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第13章第2节 基本图形位置关系
题型1 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示 题型2 点和直线确定平面及其数量
题型3 平面的交线及其性质 题型4 平面分割空间
题型5 平行公理 题型6 异面直线的判定
题型7 空间中直线与直线之间的位置关系 题型8 空间中直线与直线平行
题型9 空间中直线与平面之间的位置关系 题型10 直线与平面平行
题型11 直线与平面垂直 题型12 平面与平面之间的位置关系
题型13 平面与平面平行
▉题型1 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示
【知识点的认识】
在空间几何中，点、直线、平面的交点及包含关系可以用符号语言表示，如（A，B，C）∈平面．
【解题方法点拨】
﹣符号语言：使用数学符号准确表示几何元素之间的关系．
﹣包含关系：利用符号表示点是否在直线或平面上．
1．如图所示，用符号语言可表达为（　　）
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
【答案】A
【解答】解：B中，直线n是集合，所以n α，所以B不正确；
C中A点是元素，所以A∈m，A∈n，所以C不正确；
D中，错在n∈α，
故选：A．
2．已知空间的一个点P，一条直线l，一个平面α，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（　　）
A．l∈α B．{P}∈l C．{P}∈α D．P∈α
【答案】D
【解答】解：对于A，直线与平面之间的关系是包含关系，应该用“ ”表示，即l α，故A错误；
对于B，点与直线之间的关系是属于关系，应该用“∈”表示，即P∈l，故B错误；
对于CD，点与平面之间的关系是属于关系，应该用“∈”表示，即P∈α，故C错误，D正确．
故选：D．
3．“点A在平面α上”用集合符号表示是 A∈α　 ．
【答案】A∈α
【解答】解：“点A在平面α上”用集合符号表示是：A∈α．
故答案为：A∈α．
▉题型2 点和直线确定平面及其数量
【知识点的认识】
在空间几何中，三个不共线的点或一个点和两条不平行的直线可以确定一个平面．点和直线的关系决定平面的唯一性．
推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．
【解题方法点拨】
﹣确定平面：判断点和直线是否可以确定一个唯一平面．
﹣平面数量：确定给定条件下平面的个数．
4．下列条件一定能确定一个平面的是（　　）
A．空间三个点
B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线
D．两条相互平行的直线
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．
故选：D．
5．命题“空间中任意3点确定一个平面”是 　假　 命题．（填“真”，“假”）
【答案】假
【解答】解：命题“空间中不共线的3点确定一个平面”为真命题，故该命题为假命题；
故答案为：假．
6．由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为 　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：直线之外的三点记为A，B，C；
当A、B、C三点共线时，不妨记为l，若l与已知直线异面时，能确定3个平面；
若l与已知直线共面时，能确定1个平面；
当A、B、C三点不共线时，若已知直线在A，B，C所确定的平面内，它们只能确定1个平面；
若A，B，C三点中有两点与已知直线共面，能确定3个平面；
若A，B，C三点中没有两点与已知直线共面，最多能确定4个平面．
综上，能确定的平面数最多为4个．
故答案为：4．
7．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在正方体中，由两个顶点确定的直线与由顶点确定的平面构成的“正交线面对”的个数为 　44　 ．
【答案】44．
【解答】解：如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对．
如下图所示：
①对于正方体的每一条棱，都有2个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12×2＝24个；
②对于正方体的每一条面对角线（如A1C1，则A1C1⊥平面BB1D1D），
下面简单证明A1C1⊥平面BB1D1D，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，
A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又∵A1C1⊥B1D1，且BB1，B1D1 平面BB1D1D，BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BB1D1D．
每一条面对角线均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12×1＝12个．
③对于正方体的每一条体对角线，（如AC1，则AC1⊥平面B1CD1），
由CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
则B1D1⊥CC1，而B1D1⊥A1C1，
又A1C1∩CC1＝C1，于是B1D1⊥平面ACC1A1，
而AC1 平面ACC1A1，因此AC1⊥B1D1，
同理AC1⊥B1C，
又B1C∩B1D1＝B1，
故AC1⊥平面B1CD1，
每一条体对角线都有两个面构成“正交线面对”，共有4×2＝8个，
综上所述，正方体中的“正交线面对”共有24+12+8＝44个．
故答案为：44．
▉题型3 平面的交线及其性质
【知识点的认识】
两个平面在空间中交于一条直线，称为交线．交线的性质涉及交点、方向等特征．
【解题方法点拨】
﹣交线计算：确定两个平面交线的方程或位置．
﹣性质分析：分析交线的方向和性质，如何利用交线解题．
