资源简介

第14章第4节 用样本估计总体
题型1 平均数 题型2 中位数
题型3 众数 题型4 用样本估计总体的离散程度参数
题型5 标准差 题型6 方差
题型7 极差 题型8 百分位数
▉题型1 平均数
【知识点的认识】
﹣平均数：数据集中所有值的算术平均，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算：求出数据集中所有值的总和，再除以数据的个数．
1．已知互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，t的平均数为t，方差为，数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．无法判断
2．诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分．评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分．6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（　　）
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差
3．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（　　）
A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数
4．芳芳高考前5次数学模拟成绩分别为：126，135，142，132，145，则其平均数为（　　）
A．132 B．134 C．136 D．138
▉题型2 中位数
【知识点的认识】
﹣中位数：数据集中将数据分为两部分的中间值，数据需按顺序排列．
【解题方法点拨】
﹣计算：对于奇数个数据，中位数为中间值；对于偶数个数据，中位数为中间两个值的平均．
5．某中学举办迎国庆歌咏比赛，邀请了七位评委，对一个选手打分后，得到一组互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是（　　）
A．平均分 B．极差 C．标准差 D．中位数
6．样本数据8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
7．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　）
A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数
（多选）8．阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要．为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（　　）
A．a＝0.025
B．估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟
C．估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟
D．估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表）
▉题型3 众数
【知识点的认识】
﹣众数：数据集中出现频率最高的值．
【解题方法点拨】
﹣计算：找出数据集中出现次数最多的值．
（多选）9．如图，这是某班20名同学暑假的课外阅读量的折线统计图，则（　　）
A．这20名同学暑假的课外阅读量的众数是3
B．这20名同学暑假的课外阅读量的极差是5
C．这20名同学暑假的课外阅读量的中位数是3.5
D．这20名同学暑假的课外阅读量的平均数是3.4
（多选）10．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（　　）
A．众数是22
B．80百分位数是28
C．平均数是30
D．前4个数据的方差比最后4个数据的方差大
（多选）11．有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（　　）
A．这组数据的众数为4
B．这组数据的极差为3
C．这组数据的平均数为1.5
D．这组数据的40%分位数为1
12．一组样本数据为2、3、1、1、0、2、1、0，则这组数据的众数为　 ．
▉题型4 用样本估计总体的离散程度参数
【知识点的认识】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【解题方法点拨】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
13．小军小朋友参加少儿体操选拔赛，8位教练员的评分分别为13，14，16，18，18，20，22，23，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分．去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列会发生变化的是（　　）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数
14．某班共有36名男生和24名女生，统计他们的体重数据（单位：kg），已知男生体重的平均数为65，方差为34，全体学生体重的平均数为59，方差为86，则该班女生体重的方差为 　　 ．
▉题型5 标准差
【知识点的认识】
﹣标准差：衡量数据离均值的分散程度，计算公式为
．
【解题方法点拨】
﹣计算：求出每个数据与均值的差的平方，计算平方和的平均数，再开方得到标准差．
（多选）15．甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试，考后分别以y1＝0.8x1+20、y2＝0.75x2+25的方式赋分，其中x1，x2分别表示甲、乙两班原始考分，y1，y2分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（　　）
A．甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高
