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第13章第3节 空间图形的表面积和体积
题型1 棱柱的侧面积和表面积 题型2 棱锥的侧面积和表面积
题型3 棱台的侧面积和表面积 题型4 棱柱的体积
题型5 棱锥的体积 题型6 棱台的体积
题型7 圆柱的侧面积和表面积 题型8 圆锥的侧面积和表面积
题型9 圆台的侧面积和表面积 题型10 圆柱的体积
题型11 圆锥的体积 题型12 圆台的体积
题型13 球的表面积 题型14 球的体积
▉题型1 棱柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱柱是底面为多边形的几何体，侧面为平行四边形．棱柱的主要特征包括底面周长P和高h．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为底面周长P与高h的乘积，即．
﹣表面积：包括底面和顶面的面积及侧面的面积，计算公式为，其中B为底面的面积．
1．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，，则该正四棱柱的表面积为 　80　 ．
【答案】80．
【解答】解：因为四边形ABCD为正方形，，故BA＝4，
而，故，故BB1＝3，
故正四棱柱的表面积为2×42+4×4×3＝80．
故答案为：80．
2．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高的和为384，AC1的长为366，则该长方体的表面积为　13500　 ．
【答案】13500．
【解答】解：如图，∵AB+BC+CC1＝384，
∴，
∴，
∴该长方体的表面积为13500．
故答案为：13500．
3．已知正三棱柱的所有棱长都为a，体积为，则此正三棱柱的侧面积为　48　 ．
【答案】48．
【解答】解：因为正三棱柱的所有棱长都为a，则体积为Va2×sina，解得a＝4，
所以此正三棱柱的侧面积为S侧＝3×42＝48．
故答案为：48．
4．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC的边长为1，P为棱AA1上一点．
（1）若AA1＝1，求棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S的值；
（2）若AA1＝1，P为AA1的中点，求异面直线PC1与AB1所成角的大小；
（3）若，设二面角A1﹣B1C1﹣P、A﹣BC﹣P的平面角分别为α、β，求tan（α+β）的最值及取到最值时点P的位置．
【答案】（1）；
（2）；
（3）P为AA1的中点时，．
【解答】解：（1）；
（2）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
取CC1的中点Q，连接AQ，QB1，PC1，
则有AP∥C1Q，AP＝C1Q，则四边形PAQC1为平行四边形，
故AQ∥PC1，则∠QAB1为异面直线PC1与AB1所成角或其补角，
因为AA1＝1，底面△ABC的边长为1，
则，，，
在△AQB1中，由余弦定理得：；
（3）如图，分别取B1C1，BC的中点G，H，连接A1G，PH，PG，AH，
在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有A1G⊥B1C1，A1A⊥B1C1，
又A1G∩A1A＝A1，A1G，A1A 平面A1GP，
所以B1C1⊥平面A1GP，又PG 平面A1GP，
所以B1C1⊥PG，
则∠A1GP为二面角A1﹣B1C1﹣P的平面角，
同理∠AHP为二面角A﹣BC﹣P的平面角，
设A1P＝t，则AP＝a﹣t，又，
所以，，
则，
则当时，即P为AA1的中点时，．
5．已知圆锥的半径，母线长为．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）如图，过AO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积．
【答案】（1）表面积9π，体积3π；（2）体积，表面积．
【解答】解：（1）设圆锥的高为h，
由题意得：
，
所以h＝3，
所以圆锥侧面积，
圆锥的底面积，
所以圆锥的表面积S圆锥＝S1+S2＝9π；
所以圆锥的体积为．
（2）因为圆柱的底面半径为，高（母线）为，
所以圆柱的体积为，
所以剩下几何体的体积为，
由（1）得圆锥的表面积S圆锥＝S1+S2＝9π，
，
．
▉题型2 棱锥的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱锥是底面为多边形的几何体，顶点与底面相连形成侧面，棱锥的侧面为多个三角形．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算方法为先求各侧面三角形的面积，再把所有侧面三角形的面积求和．
﹣表面积：侧面积加上底面多边形的面积．
6．中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝6，BC＝BB1＝4，A1B1C1D1﹣A2B2C2D2是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，A2B2＝3，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：先求下半部分，表面积为6×4×3+4×4×2＝104，
再求上半部分，
因为A1B1＝6＝2A2B2，所以C1B1＝2C2B2＝4，则C2B2＝2，
所以上长方形的面积为3×2＝6，
由已知，，
则A1A2，
由于棱台侧面为等腰梯形，故，
左右两部分的梯形的高为，
则这两个梯形的面积之和为，
前后两部分的梯形的高为，
则这两个梯形的面积之和为．
因此总表面积为104+6+15+9．
故选：C．
7．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，
又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，
∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，
又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝4，
∴在△PBD中，根据余弦定理可得：PB，
又BC＝4，PC＝3，
∴在△PBC中，由余弦定理可得：
cos∠PCB，∴sin∠PCB，
∴△PBC的面积为：BC×PC×sin∠PCB4×34．
故选：C．
8．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（　　）
A．24 B．32 C．96 D．128
【答案】C
【解答】解：