（多选）8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E为B1C1的中点，过AE的截面与棱BB1，A1C1分别交于点F，G（G，E，F可能共线），则下列说法中正确的是（　　）
A．存在点F，使得A1F⊥AE
B．线段C1G长度的取值范围是[0，1]
C．四棱锥C﹣AFEG的体积为2时，点F只能与点B重合
D．设截面AFEG，△AEG，△AEF的面积分别为S1，S2，S3，则的最小值为4
【答案】BCD
【解答】解：如图所示，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz，
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），E（0，1，2），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2），
设点F（0，2，a），G（b，0，2），其中0≤a≤2，0≤b≤2．
由于，，
满足题意时，解得a＝﹣1，不合题意，选项A错误；
设，其中m，n∈R，
即（b﹣2，0，2）＝m（﹣2，1，2）+n（﹣2，2，a），即，整理可得，
∵0≤a≤2，则﹣4≤a﹣4≤﹣2，所以，，选项B正确；
VC﹣AFEG＝VC﹣AGE+VC﹣AFE＝2，
其中，则，
又，故S△CEF＝2，
即，故点F只能与点B重合，选项C正确；
，，
则点F到直线AE的距离为，
，则点G到直线AE的距离：
，
所以，，
故，
当且仅当a＝2时，等号成立，故的最小值为4，选项D正确．
故选：BCD．
9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，M，N分别为PA，AB的中点，平面α过点M且平行于平面PNC，则α截三棱锥P﹣ABC所得截面图形的形状为　三角形　 ，截面图形的周长为　　 ．
【答案】三角形；．
【解答】解：如图，取AN的中点E，AC的中点D，
则DE∥NC，而NC 平面PNC，平面PNC，
所以DE∥平面PNC，同理可得ME∥平面PNC，又ME∩DE＝E，
所以平面MDE∥平面PNC，
所以平面MDE即为α，
所以α截三棱锥P﹣ABC所得截面图形即为△MDE；
由，知△MDE∽△PCN，且相似比为1：2，
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，
又，
所以PN，，
又AB⊥BC，所以，
故，则，
而，故，
故△MDE的周长为．
故答案为：三角形；．
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，且AD＝2BC，AD＝2BC，PA＝PB＝AD＝8，CD＝5，CD＝5，点E、F分别为棱PD、AD的中点．
（1）若，线段AB中点为O，且PO⊥CD，求证：PB⊥AD；
（2）若PC＝8，请作出四棱锥P﹣ABCD过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长．
【答案】（1）证明：因为PB＝PA，AO＝OB，故PO⊥AB，
又PO⊥CD，，由直角梯形ABCD可得AB，CD必定相交，
且AB，CD 平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
而AD 平面ABCD，故PO⊥AD．
由，结合AD∥BC，可得AD⊥AB，
而AB∩PO＝O，AB，OP 平面PAB，故AD⊥平面PAB，
而PB 平面APB，故AD⊥PB．
（2）
．
【解答】解：（1）证明：因为PB＝PA，AO＝OB，故PO⊥AB，
又PO⊥CD，，由直角梯形ABCD可得AB，CD必定相交，
且AB，CD 平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
而AD 平面ABCD，故PO⊥AD．
由，结合AD∥BC，可得AD⊥AB，
而AB∩PO＝O，AB，OP 平面PAB，故AD⊥平面PAB，
而PB 平面APB，故AD⊥PB．
（2）取线段PC的中点H，连接EH，HB，
因为DF＝BC，且DF∥BC，所以四边形FDCB为平行四边形，
所以DC∥FB，又E，H分别为线段PD，PC中点，所以EH∥DC，
所以EH∥FB，则梯形EHBF为四棱锥P﹣ABCD过点B，E，F的截面，
则BF＝CD＝5，，，
因为AD∥BC，AD⊥平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，所以BC⊥PB，
所以在△PBC中，，，
所以BH2＝BC2+HC2﹣2BC HC cos∠HCB＝24，
则，
所以截面周长为．
▉题型4 平面分割空间
【知识点的认识】
一个平面将三维空间分割为两个部分．多个平面根据平面之间的位置关系可以分割空间成多个区域．
【解题方法点拨】
﹣空间分割：分析一个平面或多个平面对空间的分割效果．
﹣区域计算：计算分割后空间的区域数量和性质．
11．两个平面可以将空间分成 　三或四　 个部分．
【答案】三或四
【解答】解：当两平面平行时，能把空间分成三个部分；
当两平面相交时，能把空间分成四个部分．
故答案为：三或四．
▉题型5 平行公理
【知识点的认识】
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
12．已知角α的两边和角β的两边分别平行且α＝80°，则β＝　80°或100°　 ．
【答案】80°或100°．
【解答】解：由等角定理可知，α＝β或α+β＝180°，∴β＝100°或80°．
故答案为：80°或100°．
13．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角　相等或互补　 ．
【答案】相等或互补
【解答】解：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：相等或互补．
▉题型6 异面直线的判定
【知识点的认识】
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
14．如图，已知A、B、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　　）