B．甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高
C．甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数
D．若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高
16．某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．
年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31
人数 1 1 2 1 3 4 1 12
该公司雇员年薪的标准差约为　　 万元．（精确到0.1）
▉题型6 方差
【知识点的认识】
﹣方差：标准差的平方，衡量数据离均值的变异程度．
【解题方法点拨】
﹣计算：直接使用方差的公式．
17．已知一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为1，则由yi＝3xi﹣2（i＝1，2，…，n）生成一组新的数据y1，y2，…，yn的标准差为（　　）
A．9 B．3 C． D．1
18．某气象爱好者为了解本地冬季的气温变化规律，特记录了本地过去10天的最低气温的数据（单位：℃），结果如下：7，7，5，2，3，6，6，7，4，3，则这10天的最低气温的（　　）
A．极差为4 B．中位数为6 C．平均数为5 D．方差为3
19．从A队20人、B队30人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人．进行一轮答题竞赛．相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为1.04；B队答对题目数的平均数为1，方差为2.04，则这5人答对题目数的方差为（　　）
A．0.95 B．1.06 C．1.33 D．1.88
20．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
21．已知数据1，2，3的方差与数据1，2，3，x的方差相同，则x＝　　 ．
▉题型7 极差
【知识点的认识】
﹣极差：数据集中最大值与最小值的差异，计算公式为极差＝最大值﹣最小值．
【解题方法点拨】
﹣计算：确定数据集中最大值和最小值，并计算它们的差值．
22．一组数据11，18，6，38，20的极差为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．﹣32
23．某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下：
成绩 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 5 25 30 20 10 10
根据表中数据，下列结论正确的是（　　）
A．100名学生成绩的极差为60分
B．100名学生成绩的中位数大于70分
C．100名学生成绩的平均数大于60分
D．100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过80%
24．某中学举行英语知识竞赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，99，85，93，98，73，95，则这7人成绩的极差是　　 ．
▉题型8 百分位数
【知识点的认识】
百分位数的定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈（0，1），总体的p分位数有这样的特点，总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p．
四分位数：25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是．因此这三个百分位数也称为总体的四分位数．
【解题方法点拨】
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100﹣p）%的数据大于或等于这个值．计算一组n个数据的第p百分位数步骤如下：
①按从小到大排列原始数据；
②计算i＝n×p%；
③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数．
25．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（　　）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
26．已知一组数据为：1，1，2，4，5，3，3，2，3，2，则这组数据（　　）
A．中位数为2 B．众数为2
C．70百分位数为3 D．平均数为3
27．某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励．加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数
C．第80百分位数 D．方差
28．2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩．首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（　　）
A．盛李豪的平均射击环数超过10.6
B．黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65
C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
29．已知一组样本数据xi（i＝1，2，3， ，20），其中xi（i＝1，2，3， ，20）为正实数．满足x1≤x2≤x3≤ ≤x20．下列说法不正确的是（　　）
A．样本数据的第50百分位数为
B．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
C．已知这组数据的极差是6，则数据2x1﹣1，2x2﹣1， ，2x20﹣1的极差是11
