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第15章第2节 随机事件的概率
题型1 互斥事件的概率加法公式 题型2 并事件积事件的概率关系及计算
题型3 等可能事件和等可能事件的概率 题型4 古典概型及其概率计算公式
题型5 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 题型6 频率及频率的稳定性
题型7 模拟方法估计概率
▉题型1 互斥事件的概率加法公式
【知识点的认识】
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A∪B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
1．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，，
则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，，
根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为：
第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮，
其概率为．
则前4次中甲恰好投篮3次的概率为．
故选：D．
2．已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则P（B∪C）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为事件A，B，C两两互斥，所以，
所以．
故选：B．
3．已知事件A，B满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.4，则下列结论正确的是（　　）
A．若A与B相互独立，则
B．若A与B互斥，则P（AB）＝0.24
C．A与B相互对立
D．若B A，则P（A∪B）＝0.6
【答案】D
【解答】解：对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，
所以，
故A错误；
对于B，若A与B互斥，则P（AB）＝0，故B错误．
对于C，P（B）+P（A）＝1，当A∪B＝Ω，且A∩B≠Φ时，
A，B不对立，故C错误．
对于D，若B A，则A∪B＝A，则P（A∪B）＝P（A）＝0.6，故D正确．
故选：D．
▉题型2 并事件积事件的概率关系及计算
【知识点的认识】
﹣并事件的概率：．
﹣积事件的概率：对于条件概率，或者对于独立事件．
【解题方法点拨】
﹣应用并事件的概率计算公式，注意去除重复计算部分．
﹣对于积事件，检查事件是否独立来选择合适的计算方法．
4．已知随机事件A和B相互独立，且P（A）＝0.6，P（B）＝0.75，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.78
【答案】A
【解答】解：随机事件A和B相互独立，且P（A）＝0.6，P（B）＝0.75，
∵事件A和B相互独立，P（A）＝0.6，P（B）＝0.75，
∴P（AB）＝P（A）P（B）＝0.45，
∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.9．
故选：A．
▉题型3 等可能事件和等可能事件的概率
【知识点的认识】
等可能事件：如果一个事件中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，这种事件叫等可能事件．比方说买彩票，那么你每买一张彩票，在没看之前它们中奖的概率是相等的，也就是说每张彩票中奖的概率是等可能事件．
【解题方法点拨】
例：判断下列事件是否为等可能事件：
（1）买一张体育彩票，有中奖和没中奖两种可能；
（2）小丽被选为班长与没有被选为班长；
（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上
解：（1）买一张体育彩票，没中奖的可能较大，不是等可能事件；
（2）小丽没有被选为班长的可能较大，不是等可能事件；
（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上的可能相等，是等可能事件．
这里面的第一问是不是感觉不对呢？其实它问的是中奖和不中奖的概率是不是相等的，并不是说每一张彩票中奖的概率是否相等，所以解答是正确的．通过这个例题，可以用一句话来概括：概率相等的两个事件就是等可能事件．
例：甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（　　）
A：先抽的概率大些 B：三人的概率相等 C：无法确定谁的概率大 D：．以上都不对
解：∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，
故选：B．
比较常见的等概率事件一般为购买彩票、抽签等等．这个例题可以看出等概率事件并不会因为顺序的改变而改变其发生的概率，同时也通过这个例题我们也知道了如何求这个概率（）．
5．小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则P（X＝0）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，
∴P（X＝1）＝5P（X＝0），
∴P（X＝1）+P（X＝0）＝6P（X＝0）＝1，
∴P（X＝0）．
故选：C．
6．从有5个红球和4个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．那么，在第3次摸到红球的条件下第4次摸到红球的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：用Ai表示事件“第i次摸到红球“，Bi表示事件“第i次摸到红球“，i＝1，2，3，4．
．
故答案为：．
7．—只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 　　 ；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球的概率为．
（2）解法一：搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，
将3个红球记为红1，红2，红3，画树状图如图所示：
共有16种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”（记为事件B）的结果只有6种，
所以．
法二：搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，
将3个红球记为红1，红2，红3，列表如图所示：
第1次摸球 第2次摸球 红1 红2 红3 白
红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白）
红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白）
红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白）
白 （白，红1） （白，红2） （白，红3） （白，白）
共有16种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”（记为事件B）的结果只有6种，
所以．
▉题型4 古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
8．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则x+y能被3整除的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，共有36种情况，
又x+y能被3整除的情况有：（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），
