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第15章第3节 互斥事件和独立事件
题型1 事件的互斥（互不相容）及互斥事件 题型2 事件的互为对立及对立事件
题型3 互斥事件的概率加法公式 题型4 对立事件的概率关系及计算
题型5 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性 题型6 相互独立事件的概率乘法公式
▉题型1 事件的互斥（互不相容）及互斥事件
【知识点的认识】
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）．
【解题方法点拨】
﹣判断两个事件是否互斥，即它们的交是否为空．
1．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（　　）
A．A与B对立 B．A与B互斥
C．A与B相互独立 D．P（A+B）＝P（A）+P（B）
2．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件E：点数是奇数，事件F：点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件H：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（　　）
A．E与F B．F与G C．E与H D．G与H
3．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数．则下列关于事件描述正确的是（　　）
A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件
C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件
4．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验结果，设事件E：x+y＝8；事件F：至少有一颗点数为6；事件G：x＞4；事件H：y＜4．则下列说法正确的是（　　）
A．事件E与事件F为互斥事件
B．事件F与事件G为互斥事件
C．事件E与事件G相互独立
D．事件G与事件H相互独立
▉题型2 事件的互为对立及对立事件
【知识点的认识】
﹣对立事件：事件A的对立事件是指A不发生的情况，记作．
﹣互为对立：如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，两个事件A和B互为对立当且仅当和．
【解题方法点拨】
﹣使用对立事件的概率关系来计算对立事件的概率．
﹣判断两个事件是否互为对立，通常检查它们的并集是否为样本空间，交集是否为空．
5．从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（　　）
A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球
C．都是黄球 D．至多1个红球
6．掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件A＝“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件B＝“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（　　）
A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥
C．P（A）＝P（B） D．A＝B
7．下列有关事件与概率的说法错误的是（　　）
A．若A B，则P（A）≤P（B）
B．若P（AB）≠P（A）P（B），则A与B不独立
C．若A与B对立，则与互斥
D．若P（A）＝1﹣P（B），则A与B对立
8．新高考选科要求3+1+2，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（　　）
A．事件C与事件D互斥 B．
C．事件A与事件B对立 D．
▉题型3 互斥事件的概率加法公式
【知识点的认识】
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A∪B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
9．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则P（B∪C）＝（　　）
A． B． C． D．
11．已知事件A，B满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.4，则下列结论正确的是（　　）
A．若A与B相互独立，则
B．若A与B互斥，则P（AB）＝0.24
C．A与B相互对立
D．若B A，则P（A∪B）＝0.6
12．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（　　）
A．事件B与C互斥 B．
C．事件A与C相互独立 D．
▉题型4 对立事件的概率关系及计算
【知识点的认识】
﹣对立事件的概率关系是．
【解题方法点拨】
﹣利用对立事件的公式计算对立事件的概率．
13．东风快递，使命必达，某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（　　）
A．0.08 B．0.18 C．0.26 D．0.98
14．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择A类图书的概率为，选择B类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则A，B两类图书都选的概率为（　　）
A． B． C． D．
15．设随机事件A，B满足P（A）＝P（B）＝0.75，P（AB）＝0.6，则P（）＝（　　）
A．0.4 B．0.35 C．0.25 D．0.1
16．甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是0.6、0.5，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为（　　）
A．0.3 B．0.2 C．0.7 D．0.8
▉题型5 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
【知识点的认识】
﹣对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立．
【解题方法点拨】
﹣判断事件是否独立，通过计算交事件的概率并与乘积概率进行比较．
17．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为偶数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（　　）
A．事件B与C互斥，A与C相互对立
B．
C．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）但不满足A，B，C两两独立
D．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）且A，B，C两两相互独立
18．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（　　）
A．A与B互斥 B．B与C互为对立
C．A与B相互独立 D．A与C相互独立
19．已知事件A和事件B满足A∩B＝ ，则下列说法正确的是（　　）
A．事件A和事件B独立 B．事件A和事件B互斥
C．事件A和事件B对立 D．事件和事件互斥
20．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（　　）
A．P（A∪B）＝P（A）P（B） B．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
C． D．