如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥P﹣ABCD的外接球球心在PG上，
由题意球O的半径＝PO＝AO＝5，OG＝8﹣5＝3，
所以，，则，
故△PAB中，边BA的高为，
所以该正四棱锥的侧面积为．
故选：C．
9．如图，在正四面体木块V﹣ABC中，点P在△VAC内，过点P将木块锯开，且使截面平行于直线VA，BC，若截面的周长为4，则正四面体V﹣ABC的表面积为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解答】将诶：四面体木块V﹣ABC中，点P在△VAC内，过点P将木块锯开，且使截面平行于直线VA，BC，
作出截面如图所示：
由线面平行的性质定理可得VA∥MN，DQ∥VA，ND∥BC，BC∥QM，
所以DQ∥MN，ND∥QM，
从而截面MNDQ是平行四边形，所以，
所以，又VA＝VC，所以MN+ND＝VA，
又因为截面的周长为4，所以2VA＝4，所以VA＝2，
所以正四面体V﹣ABC的表面积为．
故选：A．
▉题型3 棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：侧面体形的面积之和．
﹣表面积：侧面积与上下底面的面积之和．
10．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（　　）
A．36 B．40 C．52 D．56
【答案】D
【解答】解：过点A1作A1H⊥AC，垂足为H，
则，
因为侧棱与底面所成角的余弦值为，
所以，
所以，
则梯形A1ABB1的高3，
故该正四棱台的表面积是．
故选：D．
11．已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1：2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的侧面积为 　18　 ．
【答案】18．
【解答】解：设上底面边长为2b，则下底面边长为4b，棱台高为2，轴截面示意图如下，
由图可知：侧面斜高为3b，则22+（2b﹣b）2＝9b2，即8b2＝4，解得，
所以，上下底面边长分别为，斜高为，
该正四棱台的侧面积为S．
故答案为：18．
12．如图是一个奖杯的直观图，它由球、长方体和正四棱台构成．已知球的半径为4cm，长方体的长、宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm．
（1）求下部分正四棱台的侧面积；
（2）求奖杯的体积．（结果取整数，π取3）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm，
则该四棱台的斜高为，
所以正四棱台的侧面积为4（11+15）（cm2）；
（2）因为球的半径为4cm，长方体的长、宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm，
所以球的体积为；
长方体的体积为8×6×18＝864；
正四棱台的体积为（112+152）×5；
所以奖杯的体积为8641972（cm3）．
13．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：
（1）求下部四棱台的侧面积；
（2）求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：cm，π取3）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）奖杯底座的侧面上的斜高等于和．
故S侧＝522＝180+72cm2．
（2）V＝V球+V直四棱柱+V四棱台
≈32+640+672＝1344cm3．
▉题型4 棱柱的体积
【知识点的认识】
棱柱的体积可以通过底面面积B和高度h计算．底面为多边形的几何体．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
14．在如图五面体ABC﹣DEF中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离均为1．若AD＝1，BE＝2，CF＝3．则该五面体的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为五面体ABC﹣DEF中，棱AD，BE，CF互相平行，
且两两之间距离均为1．若AD＝1，BE＝2，CF＝3，
所以对称补形如下：
所以三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，
侧棱长为1+3＝2+2＝3+1＝4，
所以该五面体的体积为．
故选：C．
15．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的顶点都在球O的球面上，记球O的体积为V1，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则的最小值为（　　）
A．3 B．π C． D．
【答案】D
【解答】解：设正三棱柱的底面棱长为a，高为h，
则正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，
由正三棱柱的性质可知球心O为上下底面中心连线的中点，设球O半径为R，
则，
所以球O的体积为V1，
则，
令（t＞0），则h＝at，代入上式可得，
令f（t），则f′（t），t＞0，
令f′（t）＝0得，当时，f'（t）＜0，f（t）为减函数，
当t∈（，+∞）时，f'（t）＞0，f（t）为增函数，
所以f（t）的最小值为，
所以的最小值为．
故选：D．
16．设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则该直三棱柱的体积是（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：设AB＝AC＝AA1＝2m，因为∠BAC＝120°，所以∠ACB＝30°，
于是是△ABC外接圆的半径），r＝2m，
又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA1的一半，
所以球的半径为，
所以球的表面积为，
解得，
于是直三棱柱的高是，
则该几何体的体积为 ．
故选：A．
▉题型5 棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
17．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在正方形A1B1C1D1内，且不在棱上，又PA＝PD，则下列结论中错误的是（　　）
A．四棱锥P﹣ABCD的体积不变
B．总有
C．点P在一条定线段（不含端点）上
D．记直线AA1分别与平面PAD和平面PBC所成角为α，β，则α+β可以为