D．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80
30．样本数据15，12，10，27，26，22，16，34的第70%分位数是（　　）
A．22 B．24 C．25 D．26
31．一组从小到大排列的10个数据：0，1，2，3，4，8，9，10，11，13，这组数据的第80百分位数是 　　 ．第14章第4节 用样本估计总体
题型1 平均数 题型2 中位数
题型3 众数 题型4 用样本估计总体的离散程度参数
题型5 标准差 题型6 方差
题型7 极差 题型8 百分位数
▉题型1 平均数
【知识点的认识】
﹣平均数：数据集中所有值的算术平均，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算：求出数据集中所有值的总和，再除以数据的个数．
1．已知互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，t的平均数为t，方差为，数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．无法判断
【答案】C
【解答】解：由x1，x2，x3，x4，x5，t的平均数为t，得，
即x1+x2+x3+x4+x5＝5t，故x1，x2，x3，x4，x5的平均数为t．
设（因数据互不相等，故m＞0），则，．
因为（m＞0），所以．
故选：C．
2．诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分．评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分．6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（　　）
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差
【答案】C
【解答】解：根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，
得到6个有效评分，
6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，
而最高分、最低分可能变化，极差可能变化，
同时，平均分、标准差都有可能发生变化，
因此6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是，一定不变的数字特征是中位数．
故选：C．
3．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（　　）
A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数
【答案】C
【解答】解：一组不全相等的数据，去掉一个最大值，极差、中位数、众数可能不变，
但平均数肯定变小．
故选：C．
4．芳芳高考前5次数学模拟成绩分别为：126，135，142，132，145，则其平均数为（　　）
A．132 B．134 C．136 D．138
【答案】C
【解答】解：由已知条件可得平均数为．
故选：C．
▉题型2 中位数
【知识点的认识】
﹣中位数：数据集中将数据分为两部分的中间值，数据需按顺序排列．
【解题方法点拨】
﹣计算：对于奇数个数据，中位数为中间值；对于偶数个数据，中位数为中间两个值的平均．
5．某中学举办迎国庆歌咏比赛，邀请了七位评委，对一个选手打分后，得到一组互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是（　　）
A．平均分 B．极差 C．标准差 D．中位数
【答案】D
【解答】解：对于选项A：由题意若7个数据为1，2，3，5，6，7，8，可得原平均分为，
去掉最高和最低分后平均分为，
∵，∴平均分不一定相同，故选项A错误；
对于选项B：由题意若7个数据为1，2，3，5，6，7，8，可得原极差为8﹣1＝7，
去掉最高和最低分后为2，3，5，6，7，极差为7﹣2＝5，
∵7≠5，∴极差不一定相同，故选项B错误；
对于选项C：由题意若7个数据为1，2，3，4，5，6，7，可得原数据平均数为，
标准差为，
去掉最高和最低分后平均数为，
标准差为，
∴标准差不一定相同，故选项C错误；
对于选项D：由题意可设x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，可得原始数据的中位数为x4，
去掉最高和最低分后可得x2，x3，x4，x5，x6的中位数也为x4，
∴去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是中位数，故选项D正确．
故选：D．
6．样本数据8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【答案】B
【解答】解：样本数据从小到大排列为：6，7，8，8，9，9，10，11，
则中位数为．
故选：B．
7．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　）
A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数
【答案】D
【解答】解：由已知，样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为（1+2+2+2+3+5），极差为5﹣1＝4，中位数为2，
去掉1和5后的数据的平均数为，极差为3﹣2＝1，中位数为2，
故平均数和极差都发生变化，中位数不变，
由于去掉1和5后，数据的稳定性更高，故相比较于原数据，方差变小．
故选：D．
（多选）8．阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要．为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（　　）
A．a＝0.025
B．估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟
C．估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟
D．估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表）
【答案】ABD
【解答】解：对于A，由频率分布直方图得：
20×（0.0125+a+0.0065+2×0.003）＝1 a＝0.025，故A正确；
对于B，由频率分布直方图得：
阅读时间不超过40分钟的频率为20×（0.0125+0.025）＝0.75，即估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟，故B正确；
对于C，由B的计算结果，40是该组数据的第75百分位数，所以中位数应该小于40，故C错误；
对于D，由频率分布直方图估计样本的平均数为：
20×（10×0.0125+30×0.025+50×0.0065+70×0.003+90×0.003）＝33.6，故D正确．
故选：ABD．
▉题型3 众数
【知识点的认识】
﹣众数：数据集中出现频率最高的值．
【解题方法点拨】
﹣计算：找出数据集中出现次数最多的值．
（多选）9．如图，这是某班20名同学暑假的课外阅读量的折线统计图，则（　　）
A．这20名同学暑假的课外阅读量的众数是3
B．这20名同学暑假的课外阅读量的极差是5
C．这20名同学暑假的课外阅读量的中位数是3.5
D．这20名同学暑假的课外阅读量的平均数是3.4
【答案】BCD
【解答】解：由图可知：
课外阅读量（本） 1 2 3 4 5 6
频数 2 3 5 6 3 1
则中位数是，
众数为4，极差是6﹣1＝5，
平均数是．
故选：BCD．
（多选）10．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（　　）
A．众数是22
B．80百分位数是28
C．平均数是30
D．前4个数据的方差比最后4个数据的方差大
【答案】AC
【解答】解：将数据按升序排列得：20，22，22，22，24，26，26，28，32，78，
22出现的次数最多，众数是22，所以A正确；
因为10×0.8＝8，
将数据按升序排列得：20，22，22，22，24，26，26，28，32，78，
则80百分位数是第8位数和第9位数的平均数，
即，所以B错误；
平均数，所以C正确；
前4各数据的平均数是，
方差为，
后4个数据的平均数，
方差为，
所以前4个数据的方差比最后4个数据的方差小，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（　　）
A．这组数据的众数为4
B．这组数据的极差为3
C．这组数据的平均数为1.5
D．这组数据的40%分位数为1
【答案】BD
【解答】解：对于A，该组数据的众数为1，选项A错误；
对于B，极差为4﹣1＝3，选项B正确；
对于C，计算平均数为（1+1+2+4+1+4+1+2）＝2，判断选项C错误；
对于D，数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4；
计算8×40%＝3.2，所以这组数据的40%分位数是第4个数1，选项D正确．
故选：BD．
12．一组样本数据为2、3、1、1、0、2、1、0，则这组数据的众数为　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：因为数据中1最多，
由众数的定义知：这组数据的众数为1．
故答案为：1．
▉题型4 用样本估计总体的离散程度参数
【知识点的认识】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【解题方法点拨】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
13．小军小朋友参加少儿体操选拔赛，8位教练员的评分分别为13，14，16，18，18，20，22，23，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分．去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列会发生变化的是（　　）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数
【答案】B
【解答】解：根据题意，
对于原来的数据：其平均数，
极差为23﹣13＝10，
中位数为（18+18）＝18，
众数为18；
去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，
其平均数，
极差为22﹣14＝8，
中位数为（18+18）＝18，
众数为18；
对于两组数据，只有极差发生变化．
故选：B．
14．某班共有36名男生和24名女生，统计他们的体重数据（单位：kg），已知男生体重的平均数为65，方差为34，全体学生体重的平均数为59，方差为86，则该班女生体重的方差为 　29　 ．
【答案】29．
【解答】解：设女生体重的平均数为，方差为s2，
所以59，
解得50，
所以86[34+（65﹣59）2][s2+（50﹣59）2]，
解得s2＝29．
故答案为：29．
▉题型5 标准差
【知识点的认识】
﹣标准差：衡量数据离均值的分散程度，计算公式为
．
【解题方法点拨】
﹣计算：求出每个数据与均值的差的平方，计算平方和的平均数，再开方得到标准差．
（多选）15．甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试，考后分别以y1＝0.8x1+20、y2＝0.75x2+25的方式赋分，其中x1，x2分别表示甲、乙两班原始考分，y1，y2分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（　　）
A．甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高
B．甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高
C．甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数
D．若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高
【答案】ACD