21．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
（多选）22．已知事件A，B，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，则（　　）
A．事件A与事件B互为对立事件
B．若事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝0.8
C．若事件A与事件B互斥，则P（AB）＝0.2
D．若，则事件A与事件B相互独立
▉题型6 相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
﹣对于相互独立事件A和B，．
【解题方法点拨】
﹣应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性．
23．如图，三个元件T1，T2，T3正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（　　）
A． B． C． D．
24．春节期间，甲，乙两人去西安旅游，打算去陕西历史博物馆参观，需要提前在网上预约门票，若甲预约成功的概率为0.6，乙预约成功的概率为0.5，且甲乙两人预约成功与否互不影响，则甲乙两人至少有一人预约成功的概率是（　　）
A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84
25．已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.5，P（AB）＝0.2，则P（B）＝（　　）
A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.7
26．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
27．已知事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则（　　）
A． B． C． D．
28．已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则“两个事件A，B至少有一个发生”的概率为（　　）
A． B． C． D．1
29．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（　　）
A． B． C． D．
（多选）30．设A，B是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（　　）
A．如果P（A）+P（B）＝1，那么A与B相互对立
B．若A，B是互斥事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）
C．从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件
D．已知事件A，B发生的概率分别为，且，则事件A，B相互独立
31．甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 　　 ．
32．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；
（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．第15章第3节 互斥事件和独立事件
题型1 事件的互斥（互不相容）及互斥事件 题型2 事件的互为对立及对立事件
题型3 互斥事件的概率加法公式 题型4 对立事件的概率关系及计算
题型5 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性 题型6 相互独立事件的概率乘法公式
▉题型1 事件的互斥（互不相容）及互斥事件
【知识点的认识】
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）．
【解题方法点拨】
﹣判断两个事件是否互斥，即它们的交是否为空．
1．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是（　　）
A．A与B对立 B．A与B互斥
C．A与B相互独立 D．P（A+B）＝P（A）+P（B）
【答案】C
【解答】解：抛掷一枚骰子的所有可能结果是：{1，2，3，4，5，6}，
事件A包含的结果是：{2，4，6}，
事件B包含的结果是：{5，6}．
∵A∪B没包含所有可能结果（如1，3没包含在内），∴A与B不对立，故A错误；
∵A∩1B＝{6]≠ ，∴A与B不互斥，故B错误；
∵P（A），
∴A与B相互独立，故C正确；
，（B），
而P，故D错误．
故选：C．
2．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件E：点数是奇数，事件F：点数是偶数，事件G：点数是3的倍数，事件H：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（　　）
A．E与F B．F与G C．E与H D．G与H
【答案】B
【解答】解：因为事件E和事件F不能同时发生，所以E与F互斥，故A错误，
当朝上面的点数为6时，F与G同时发生，即F与G不是互斥事件，故B正确，
因为事件E和事件H不能同时发生，所以E与H互斥，故C错误，
因为事件G和事件H不能同时发生，所以G与H互斥，故D错误．
故选：B．
3．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数．则下列关于事件描述正确的是（　　）
A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件
C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件
【答案】C
【解答】解：投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；
事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数，
A和B有公共事件：点数为3，
∴A和不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；
事件AC表示点数为4或6，
，，，
∴P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是独立事件，故C正确；
事件BC表示点数为2，则，，，
∴P（BC）≠P（B）P（C），
∴B与C不是独立事件，故D错误．
故选：C．
4．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验结果，设事件E：x+y＝8；事件F：至少有一颗点数为6；事件G：x＞4；事件H：y＜4．则下列说法正确的是（　　）
A．事件E与事件F为互斥事件
B．事件F与事件G为互斥事件
C．事件E与事件G相互独立
D．事件G与事件H相互独立
【答案】D
【解答】解：对于A，事件E：x+y＝8包含的情况有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
事件F：至少有一颗点数为6包含的情况有（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），
故E∩F≠ ，事件E与事件F不为互斥事件，故A错误；
对于B，事件F：至少有一颗点数为6包含的情况有（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），
事件G：x＞4包含的情况有（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
故F∩G≠ ，事件F与事件G不为互斥事件，B错误；
对于C，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有6×6＝36种情况，
所以，
事件E∩G包含的情况为（5，3），（6，2），所以，
因为P（EG）≠P（E）P（G），所以事件E与事件G不相互独立，故C错误；