【答案】D
【解答】解：根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），
因为点P在正方形A1B1C1D1内，且不在棱上，故设P（s，t，1），0＜s＜1，0＜t＜1，
对于C，因为PA＝PD，故，故，
故P（，t，1），取A1D1的中点为M，B1C1的中点为N，
则P的轨迹为MN（不含M，N两点），故C正确；
对于A，因为P（，t，1），故P到平面ABCD的距离为1，
而正方形ABCD的面积为定值1，故四棱锥P﹣ABCD的体积为为定值，故A正确；
对于B，又，，
故，故B正确；
对于D，，，
设平面PAD的法向量为，
则，取（0，1，﹣t），
而，故．
而，，
设平面PBC的法向量为（a，b，c），
则，取（0，1，1﹣t），
故．
因为α，，故，，
故，
令，整理得3（t2﹣t）2+6（t2﹣t）+2＝0，
故，而t∈（0，1），故，
而，故在（0，1）无解，故D错误．
故选：D．
18．如图，已知平面α∩β＝l，A，B∈l，P∈α，C，D∈β，AD＝2，AB＝6，BC＝4，且DA⊥AP，CB⊥BP，AD∥BC．若∠APD＝∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（　　）
A． B．8 C．24 D．72
【答案】C
【解答】解：因为DA⊥AP，CB⊥BP，AD∥BC，
所以DA⊥BP，又AP，BP α，且AP∩BP＝P，
所以AD⊥α又，AD β，
所以α⊥β，又BC⊥α，
易知△PAD与△PBC均为直角三角形，
因为∠APD＝∠BPC，
所以△PAD∽△PBC，
故，
因此点P的轨迹是圆心在直线AB上，半径，且位于平面α内的圆，
故点P到β的距离的最大值d＝r＝4，
此时四棱锥P﹣ABCD体积的最大值．
故选：C．
19．如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，PD⊥AD，，PD＝1，E，F分别是AB，BC的中点，则三棱锥A﹣PEF的体积为　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为四棱锥的底面是边长为1的正方形，
又PD⊥AD，，PD＝1，E，F分别是AB，BC的中点，
所以PC2＝PD2+DC2，所以PD⊥DC，又PD⊥AD，AD∩CD＝D，
所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥平面AEF，
所以，
所以三棱锥A﹣PEF的体积为：
．
故答案为：．
▉题型6 棱台的体积
【知识点的认识】
棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．
20．小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水2000ml 2500ml（1ml＝1cm3）．若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为7cm，底部边长为5cm，高为9cm，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解答】解：由已知可得，水杯的体积为cm3，
因为，所以小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是7．
故选：C．
21．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，且AB＝2A1B1＝2，则正四棱台的高为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：设正四棱台的高为h，
则根据题意可得，解得h．
故选：A．
22．正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为3，侧棱长为，则体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题知当上底面边长a＝2时，则正三角形中心（重心）到顶点的距离：，
当下底面边长b＝3时，正三角形中心到顶点的距离：，
设棱台的高为h，侧棱长，
则
，
又，，
所以正三棱台的体积为
．
故选：C．
▉题型7 圆柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆柱的侧面积和表面积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为．
﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
23．若将一块体积为8π的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱的表面积最小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意将一块体积为8π的橡皮泥捏成一个圆柱，
可设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则πr2h＝8π，化简可得．
圆柱的表面积S．
令，．
当时，f′（r）＞0，f（r）单调递增，
当时，f′（r）＜0，f（r）单调递减，
所以．
故．
故选：C．
24．以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为（　　）
A．49π B．64π C．98π D．128π
【答案】D
【解答】解：由题意可知，该正方形旋转一周得到的旋转体为圆柱，
则底面半径r＝8，高h＝8，故侧面积为S＝2πr×h＝2π×8×8＝128π．
故选：D．
25．圆柱的底面半径为3，高为4，其侧面积为 　24π　 ．
【答案】24π
【解答】解：因为圆柱的底面半径为3，高为4，
所以其侧面积为S＝2π×3×4＝24π．
故答案为：24π．
26．要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为　208.3　 克．（精确到0.1）
【答案】208.3．
【解答】解：此零件的表面积为
平方毫米．
则1000个零件的表面积为1893.224×1000＝1893224平方毫米．
而每平方米要用锌0.11千克，
故需锌的质量为克．
故答案为：208.3．
27．若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 　2π　 ．
【答案】2π
【解答】解：由圆柱的底面半径与高均为1，
可得圆柱的侧面积为：S＝2πrh＝2π．
故答案为：2π．
▉题型8 圆锥的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆锥的侧面积和表面积依赖于底面圆的半径r、母线长度l和底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为．
﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
28．如图，圆锥OP的高h＝1，侧面积，M，N是底面圆O上的两个动点，则△PMN面积的最大值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】B
【解答】解：设圆锥OP的母线为l，
因为圆锥OP的高h＝1，侧面积，
由，得，①
由l2＝r2+h2＝r2+1，②，
联立①②解得，l＝2，
则圆锥OP轴截面的顶角为，
所以△PMN的面积为．
故选：B．
29．已知圆锥底面半径为2，其母线与下底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由已知得：圆锥母线长为，底面周长是4π，
所以侧面展开图扇形的弧长为4π，半径为，
则侧面积为．
故选：B．
30．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（　　）
A．2π B． C． D．4π
【答案】A
【解答】解：由已知可得，圆锥的侧面积为S＝πrl＝2π．
故选：A．
31．已知某圆锥的高为2，底面积为4π，则该圆锥的侧面积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，
由底面积为4π，得πr2＝4π，则r＝2，又圆锥的高为2，
所以母线长，
则圆锥的侧面积S＝π×2×2π．
故答案为：．
▉题型9 圆台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆台的侧面积和表面积依赖于底面和顶面圆的半径r1、r2以及母线l和两个底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为π（r1+r2）l．
﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
32．已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（　　）
A． B． C． D．3π
【答案】B
【解答】解：球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，
作出示意图如图所示：
设球的半径为OA＝OB，由题意可得，所以OAB是等边三角形，
所以，所以，
因为球O的表面积为4π，所以4π×OA2＝4π，解得OA＝1，所以OB＝AB＝1，
所以，
所以圆台的侧面积为．
故选：B．
33．已知圆台O1O2的上、下底面圆均在体积为的球O的球面上，若圆台O1O2的下底面圆的半径与母线长均为上底面圆半径的2倍，则该圆台的表面积为（　　）
A．13π B．22π C．11π D．24π
【答案】C
【解答】解：作圆台的轴截面如图，
设圆台上底面半径为r，则下底面半径和母线长均为2r，
可得cos∠O2BC，所以∠O2BC＝60°，
连接B，A，则有O2B＝O2C＝BC＝2r，由对称性可知，O2D＝O2A＝O2B＝O2C，
所以点O2为圆台外接球的球心，外接球半径为2r，
所以，解得r＝1，
所以该圆台的表面积为π 12+π 22+π（1+2） 2＝11π．
故选：C．
34．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体．已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面ABCD中，AB＝4m，CD＝6m，点A到CD的距离为1m，则该圆台的侧面积为（　　）
A． B．4πm2 C．5πm2 D．
【答案】D
【解答】解：因为轴截面ABCD中，AB＝4m，CD＝6m，点A到CD的距离为1m，
过点A，作AE⊥CD，所以AE的长度为1m，
故，，
，，．
故选：D．
35．中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展．现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，
可得圆台体积，
如图所示，设圆台较大的底面半径为O1A＝2r，则较小的底面半径为O2B＝r，
于是，解得，
过点B作BB1⊥O1A，垂足为B1，由圆台的结构特征得BB1⊥底面O1，
母线，
圆台表面积．
故选：B．
▉题型10 圆柱的体积
【知识点的认识】
圆柱的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆柱尺寸进行体积计算．
36．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（　　）
A．45πdm3 B．99πdm3 C．135πdm3 D．198πdm3
【答案】D
【解答】解：四片瓦需要的粘土量为π×（15+3）2×10﹣π×152×10＝3240π﹣2250π＝990πcm3，
则800片瓦需要的粘土量为990π×200＝198000πcm3＝198πdm3．
故选：D．
37．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为圆柱的体积为，
半球的体积为，
因此银杯盛酒部分的容积为．
故选：A．
38．已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为　4π　 ．
【答案】4π．
【解答】解：因为圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，
所以圆柱的体积为π×12×4＝4π．
故答案为：4π．
▉题型11 圆锥的体积
【知识点的认识】
圆锥的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆锥的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆锥尺寸进行体积计算．
39．如图，高度为h的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设圆锥的顶点到水面的距离为ah，圆锥的底面半径为r，则水面半径为ar．
当水的体积等于容器容积的一半时，
则，
即，
解得，
因为0.73＝0.343，0.83＝0.512．
故选：D．
40．若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为（　　）
A． B．8π C．12π D．
【答案】A
【解答】解：由题知，如图，
△PAB为圆锥的轴截面，边长均为4，
则圆锥的高PO＝42，
底面半径r＝42，
故圆锥体积为：Vπr2 hπ×22×2π．
故选：A．