【解答】解：对AB，由题知E（y1）＝E（y2）＝60，
，
∵y1＝0.8x1+20，y2＝0.75x2+25，
∴0.8E（x1）+20＝60，0.75E（x2）+25＝60，0.816，15，
解得E（x1）＝50，E（x2）20，20，
∴E（x1）＞E（x2），，故A正确，B错误；
对于C，∵y1﹣x1＝20﹣0.2x1，x1∈[0，100]，
∴0≤20﹣0.2x1≤20，∴y1﹣x1≥0，故C正确；
对于D，作出函数y＝0.8x+20，y＝0.75x+25的图象，如图，
由图可知，当y1＝y2＜100时，有x2＜x1，
∵y＝0.8x+20单调递增，∴当y1＞y2时，必有x1＞x2，故D正确．
故选：ACD．
16．某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．
年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31
人数 1 1 2 1 3 4 1 12
该公司雇员年薪的标准差约为　25.5　 万元．（精确到0.1）
【答案】25.5．
【解答】解：年薪的平均数为×（135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12）＝50.4万元，
所以该公司雇员年薪的方差约为[（135﹣50.4）2+（95﹣50.4）2+2×（80﹣50.4）2+（70﹣50.4）2+3×（60﹣50.4）2+4×（52﹣50.4）2+（40﹣50.4）2+12×（31﹣50.4）2]＝650.25，
所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）．
故答案为：25.5．
▉题型6 方差
【知识点的认识】
﹣方差：标准差的平方，衡量数据离均值的变异程度．
【解题方法点拨】
﹣计算：直接使用方差的公式．
17．已知一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为1，则由yi＝3xi﹣2（i＝1，2，…，n）生成一组新的数据y1，y2，…，yn的标准差为（　　）
A．9 B．3 C． D．1
【答案】B
【解答】解：数据x1，x2，…，xn的方差为1，
则由yi＝3xi﹣2（i＝1，2，…，n）生成一组新的数据y1，y2，…，yn的方差为：32×1＝9，故标准差为3．
故选：B．
18．某气象爱好者为了解本地冬季的气温变化规律，特记录了本地过去10天的最低气温的数据（单位：℃），结果如下：7，7，5，2，3，6，6，7，4，3，则这10天的最低气温的（　　）
A．极差为4 B．中位数为6 C．平均数为5 D．方差为3
【答案】C
【解答】解：本地过去10天的最低气温的数据（单位：℃），结果如下：7，7，5，2，3，6，6，7，4，3，
对于A，最低气温的数据（单位：℃）的最大值为7，最小值为2，
∴极差为7﹣2＝5，故A错误；
对于B，把最低气温的数据（单位：℃）从小到大排序为：2，3，3，4，5，6，6，7，7，7，
这10个数据的中位数为第五个数和第六个数的平均数，即为，故B错误；
对于C，最低气温的平均数为，故C正确；
对于D，最低气温的方差为：
，故D错误．
故选：C．
19．从A队20人、B队30人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人．进行一轮答题竞赛．相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为1.04；B队答对题目数的平均数为1，方差为2.04，则这5人答对题目数的方差为（　　）
A．0.95 B．1.06 C．1.33 D．1.88
【答案】D
【解答】解：从A队20人、B队30人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人，
抽到5人中，A队的人数为，B队的人数为，
∵A队答对题目数的平均数为2，方差为1.04，
B队答对题目数的平均数为1，方差为2.04，
∴这5人答对题目数的平均数为．
∴这5人答对题目数的方差为．
故选：D．
20．一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】A
【解答】解：由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2，
方差是，
加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3，
方差是，
所以不发生变化的是平均数．
故选：A．
21．已知数据1，2，3的方差与数据1，2，3，x的方差相同，则x＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为数据1，2，3的均值为2，
方差为，
数据1，2，3，x的均值为，
方差为，
整理得：9x2﹣36x+28＝0，解得．
故答案为：．
▉题型7 极差
【知识点的认识】
﹣极差：数据集中最大值与最小值的差异，计算公式为极差＝最大值﹣最小值．
【解题方法点拨】
﹣计算：确定数据集中最大值和最小值，并计算它们的差值．
22．一组数据11，18，6，38，20的极差为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．﹣32
【答案】C
【解答】解：由已知，可得这组数据的最大数为38，最小数为6，
所以极差38﹣6＝32．
故选：C．
23．某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下：
成绩 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 5 25 30 20 10 10
根据表中数据，下列结论正确的是（　　）
A．100名学生成绩的极差为60分
B．100名学生成绩的中位数大于70分
C．100名学生成绩的平均数大于60分
D．100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过80%
【答案】C
【解答】解：由表格可知，100名学生成绩的极差可能为60，故A错误；
