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第6章第3节 组合
题型1 组合数的化简计算及证明 题型2 简单组合问题
题型3 人员及物品分配问题 题型4 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
题型5 其他组合形式及计算
▉题型1 组合数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣组合数表示从n个不同元素中选出r个元素的总数，其公式为．
﹣组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握组合数公式，并理解其对称性和递推关系．组合数的性质如对称性是化简计算的重要工具．
﹣证明组合恒等式时，常用的方法包括代数方法、递推公式以及归纳法．
﹣在涉及复杂组合问题时，可以使用组合数的递推关系来进行逐步化简．
（多选）1．下列排列组合数中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）2．对于n∈N*，若，则n的值可以为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
（多选）3．关于排列组合数，下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4． 　　 ．（用数字填写答案）
5．已知，则m＝ 　　 ．
▉题型2 简单组合问题
【知识点的认识】
﹣简单组合问题涉及无任何特殊限制的组合情况．n个不同元素中选出r个元素的组合总数为．
﹣这类问题是组合问题的基础，强调对基本组合公式的理解与应用．
【解题方法点拨】
﹣直接应用组合公式进行计算．在实际问题中，注意理解组合与排列的区别，组合不考虑顺序，而排列考虑顺序．
﹣对于简单组合问题，可以通过列举法或公式直接求解．
6．用数字0，1，2组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被3整除的五位数有（　　）
A．8个 B．16个 C．24个 D．32个
7．从20张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花4个花色，每个花色均有数字从2～6的5张牌）中抽取4张牌，若抽出的4张牌有且仅有2张数字相同，则不同的抽取方法有（　　）
A．960种 B．1440种 C．1920种 D．2880种
8．某冷饮店有4种瓶装饮品可供选择，现有4位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了2种饮料的购买方法有（　　）
A．84种 B．36种 C．48种 D．120种
9．空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作的平面个数为（　　）
A．42 B．56 C．64 D．81
10．从0，1，2，3，4这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三位数的个数为（　　）
A．16 B．24 C．28 D．36
11．在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则．将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数a7a6a5a4a3a2a1a0，转化为十进制数N＝a3×37+a4×36+a5×35+a4×34+a3×33+a2×32+a1×31+a0×30，其中ai∈{﹣1，0，1}，i＝0，1，2，…7，则三进制数00001110对应的十进制数为　　 ，现有一个8位三进制数，包含3个﹣1，3个0，2个1，若要求首位a7不能为0，且相邻两位不能同时为﹣1，则这样的不同的三进制数个数共有　　 ．
12．已知A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N*}，B＝{x||x﹣6|＜3，x∈N*}．试问：
（1）从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
（2）从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？
▉题型3 人员及物品分配问题
【知识点的认识】
﹣人员及物品分配问题涉及将不同人员或物品进行分配的组合问题．例如：将n个人分配到k个小组，或者将m个物品分配给p个人．
﹣这类问题通常涉及组合与排列的综合应用，以及对分配方案的合理性判断．
【解题方法点拨】
﹣根据分配的要求，首先分析每种分配情况的可能性，然后分别计算不同情况的组合数或排列数．
﹣对于不同分配方式，可以使用加法原理和乘法原理进行综合计算．对于更复杂的分配问题，分类讨论是必要的．
﹣分配问题中，考虑限制条件（如某些人或物品必须被分配到特定组）的情况，可以先处理有限制的部分，再进行剩余部分的分配．
13．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（　　）
A．248种 B．168种 C．360种 D．210种
（多选）14．在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（　　）
A．若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况
B．若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况
C．若仅有2人获奖，则共有36种不同的获奖情况
D．若仅有3人获奖，则共有144种不同的获奖情况
15．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有 　　 种．
▉题型4 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【知识点的认识】
﹣这类问题涉及从不同类别的人员或物品中进行挑选的组合问题．例如：从若干类别的物品中各选出一定数量的组合问题．
﹣这类问题通常涉及分类讨论与组合公式的综合应用．
【解题方法点拨】
﹣首先按类别进行组合数计算，再将各类别的组合数相乘，得到总的组合数．注意区分不同类别的组合要求，以及每类物品或人员的选择范围．
﹣分类讨论是解决此类问题的有效策略，先处理每个类别的选择情况，再综合计算．
﹣在涉及多个类别的组合问题中，可以通过递推公式或生成函数来简化计算．