41．已知圆锥的母线与底面所成角为60°，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为12π，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C．24π D．36π
【答案】B
【解答】解：作出轴截面如图所示，
设O为内切球的圆心，F为圆锥底面圆的圆心，D，E为切点，
由圆锥的母线与底面所成角为60°，得∠ABF＝60°，
设圆锥内切球的半径为r，则4πr2＝12π，解得r，
即OD＝OE＝OF，而∠OAD＝30°，
在Rt△OAD中，有AO2，
∴AF＝AO+OF＝3，
在Rt△ABF中，可得BF3，
∴圆锥的体积VSh9×39．
故选：B．
▉题型12 圆台的体积
【知识点的认识】
圆台的体积计算依赖于底面圆的半径r1、顶面圆的半径r2和圆台的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆台尺寸进行体积计算．
42．已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，用一个平行于底面的平面去截圆台，截得上、下两部分的体积之比为14：13，则截面半径为（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【解答】解：因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，用一个平行于底面的平面去截圆台，截得上、下两部分的体积之比为14：13，
所以作出示意图如下：
设圆台上、下底面圆的圆心分别为O1、O2，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为S，
设截面圆的圆心为O，设圆O1、圆O2、圆O的半径分别为r1、r2、r，则r1＝3，r2＝6，
设圆锥SO1、圆锥SO2、圆锥SO的体积分别为V1、V2、V，
因为，则，所以，V2＝8V1，
设圆台O1O2的体积为27a，即V2﹣V1＝7V1＝27a，所以，，
由题意可知，圆台O1O的体积为14a，所以，，
所以，，又，
所以，所以．
故选：B．
43．已知一个圆台的母线长为10cm，高为6cm，侧面积为100πcm2，则该圆台的体积为（　　）
A．150πcm3 B．182πcm3 C．200πcm3 D．216πcm3
【答案】B
【解答】解：圆台的母线长为10cm，高为6cm，侧面积为100πcm2，
设圆台底面圆半径分别为R，r（R＞r），
则π（R+r） 10＝100π，
所以R+r＝10，
又由题可知（R﹣r）2+62＝102，所以R﹣r＝8，
所以R＝9，r＝1，
所以圆台的体积为．
故选：B．
44．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆台的底面半径分别是r1和r2，且r1＝5，r2＝10，圆台的侧面积为150π，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：已知r1＝5，r2＝10，设圆台的母线长为l，
则由S，解得l＝10．
可得圆台的高，
则圆台上下底面面积为，，
由圆台的体积计算公式可得：
．
故选：C．
▉题型13 球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
45．已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面积为S1，圆锥外接球的表面积为S2，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设圆柱与圆锥的底面半径为1，则由圆锥的轴截面为正三角形，可得圆柱与圆锥的高均为．
设圆柱外接球的半径为R1，圆锥外接球的半径为R2，
则12+（）2，（R2）2+12，得，
圆柱外接球的表面积为S1，圆锥外接球的表面积为S2，则．
故选：A．
46．已知棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）
A．25π B．27π C．16π D．23π
【答案】B
【解答】解：正方体的外接球球心在正方体体对角线的中点处，
所以外接球半径R，所以外接球表面积为4πR2＝27π．
故选：B．
（多选）47．已知某圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的（　　）
A．底面半径为1
B．表面积为2π
C．体积为
D．外接球与内切球半径比值为3
【答案】AC
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
则根据题意可得母线长为2，且，所以r＝1，所以A选项正确；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的表面积为π×12＝3π，所以B选项错误；
所以圆锥的体积为，所以C选项正确；
所以该圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，
所以圆锥的内切球的半径为，外接球的半径为，
所以外接球与内切球半径比值为2，所以D选项错误．
故选：AC．
48．已知球O的体积为，则球O的表面积为　4π　 ．
【答案】4π．
【解答】解：设球O的半径为r，则，解得r＝1，
所以球O的表面积为S＝4πr2＝4π．
故答案为：4π．
▉题型14 球的体积
【知识点的认识】
球的体积依赖于球的半径r，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行体积计算．
（多选）49．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，M，N分别为AD，BC的中点．现将△ABD沿BD翻折，得到三棱锥A′﹣BCD，则在△ABD翻折的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为
B．三棱锥A′﹣BCD外接球半径为
C．存在某个位置使CM⊥DN
D．直线MN被三棱锥A′﹣BCD外接球截得的线段长的取值范围为
【答案】BD
【解答】解：对于选项A，当平面A′BD⊥平面BCD时，点A′到平面BCD的距离最大，
又，所以此时三棱锥A′﹣BCD的体积最大，
在△A′BD中，由等面积法可得高，
所以三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为，故选项A错误；
对于选项B，在△ABD翻折的过程中，△ABD和△BCD都是直角三角形，
所以两个三角形的外接圆圆心都在BD的中点处，
故三棱锥外接球球心为BD的中点，半径为，故选项B正确；
对于选项C，如图，在矩形ABCD中连接CM，
由，
所以△MDC∽△DCB，则CM⊥BD，