A．直线AB B．直线AC C．直线AD D．直线AG
【答案】D
【解答】解：设正方体的中心为O，可知AD、BE、CF交于同一点O，且互相平分，
因为BC∥AD∥EF，所以BC、AD、EF共面，即AD、BE、CF共面，
可得六边形ABCDEF是以O为中心的正六边形，
设六边形ABCDEF所在的平面为α，
则AB、AC、AD、EF都是平面α内的直线，可知AB、AC、AD都与EF共面，
因为点G α，A∈α，EF α，A EF，所以直线AG、EF为异面直线．
故选：D．
15．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【解答】解：将平面图形折成空间四面体如图所示，
①对应图1，Q是平面PMN外一点，M在平面PMN内，且M不在直线PN上，
因此直线MN与PQ是异面直线，故①正确；
②对应图2，Q，N重合，MN与PQ是相交直线，故②错误；
③对应图3，由中位线定理得MN，PQ都与AB平行，从而MN∥PQ，故③错误；
④对应图4，与图1类似得MN与PQ是异面直线，故④正确；
故选：A．
16．如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，P是线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　）
A．DD1 B．B1C C．D1C D．AC
【答案】D
【解答】解：对于A，∵直线BP与直线BB1相交，而DD1∥BB1，
∴直线BP与直线DD1也相交，故A错误，
对于B，当点P与点C1重合时，直线BP与B1C相交，故B错误，
对于C，当点P与点A1重合时，直线BP∥D1C，故C错误，
对于D，∵AC∥A1C1，∴点A，A1，C1，C共面，
又∵BP∩平面AA1C1C＝P，P AC，
∴直线BP与AC是异面直线，故D正确，
故选：D．
17．如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段AB、CD所在的直线中，与直线EN异面的是 CD ．
【答案】CD．
【解答】解：根据题意，由展开图还原正方体，如图：
E和B重合，即EN与AB交于点B，即EN与AB共面，
NE∥平面ADC，CD 平面ADC，故直线CD与直线EN异面．
故答案为：CD．
▉题型7 空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数 图示
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 无
异面直线 不同时在任何一个平面内 无
18．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥α，a∥b，则b∥α
C．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b
D．若α∥β，a⊥β，a⊥b，则b⊥α
【答案】C
【解答】解：因为a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
所以逐一分析各个选项如下：
A选项，若a∥α，b∥α，则a∥b或a，b异面或a，b相交，A错误；
B选项，若a∥α，a∥b，则b∥α或b α，B错误；
C选项，若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b，C正确；
D选项，若α∥β，a⊥β，则a⊥α，又a⊥b，则b∥α或b α，D错误．
故选：C．
（多选）19．已知α，β是平面，m，n是直线，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
【答案】ABC
【解答】解：因为知α，β是平面，m，n是直线，
所以逐一分析各个选项如下：
A选项，若m∥n，m⊥α，由线面垂直的定义可知n⊥α，A正确；
B选项，若m⊥α，m⊥β，由面面平行和线面垂直的相关结论可知α∥β，B正确；
C选项，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n β，则α⊥β，C正确；
D选项，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m，n异面，D错误．
故选：ABC．
20．若点A与直线l确定一个平面，则点A与直线的位置关系是点A　 　 直线l（用“∈”、“ ”、“ ”填空）．
【答案】 ．
【解答】解：根据题意，直线与直线外的一点可以确定一个平面，
若点A与直线l确定一个平面，必有A l．
故答案为： ．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面PCD．
（1）证明：AC⊥CD；
（2）若四边形ABCD为直角梯形，BA⊥AD，BC∥AD，AD＝3，AP＝2，BC＝1，球O为三棱锥P﹣ACD的外接球．
（i）求直线AO与平面PBC的夹角正弦值；
（ii）求平面PBC截球O的截面面积．
【答案】（1）证明：如图：
过A作AM⊥PC于M，则AM⊥平面PCD，
因为平面PAC⊥平面PCD，面PAC∩平面PCD＝PC，
所以AM⊥CD，又PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，AM∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAC，AC 平面PAC，
所以CD⊥AC；
（2），．
【解答】解：（1）证明：如图：
过A作AM⊥PC于M，则AM⊥平面PCD，
因为平面PAC⊥平面PCD，面PAC∩平面PCD＝PC，
所以AM⊥CD，又PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，AM∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAC，AC 平面PAC，
所以CD⊥AC；
（2）（i）点O为PD的中点，理由如下：
由（1）知CD⊥平面PAC，所以CD⊥PC，
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD．
点O为PD的中点时OA＝OP＝OC＝OD，