16．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有（　　）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
17．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
18．全国大中学生心理健康日主题活动将于2024年5月25日在京举行．现将3名心理健康专家和4名志愿者随机分配到3个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有1名心理健康专家和1名志愿者，则共有多少种分法？（　　）
A．36 B．72 C．216 D．256
19．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的概率为　　 ．
20．抽样检查是日常检测中常用的方法．某商场进了一种商品20件，其中有4件次品，若从中抽取3件．
（1）抽出的商品中无次品的抽法有多少种？
（2）抽出的商品中全是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的商品中至多有2件次品的抽法有多少种？
▉题型5 其他组合形式及计算
【知识点的认识】
﹣其他组合形式包括多重组合、环形组合、特殊排列组合等．例如：考虑相同元素或重复元素的组合，或者在特殊条件下的组合问题．
﹣这些问题通常需要综合运用组合数、排列数以及递推公式进行计算．
【解题方法点拨】
﹣在复杂组合问题中，可能需要引入递推关系或生成函数进行逐步推导．
21．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（　　）
A．3 B．6 C．10 D．15
22．7个相同的小球放入A，B，C三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（　　）种不同的放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种第6章第3节 组合
题型1 组合数的化简计算及证明 题型2 简单组合问题
题型3 人员及物品分配问题 题型4 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
题型5 其他组合形式及计算
▉题型1 组合数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣组合数表示从n个不同元素中选出r个元素的总数，其公式为．
﹣组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握组合数公式，并理解其对称性和递推关系．组合数的性质如对称性是化简计算的重要工具．
﹣证明组合恒等式时，常用的方法包括代数方法、递推公式以及归纳法．
﹣在涉及复杂组合问题时，可以使用组合数的递推关系来进行逐步化简．
（多选）1．下列排列组合数中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解答】解：4+12+24+24＝64，故A错误；
，故B正确；
左边右边，故C正确；
，
，故D正确．
故选：BCD．
（多选）2．对于n∈N*，若，则n的值可以为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【解答】解：因为n∈N*，且，
则n+1＝2n﹣1或n+1+2n﹣1＝9，解得n＝2或3．
故选：AB．
（多选）3．关于排列组合数，下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解答】解：由题意利用组合数公式的性质可得，，故A、B正确；
再利用排列数公式可得n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1），
而 mm（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1），
显然，n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1）和m（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1）不一定相等，
故C不正确；
mn（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1）+mn（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+2）＝n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+2）[（n﹣m+1）+m]
＝（n+1）n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+2），
故D正确，
故选：ABD．
4． 　175　 ．（用数字填写答案）
【答案】175．
【解答】解：法一：
由题意，，
根据组合数的性质，，
所以．
法二：
根据组合数的公式，
．
故答案为：175．
5．已知，则m＝ 　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：由题意，m＝2m+1或m+2m+1＝10，解得m＝﹣1或m＝3，
又m∈N*，2m+1∈N*，所以m＝3．
故答案为：3．
▉题型2 简单组合问题
【知识点的认识】
﹣简单组合问题涉及无任何特殊限制的组合情况．n个不同元素中选出r个元素的组合总数为．
﹣这类问题是组合问题的基础，强调对基本组合公式的理解与应用．
【解题方法点拨】
﹣直接应用组合公式进行计算．在实际问题中，注意理解组合与排列的区别，组合不考虑顺序，而排列考虑顺序．
﹣对于简单组合问题，可以通过列举法或公式直接求解．
6．用数字0，1，2组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被3整除的五位数有（　　）
A．8个 B．16个 C．24个 D．32个
【答案】D
【解答】解：用数字0，1，2组成一个五位数，每个数字至少出现一次，
满足条件的五位数有以下两类：
第一类，这五个数字为0，0，0，1，2，首位不能是0，
所以有个；
第二类，这五个数字为0，1，1，2，2，首位不能是0，
所以有个．
所以满足题意的五位数有8+24＝32个．
故选：D．