假设存在某个位置使CM⊥DN，又DN，BD 平面BCD，且DN∩BD＝D，
所以CM⊥平面BCD，又BC 平面BCD，
所以CM⊥BC，又BC⊥CD，CM，CD 平面ACD，CM∩CD＝C，
所以BC⊥平面ACD，
又AC 平面ACD，故BC⊥AC，即，
这与矛盾，故CM⊥DN不成立，故选项C错误；
对于选项D，因为球心为BD的中点O，连接ON，所以OM＝ON＝1，
又因为直线MN被三棱锥A′﹣BCD外接球截得的线段长为，
其中OH为球心O到直线MN的距离，
所以OH的长度和二面角A﹣BD﹣C的大小有关，夹角越大，线段越长．
当二面角A﹣BD﹣C大小接近180o时，直线MN被球O截得的线段长最长，趋于直径，
当二面角A﹣BD﹣C大小接近0o时，直线MN被球O截得的线段长最短，
如图翻折后，此时∠OBN+∠BON＝∠NOH+∠BON＝90°，则∠OBN＝∠NOH，
所以△BON∽△ONH，
则，又，
则，
所以，
所以此时直线MN被球O截得的线段长，
综上，直线MN被球O截得的线段长的取值范围是，故选项D正确．
故选：BD．
（多选）50．已知封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝BC＝1，，O为该三棱柱的外接球球心O，则（　　）
A．直线AC1与平面BCC1B1所成的角为
B．球O的体积为
C．可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为
D．点M在四边形BCC1B1及其内部运动，且满足MA⊥MC，则|MB1|最小值为
【答案】ABD
【解答】解：因为∠ABC＝90°，所以AB⊥BC，
因为ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC，
又AB 平面ABC，所以BB1⊥AB，
因为BB1∩BC＝B，BB1，BC 平面CBB1，所以AB⊥平面CBB1，
所以∠AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成角，
因为∠ABC＝90°，AA1＝BC＝1，，所以，AC1＝2，
所以，故，故A正确；
因为△BCA的外接圆的圆心为线段AC的中点，且ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
所以易知线段AC1的中点为球心O，则球O的半径为AO1，故球O的体积为，故B正确；
△BCA的内切圆半径为，
所以可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为，故C错误；
取线段AC的中点D，线段BC的中点E，
因为AB⊥平面CBB1，所以D到平面CBB1的距离为，
则以D为球心，为半径的球被平面CBB1所截得的小圆半径为，
因为点M在四边形BCC1B1及其内部运动，且满足MA⊥MC，
所以点M的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆上且在四边形BCC1B1及其内部的点，
连接B1E，当B1，M，E三点共线时|MB1|最小，
最小值为，故D正确．
故选：ABD．
51．已知球的表面积为36π，则该球的体积为　36π　 ．
【答案】36π．
【解答】解：设球半径为R，
由于球的表面积为36π，
因此4πR2＝36π，
因此半径R＝3，
因此．
故答案为：36π．第13章第3节 空间图形的表面积和体积
题型1 棱柱的侧面积和表面积 题型2 棱锥的侧面积和表面积
题型3 棱台的侧面积和表面积 题型4 棱柱的体积
题型5 棱锥的体积 题型6 棱台的体积
题型7 圆柱的侧面积和表面积 题型8 圆锥的侧面积和表面积
题型9 圆台的侧面积和表面积 题型10 圆柱的体积
题型11 圆锥的体积 题型12 圆台的体积
题型13 球的表面积 题型14 球的体积
▉题型1 棱柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱柱是底面为多边形的几何体，侧面为平行四边形．棱柱的主要特征包括底面周长P和高h．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为底面周长P与高h的乘积，即．
﹣表面积：包括底面和顶面的面积及侧面的面积，计算公式为，其中B为底面的面积．
1．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，，则该正四棱柱的表面积为 　80　 ．
2．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高的和为384，AC1的长为366，则该长方体的表面积为　　 ．
3．已知正三棱柱的所有棱长都为a，体积为，则此正三棱柱的侧面积为　　 ．
4．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC的边长为1，P为棱AA1上一点．
（1）若AA1＝1，求棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S的值；
（2）若AA1＝1，P为AA1的中点，求异面直线PC1与AB1所成角的大小；
（3）若，设二面角A1﹣B1C1﹣P、A﹣BC﹣P的平面角分别为α、β，求tan（α+β）的最值及取到最值时点P的位置．
5．已知圆锥的半径，母线长为．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）如图，过AO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积．
▉题型2 棱锥的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱锥是底面为多边形的几何体，顶点与底面相连形成侧面，棱锥的侧面为多个三角形．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算方法为先求各侧面三角形的面积，再把所有侧面三角形的面积求和．
﹣表面积：侧面积加上底面多边形的面积．
6．中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝6，BC＝BB1＝4，A1B1C1D1﹣A2B2C2D2是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，A2B2＝3，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC面积为（　　）
A． B． C． D．
8．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（　　）
A．24 B．32 C．96 D．128
9．如图，在正四面体木块V﹣ABC中，点P在△VAC内，过点P将木块锯开，且使截面平行于直线VA，BC，若截面的周长为4，则正四面体V﹣ABC的表面积为（　　）
