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第6章第1节 乘法原理与加法原理
题型1 分类加法计数原理 题型2 分步乘法计数原理
▉题型1 分类加法计数原理
【知识点的认识】
1．定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m+n种不同的方法．
2．推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．
3．特点：
（1）完成一件事的n类方案相互独立；
（2）同一类方案中的各种方法相对独立．
（3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；
4．注意：与分步乘法计数原理区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 计算“完成一件事”的方法种数
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
【解题方法点拨】
如果完成一件事情有n类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法计数原理．
实现步骤：
（1）分类；
（2）对每一类方法进行计数；
（3）用分类加法计数原理求和；
1．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（　　）
A．56 B．15 C．28 D．30
【答案】B
【解答】解：不同的选择种数为7+8＝15．
故选：B．
2．今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（　　）种
A．204 B．288 C．348 D．396
【答案】C
【解答】解：①若6人乘坐3辆缆车，则将4个大人分成2，1，1三组有6种方法，然后将三组排到三个缆车有6种方法，再将两个小孩排到三个缆车有3×3﹣1＝8种方法，所以共有6×6×8＝288种方法．
②若6人乘坐2辆缆车，
（1）两个小孩不在一块：则大人分成2，2两组的方法有3种方法，将两组排到两辆缆车有6种方法，再将两个小孩排到两辆缆车有2种方法，
故共有3×6×2＝36种方法．
（2）两个小孩在一块：则大人分成3，1两组，分组方法为4种方法，小孩加入1人的组有1种方法，再将两组从3辆缆车中选两辆排入有6种方法，故共有4×1×6＝24种方法．
综上共有：288+36+24＝348种方法．
故选：C．
3．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（　　）
A．24种 B．9种 C．3种 D．26种
【答案】B
【解答】解：某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，共有4+3+2＝9种选法，
故选：B．
4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．9种
【答案】B
【解答】解：记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112；共5种摆法，
故选：B．
▉题型2 分步乘法计数原理
【知识点的认识】
1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法．
2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；
4．注意：与分类加法计数原理区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 计算“完成一件事”的方法种数
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
【解题方法点拨】
如果完成一件事情有n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理．
实现步骤：
（1）分步；
（2）对每一步的方法进行计数；
（3）用分步乘法计数原理求积；
5．某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（　　）
A．13种 B．42种 C．67种 D．7种
【答案】B
【解答】解：从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有7×6＝42种．
故选：B．
6．有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是（　　）
A．12 B．64 C．81 D．256
【答案】C
【解答】解：有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，
由题意可得每个信号灯有三种情况，各自独立，所以一共有34＝81种．
故选：C．
7．5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（　　）
A． B． C．54 D．45
【答案】D
【解答】解：5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，
每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为45．
故选：D．
8．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（　　）
A．11种 B．22种 C．30种 D．60种
【答案】C
【解答】解：某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，
第一步，从5名男队员中选出1名，共有5种选法；
第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法；
根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有5×6＝30（种）．
故选：C．
9．为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选1门课程参加，则不同的选法共有（　　）
A．12种 B．64种 C．81种 D．96种
【答案】C
【解答】解：甲、乙、丙、丁4位同学每人都有3种不同的选法，
根据分步乘法计数原理可知，不同的选法共有3×3×3×3＝34＝81种．
故选：C．
10．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（　　）
A．37 B．73 C．21 D．210
【答案】D
【解答】解：从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，
根据分步乘法计数原理，不同的选法有7×6×5＝210种．
故选：D．
11．有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（　　）
A．72种 B．144种 C．288种 D．576种
【答案】C
【解答】解：首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置，再将其余4名学生全排列，
故不同排列方式共有（种）．
故选：C．
12．从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（　　）
A．8 B．12 C．18 D．72
【答案】D
【解答】解：从1，3，5，7中任取2个数的方法数有；
从2，4中任取1个数的方法数有；
选出的3个数的排列有；
再利用分步计数乘法原理得：
可以组成没有重复数字的三位数的个数有6×2×6＝72．
故选：D．
13．如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（　　）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
【答案】C
【解答】解：先A区域，再涂B，涂C，涂D，根据分步乘法计数原理共有4×3×2×2＝48种涂法．
故选：C．
14．将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（　　）
A．54种 B．45种 C．种 D．种
【答案】B
【解答】解：因为每封电子邮件都有4种发送方法，
根据分步乘法计数原理，将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有45种，
故选：B．
15．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D四人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（　　）
A．8种 B．12种 C．16种 D．24种
【答案】C
【解答】解：由题意，可知A，B，C，D四人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，每人有2种选法，
则根据分步乘法原理，不同的选法共有2×2×2×2＝16种，
故选：C．
16．如图，现要用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 　48　 种不同的着色方法．
【答案】48．
【解答】解：先给I地区涂色有4种，再给II地区涂色有3种，给III地区涂色有2种，给IV地区涂色有2种，
所以由分步乘法计数原理得：4×3×2×2＝48种．
故答案为：48．第6章第1节 乘法原理与加法原理
题型1 分类加法计数原理 题型2 分步乘法计数原理
▉题型1 分类加法计数原理
【知识点的认识】
1．定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m+n种不同的方法．
2．推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．
3．特点：
（1）完成一件事的n类方案相互独立；
（2）同一类方案中的各种方法相对独立．
（3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；
4．注意：与分步乘法计数原理区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 计算“完成一件事”的方法种数
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
【解题方法点拨】
如果完成一件事情有n类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法计数原理．
实现步骤：
（1）分类；
（2）对每一类方法进行计数；
（3）用分类加法计数原理求和；
1．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（　　）
A．56 B．15 C．28 D．30
2．今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（　　）种
A．204 B．288 C．348 D．396
3．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（　　）
A．24种 B．9种 C．3种 D．26种
4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．9种
▉题型2 分步乘法计数原理
【知识点的认识】
1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法．
2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；
4．注意：与分类加法计数原理区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 计算“完成一件事”的方法种数
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
【解题方法点拨】
如果完成一件事情有n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理．
实现步骤：
（1）分步；
（2）对每一步的方法进行计数；
（3）用分步乘法计数原理求积；
5．某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（　　）
A．13种 B．42种 C．67种 D．7种
6．有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是（　　）
A．12 B．64 C．81 D．256
7．5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（　　）
A． B． C．54 D．45
8．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（　　）
A．11种 B．22种 C．30种 D．60种
9．为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选1门课程参加，则不同的选法共有（　　）
A．12种 B．64种 C．81种 D．96种
10．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（　　）
A．37 B．73 C．21 D．210
11．有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（　　）
A．72种 B．144种 C．288种 D．576种
12．从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（　　）
A．8 B．12 C．18 D．72
13．如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（　　）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
14．将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（　　）
A．54种 B．45种 C．种 D．种
15．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D四人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（　　）
A．8种 B．12种 C．16种 D．24种
16．如图，现要用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 　　 种不同的着色方法．

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