7．从20张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花4个花色，每个花色均有数字从2～6的5张牌）中抽取4张牌，若抽出的4张牌有且仅有2张数字相同，则不同的抽取方法有（　　）
A．960种 B．1440种 C．1920种 D．2880种
【答案】D
【解答】解：从20张扑克牌中抽取4张牌，若抽出的4张牌有且仅有2张数字相同，
则先从5个数字中任选1个数字，有种选法，再从4种花色中选取2种有种；
从余下4个数字中选取2个数字，每个数字选取1种花色有，
所以不同的抽取方法有（种）．
故选：D．
8．某冷饮店有4种瓶装饮品可供选择，现有4位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了2种饮料的购买方法有（　　）
A．84种 B．36种 C．48种 D．120种
【答案】A
【解答】解：已知冷饮店有4种瓶装饮品可供选择，有4位同学到店，每人购买一瓶，恰好购买了2种饮料，
先指定购买的2种饮料，共种，要求这4位同学只能购买这2种饮料，
利用间接法，每位同学共有2种选择，共24＝16种购买方法，
除去4位同学所买的饮料都是同一种，共2种情况，
由分步乘法计数原理可知，恰好购买了2种饮料的购买方法种数为6×（16﹣2）＝84种．
故选：A．
9．空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作的平面个数为（　　）
A．42 B．56 C．64 D．81
【答案】B
【解答】解：根据题意知“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，
所以共可确定的平面个数是个．
故选：B．
10．从0，1，2，3，4这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三位数的个数为（　　）
A．16 B．24 C．28 D．36
【答案】C
【解答】解：①当取出的偶数数字不含0时，偶数数字只能从2，4中选取，有1种取法，
奇数数字从1，3中选取1个，有2种选法，
再将3个数字任意排列，所以此时不同的三位数的个数为112个，
②当取出的偶数数字含0时，偶数数字有2种取法，
奇数数字从1，3中选取1个，有2种选法，
因为0不能排在百位，所以0有种排法，剩余2个数字任意排列，有2种排法，
所以此时不同的三位数的个数为2×2×2×2＝16个，
综上所述，不同的三位数的个数为12+16＝28个．
故选：C．
11．在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则．将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数a7a6a5a4a3a2a1a0，转化为十进制数N＝a3×37+a4×36+a5×35+a4×34+a3×33+a2×32+a1×31+a0×30，其中ai∈{﹣1，0，1}，i＝0，1，2，…7，则三进制数00001110对应的十进制数为　39　 ，现有一个8位三进制数，包含3个﹣1，3个0，2个1，若要求首位a7不能为0，且相邻两位不能同时为﹣1，则这样的不同的三进制数个数共有　140　 ．
【答案】39；140．
【解答】解：根据题意三进制数a7a6a5a4a3a2a1a0，转化为十进制数N＝a3×37+a4×36+a5×35+a4×34+a3×33+a2×32+a1×31+a0×30，
其中ai∈{﹣1，0，1}，i＝0，1，2，…7，
易知00001110对应的十进制数为1×33+1×32+1×31+0×30＝27+9+3＝39；
先将3个0，2个1进行排列，共有种，
再将3个﹣1插入到6个空隙中去，共有种，
所以能表示出的不同的三进制数个数共有种，
其中有首位a7为0时，共有种，
则符合题意的不同的三进制数个数共有200﹣60＝140种．
故答案为：39；140．
12．已知A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N*}，B＝{x||x﹣6|＜3，x∈N*}．试问：
（1）从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
（2）从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？
【答案】（1）25个，
（2）20个．
【解答】解：（1）由1＜log2x＜3得2＜x＜8，
则A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N*}＝{3，4，5，6，7}，
由|x﹣6|＜3得﹣3＜x﹣6＜3，得3＜x＜9，
则B＝{x||x﹣6|＜3，x∈N*}＝{4，5，6，7，8}，
若从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到5×5＝25个不同的点．
（2）A∪B＝{3，4，5，6，7，8}共6个元素，
从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，则一个组合就是一个顺序，
即20个．
▉题型3 人员及物品分配问题
【知识点的认识】
﹣人员及物品分配问题涉及将不同人员或物品进行分配的组合问题．例如：将n个人分配到k个小组，或者将m个物品分配给p个人．
﹣这类问题通常涉及组合与排列的综合应用，以及对分配方案的合理性判断．
【解题方法点拨】
﹣根据分配的要求，首先分析每种分配情况的可能性，然后分别计算不同情况的组合数或排列数．
﹣对于不同分配方式，可以使用加法原理和乘法原理进行综合计算．对于更复杂的分配问题，分类讨论是必要的．
﹣分配问题中，考虑限制条件（如某些人或物品必须被分配到特定组）的情况，可以先处理有限制的部分，再进行剩余部分的分配．
13．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（　　）
A．248种 B．168种 C．360种 D．210种
【答案】D
【解答】解：老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，
当甲分2本，乙分1本，丙分3本时，
不同的分法有60种；
当甲分2本，乙分2本，丙分2本时，
不同的分法有90种；
当甲分2本，乙分3本，丙分1本时，
则不同的分法有60种，
即不同的分法共有60+90+60＝210种．
故选：D．
（多选）14．在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（　　）