所以O为三棱锥P﹣ACD的外接球的球心，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAB，
过A作AN⊥PB于N，则AN⊥平面PBC．
延长BC至E使得BE＝AD，过P作PF∥AD且PF＝AD，
则直线AO∩平面PBC＝F，
所以∠AFN即为直线AO与平面PBC所成的角，
易得，．
过C作CQ⊥AD于Q，则AQ＝1，QD＝2，
设AB＝x，则CQ＝x，AC2＝1+x2，CD2＝4+x2，
由（1）知CD⊥AC，则AC2+CD2＝AD2，即5+2x2＝9，解得．
故，又AN PB＝PA AB，解得．
所以直线AO与平面PBC的夹角正弦值；
（ii）点O为PD的中点，故点O到面PBC的距离是点D到面PBC的距离的二分之一，
又AD∥BC，所以点D到面PBC的距离等于点A到面PBC的距离，
点A到面PBC的距离为，故点O到面PBC的距离．
设平面PBC截球O的截面圆的半径为r，球O的半径，
由d2+r2＝R2，即，解得，
所以平面PBC截球O的截面圆的面积为．
▉题型8 空间中直线与直线平行
【知识点的认识】
在空间中，若两条直线在同一平面内且不相交，则它们平行．也可以通过平面来判断直线之间的平行关系．
【解题方法点拨】
﹣平行判断：通过直线的方向向量或平面方程判断直线是否平行．
﹣几何性质：分析平行直线的几何性质和应用．
22．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上依次取E、F、G、H四个中点，当对角线AC＝BD时，四边形EFGH是 　菱　 形．
【答案】菱．
【解答】解：因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
所以EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，且，
所以EF＝GH，EF∥GH，
所以四边形EFGH是平行四边形，
因为AC＝BD，所以EF＝EH，
所以四边形EFGH是菱形．
故答案为：菱．
23．过直线外一点只能做一条线与该直线平行．　√　 （判断对错）
【答案】√．
【解答】解：根据平行公理可知：由且仅有一条直线与已知直线平行，所以说法正确．
故答案为：√．
▉题型9 空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
直线在平面内 有无数个公共点 a α
直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A
直线和平面平行 无 a∥α
24．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（　　）
A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若α⊥β，m α，则m⊥β D．若m∥α，m∥β，则α∥β
【答案】B
【解答】解：因为m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
所以若m∥n，m∥α，则n∥α或n α，所以A选项错误；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，所以B选项正确；
若α⊥β，m α，则m与β可以成[0，]的任意角，所以C选项错误；
若m∥α，m∥β，则α与β可以成[0，]的任意角，所以D选项错误．
故选：B．
（多选）25．已知点P，直线l，m，n，平面α，β，则下列命题正确的是（　　）
A．若l∥m，m α，则l∥α
B．若l⊥m，l⊥n，m∩n＝P，m α，n α，则l⊥α
C．若l∥α，α∩β＝m，l β，则l∥m
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若l∥m，m α，有可能l α，故A错误；
对于B，若l⊥m，l⊥n，m∩n＝P，m α，n α，必有l⊥α，故B正确；
对于C，若l∥α，α∩β＝m，l β，必有l∥m，故C正确；
对于D，若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，必有l⊥β，故D正确．
故选：BCD．
▉题型10 直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
26．已知直线a和直线b异面，直线c⊥a，c⊥b，a∥平面α，b∥平面α，则直线c与平面α的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不确定
【答案】B
【解答】解：因为a∥平面α，b∥平面α，且直线a和直线b是异面直线，
所以在平面α内可找到两条相交直线a′，b′，使得a∥a′，b∥b′，
因为直线c⊥a，c⊥b，
所以c⊥a′，c⊥b′，
因为a′，b′是平面α内的两条相交直线，
所以c⊥平面α，故B正确．
故选：B．
27．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，若MN∥平面AA1C1C，则线段MN的长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则有D（0，0，0），A1（1，0，1），C（0，1，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），
依题意，，
，
于是，
又因DB⊥AC，CC1⊥平面ABCD，DB 平面ABCD，
则CC1⊥BD，
又CC1∩AC＝C，CC1，AC 平面ACC1A1，
故BD⊥平面ACC1A1，
故平面AA1C1C的法向量可取为，
因MN∥平面AA1C1C，故，
即λ+μ＝1，
则
，
因0＜λ＜1，故当时，．
故选：D．
28．如图，已知点P在平行四边形ABCD所在平面外，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为线段PC上一点，当PA∥平面BEF时， 　　 ．
【答案】．
【解答】解：连接AC，交BE于点M，连结FM，
因为AE∥BC，且，
所以，
因为PA∥平面BEF，且PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FM，
