差为6；20名男员工的平均体重为64（单位：kg），方差为3；
则总体平均数为，
总体方差为．
故答案为：60；36．
28．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为 　0.94　 ．
【答案】0.94．
【解答】解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：．
故答案为：0.94．
29．对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样．已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为 　54　 ；总样本的方差为 　　 ．
【答案】54；．
【解答】解：设分别为总样本均值和方差，，
．
故答案为：54；．第14章第2节 抽样
题型1 简单随机抽样及其适用条件 题型2 抽签法简单随机抽样及其步骤
题型3 求随机数法抽样的样本 题型4 分层随机抽样及其适用条件
题型5 分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量 题型6 由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
▉题型1 简单随机抽样及其适用条件
【知识点的认识】
一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n≤N）个个体作为样本，
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；
如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称简单随机抽样．
【解题方法点拨】
﹣使用简单随机抽样方法时，确保所有个体的抽取概率相等，适合均匀分布的总体．
1．下列说法正确的个数是（　　）
①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；
②系统抽样在总体均分以后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
③百货商场的抽奖活动是抽签法；
④系统抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等（有剔除时例外）．
A．1 B．2 C．3 D．4
（多选）2．下列有关统计的叙述正确的是（　　）
A．种植某种花的球根200个，进行调查发芽天数的试验，样本是200个球根
B．为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是4位
C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量可以进行抽查的方法
D．从2000名运动员中抽取20名运动员进行统计分析，每名运动员被抽到的可能性都为
3．用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么n＝ 　　 ．
▉题型2 抽签法简单随机抽样及其步骤
【知识点的认识】
﹣抽签法：将每个个体标记，随机抽取一定数量的标记来选择样本．
【解题方法点拨】
﹣步骤包括列出所有个体、编号、随机抽取标记．
4．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个．
方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下列说法正确的是（　　）
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
（多选）5．2023春节档期有流浪地球2，满江红，深海，无名，交换人生5部电影，现采用抽签法决定放映顺序，记事件A：“满江红不是第一场，无名不是最后一场”，事件B：“深海是第一场”，则下列结论中正确的是（　　）
A．事件B包含144个样本点
B．
C．
D．
▉题型3 求随机数法抽样的样本
【知识点的认识】
1、概念：
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，随机数应用很广泛，利用它可以帮助我们进行随机抽样，还可以利用它在某一个范围得到每一个数机会是均等的这一特征来模拟试验，这样可代替我们自己做大量重复的试验，从而使我们顺利地求出有关事件的概率．
2、均匀随机数的产生：
随机数的产生可以人工产生，例如抽签、摸球、转盘等方法，但这样做费时、费力，而且有时很难确保抽到每一个数的机会是均等的．因此，我们现在主要是通过计算器和计算机来产生随机数的．
【解题方法点拨】
典例1：随机摸拟法产生的区间[0，1]上的实数（　　）
A．不是等可能的 B．0出现的机会少 C．1出现的机会少 D．是均匀分布的
解析：用随机模拟法产生的区间[0，1]上的实数是均匀分布的，每一个数产生的机会是均等的．故选D
典例2：利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分（y＝2﹣2x﹣x2与x轴围成的图形）的面积．
解：（1）利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）进行平移和伸缩变换，a＝a1*4﹣3，b＝b1*3，得到一组[﹣3，1]上的均匀随机数和一组[0，3]上的均匀随机数；
（3）统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1（满足条件b＜2﹣2a﹣a2的点（a，b）的个数）；
（4）计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值；
（5）设阴影部分面积为S，由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为．
∴．
∴S，
即为阴影部分的面积的近似值．
典例2：两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船停靠泊位的时间分别为1h与2h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是 　　 ．
解析：用两个变量代表两船时间，找出两变量的取值和满足的条件，设x、y分别代表第一艘船、第二艘船到达泊位的时间，由题意0≤x≤24，0≤y≤24，y﹣x≤1，x﹣y≤2，如图所示阴影部分表示必须有一艘船等待，则概率
P
6．某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为01，02，…，40，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：
0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202
9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214
1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336
若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（　　）
A．37 B．32 C．14 D．16
7．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（　　）
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77
A．457 B．253 C．007 D．860
8．某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是 　　 ．
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
9．某校有36个班，每班有45人，要求从每班随机选派5人观看“校十佳歌手赛”决赛．在这个问题中样本容量是　　 ．
▉题型4 分层随机抽样及其适用条件
【知识点的认识】
