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第9章第1节 向量概念
题型1 平面向量的模 题型2 平面向量中的零向量与单位向量
题型3 平面向量的平行向量
▉题型1 平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【解题方法点拨】
﹣计算模：也就是的长度．
﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．
1．已知向量，，，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：由题可得：，
因为3，
所以，即（2+t）2＝0，
解得t＝﹣2．
故选：A．
2．已知向量，且，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以，
化简得，所以AB⊥AC，
又因为，
所以，解得，
所以，
则，，
所以△ABC的面积为．
故选：A．
3．已知，均为非零向量，其夹角为θ，则“cosθ＝1”是“||＝||﹣||”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：当cosθ＝1时，，
此时，θ＝0，与同向，
则，故不一定成立；
由，可得2，
即，
所以，所以cosθ＝1；
故“cosθ＝1”是的必要不充分条件．
故选：C．
（多选）4．已知向量，，则（　　）
A．
B．
C．与的夹角为
D．向量在方向上的投影向量为
【答案】ABD
【解答】解：向量，，
则，，所以，A正确；
因为，，
所以，B正确；
设与的夹角为θ，
向量，，
则，且θ∈[0，π]，因此与的夹角为，C错误；
在方向上的投影向量为，D正确．
故选：ABD．
（多选）5．已知向量，，则（　　）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在方向上的投影向量的坐标为（﹣1，﹣2）
【答案】BC
【解答】解：由题知，显然，即与不平行，A错误；
，，因此，B正确；
设与的夹角为θ，则，且θ∈[0，π]，因此与的夹角为，C正确；
在方向上的投影向量为（﹣2，﹣1），D错误．
故选：BC．
6．若非零向量与单位向量共线，且||＝||，则||＝ 　2　 ．
【答案】2
【解答】解：||＝||，非零向量与单位向量共线，
则非零向量与单位向量反向共线，
则，
故||＝ 2．
故答案为：2．
7．已知空间向量、、两两垂直，空间中点A满足，记，则的取值范围为　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为空间向量、、两两垂直，空间中点A满足，
不妨设B1（a，0，0），B2（0，b，0），B3（0，0，c），则P（a，b，c），
设A（x，y，z），则有（x﹣a）2+y2+z2＝x2+（y﹣b）2+z2＝x2+y2+（z﹣c）2＝1，
所以（x﹣a）2+（y﹣b）2+（z﹣c）2+2（x2+y2+z2）＝3，
由，及，
因此得到等式，
即，
所以．
故答案为：．
8．已知向量，则的单位向量的坐标为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵向量，
∴的单位向量的坐标为．
故答案为：．
9．已知A（2，1）、B（﹣1，4），则的单位向量坐标为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由A（2，1）、B（﹣1，4），
可得，
则的单位向量为．
故答案为：．
10．已知向量，则　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：∵向量，
∴（4，﹣3），
∴5，
故答案为：5．
▉题型2 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【知识点的认识】
﹣零向量：它的模为0，方向是任意的．
﹣单位向量：模为1的向量，用于表示方向．任何非零向量可以通过转换为单位向量．
【解题方法点拨】
﹣零向量的应用：在向量加法中，零向量不会改变其他向量的值．
﹣单位向量的使用：将向量标准化为单位向量以简化方向的表示和计算．
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则；
③若||＝||，则或．
则所有正确命题的序号是_____．
解：①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若，都是单位向量，则和不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若||＝||，只能说明其大小相等，推不出或，故③错误，
故答案为：①．
11．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设与向量（﹣3，4）反向的单位向量是，
则．
故答案为：A．
12．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
【答案】A
【解答】解：分别表示与同向的单位向量，
若使得，则根据向量等的条件可知，与必须方向相同，
故使其成立的充要条件是与同向．
故选：A．
13．下列向量中，与向量（3，4）共线的一个单位向量是（　　）
A．（﹣6，﹣8） B． C．（8，6） D．
【答案】B
【解答】解：设与向量（3，4）共线的一个单位向量为，
则有，解得，
故选项B符合题意．
故选：B．
14．已知单位向量，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C．||＝|| D．∥
【答案】C
【解答】解：根据单位向量的定义，
故选：C．
15．与向量方向相反的单位向量是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意，．
故答案为：．
▉题型3 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
16．已知向量，，且，则m＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：由已知，，，
因为∥，
所以．
故选：C．
17．已知向量，，且，则x＝（　　）
A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：由，
可得2x﹣4＝0，解得x＝2，
故选：B．
18．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（　　）
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
【答案】B
【解答】解：因为，且ABCD为四边形，
则AB∥CD，且，
所以四边形ABCD是梯形．
故选：B．
19．设，是平面向量的一个基．已知非零向量，，其中xi，yi∈R（i＝1，2），给出下列四个命题：
①；
②当且仅当x1＝x2且y1＝y2；
③当且仅当x1y2＝x2y1；
④当且仅当x1x2+y1y2＝0；
其中真命题的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【解答】解：①根据向量的模的计算公式，
可得，
因为，是平面向量的一个基底，
所以，夹角和模未知，
所以不一定等于，所以命题①错误；
②根据向量相等的定义，当且仅当与的模相等且方向相同，
即，即．
因为，是平面向量的一个基底，
所以，不共线，
所以x1﹣x2＝0且y1﹣y2＝0，即x1＝x2且y1＝y2，所以命题②正确；
③根据向量平行的定义，若，则x1y2＝x2y1；
若为非零向量，则 存在的唯一实数λ，使得，
即，即，
因为，是平面向量的一个基底，所以，不共线，