（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），共有12种，
则x+y能被3整除的概率为．
故选：D．
9．袋中装有除颜色外均相同的4个红球、3个蓝球和2个绿球．现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止．则第3次恰好取到红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止．且第3次恰好取到红球，
把所有球都看作不相同的，则任取3个球排成一排有种，第3次恰好取到红球有种，
故所求概率为．
故选：B．
10．不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取m次小球（每次取一个），记取出的m个球的最小编号为2的概率为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：取出的m个球的最小编号为2的情况是取出的m个小球中没有3号球，至少有1个2号球，
∴取出的m个球的最小编号为2的概率为P．
故选：C．
11．班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》．若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，记选修了《数学史》的3人为A1，A2，A3，其余的2人为B1，B2，
从5人中选取2人有：A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种情况，
恰好2人都选修了《数学史》的有A1A2，A1A3，A2A3，共3种情况，
所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率为．
故选：A．
▉题型5 列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的认识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
【解题方法点拨】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，则实数m的取值范围是（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，） D．（，）
解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，
∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，
∴直线l1、l2相交的概率P，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，
∴（m）2+（）2，
解得m
故选：D
典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即 m+n＝0.45．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 ．…（4分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…（9分）
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）
故所求概率为 ．…（13分）
12．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：一位学生随机摸出两个球，所有情况为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，
两个球的数字之和是偶数的有（1，3，），（1，5），（2，4），（3，5）共4种，
故两个球上的数字之和是偶数的概率是，
故选：B．
13．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，3能够构成等腰三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由已知，先后两次抛掷同一个骰子，事件总数为36，
当a＝1时，b＝3时，符合要求，有1种情况；
当a＝2时，b＝2，3时，符合要求，有2种情况；
当a＝3时，b＝1，2，3，4，5时，符合要求，有5种情况；
当a＝4时，b＝3，4时，符合要求，有2种情况；
当a＝5时，b＝3，5时，符合要求，有2种情况；
当a＝6时，b＝6时，符合要求，有1种情况；
所以能够构成等腰三角形的共有13种情况，因此所求概率为：．
故选：C．
14．七巧板是中国民间流传的智力玩具，已基本定型为由下面七块板组成；五块等腰直角三角形（其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形），一块正方形和一块平行四边形．可以拼成人物、动物、植物、房亭，楼阁等1600种以上图案，现从七巧板的五块三角形中任意取出两块；则两块板恰好是全等三角形的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：七巧板是中国民间流传的智力玩具，已基本定型为由下面七块板组成：
五块等腰直角三角形（其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形），一块正方形和一块平行四边形，
从七巧板的五块三角形中任意取出两块，
对五块三角形进行编号，
记两块小型三角形为a1，a2，一块中型三角形为b，两块大型三角形为c1，c2，
从五块三角形中任意取出两块，则样本空间为：
Ω＝{（a1，a2），（a1，b），（a1，c1），（a1，c2），（a2，b），（a2，c1），（a2，c2），（b，c1），（b，c2），（c1，c2）}，共有10个样本点，
则两块板恰好是全等三角形的样本点有：{（a1，a2），（c1，c2）}，共2个，
∴两块板恰好是全等三角形的概率为：．
故选：D．
15．袋中装有大小与质地相同的5个球，其中白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
（1）写出该随机试验的一个等可能的样本空间．
（2）求摸出来的2个球都是白球的概率；
（3）求摸出来的2个球颜色不同的概率．
【答案】（1）随机试验的一个等可能的样本空间为{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}；
（2）摸出的2只球均是白球的概率为；
（3）摸出的2只球颜色不同的概率为．
【解答】解：（1）分别记白球为1，2，3号，记黑球为4，5号，
从中摸出2只球，有如下基本事件[摸到1，2号球用（1，2）表示]，随机试验的一个等可能的样本空间为{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，
所以一共可能出现10种不同的结果；
（2）由（1）可知，共有10个基本事件，摸出的2只球均是白球的有：（1，2），（1，3），（2，3），
所以摸出的2只球均是白球的概率为；
（3）由（1）可知，共有10个基本事件，摸出的2只球颜色不同的有：（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），
所以摸出的2只球颜色不同的概率为．
▉题型6 频率及频率的稳定性
【知识点的认识】
﹣频率：某事件发生的次数与总次数的比率．
﹣频率的稳定性：随着试验次数的增加，频率趋近于事件的真实概率．
【解题方法点拨】
﹣计算频率时，用实际数据的比率估计事件的概率．
﹣随着样本量增加，频率值应逐渐稳定并接近真实概率．
（多选）16．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（　　）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确
【答案】ABCD
【解答】解：A：次品率描述出现次品的概率，即可能情况不是必然发生，错误；
B，C：概率是多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，错误；