对于D，事件H：y≤4包含的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），共18种情况，
所以，
事件G∩H包含的情况有：（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），
所以，
因为P（GH）＝P（G）P（H），
所以事件G与事件H相互独立，故D正确．
故选：D．
▉题型2 事件的互为对立及对立事件
【知识点的认识】
﹣对立事件：事件A的对立事件是指A不发生的情况，记作．
﹣互为对立：如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，两个事件A和B互为对立当且仅当和．
【解题方法点拨】
﹣使用对立事件的概率关系来计算对立事件的概率．
﹣判断两个事件是否互为对立，通常检查它们的并集是否为样本空间，交集是否为空．
5．从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（　　）
A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球
C．都是黄球 D．至多1个红球
【答案】C
【解答】解：从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，
由题意得若发生“至少有1个红球”，
则取出红球的数量为1个，2个，3个，
由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，
即取到的都是黄球，故C正确．
故选：C．
6．掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件A＝“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件B＝“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（　　）
A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥
C．P（A）＝P（B） D．A＝B
【答案】C
【解答】解：记事件A＝“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件B＝“第二枚骰子向上的点数为奇数”，
因为事件A，B可以同时发生，所以A与B不是互斥事件，不是对立事件．
因为事件A，B包含的基本事件不一样，所以事件A，B不相等．
因为，，所以P（A）＝P（B）．
故选：C．
7．下列有关事件与概率的说法错误的是（　　）
A．若A B，则P（A）≤P（B）
B．若P（AB）≠P（A）P（B），则A与B不独立
C．若A与B对立，则与互斥
D．若P（A）＝1﹣P（B），则A与B对立
【答案】D
【解答】解：根据概率的性质可知，若A B，则P（A）≤P（B），故A正确；
根据独立事件的定义可知，若P（AB）≠P（A）P（B），则 A与B不独立，故B正确；
若A与B对立，则与对立，所以与互斥，故C正确；
一枚骰子投掷一次，记事件A＝{出现点数为1，3，6}，事件B＝{出现点数为2，4，6}，
则P（A）＝0.5，P（B）＝0.5，满足P（A）＝1﹣P（B），但A与B不是对立事件，故D错误．
故选：D．
8．新高考选科要求3+1+2，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（　　）
A．事件C与事件D互斥 B．
C．事件A与事件B对立 D．
【答案】C
【解答】解：由题意，用p表示选择物理，用h表示选择历史，用数字1，2，3，（4分）别表示选择政治，地理，化学，生物，
则样本空间Ω＝{p12，p13，p14，p23，p24，p34，h12，h13，h14，h23，h24，h34}，
共有12个样本点，即n（Ω）＝12，且每个样本点是等可能发生的，
∴这是一个古典概型，
对于A，事件C∩D＝{p13，p23，p34，h13，h23，h34}，∴n（C）＝6，
则P（C），故B错误；
对于C，A＝{p12，p13，p14，p23，p24，p34}，B＝{h12，h13，h14，h23，h24，h34}，
则A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，∴事件A与事件B对立，故C正确；
对于D，CD＝{p13，h13}，则n（CD）＝2，
∴P（CD），故D错误．
故选：C．
▉题型3 互斥事件的概率加法公式
【知识点的认识】
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A∪B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
9．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，，
则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，，
根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为：
第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，
其概率为；
第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮，
其概率为．
则前4次中甲恰好投篮3次的概率为．
故选：D．
10．已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则P（B∪C）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为事件A，B，C两两互斥，所以，
所以．
故选：B．
11．已知事件A，B满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.4，则下列结论正确的是（　　）
A．若A与B相互独立，则
B．若A与B互斥，则P（AB）＝0.24
C．A与B相互对立
D．若B A，则P（A∪B）＝0.6
【答案】D
【解答】解：对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，
所以，
故A错误；
对于B，若A与B互斥，则P（AB）＝0，故B错误．
对于C，P（B）+P（A）＝1，当A∪B＝Ω，且A∩B≠Φ时，
A，B不对立，故C错误．
对于D，若B A，则A∪B＝A，则P（A∪B）＝P（A）＝0.6，故D正确．
故选：D．
12．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（　　）
A．事件B与C互斥 B．
C．事件A与C相互独立 D．
【答案】B
【解答】解：对于A，事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为1，2，3，4，
事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为2，3，5，7，显然得到点数为2，3时，事件B与事件C同时发生，故A错误；
对于B，事件A为“得到的点数为奇数”，事件B为“得到的点数不大于4”，
故得到点数为1，2，3，4，5，7，表示事件A+B发生，即，故B正确；
对于C，由事件A为“得到的点数为奇数”，事件C为“得到的点数为质数”，则，，
而得到点数为3，5，7，表示事件AC发生，即，
此时P（AC）≠P（A）P（C），所以事件A与事件C不相互独立，故C错误；
对于D，而得到点数为1，3，表示事件AB发生，即，
所以，故D错误，
故选：B．
▉题型4 对立事件的概率关系及计算
【知识点的认识】
﹣对立事件的概率关系是．
【解题方法点拨】
﹣利用对立事件的公式计算对立事件的概率．
13．东风快递，使命必达，某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（　　）
A．0.08 B．0.18 C．0.26 D．0.98
【答案】D