所以PA∥FM，
则．
29．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，BC⊥平面PAB．
（1）求证：BC∥平面AMN；
（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．
【答案】（1）由于M，N分别为棱PB，PC的中点，
故MN∥BC，
又MN 平面AMN，且BC不在平面AMN上，
所以BC∥平面AMN；
（2）由于BC⊥平面PAB，且AM 平面PAB，
故BC⊥AM，
又AP＝AB，且M为棱PB的中点，
故AM⊥PB，
因为BC∩PB＝B，BC，PB 平面PBC，
故AM⊥平面PBC，
又AM 平面AMN，
故平面AMN⊥平面PBC．
【解答】证明：（1）由题意可得MN∥BC，
又因为MN 平面AMN，且BC不在平面AMN上，
所以BC∥平面AMN，得证；
（2）因为BC⊥平面PAB，且AM 平面PAB，
所以BC⊥AM，
又因为AP＝AB，且M为棱PB的中点，
所以AM⊥PB，
由于BC∩PB＝B，BC，PB 平面PBC，
所以AM⊥平面PBC，
又因为AM 平面AMN，
所以平面AMN⊥平面PBC，得证．
▉题型11 直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
30．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AD1和B1C1上，给出下列命题：①有且仅有一条直线MN与AD1垂直；②存在点M、N，使△MBN为等边三角形，则（　　）
A．①、②均为真命题
B．①、②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解答】解：对于①，点N在平面ADD1A1上的射影E的轨迹是线段A1D1，所以NE⊥平面ADD1A1，
又AD1 平面ADD1A1，所以NE⊥AD1，所以MN⊥AD1的一个充要条件是ME⊥AD1，
当射影E位于线段A1D1上的任意位置时，过点E作AD1垂线，垂足为M，则ME⊥AD1，
又NE∩ME＝E，且都在平面MNE上，则AD1⊥平面MNE，
而MN 平面MNE，所以MN⊥AD1，
即这样的直线MN不唯一，所以命题①为假；
对于②，由MB2＝AB2+AM2，，
由上知MN2＝NE2+EM2，
又AB＝BB1＝NE，要使△MBN为正三角形，只需AM＝B1N＝EM即可，
设AM＝B1N＝x，则D1E＝2﹣x，，且0≤x≤2，
所以
，
令，
可得，解得，（负值舍），
又，
只需比较大小，
将它们平方有，，
进而比较，的大小，
将它们平方有，
，
显然，
即，则，
所以，
即，
综上，1，即所求x∈（0，2），满足要求；
所以存在点M、N，使△MBN为等边三角形，命题②正确．
故选：D．
31．如图，在四棱锥D1﹣ABCD中，D1D⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且D1D＝DA＝DC＝3，E，F分别为D1B的三等分点，若P为底面ABCD上的一个动点，则|PE|+|PF|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为D1D⊥平面ABCD，DA，DC 平面ABCD，
所以D1D⊥DA，D1D⊥DC，
又四边形ABCD是正方形，
所以DA⊥DC，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则E（1，1，2），F（2，2，1），
过点E，F分别为EG⊥BD，FH⊥BD于点G，H，
则EG⊥平面ABCD，FH⊥平面ABCD，
过点P作PJ⊥DH于点J，连接PG，PH，JE，JF，
则，，
，其中|PJ|≥0，
故|PE|+|PF|要想取得最小值，
则|PJ|＝0，即只需P点在BD上，其中F（2，2，1）关于直线BD的对称点为Q（2，2，﹣1），
连接EQ，此时|PE|+|PF|取得最小值，最小值为EQ，
其中．
故选：A．
（多选）32．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BC中点，则（　　）
A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1D
C．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1D
【答案】BD
【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为h，
则，
对于A，，
则，
则AD⊥A1C不成立，故A错误；
对于BD，，
设平面AA1D的法向量为，
则，
得x＝z＝0，令y＝1，则，
所以，，
则BC⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故BD正确；
对于C，，
则，显然AD∥A1B1不成立，故C错误．
故选：BD．
▉题型12 平面与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
平面与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
两平面平行 无 α∥β
两平面相交 有一条公共直线 α∩β＝l
33．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）
A．若α∥β，m α，n β，则m∥n
B．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
【答案】D
【解答】解：若α∥β，m α，n β，则m∥n或m与n异面，∴A选项错误；
若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n可以成任意角，∴B选项错误；
若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，∴C选项错误；
若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，∴D选项正确．