D：10000次的界定没有科学依据，“一定很准确”的表达错误，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D错误．
故选：ABCD．
▉题型7 模拟方法估计概率
【知识点的认识】
1、模拟方法﹣﹣概率的应用
在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
2、定义：向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1 G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P（点M落在G1），则称这种模型为几何概型．
说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
【解题方法点拨】
1、几何概型与古典概型的比较：
　　类型 比较　　 几何概型 古典概型
区别 试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个 试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果
联系 每个基本事件（每一个试验结果）出现的可能性相等
2、求解几何概型的步骤：
（1）适当选择观察角度（一定要注意观察角度的等可能性）；
（2）把基本事件转化为与之对应的区域；
（3）把随机事件A转化为与之对应的区域；
（4）利用概率公式计算．
3、如果事件A对应的区域不易处理，可以用其对立事件逆向求解．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景去判断．
17．盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚“两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
343 432 314 134 234 132 243 331 112 324
342 241 244 342 124 431 233 214 344 434
由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，在20组随机数中，恰好第三次结束时就停止有314、134、234、243、324，共有5组，
343 432 314 134 234 132 243 331 112 324
342 241 244 342 124 431 233 214 344 434
则恰好第三次结束时就停止的概率P．
故选：C．
18．天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206，其中恰有两天下雨的为417，386，196，206，共4组，
故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为．
故选：B．
19．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1～5之间的随机数：
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设事件A＝“三天中至少有两天下雨”，
20个随机数中，至少有两天下雨有123，435，525，332，152，534，512，541，135，334，151，312，354，即事件A发生了13次，用频率估计事件A 的概率近似为．
故选：D．
20．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 　0.75　 ．
【答案】0.75
【解答】解：由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1﹣0.25＝0.75．
故答案为：0.75．
21．天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨．用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意可知，随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，
故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为：．
故答案为：．第15章第2节 随机事件的概率
题型1 互斥事件的概率加法公式 题型2 并事件积事件的概率关系及计算
题型3 等可能事件和等可能事件的概率 题型4 古典概型及其概率计算公式
题型5 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 题型6 频率及频率的稳定性
题型7 模拟方法估计概率
▉题型1 互斥事件的概率加法公式
【知识点的认识】
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A∪B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
1．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则P（B∪C）＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知事件A，B满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.4，则下列结论正确的是（　　）
A．若A与B相互独立，则
B．若A与B互斥，则P（AB）＝0.24
C．A与B相互对立
D．若B A，则P（A∪B）＝0.6
▉题型2 并事件积事件的概率关系及计算
【知识点的认识】
﹣并事件的概率：．
﹣积事件的概率：对于条件概率，或者对于独立事件．
【解题方法点拨】
﹣应用并事件的概率计算公式，注意去除重复计算部分．
﹣对于积事件，检查事件是否独立来选择合适的计算方法．
4．已知随机事件A和B相互独立，且P（A）＝0.6，P（B）＝0.75，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.78
▉题型3 等可能事件和等可能事件的概率
【知识点的认识】
等可能事件：如果一个事件中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，这种事件叫等可能事件．比方说买彩票，那么你每买一张彩票，在没看之前它们中奖的概率是相等的，也就是说每张彩票中奖的概率是等可能事件．
【解题方法点拨】
例：判断下列事件是否为等可能事件：
（1）买一张体育彩票，有中奖和没中奖两种可能；
（2）小丽被选为班长与没有被选为班长；
（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上
解：（1）买一张体育彩票，没中奖的可能较大，不是等可能事件；
（2）小丽没有被选为班长的可能较大，不是等可能事件；
（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上的可能相等，是等可能事件．
这里面的第一问是不是感觉不对呢？其实它问的是中奖和不中奖的概率是不是相等的，并不是说每一张彩票中奖的概率是否相等，所以解答是正确的．通过这个例题，可以用一句话来概括：概率相等的两个事件就是等可能事件．
例：甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（　　）
A：先抽的概率大些 B：三人的概率相等 C：无法确定谁的概率大 D：．以上都不对
解：∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，
故选：B．
比较常见的等概率事件一般为购买彩票、抽签等等．这个例题可以看出等概率事件并不会因为顺序的改变而改变其发生的概率，同时也通过这个例题我们也知道了如何求这个概率（）．
5．小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则P（X＝0）＝（　　）