【解答】解：目标未被击中的概率为：
（1﹣0.9）（1﹣0.8）＝0.02，
∴目标被击中的概率为1﹣0.02＝0.98．
故答案为：0.98．
故选：D．
14．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择A类图书的概率为，选择B类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则A，B两类图书都选的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设事件A＝“读者选择A类图书”，事件B＝“读者选择B类图书”，
则，
可得，
又P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），
所以．
故选：B．
15．设随机事件A，B满足P（A）＝P（B）＝0.75，P（AB）＝0.6，则P（）＝（　　）
A．0.4 B．0.35 C．0.25 D．0.1
【答案】D
【解答】解：随机事件A，B满足P（A）＝P（B）＝0.75，P（AB）＝0.6，
∴P（）+P（）+P（A）+P（AB）＝1，
，
∵P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.75+0.75﹣0.6＝0.9，
∴P（）＝P（）＝1﹣0.9＝0.1．
故选：D．
16．甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是0.6、0.5，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为（　　）
A．0.3 B．0.2 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【解答】解：由题意，甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为1﹣（1﹣0.6）×（1﹣0.5）＝0.8．
故选：D．
▉题型5 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
【知识点的认识】
﹣对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立．
【解题方法点拨】
﹣判断事件是否独立，通过计算交事件的概率并与乘积概率进行比较．
17．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为偶数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（　　）
A．事件B与C互斥，A与C相互对立
B．
C．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）但不满足A，B，C两两独立
D．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）且A，B，C两两相互独立
【答案】C
【解答】解：由题意可知，事件A所含的样本点为：{2，4，6，8}，事件B所含的样本点为：{1，2，3，4}，事件C所含的样本点为：{2，3，5，7}，
对于选项A，因为事件B，C都包含样本点2，3，所以B，C不互斥，故选项A错误；
对于选项B，因为A∪B所含的样本点为：{1，2，3，4，6，8}，
所以，故选项B错误；
对于选项C，D，因为ABC所含的样本点为：{2}，
所以，又，
所以P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），
又事件AC所含的样本点为：{2}，
所以，又，
所以P（AC）≠P（A）P（C），
所以事件A，C不独立，即A，B，C两两独立错误，
故选项C正确，选项D错误．
故选：C．
18．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（　　）
A．A与B互斥 B．B与C互为对立
C．A与B相互独立 D．A与C相互独立
【答案】D
【解答】解：根据题意，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其中第一次在前，第二次在后，
样本空间Ω如下：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个样本点；
依次分析选项：
对于A，AB＝{（3，1）}，事件A、B可以同时发生，即事件A、B不互斥，A错误；
对于B，事件B、B互斥但不对立，B错误；
对于C，A＝{（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）}
B＝{（1，3），（2，2），（3，1）}；
P（A），P（B），P（AB），事件A、B不相互独立，C错误；
对于D，C＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，
AC＝{（3，4）}，
P（A），P（C），P（AC），
则A与C相互独立，D正确．
故选：D．
19．已知事件A和事件B满足A∩B＝ ，则下列说法正确的是（　　）
A．事件A和事件B独立 B．事件A和事件B互斥
C．事件A和事件B对立 D．事件和事件互斥
【答案】B
【解答】解：根据题意，事件A和事件B满足A∩B＝ ，即事件A、B不会同时发生，两个是互斥事件，B正确；
对于A，当P（A）＞0，P（B）＞0时，P（A）P（B）＞0，P（AB）＝0，
P（AB）≠P（A）P（B），两个事件不是独立事件，A错误；
对于C，事件A、B不会同时发生，但也可能同时不发生，事件A和事件B不对立，C错误；
对于D，事件A、B可能同时不发生，事件和事件不互斥，D错误；
故ACD错误，B正确．
故选：B．
20．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（　　）
A．P（A∪B）＝P（A）P（B） B．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
C． D．
【答案】C
【解答】解：事件A与B独立，
则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），故AB错误，
由题意可知，事件A、独立，故C正确；
P（A）＝P（A）+P（）﹣P（A）P（）＝P（A）+1﹣P（B）﹣P（A）[1﹣P（AB）]＝1﹣P（B）+P（A）P（B），故D错误．
故选：C．
21．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解答】解：设甲乙丙丁对应的概率分别为P1，P2，P3，P4，
由题意可得，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，情况分别为：
（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
∴，
丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，情况分别为：
（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），
∴，
对于A，，∴甲与丙不是相互独立事件，故A错误；
对于B，，∴甲与丁是相互独立事件，故B正确；
对于C，，∴乙与丙不是相互独立事件，故C错误；
对于D，P34＝0≠P3×P4，∴丙与丁不是相互独立事件，故D错误．
故选：B．
（多选）22．已知事件A，B，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，则（　　）
A．事件A与事件B互为对立事件
B．若事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝0.8
C．若事件A与事件B互斥，则P（AB）＝0.2
D．若，则事件A与事件B相互独立
【答案】BD
【解答】解：事件A，B，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，