故选：D．
34．已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B．若m α，n α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
【答案】D
【解答】解：若m⊥l，n⊥l，则m∥n或m与n相交或者异面，所以A选项错误；
若m α，n α，l⊥m，l⊥n，当m与n相交时才可以判断l⊥α，所以B选项错误；
若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以C选项错误；
若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β，所以D选项正确．
故选：D．
35．已知直线m和三个不重合的平面α，β，γ，则下列结论正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
C．若α⊥β，m α，则m⊥β
D．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则m⊥γ
【答案】D
【解答】解：直线m和三个不重合的平面α，β，γ，如图所示：
对于选项A，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，所以A错误；
对于选项B，若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ或β，γ相交，所以B错误；
对于选项C，若α⊥β，m α，则m∥β或m，β相交，所以C错误；
对于选项D，如图所示，α⊥γ，在γ面内过点P作交线的垂线a，由面面垂直的性质定理可知a⊥α，则a⊥m，
同理β⊥γ，在γ面内过点P作交线的垂线b，由面面垂直的性质定理可知b⊥β，则b⊥m，又a∩b＝P，所以m⊥γ，所以D正确．
故选：D．
▉题型13 平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
36．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且m α，n β，则“m∥n”是“α∥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且m α，n β，
m∥n不能推出α∥β，如图1，
α∥β也不能推出m∥n，如图2．
∴“m∥n”是“α∥β”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
（多选）37．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，D为BC中点，点P是线段B1C1上的动点，则（　　）
A．AD⊥CP
B．有且仅有一个点P，使得A1B∥CP
C．有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．有且仅有一个点P，使得平面AB1D∥平面A1PC
【答案】AD
【解答】解：对于选项A：因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1⊥平面ABC，
因为AD 平面ABC，所以BB1⊥AD，
因为AD⊥BC，BC∩BB1＝B，BC，BB1 平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，
又CP 平面BCC1B1，所以AD⊥CP，所以A正确；
对于选项B：如图建立空间直角坐标系，设AB＝1，B1P＝x，
则A1（0，0，0），B（1，0，1），，B1（1，0，1），
P（1，x，0）则（1，0，1），，
要使得A1B∥CP，那么，无解，所以不存在点P使得A1B∥CP，所以B错误；
对于选项C：，（，，﹣1），
要使得，那么（1）x2＝0，解得x＝0或x，
所以存在两个点P使得A1P⊥BP，所以C错误；
A（0，0，1），B1（1，0，0），，所以，
（，，0），
设平面AB1D的法向量为（x1，y1，z1），
，即，令x1＝1，
所以（1，，1），
又因为，
设平面A1PC的法向量为，
则，得到，令x2＝1，
则，
所以，
要使得两平面平行，则，解得，
所以有且仅有一个点P使得平面AB1D∥平面A1PC，所以D正确．
故选：AD．
38．若平面α∥平面β，a α，b β，则直线a与b的位置关系不可能是　相交　 ．（填“相交”、“平行”、“异面”之一）
【答案】相交．
【解答】解：因为平面α∥平面β，a α，b β，则面α，β没有公共点，
所以直线a，b可能平行，可能异面，不可能相交．
故答案为：相交．第13章第2节 基本图形位置关系
题型1 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示 题型2 点和直线确定平面及其数量
题型3 平面的交线及其性质 题型4 平面分割空间
题型5 平行公理 题型6 异面直线的判定
题型7 空间中直线与直线之间的位置关系 题型8 空间中直线与直线平行
题型9 空间中直线与平面之间的位置关系 题型10 直线与平面平行
题型11 直线与平面垂直 题型12 平面与平面之间的位置关系
题型13 平面与平面平行
▉题型1 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示
【知识点的认识】
在空间几何中，点、直线、平面的交点及包含关系可以用符号语言表示，如（A，B，C）∈平面．
【解题方法点拨】
﹣符号语言：使用数学符号准确表示几何元素之间的关系．
﹣包含关系：利用符号表示点是否在直线或平面上．
1．如图所示，用符号语言可表达为（　　）
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
2．已知空间的一个点P，一条直线l，一个平面α，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（　　）
A．l∈α B．{P}∈l C．{P}∈α D．P∈α
3．“点A在平面α上”用集合符号表示是 　 ．
▉题型2 点和直线确定平面及其数量
【知识点的认识】