A． B． C． D．2
▉题型3 棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：侧面体形的面积之和．
﹣表面积：侧面积与上下底面的面积之和．
10．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（　　）
A．36 B．40 C．52 D．56
11．已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1：2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的侧面积为 　　 ．
12．如图是一个奖杯的直观图，它由球、长方体和正四棱台构成．已知球的半径为4cm，长方体的长、宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm．
（1）求下部分正四棱台的侧面积；
（2）求奖杯的体积．（结果取整数，π取3）
13．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：
（1）求下部四棱台的侧面积；
（2）求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：cm，π取3）
▉题型4 棱柱的体积
【知识点的认识】
棱柱的体积可以通过底面面积B和高度h计算．底面为多边形的几何体．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
14．在如图五面体ABC﹣DEF中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离均为1．若AD＝1，BE＝2，CF＝3．则该五面体的体积为（　　）
A． B． C． D．
15．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的顶点都在球O的球面上，记球O的体积为V1，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则的最小值为（　　）
A．3 B．π C． D．
16．设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则该直三棱柱的体积是（　　）
A．4 B． C．2 D．
▉题型5 棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
17．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在正方形A1B1C1D1内，且不在棱上，又PA＝PD，则下列结论中错误的是（　　）
A．四棱锥P﹣ABCD的体积不变
B．总有
C．点P在一条定线段（不含端点）上
D．记直线AA1分别与平面PAD和平面PBC所成角为α，β，则α+β可以为
18．如图，已知平面α∩β＝l，A，B∈l，P∈α，C，D∈β，AD＝2，AB＝6，BC＝4，且DA⊥AP，CB⊥BP，AD∥BC．若∠APD＝∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（　　）
A． B．8 C．24 D．72
19．如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，PD⊥AD，，PD＝1，E，F分别是AB，BC的中点，则三棱锥A﹣PEF的体积为　　 ．
▉题型6 棱台的体积
【知识点的认识】
棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．
20．小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水2000ml 2500ml（1ml＝1cm3）．若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为7cm，底部边长为5cm，高为9cm，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
21．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，且AB＝2A1B1＝2，则正四棱台的高为（　　）
A． B． C．2 D．
22．正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为3，侧棱长为，则体积为（　　）
A． B． C． D．
▉题型7 圆柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆柱的侧面积和表面积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为．
﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
23．若将一块体积为8π的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱的表面积最小为（　　）
A． B． C． D．
24．以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为（　　）
A．49π B．64π C．98π D．128π
25．圆柱的底面半径为3，高为4，其侧面积为 　　 ．
26．要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为　　 克．（精确到0.1）
27．若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 　　 ．
▉题型8 圆锥的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆锥的侧面积和表面积依赖于底面圆的半径r、母线长度l和底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为．
﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
28．如图，圆锥OP的高h＝1，侧面积，M，N是底面圆O上的两个动点，则△PMN面积的最大值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
29．已知圆锥底面半径为2，其母线与下底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
30．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（　　）