A．若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况
B．若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况
C．若仅有2人获奖，则共有36种不同的获奖情况
D．若仅有3人获奖，则共有144种不同的获奖情况
【答案】ACD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，即4张奖券分给甲、乙、丙、丁4个人，每人1张，有24种不同的获奖情况，A正确；
对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，将三、四等奖奖券分给其他3人即可，有9种不同的获奖情况，B错误；
对于C，若仅有2人获奖，即获奖的2人每人得到2张奖券，有（）＝36种不同的获奖情况，C正确；
对于D，若仅有3人获奖，即获奖的3人中有1人得到2张奖券，剩下2人每人1张奖券，有（）＝144种不同的获奖情况，D正确．
故选：ACD．
15．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有 　18　 种．
【答案】18．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①甲同学未被选上，有种方法；
②甲被选上且不担任主持人，有种方法，
则不同的安排方法种数为．
故答案为：18．
▉题型4 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【知识点的认识】
﹣这类问题涉及从不同类别的人员或物品中进行挑选的组合问题．例如：从若干类别的物品中各选出一定数量的组合问题．
﹣这类问题通常涉及分类讨论与组合公式的综合应用．
【解题方法点拨】
﹣首先按类别进行组合数计算，再将各类别的组合数相乘，得到总的组合数．注意区分不同类别的组合要求，以及每类物品或人员的选择范围．
﹣分类讨论是解决此类问题的有效策略，先处理每个类别的选择情况，再综合计算．
﹣在涉及多个类别的组合问题中，可以通过递推公式或生成函数来简化计算．
16．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有（　　）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
【答案】A
【解答】解：由4名学生来自高一、高二各2名，
则随机选2名学生来自不同年级的选择有种．
故选：A．
17．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】D
【解答】解：从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有7×6＝42种，
从3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有3×2＝6种，
所以选出的2人中至少有一名男生方法数为42﹣6＝36种．
故选：D．
18．全国大中学生心理健康日主题活动将于2024年5月25日在京举行．现将3名心理健康专家和4名志愿者随机分配到3个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有1名心理健康专家和1名志愿者，则共有多少种分法？（　　）
A．36 B．72 C．216 D．256
【答案】C
【解答】解：将3名心理健康专家和4名志愿者随机分配到3个不同的接待点服务，要求每个接待点至少有1名心理健康专家和1名志愿者，
则共有216种分法．
故选：C．
19．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的概率为　　 ．
【答案】．
【解答】解：10只螺丝钉，有2只是坏的，则另外有8只好的．
设A＝“从10只螺丝钉随机地抽取4只，取出的螺丝钉恰有2只是坏的”，
从10只螺丝钉随机地抽取4只，则样本空间Ω包含种方法；
取出的4只螺丝钉中恰有2只是坏的，即2只坏的都取出，从另8只好的中再取2只，
则由分步计数原理可得事件A包含种方法，
则由古典概型概率公式可得．
故答案为：．
20．抽样检查是日常检测中常用的方法．某商场进了一种商品20件，其中有4件次品，若从中抽取3件．
（1）抽出的商品中无次品的抽法有多少种？
（2）抽出的商品中全是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的商品中至多有2件次品的抽法有多少种？
【答案】（1）560种；
（2）4种；
（3）1136种．
【解答】解：（1）因为20件商品中，有4件次品，
所以有16件非次品，
则抽出的商品中无次品的抽法有种；
（2）因为20件商品中，有4件次品，
所以抽出的商品中全是次品的抽法有种；
（3）因为20件商品中，有4件次品，有16件非次品，
所以抽出的商品中至多有2件次品的抽法有种．
▉题型5 其他组合形式及计算
【知识点的认识】
﹣其他组合形式包括多重组合、环形组合、特殊排列组合等．例如：考虑相同元素或重复元素的组合，或者在特殊条件下的组合问题．
﹣这些问题通常需要综合运用组合数、排列数以及递推公式进行计算．
【解题方法点拨】
﹣在复杂组合问题中，可能需要引入递推关系或生成函数进行逐步推导．
21．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（　　）
A．3 B．6 C．10 D．15
【答案】B
【解答】解：将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，
先每个盒子中放1个小球，
然后将剩下的5个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放1个小球，
则不同放法的种数为6．
故选：B．
22．7个相同的小球放入A，B，C三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（　　）种不同的放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种
【答案】D
【解答】解：根据题意，先将7个球排成一排，可以形成6个空位，在6个空位中插入2个隔板，可以将7个小球分成3组分别对应标号为A，B，C的三个盒子，
则有15．
故选：D．

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