在空间几何中，三个不共线的点或一个点和两条不平行的直线可以确定一个平面．点和直线的关系决定平面的唯一性．
推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．
【解题方法点拨】
﹣确定平面：判断点和直线是否可以确定一个唯一平面．
﹣平面数量：确定给定条件下平面的个数．
4．下列条件一定能确定一个平面的是（　　）
A．空间三个点
B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线
D．两条相互平行的直线
5．命题“空间中任意3点确定一个平面”是 　　 命题．（填“真”，“假”）
6．由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为 　　 ．
7．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在正方体中，由两个顶点确定的直线与由顶点确定的平面构成的“正交线面对”的个数为 　　 ．
▉题型3 平面的交线及其性质
【知识点的认识】
两个平面在空间中交于一条直线，称为交线．交线的性质涉及交点、方向等特征．
【解题方法点拨】
﹣交线计算：确定两个平面交线的方程或位置．
﹣性质分析：分析交线的方向和性质，如何利用交线解题．
（多选）8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E为B1C1的中点，过AE的截面与棱BB1，A1C1分别交于点F，G（G，E，F可能共线），则下列说法中正确的是（　　）
A．存在点F，使得A1F⊥AE
B．线段C1G长度的取值范围是[0，1]
C．四棱锥C﹣AFEG的体积为2时，点F只能与点B重合
D．设截面AFEG，△AEG，△AEF的面积分别为S1，S2，S3，则的最小值为4
9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，M，N分别为PA，AB的中点，平面α过点M且平行于平面PNC，则α截三棱锥P﹣ABC所得截面图形的形状为　　 ，截面图形的周长为　　 ．
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，且AD＝2BC，AD＝2BC，PA＝PB＝AD＝8，CD＝5，CD＝5，点E、F分别为棱PD、AD的中点．
（1）若，线段AB中点为O，且PO⊥CD，求证：PB⊥AD；
（2）若PC＝8，请作出四棱锥P﹣ABCD过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长．
▉题型4 平面分割空间
【知识点的认识】
一个平面将三维空间分割为两个部分．多个平面根据平面之间的位置关系可以分割空间成多个区域．
【解题方法点拨】
﹣空间分割：分析一个平面或多个平面对空间的分割效果．
﹣区域计算：计算分割后空间的区域数量和性质．
11．两个平面可以将空间分成 　　 个部分．
▉题型5 平行公理
【知识点的认识】
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
12．已知角α的两边和角β的两边分别平行且α＝80°，则β＝　　 ．
13．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角　　 ．
▉题型6 异面直线的判定
【知识点的认识】
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
14．如图，已知A、B、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　　）
A．直线AB B．直线AC C．直线AD D．直线AG
15．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
16．如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，P是线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　）
A．DD1 B．B1C C．D1C D．AC
17．如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段AB、CD所在的直线中，与直线EN异面的是 ．
▉题型7 空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数 图示
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 无
异面直线 不同时在任何一个平面内 无
18．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥α，a∥b，则b∥α
C．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b
D．若α∥β，a⊥β，a⊥b，则b⊥α
（多选）19．已知α，β是平面，m，n是直线，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
20．若点A与直线l确定一个平面，则点A与直线的位置关系是点A　　 直线l（用“∈”、“ ”、“ ”填空）．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面PCD．
（1）证明：AC⊥CD；
（2）若四边形ABCD为直角梯形，BA⊥AD，BC∥AD，AD＝3，AP＝2，BC＝1，球O为三棱锥P﹣ACD的外接球．
（i）求直线AO与平面PBC的夹角正弦值；
（ii）求平面PBC截球O的截面面积．
▉题型8 空间中直线与直线平行
【知识点的认识】
在空间中，若两条直线在同一平面内且不相交，则它们平行．也可以通过平面来判断直线之间的平行关系．
【解题方法点拨】
﹣平行判断：通过直线的方向向量或平面方程判断直线是否平行．
﹣几何性质：分析平行直线的几何性质和应用．
22．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上依次取E、F、G、H四个中点，当对角线AC＝BD时，四边形EFGH是 　　 形．