A．2π B． C． D．4π
31．已知某圆锥的高为2，底面积为4π，则该圆锥的侧面积为 　　 ．
▉题型9 圆台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆台的侧面积和表面积依赖于底面和顶面圆的半径r1、r2以及母线l和两个底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为π（r1+r2）l．
﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
32．已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（　　）
A． B． C． D．3π
33．已知圆台O1O2的上、下底面圆均在体积为的球O的球面上，若圆台O1O2的下底面圆的半径与母线长均为上底面圆半径的2倍，则该圆台的表面积为（　　）
A．13π B．22π C．11π D．24π
34．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体．已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面ABCD中，AB＝4m，CD＝6m，点A到CD的距离为1m，则该圆台的侧面积为（　　）
A． B．4πm2 C．5πm2 D．
35．中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展．现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（　　）
A． B．
C． D．
▉题型10 圆柱的体积
【知识点的认识】
圆柱的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆柱尺寸进行体积计算．
36．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（　　）
A．45πdm3 B．99πdm3 C．135πdm3 D．198πdm3
37．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（　　）
A． B． C． D．
38．已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为　　 ．
▉题型11 圆锥的体积
【知识点的认识】
圆锥的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆锥的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆锥尺寸进行体积计算．
39．如图，高度为h的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（　　）
A． B．
C． D．
40．若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为（　　）
A． B．8π C．12π D．
41．已知圆锥的母线与底面所成角为60°，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为12π，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C．24π D．36π
▉题型12 圆台的体积
【知识点的认识】
圆台的体积计算依赖于底面圆的半径r1、顶面圆的半径r2和圆台的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆台尺寸进行体积计算．
42．已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，用一个平行于底面的平面去截圆台，截得上、下两部分的体积之比为14：13，则截面半径为（　　）
A． B．5 C． D．
43．已知一个圆台的母线长为10cm，高为6cm，侧面积为100πcm2，则该圆台的体积为（　　）
A．150πcm3 B．182πcm3 C．200πcm3 D．216πcm3
44．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆台的底面半径分别是r1和r2，且r1＝5，r2＝10，圆台的侧面积为150π，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
▉题型13 球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
45．已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面积为S1，圆锥外接球的表面积为S2，则（　　）
A． B． C． D．
46．已知棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）
A．25π B．27π C．16π D．23π
（多选）47．已知某圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的（　　）
A．底面半径为1
B．表面积为2π
C．体积为
D．外接球与内切球半径比值为3
48．已知球O的体积为，则球O的表面积为　 ．
▉题型14 球的体积
【知识点的认识】
球的体积依赖于球的半径r，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行体积计算．
（多选）49．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，M，N分别为AD，BC的中点．现将△ABD沿BD翻折，得到三棱锥A′﹣BCD，则在△ABD翻折的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为
B．三棱锥A′﹣BCD外接球半径为
C．存在某个位置使CM⊥DN
D．直线MN被三棱锥A′﹣BCD外接球截得的线段长的取值范围为
（多选）50．已知封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝BC＝1，，O为该三棱柱的外接球球心O，则（　　）
A．直线AC1与平面BCC1B1所成的角为
B．球O的体积为
C．可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为
D．点M在四边形BCC1B1及其内部运动，且满足MA⊥MC，则|MB1|最小值为
51．已知球的表面积为36π，则该球的体积为　　 ．

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