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第5章第1节 导数的概念及意义
题型1 变化的快慢与变化率 题型2 平均变化率
题型3 瞬时变化率 题型4 变化率的极限与导数的概念
题型5 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 题型6 导数与切线的斜率
题型7 函数图象趋势与导数大小的关系
▉题型1 变化的快慢与变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：
①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．
③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：
f′（x0）或f′（x0）
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
1．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t2+3表示，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为（　　）
A．0m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s
【答案】D
【解答】解：该物体在时间段[2，2+△t]上的平均速度为，
当△t无限趋近于0时，4+△t无限趋近于4，即该物体在t＝2s时的瞬时速度为4m/s．
故选：D．
▉题型2 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
【解题方法点拨】﹣计算：将区间端点a和b代入函数f，计算．
﹣解释：平均变化率描述了函数在区间上的平均斜率，反映函数值的总体变化趋势．
2．函数f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为（　　）
A．1 B．2 C．π D．0
【答案】A
【解答】解：f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为．
故选：A．
3．函数f（x）＝2x2+1在区间[1，1+Δx]上的平均变化率是（　　）
A．4+2Δx B．2Δx C．4 D．2
【答案】A
【解答】解：由题意可知，函数f（x）＝2x2+1的平均变化率是：
．
故选：A．
4．函数在区间[1，8]上的平均变化率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：．
故选：B．
（多选）5．蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中T（t）为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）．则（　　）
A．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃
B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为﹣2.4℃/min
C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是﹣1.2℃/min
D．蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻
【答案】ABC
【解答】解：根据题意，，其导数，
依次分析选项：
对于A，当t＝0时，，当t＝5时，，
所以从t＝0到t＝5，蜥蜴的体温下降了39﹣27＝12，故A正确；
对于B，从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确；
对于C，，当t＝5时，，所以当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣1.2℃/min，故C正确；
对于D，令，解得，故D错误．
故选：ABC．
▉题型3 瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
【解题方法点拨】
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处均变化率的极限：
6．某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：l（t）＝2t2t，当t＝3s时，运动员的滑雪瞬时速度为（　　）
A．10.5m/s B．13.5m/s C．15.0m/s D．18.0m/s
【答案】B
【解答】解：由l（t）＝2t2t，可得l′（t）＝4t，
所以当t＝3s时，运动员的滑雪瞬时速度为l′（3）＝4×313.5m/s．
故选：B．
7．2025年2月7日，冰雪同梦绽放光芒，亚洲同心共谱华章．第九届亚洲冬季运动会在黑龙江省哈尔滨市隆重开幕，在本次滑雪比赛中，某摄影师利用雷达干涉仪记录了某名运动员整个过程中由起点起经过t秒后的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系为s，则该名运动员在滑雪过程中瞬时速度为零的时刻为（　　）
A．1秒末 B．2秒末
C．4秒末 D．1秒末和4秒末
【答案】C
【解答】解：因为，所以s′（t）＝t2﹣3t﹣4，
令s′（t）＝0，得t2﹣3t﹣4＝0，解得t1＝4或t2＝﹣1（舍去），
所以该名运动员在滑雪过程中瞬时速度为零的时刻为4秒末．
故选：C．
8．已知某质点的位移y（单位：m）与时间x（单位：s）满足函数关系式y＝x4+3x2，则当x＝1时，该质点的瞬时速度为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【解答】解：函数关系式y＝x4+3x2，
则y′＝4x3+6x，则y′|x＝1＝4+6＝10．
故选：A．
9．当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足，其中t≥0，则血液中该药的浓度，在t＝3时的瞬时变化率约是t＝4时的瞬时变化率的多少倍（e≈2.7）（　　）
A．﹣1.8 B．1.8 C．3.6 D．﹣3.6
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，函数，求导得C′（t）＝（te﹣t）′＝t′e﹣t+t（e﹣t）′＝（1﹣t）e﹣t，
将t＝3代入得C′（3）＝（1﹣3）e﹣3＝﹣2e﹣3，将t＝4代入得C′（4）＝（1﹣4）e﹣4＝﹣3e﹣4，
则．
故选：B．
10．质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝9s时瞬时速度是其在t＝4s时的瞬时速度的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】A
【解答】解：因为l′（t），
则质点M在t＝9s时的瞬时速度为：m/s，
在t＝4s时的瞬时速度为：m/s，
故质点M在t＝9s时瞬时速度是其在t＝4s时的瞬时速度的：．
故选：A．
▉题型4 变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
【解题方法点拨】
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
11．若，则f′（2）＝（　　）
A．12 B．6 C．3 D．﹣3
【答案】C
【解答】解：因为，
所以f′（2）3．
故选：C．
12．设6，则f′（3）＝（　　）
A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12
【答案】B
【解答】解：因为6，
所以，
所以f'（3）＝﹣3．
故选：B．
13．f（x）＝1﹣2x，则（　　）
A．﹣6 B．2 C．﹣2 D．6
【答案】C
【解答】解：f（x）＝1﹣2x，
则f'（x）＝﹣2，
故f'（3）＝﹣2．
故选：C．
14．已知函数f（x）＝2x3，则　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：∵f（x）＝2x3，
∴f′（x）＝6x2，∴f′（1）＝6，
则f′（1）＝6．
故答案为：6．
▉题型5 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
【解题方法点拨】
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
15．已知f′（2）＝1，则（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：22f′（2）＝﹣2，