A． B． C． D．
6．从有5个红球和4个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．那么，在第3次摸到红球的条件下第4次摸到红球的概率为 　　 ．
7．—只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 　　 ；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
▉题型4 古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
8．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则x+y能被3整除的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．袋中装有除颜色外均相同的4个红球、3个蓝球和2个绿球．现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止．则第3次恰好取到红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取m次小球（每次取一个），记取出的m个球的最小编号为2的概率为（　　）
A． B．
C． D．
11．班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》．若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率是（　　）
A． B． C． D．
▉题型5 列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的认识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
【解题方法点拨】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，则实数m的取值范围是（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，） D．（，）
解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，
∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，
∴直线l1、l2相交的概率P，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，
∴（m）2+（）2，
解得m
故选：D
典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即 m+n＝0.45．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 ．…（4分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…（9分）
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）
故所求概率为 ．…（13分）
12．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
13．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，3能够构成等腰三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
14．七巧板是中国民间流传的智力玩具，已基本定型为由下面七块板组成；五块等腰直角三角形（其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形），一块正方形和一块平行四边形．可以拼成人物、动物、植物、房亭，楼阁等1600种以上图案，现从七巧板的五块三角形中任意取出两块；则两块板恰好是全等三角形的概率为（　　）
A． B． C． D．
15．袋中装有大小与质地相同的5个球，其中白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
（1）写出该随机试验的一个等可能的样本空间．
（2）求摸出来的2个球都是白球的概率；
（3）求摸出来的2个球颜色不同的概率．
▉题型6 频率及频率的稳定性
【知识点的认识】
﹣频率：某事件发生的次数与总次数的比率．
﹣频率的稳定性：随着试验次数的增加，频率趋近于事件的真实概率．
【解题方法点拨】
﹣计算频率时，用实际数据的比率估计事件的概率．
﹣随着样本量增加，频率值应逐渐稳定并接近真实概率．
（多选）16．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（　　）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确
▉题型7 模拟方法估计概率
【知识点的认识】
1、模拟方法﹣﹣概率的应用
在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
2、定义：向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1 G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P（点M落在G1），则称这种模型为几何概型．
说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
【解题方法点拨】
1、几何概型与古典概型的比较：
　　类型 比较　　 几何概型 古典概型
区别 试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个 试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果
联系 每个基本事件（每一个试验结果）出现的可能性相等
2、求解几何概型的步骤：
（1）适当选择观察角度（一定要注意观察角度的等可能性）；
（2）把基本事件转化为与之对应的区域；
（3）把随机事件A转化为与之对应的区域；
（4）利用概率公式计算．
3、如果事件A对应的区域不易处理，可以用其对立事件逆向求解．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景去判断．
17．盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚“两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
343 432 314 134 234 132 243 331 112 324
342 241 244 342 124 431 233 214 344 434
由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　）
A． B． C． D．
18．天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（　　）
A． B． C． D．
19．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1～5之间的随机数：
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（　　）
A． B． C． D．
20．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 　 ．
21．天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨．用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 　 ．

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