对于A，由于对立事件概率和为1，
但P（A）+P（B）＝0.8≠1，故A错误，
对于B、C，由事件A与事件B互斥，
P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.8，P（AB）＝0，
故B正确，C错误
对于D，∵，
，
∴事件与事件相互独立，
∴事件A与事件B相互独立，故D正确．
故选：BD．
▉题型6 相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
﹣对于相互独立事件A和B，．
【解题方法点拨】
﹣应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性．
23．如图，三个元件T1，T2，T3正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：三个元件T1，T2，T3正常工作的概率均为，且是相互独立的，
则电路不发生故障的概率为（）．
故选：C．
24．春节期间，甲，乙两人去西安旅游，打算去陕西历史博物馆参观，需要提前在网上预约门票，若甲预约成功的概率为0.6，乙预约成功的概率为0.5，且甲乙两人预约成功与否互不影响，则甲乙两人至少有一人预约成功的概率是（　　）
A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84
【答案】C
【解答】解：由题意可知甲乙同时预约不成功的概率为P1＝（1﹣0.6）（1﹣0.5）＝0.2，
所以甲乙两人至少有一人预约成功的概率是P＝1﹣P1＝1﹣0.2＝0.8．
故选：C．
25．已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.5，P（AB）＝0.2，则P（B）＝（　　）
A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.7
【答案】C
【解答】解：因为事件A，B相互独立，且P（A）＝0.5，P（AB）＝0.2，
所以．
故选：C．
26．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，
在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，
记事件A＝“甲在第一轮中获胜”，B＝“甲在第二轮中获胜”，
则，，，
故，
∴甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是：
．
故选：A．
27．已知事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：已知事件A，B相互独立，则事件A，也相互独立，
又P（A），P（B），则P（）＝1，
则P（A）P（），
故选：C．
28．已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则“两个事件A，B至少有一个发生”的概率为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，
∵事件 A、B 相互独立，
∴
则“两个事件 A，B 至少有一个发生”的概率为：
．
故选：C．
29．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可知，甲不能破译密码的概率为1，乙不能破译密码的概率为1，
密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，
所以密码不能被成功破译的概率为．
故选：C．
（多选）30．设A，B是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（　　）
A．如果P（A）+P（B）＝1，那么A与B相互对立
B．若A，B是互斥事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）
C．从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件
D．已知事件A，B发生的概率分别为，且，则事件A，B相互独立
【答案】BD
【解答】解：对于A，设连续掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中，
设A＝“至少有一次正面向上”，B＝“两次都是正面”，
则，
A与B不是对立事件，故A错误；
对于B，∵A，B是互斥事件，
∴P（AB）＝0，P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝P（A）+P（B），故B正确；
对于C，从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果：
一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球；
故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故C错误；
对于D，根据相互独立事件的定义，
若事件A与B满足P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立，
∵，，，满足P（AB）＝P（A）P（B），
∴事件A，B相互独立，故D正确．
故选：BD．
31．甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲，
若甲与乙、丁两场比赛都输，则乙、丁、丙积分都大于甲，不合题意；
若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，
这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意，
在丙输的情况下，乙、丁已有3分，
那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；
若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分，
这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢，
否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输或一输一平，
①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率；
②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是；
综上概率为．
故答案为：．
32．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；
（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【答案】（1）；（2）派甲参赛获胜的概率更大．（3）．
【解答】解：（1）在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，
在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响，
设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，
B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，
则A1，A2，B1，B2相互独立，且，，，，
设C＝“甲在比赛中恰好赢一轮”
则．
（2）∵在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，
∴，，
∵，∴派甲参赛获胜的概率更大．
（3）设事件D＝“甲赢得比赛”，事件E＝“乙赢得比赛”，
则D∪E＝“两人中至少有一人赢得比赛”，
由（2）知，，，
∴，
，
∴两人中至少有一人赢得比赛的概率为．

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