故选：D．
16．若函数f（x）在x＝x0处可导，则（　　）
A．f′（x0） B．2f′（x0） C．3f′（x0） D．
【答案】B
【解答】解：函数f（x）在x＝x0处可导，
故22f′（x0）．
故选：B．
17．已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（　　）
A．﹣1 B． C．1 D．
【答案】C
【解答】解：，
则，解得f'（2）＝1．
故选：C．
18．已知，则f'（x0）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，，则有，
则f'（x0）．
故选：B．
19．已知函数f（x）＝xlnx，则（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：由题意可知，f（x）＝xlnx，
则f′（x）＝1+lnx，
所以f′（1）＝1，
所以．
故选：B．
▉题型6 导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
20．曲线y＝x+ln（﹣x）在点x＝﹣1处的切线斜率为（　　）
A．1 B．0 C．2 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：由题意y＝x+ln（﹣x），
对其求导可得，
则曲线在点x＝﹣1处的切线斜率为y′|x＝﹣1＝1﹣1＝0．
故选：B．
21．曲线y＝tanx在点处的切线斜率为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解答】解：由y＝tanx，求导得y′，
所以所求切线的斜率为k．
故选：B．
22．曲线y＝eax+x在点（0，1）处的切线与直线x﹣y+2＝0垂直，则a＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：设f（x）＝eax+x，则f'（x）＝aeax+1，f'（0）＝a+1，
又因为直线x﹣y+2＝0的斜率为1，
由题意可得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2．
故选：D．
23．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，如图：
由导数的几何意义，f′（1）为曲线在x＝1处切线的斜率，
f′（3）为曲线在x＝1处切线的斜率，
kAB，为割线AB的斜率，
则有．
故选：B．
24．设f（x）为可导函数且满足，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：由导数的几何意义，可知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1），
根据导数概念，f′（1）1，
即曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
故选：C．
▉题型7 函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
【解题方法点拨】
f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．
25．已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：由图可知y＝f′（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
A，则y＝f（x）的切线斜率在（﹣1，0）上递减，在（0，1）上递增，符合题意；
B，y＝f（x）的切线斜率在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，不符合题意；
C，y＝f（x）的切线斜率在（﹣1，1）上递减，不符合题意；
D，y＝f（x）的切线斜率在（﹣1，1）上递增，不符合题意．
故选：A．
26．已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：由图可知，f′（x）为奇函数，
所以f（x）为偶函数，
故只需考虑x∈[﹣2，0]时的情况，
当x∈[﹣2，0]时，f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣2，0]上单调递增，
下面分析增长的快慢：
当x∈[﹣2，﹣1]时，f′（x）的值逐渐增大，
所以f（x）的图象在[﹣2，﹣1]上增长速度越来越快，排除选项B和C，
当x∈（﹣1，0]时，f′（x）的值逐渐减小，
所以f（x）的图象在（﹣1，0]上增长速度越来越慢，排除选项D．
故选：A．
27．已知函数f（x）的图象如图所示，f'（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）
A．0＜f'（4）＜f（4）﹣f（3）＜f'（3）
B．0＜f'（3）＜f'（4）＜f（4）﹣f（3）
C．0＜f（4）﹣f（3）＜f'（4）＜f'（3）
D．0＜f'（4）＜f'（3）＜f（4）﹣f（3）
【答案】A
【解答】解：由图形可知，在点A处的切线斜率大于割线AB的斜率，割线AB的斜率大于在点B处的斜率，且都大于零，
即，
则0＜f′（4）＜f（4）﹣f（3）＜f′（3）．
故选：A．
28．函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的部分图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设y＝f′（x）的零点分别为a，b，其中0＜a＜b，
当x∈（﹣∞，a）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（a，b）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（b，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
故选项B符合条件，
故选：B．
（多选）29．设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f'（x）的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解答】解：对于A：若图中的直线为f'（x）的图象，曲线为f（x）的图象，
∵f'（x）的图象先负后正，f（x）的图象先减后增，故A可能正确；
对于B：若图中上面的曲线为f（x）的图象，下面曲线为f'（x）的图象，
∵f'（x）的图象在x＝0处先负后正，f（x）的图象在x＝0处先减后增，
故B可能正确；
对于C：若图中上面的曲线为f'（x）的图象，下面曲线为f（x）的图象，
∵f'（x）＞0恒成立，f（x）的图象为增函数，故C可能正确；
对于D：若图中上面的曲线为f'（x）的图象，下面曲线为f（x）的图象，
∵f'（x）的图象先负后正，f（x）的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为f（x）的图象，下面曲线为f'（x）的图象，
∵f'（x）＜0恒成立，f（x）的图象为增函数，不符合，故D错误．
故选：ABC．
（多选）30．如图是导函数y＝f′（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．（﹣1，3）为函数y＝f（x）的单调递增区间
B．（0，3）为函数y＝f（x）的单调递减区间
C．函数y＝f（x）在x＝3处取得极大值
D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值
【答案】ACD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，B，当﹣1＜x＜3 时，f′（x）＞0，故（﹣1，3）为函数y＝f（x）的单调递增区间，故A正确，B错误；
对于C，当﹣1＜x＜3时，f′（x）＞0，当3＜x＜5时，f′（x）＜0，故x＝3是函数的极大值点，故C正确；
对于D，当3＜x＜5时，f′（x）＜0，当x＞5时，f′（x）＞0，故x＝5是函数的极小值点，故D正确．
故选：ACD．第5章第1节 导数的概念及意义
题型1 变化的快慢与变化率 题型2 平均变化率
题型3 瞬时变化率 题型4 变化率的极限与导数的概念
题型5 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 题型6 导数与切线的斜率
题型7 函数图象趋势与导数大小的关系
▉题型1 变化的快慢与变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：