23．过直线外一点只能做一条线与该直线平行．　　 （判断对错）
▉题型9 空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
直线在平面内 有无数个公共点 a α
直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A
直线和平面平行 无 a∥α
24．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（　　）
A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若α⊥β，m α，则m⊥β D．若m∥α，m∥β，则α∥β
（多选）25．已知点P，直线l，m，n，平面α，β，则下列命题正确的是（　　）
A．若l∥m，m α，则l∥α
B．若l⊥m，l⊥n，m∩n＝P，m α，n α，则l⊥α
C．若l∥α，α∩β＝m，l β，则l∥m
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
▉题型10 直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
26．已知直线a和直线b异面，直线c⊥a，c⊥b，a∥平面α，b∥平面α，则直线c与平面α的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不确定
27．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，若MN∥平面AA1C1C，则线段MN的长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
28．如图，已知点P在平行四边形ABCD所在平面外，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为线段PC上一点，当PA∥平面BEF时， 　　 ．
29．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，BC⊥平面PAB．
（1）求证：BC∥平面AMN；
（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．
▉题型11 直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
30．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AD1和B1C1上，给出下列命题：①有且仅有一条直线MN与AD1垂直；②存在点M、N，使△MBN为等边三角形，则（　　）
A．①、②均为真命题
B．①、②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
31．如图，在四棱锥D1﹣ABCD中，D1D⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且D1D＝DA＝DC＝3，E，F分别为D1B的三等分点，若P为底面ABCD上的一个动点，则|PE|+|PF|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
（多选）32．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BC中点，则（　　）
A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1D
C．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1D
▉题型12 平面与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
平面与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
两平面平行 无 α∥β
两平面相交 有一条公共直线 α∩β＝l
33．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）
A．若α∥β，m α，n β，则m∥n
B．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
34．已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B．若m α，n α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
35．已知直线m和三个不重合的平面α，β，γ，则下列结论正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
C．若α⊥β，m α，则m⊥β
D．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则m⊥γ
▉题型13 平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
36．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且m α，n β，则“m∥n”是“α∥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）37．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，D为BC中点，点P是线段B1C1上的动点，则（　　）
A．AD⊥CP
B．有且仅有一个点P，使得A1B∥CP
C．有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．有且仅有一个点P，使得平面AB1D∥平面A1PC
38．若平面α∥平面β，a α，b β，则直线a与b的位置关系不可能是　　 ．（填“相交”、“平行”、“异面”之一）

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