所以x1﹣λx2＝0，且y1﹣λy2＝0，
即x1＝λx2且y1＝λy2，x1y2＝x2y1，
综上，命题③正确；
④根据向量垂直的定义，，
即，
即，
因为夹角和模未知，
故不一定能得到，
所以命题④错误．
故选：B．
20．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】A
【解答】解：因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确，
对于两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，
当时，与可能不共线，故C错误
若两个单位向量平行，
当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误．
故选：A．
21．已知非零向量与共线，下列说法正确的是（　　）
A．与共线
B．与不共线
C．若，则
D．若，则是一个单位向量
【答案】D
【解答】解：当A，B，C，D四点在一条直线上时，与共线，
否则与可能不共线，故A，B错误；
若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，故C错误；
因为，由单位向量定义可知是一个单位向量，故D正确．
故选：D．
22．已知平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，﹣2），B（1，2），，若，则P的坐标为：（　　）
A． B．（0，2） C．（3，6） D．（3，4）
【答案】B
【解答】解：由题意，，
，
由，可得8﹣4λ＝2（5﹣3λ），解得λ＝1，
故，即P（0，2）．
故选：B．
23．设向量，，不共面，已知3，，4，若A，C，D三点共线，则λ＝　0　 ．
【答案】0
【解答】解：因为3，，4，
所以2（λ﹣1）4，
因为A，C，D三点共线，所以∥，
所以，解得λ＝0．
故答案为：0．
24．已知向量，，且，则实数x的值为　﹣2　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：向量，，，
则﹣4＝2x，解得x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
25．已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数λ的值为　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意可知，存在正实数k，使得，
又向量不共线，∴，解得：（舍去）或，∴λ的值为2．
故答案为：2．第9章第1节 向量概念
题型1 平面向量的模 题型2 平面向量中的零向量与单位向量
题型3 平面向量的平行向量
▉题型1 平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【解题方法点拨】
﹣计算模：也就是的长度．
﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．
1．已知向量，，，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．已知向量，且，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．已知，均为非零向量，其夹角为θ，则“cosθ＝1”是“||＝||﹣||”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）4．已知向量，，则（　　）
A．
B．
C．与的夹角为
D．向量在方向上的投影向量为
（多选）5．已知向量，，则（　　）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在方向上的投影向量的坐标为（﹣1，﹣2）
6．若非零向量与单位向量共线，且||＝||，则||＝ 　　 ．
7．已知空间向量、、两两垂直，空间中点A满足，记，则的取值范围为　 ．
8．已知向量，则的单位向量的坐标为 　　 ．
9．已知A（2，1）、B（﹣1，4），则的单位向量坐标为 　 ．
10．已知向量，则　　 ．
▉题型2 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【知识点的认识】
﹣零向量：它的模为0，方向是任意的．
﹣单位向量：模为1的向量，用于表示方向．任何非零向量可以通过转换为单位向量．
【解题方法点拨】
﹣零向量的应用：在向量加法中，零向量不会改变其他向量的值．
﹣单位向量的使用：将向量标准化为单位向量以简化方向的表示和计算．
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则；
③若||＝||，则或．
则所有正确命题的序号是_____．
解：①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若，都是单位向量，则和不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若||＝||，只能说明其大小相等，推不出或，故③错误，
故答案为：①．
11．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
12．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
13．下列向量中，与向量（3，4）共线的一个单位向量是（　　）
A．（﹣6，﹣8） B． C．（8，6） D．
14．已知单位向量，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C．||＝|| D．∥
15．与向量方向相反的单位向量是 　　 ．
▉题型3 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
16．已知向量，，且，则m＝（　　）
A． B．1 C． D．2
17．已知向量，，且，则x＝（　　）
A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣2
18．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（　　）
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
19．设，是平面向量的一个基．已知非零向量，，其中xi，yi∈R（i＝1，2），给出下列四个命题：
①；
②当且仅当x1＝x2且y1＝y2；
③当且仅当x1y2＝x2y1；
④当且仅当x1x2+y1y2＝0；
其中真命题的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
20．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
21．已知非零向量与共线，下列说法正确的是（　　）
A．与共线
B．与不共线
C．若，则
D．若，则是一个单位向量
22．已知平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，﹣2），B（1，2），，若，则P的坐标为：（　　）
A． B．（0，2） C．（3，6） D．（3，4）
23．设向量，，不共面，已知3，，4，若A，C，D三点共线，则λ＝　　 ．
24．已知向量，，且，则实数x的值为　 ．
25．已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数λ的值为　　 ．

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