①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．
③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：
f′（x0）或f′（x0）
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
1．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t2+3表示，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为（　　）
A．0m/s B．2m/s C．3m/s D．4m/s
▉题型2 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
【解题方法点拨】﹣计算：将区间端点a和b代入函数f，计算．
﹣解释：平均变化率描述了函数在区间上的平均斜率，反映函数值的总体变化趋势．
2．函数f（x）＝x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为（　　）
A．1 B．2 C．π D．0
3．函数f（x）＝2x2+1在区间[1，1+Δx]上的平均变化率是（　　）
A．4+2Δx B．2Δx C．4 D．2
4．函数在区间[1，8]上的平均变化率为（　　）
A． B． C． D．
（多选）5．蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中T（t）为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）．则（　　）
A．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃
B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为﹣2.4℃/min
C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是﹣1.2℃/min
D．蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻
▉题型3 瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
【解题方法点拨】
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处均变化率的极限：
6．某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：l（t）＝2t2t，当t＝3s时，运动员的滑雪瞬时速度为（　　）
A．10.5m/s B．13.5m/s C．15.0m/s D．18.0m/s
7．2025年2月7日，冰雪同梦绽放光芒，亚洲同心共谱华章．第九届亚洲冬季运动会在黑龙江省哈尔滨市隆重开幕，在本次滑雪比赛中，某摄影师利用雷达干涉仪记录了某名运动员整个过程中由起点起经过t秒后的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系为s，则该名运动员在滑雪过程中瞬时速度为零的时刻为（　　）
A．1秒末 B．2秒末
C．4秒末 D．1秒末和4秒末
8．已知某质点的位移y（单位：m）与时间x（单位：s）满足函数关系式y＝x4+3x2，则当x＝1时，该质点的瞬时速度为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
9．当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足，其中t≥0，则血液中该药的浓度，在t＝3时的瞬时变化率约是t＝4时的瞬时变化率的多少倍（e≈2.7）（　　）
A．﹣1.8 B．1.8 C．3.6 D．﹣3.6
10．质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝9s时瞬时速度是其在t＝4s时的瞬时速度的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
▉题型4 变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
【解题方法点拨】
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
11．若，则f′（2）＝（　　）
A．12 B．6 C．3 D．﹣3
12．设6，则f′（3）＝（　　）
A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12
13．f（x）＝1﹣2x，则（　　）
A．﹣6 B．2 C．﹣2 D．6
14．已知函数f（x）＝2x3，则　　 ．
▉题型5 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
【解题方法点拨】
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
15．已知f′（2）＝1，则（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
16．若函数f（x）在x＝x0处可导，则（　　）
A．f′（x0） B．2f′（x0） C．3f′（x0） D．
17．已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（　　）
A．﹣1 B． C．1 D．
18．已知，则f'（x0）＝（　　）
A． B． C． D．
19．已知函数f（x）＝xlnx，则（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
▉题型6 导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
20．曲线y＝x+ln（﹣x）在点x＝﹣1处的切线斜率为（　　）
A．1 B．0 C．2 D．﹣1
21．曲线y＝tanx在点处的切线斜率为（　　）
A． B． C． D．4
22．曲线y＝eax+x在点（0，1）处的切线与直线x﹣y+2＝0垂直，则a＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
23．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
24．设f（x）为可导函数且满足，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
▉题型7 函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
【解题方法点拨】
f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．
25．已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
26．已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
27．已知函数f（x）的图象如图所示，f'（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）
A．0＜f'（4）＜f（4）﹣f（3）＜f'（3）
B．0＜f'（3）＜f'（4）＜f（4）﹣f（3）
C．0＜f（4）﹣f（3）＜f'（4）＜f'（3）
D．0＜f'（4）＜f'（3）＜f（4）﹣f（3）
28．函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的部分图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）29．设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f'（x）的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）30．如图是导函数y＝f′（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．（﹣1，3）为函数y＝f（x）的单调递增区间
B．（0，3）为函数y＝f（x）的单调递减区间
C．函数y＝f（x）在x＝3处取得极大值
D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值

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