对于B，由表格可知，100名学生成绩的中位数位于[60，70）之间，故B错误；
对于C，100名学生成绩的平均数为，
故C正确；
对于D，100名学生中成绩大于60分的人数所占比例为，故D错误．
故选：C．
24．某中学举行英语知识竞赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，99，85，93，98，73，95，则这7人成绩的极差是　29　 ．
【答案】29．
【解答】解：某中学举行英语知识竞赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，99，85，93，98，73，95，
则这7人的极差是99﹣70＝29．
故答案为：29．
▉题型8 百分位数
【知识点的认识】
百分位数的定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈（0，1），总体的p分位数有这样的特点，总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p．
四分位数：25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是．因此这三个百分位数也称为总体的四分位数．
【解题方法点拨】
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100﹣p）%的数据大于或等于这个值．计算一组n个数据的第p百分位数步骤如下：
①按从小到大排列原始数据；
②计算i＝n×p%；
③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数．
25．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（　　）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】C
【解答】解：根据题意，已知样本数据共有10个，且按从小到大的顺序排列，
由10×75%＝7.5，则样本数据的上四分位数为第8个数据7．
故选：C．
26．已知一组数据为：1，1，2，4，5，3，3，2，3，2，则这组数据（　　）
A．中位数为2 B．众数为2
C．70百分位数为3 D．平均数为3
【答案】C
【解答】解：该改组数据按从小到大的顺序排列为：1，1，2，2，2，3，3，3，4，5，
∴中位数为2.5，∴A选项错误；
∴众数为2和3，∴B选项错误；
∵10×0.7＝7，
∴70百分位数为3，∴C选项正确；
∴平均数为2.6，∴D选项错误．
故选：C．
27．某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励．加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数
C．第80百分位数 D．方差
【答案】D
【解答】解：平均数：每个数据加5，总和增加5n（n为人数），平均数增加5，发生改变．
中位数：数据整体加5，中间位置的数也加5，发生改变．
第80百分位数：数据整体加5，对应百分位数的数值也加5，发生改变．
方差：方差反映数据的离散程度，每个数据加相同常数，数据间的差异不变，方差不发生改变．
故选：D．
28．2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩．首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（　　）
A．盛李豪的平均射击环数超过10.6
B．黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65
C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
【答案】C
【解答】解：盛李豪的射击环数只有两次是10.8环，5次10.6环，其余都是10.6环以下，所以盛李豪平均射击环数低于10.6，故A错误；
由于14×0.8＝11.2，故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7，故B错误；
由于黄雨婷的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确；
黄雨婷射击环数的极差为10.8﹣9.7＝1.1，
盛李豪的射击环数极差为10.8﹣10.3＝0.5，故D错误．
故选：C．
29．已知一组样本数据xi（i＝1，2，3， ，20），其中xi（i＝1，2，3， ，20）为正实数．满足x1≤x2≤x3≤ ≤x20．下列说法不正确的是（　　）
A．样本数据的第50百分位数为
B．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
C．已知这组数据的极差是6，则数据2x1﹣1，2x2﹣1， ，2x20﹣1的极差是11
D．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80
【答案】C
【解答】解：A：因为20×50%＝10，所以样本数据的第50百分位数为从小到大排列的第10个数与第11个数的平均数，即为，故A正确；
B：由频率分布直方图的性质可得B正确，故B正确；
C：由题知x20﹣x1＝6，则数据2x1﹣1，2x2﹣1， ，2x20﹣1的极差为（2x20﹣1）﹣（2x1﹣1）＝2（x20﹣x1）＝12，故C错误；
D：因为，则，所以，故D正确．
故选：C．
30．样本数据15，12，10，27，26，22，16，34的第70%分位数是（　　）
A．22 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【解答】解：将数据按由小到大重新排序：10，12，15，16，22，26，27，34，
又8×70%＝5.6，
即第70%分位数是重新排序后的第6个数26．
故选：D．
31．一组从小到大排列的10个数据：0，1，2，3，4，8，9，10，11，13，这组数据的第80百分位数是 　10.5　 ．
【答案】10.5．
【解答】解：10×80%＝8，
故这组数据的第80百分位数是．
故答案为：10.5．

展开更多......

收起↑