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．适用于总体异质性的情况．
【解题方法点拨】
﹣按照层的比例进行样本分配，根据层的异质性选择适当的分层方法．
10．某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　）
A．40，32 B．42，30 C．44，28 D．46，26
11．某中学选派270名学生参加南昌市广播体操比赛，其中高一108人，高二、高三各81人，现要在比赛前抽取10人参加检验训练熟练度，考虑选用简单随机抽样、分层抽样两种方案，将学生按高一、高二、高三依次统一编号为1，2，…，270．如果抽到的号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．
则不可能为分层抽样的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
12．忻城县高级中学有1100名高一学生，1000名高二学生，1200名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取33名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（　　）
A．高三每一个学生被抽到的概率最大
B．高三每一个学生被抽到的概率最小
C．高一每一个学生被抽到的概率最大
D．每位学生被抽到的概率相等
▉题型5 分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量
【知识点的认识】
﹣比例分配：根据每层在总体中的比例分配样本量．
﹣计算：每层样本量＝总样本量×层的比例．
【解题方法点拨】
﹣确定每层样本的分配比例，并计算各层的样本量．
13．某地区的鸿蒙用户中心的客服人员现要从购买智界汽车的50名车主，享界汽车的60名车主，问界汽车的40名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽取的人数为（　　）
A．8 B．10 C．11 D．12
14．某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高三年级抽取的人数为（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
15．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为1：1：4，用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本．若样本中C型号的产品有120件，则样本容量n为（　　）
A．150 B．180 C．200 D．250
16．某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为4：5：6，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（　　）人．
A．16 B．18 C．20 D．24
17．为庆祝中国共产党成立100周年，赣州市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生1200人、1000人、800人，现欲采用分层随机抽样法组建一个30人的高一、高二、高三学生红歌传唱队，则应抽取高一学生（　　）
A．6人 B．8人 C．10人 D．12人
18．2021年元月份，河北、黑龙江等地相继出现疫情，学生春节放寒假期间，某大学鼓励大学生积极参加到各个社区作为志愿者抗击疫情，下面是新学期开学后学校随机抽取100人，对其参加志愿者的天数统计，得到如下统计表：
参加志愿者的天数 x≤5 5＜x＜10 x≥10
人数 10 70 20
若以这100人参加志愿者天数位于各区间的频率代替该大学所有学生参加志愿者天数位于该区间的概率．根据上表，用分层抽样的方法从这100人中随机抽取20人，则抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
19．某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（　　）
A．50 B．60 C．70 D．80
20．某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高二年级应抽取的人数是（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
21．某小区对小区内的2000名居民进行走访调查，各年龄段男、女居民人数如表．已知在小区的居民中随机抽取1人，抽到20岁～50岁女居民的概率是0.19．现用分层随机抽样的方法在全小区抽取200名居民，则应在50岁以上的居民中抽取的女居民人数为（　　）
1岁～20岁 20岁～50岁 50岁以上
女居民 370 X Y
男居民 380 370 250
A．75 B．50 C．25 D．20
22．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2．下列说法中正确的个数是（　　）个
①男生样本量为30；②每个女生入样的概率均为；③所有样本的均值为166cm；④所有样本的方差为22.2cm2
A．1 B．2 C．3 D．4
▉题型6 由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
【知识点的认识】
﹣样本平均数估计总体平均数：将各层的样本平均数按层的比例加权求和得到总体的估计值．
【解题方法点拨】
﹣使用加权平均的方法计算总体的估计值，权重为各层样本量的比例．
23．某校中秋节举行诗歌朗诵比赛，共有6名评委，选手甲得分的平均分和方差分别为84和17，若去掉最高分90和最低分78后，选手甲得分的方差变为（　　）
A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．9.5
24．某学校数学教研组举办了数学知识竞赛（满分100分），其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600．现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，则高一年级参赛选手成绩的样本平均数为（　　）
A．69 B．70 C．73 D．79
25．一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，用分层抽样从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，抽出的男运动员平均身高为180.1cm，抽出的女运动员平均身高为168.2cm，则估计该田径队运动员的平均身高为（　　）
A．174.6cm B．175cm C．175.5cm D．176cm
（多选）26．某班有男生30人，女生20人．在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为；方差分别为，该班成绩的均分和方差为，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
27．研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名女工员、20名男员工的体重数据，计算得到10名女员工的平均体重为52（单位：kg），方差为6；20名男员工的平均体重为64（单位：kg），方差为3．则这30名员工体重的平均数是 　　 ，方差是 　　 ．
28．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为 　　 ．
29．对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样．已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为 　　 ；总样本的方差为 　　 ．

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