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第6章第4节 计数原理在古典概率中的应用
题型1 古典概型及其概率计算公式 题型2 排列组合的综合应用
▉题型1 古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
1．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两数字之和为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束．若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生．任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，从正六边形ABCDEF的顶点和该正六边形的中心O这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．袋中有黑球、白球共20个，如果从这个袋中任取3个球，当袋中黑球个数满足一定数量时，取出的球为同色的概率最小，则这个最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知a，b，c，d是5，6，7，8的一个排列，定义随机变量X，Y满足其中min{x1，x2， ，xn}，max{x1，x2， ，xn}分别表示数据x1，x2， ，xn中的最小者和最大者，则P（X＞Y）＝（　　）
A． B． C． D．
8．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05，0.04，0.03和0.02．
（1）每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；
（2）从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？
▉题型2 排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
11．甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（　　）
A．24种 B．30种 C．36种 D．42种
12．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（　　）
A．13种 B．22种 C．30种 D．60种
13．某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（　　）
A．14 B．64 C．72 D．80
14．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（　　）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
15．十一中学高三（1）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小伟与小豪两位好朋友在这九人中身高由低到高分别位居第1位与第5位，他们要求要站在同行且不相邻，则不同的排列方式共有（　　）种．
A．200 B．180 C．120 D．100
16．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（　　）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
17．若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（　　）
A．120 B．72 C．48 D．12
18．2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（　　）
A．16种 B．32种 C．48种 D．64种
19．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿．全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营．小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（　　）
A．19 B．20 C．90 D．200
20．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼20飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（　　）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
21．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面．五行学说是华夏文明重要组成部分．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（　　）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
22．某大学的2名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（　　）
A．若要求3名女生排在一起，则这5名同学共有48种排法
B．若要求2名男生不相邻，则这5名同学共有36种排法
C．若要求女生从左到右是从高到矮排列，则这5名同学共有20种排法
D．若要求男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，则这5名同学共有72种方法
（多选）23．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
24．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为　　 ．第6章第4节 计数原理在古典概率中的应用
题型1 古典概型及其概率计算公式 题型2 排列组合的综合应用
▉题型1 古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
1．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），10种情况，
若这三个数之积为偶数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），9种情况，
它们之和不小于9共有 （1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），5种情况，
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为．
故选：D．
2．从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两数字之和为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个，共有种结果，
满足取出的这两数字之和为偶数的有2和4，以及1和3，共2种，
则根据古典概型的概率公式可知取出的这两数字之和为偶数的概率P，
故选：B．
3．春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束．若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生．任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：第一步：第一次掷骰子的概率，
（1）掷出6点：概率为，弟弟直接吃1颗花生；
（2）非6点：概率为，记下点数k（k＝1，2，3，4，5），进入后续阶段；
第二步：后续阶段的概率分析，
设小明掷骰子时弟弟吃到花生的概率为P，弟弟掷骰子时弟弟吃到花生的概率为Q，
若小明掷骰子：
（1）掷出k：概率为，弟弟吃1颗花生；
（2）掷出6：概率为，小明吃3颗花生；
（3）其他点数：概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为Q，故有；
若弟弟掷骰子：
（1）掷出k：概率为，弟弟吃1颗花生；
（2）掷出6：概率为，小明吃3颗花生；
（3）其他点数：概率为，轮到小明掷骰子，此时概率为P，故有；
联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟吃到花生的概率为，
故任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为．
故选：D．
4．一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，
将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，
设事件A＝“三次中至少有一次正面”，事件B＝“三次中恰好有两次正面”，
依题意，A＝{正反反，反正反，反反正，正正反，正反正，反正正，正正正}，
B＝{正正反，正反正，反正正}，则AB＝{正正反，正反正，反正正}，
则三次中恰好有两次正面的概率为．
故选：B．
5．如图，从正六边形ABCDEF的顶点和该正六边形的中心O这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：从这七个点中任选三个点，共有种，
其中能构成的等边三角形的有：△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA、△ACE、△BDF，共8个，
其中三点共线的情形有3种，即A、O、D或B、O、E或C、O、F，
因此，构成的三角形不是等边三角形的概率是．
故选：B．
6．袋中有黑球、白球共20个，如果从这个袋中任取3个球，当袋中黑球个数满足一定数量时，取出的球为同色的概率最小，则这个最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意设袋中有白球x个，黑球y个，则x+y＝20，
则取出球全为白色的概率为，取出球全为黑色的概率为，
又取出全为白球，取出全为黑球两事件互斥，
则取出的球为同色的概率为．
因为x（x﹣1）（x﹣2）+y（y﹣1）（y﹣2）
＝x3+y3﹣3（x2+y2）+40
＝（x+y）（x2+y2﹣xy）﹣3（x2+y2）+40
＝17（x2+y2）﹣20xy+40
＝17（x+y）2﹣54xy+40
＝6840﹣54xy，
又，当且仅当x＝y＝10时取等号．
所以x（x﹣1）（x﹣2）+y（y﹣1）（y﹣2）≥1440，
即．
故选：D．
7．已知a，b，c，d是5，6，7，8的一个排列，定义随机变量X，Y满足其中min{x1，x2， ，xn}，max{x1，x2， ，xn}分别表示数据x1，x2， ，xn中的最小者和最大者，则P（X＞Y）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，数据5，6，7，8的所有排列种数为，
其中满足X＞Y的排列有（5，6，7，8）、（5，6，8，7）、（6，5，7，8）、（6，5，8，7）、（7，8，5，6）、（7，8，6，5）、（8，7，5，6）、（8，7，6，5），共8种情况，
故．
故选：A．
8．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，
基本事件总数n＝4×4＝16，
取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
中奖包含的基本事件有：
（2，3），（3，2），（1，3），（3，1），（2，2），（1，2），（2，1），（0，3），（3，0），共9种情况，
中奖的概率是P．
故选：C．
9．在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：记甲中奖的事件为A，乙中奖的事件为B，
则，，，
所以P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）．
故选：B．
10．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05，0.04，0.03和0.02．
（1）每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；
（2）从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？
【答案】（1）；
（2）0.0315．
【解答】解：（1）这两件产品来自同一流水线的概率为．
（2）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，Bk表示“任取一件产品，结果是第k条流水线的产品”，k＝1，2，3，4，
由题，P（B1）＝0.15，P（B2）＝0.20，P（B3）＝0.30，P（B4）＝0.35，
且P（A|B1）＝0.05，P（A|B2）＝0.04，P（A|B3）＝0.03，P（A|B4）＝0.02，
从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是：
P（A）＝P（B1）×P（A|B1）+P（B2）×P（A|B2）+P（B3）×P（A|B3）+P（B4）×P（A|B4）＝15%×0.05+20%×0.04+30%×0.03+35%×0.02＝0.0315．
▉题型2 排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
11．甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（　　）
A．24种 B．30种 C．36种 D．42种
【答案】B
【解答】解：甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，
甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案，
当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案，
故不同的分配方案共有6+24＝30种．
故选：B．
12．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（　　）
A．13种 B．22种 C．30种 D．60种
【答案】D
【解答】解：根据分步乘法计数原理，共有2×6×5＝60（种）不同的选取方法，
故选：D．
13．某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（　　）
A．14 B．64 C．72 D．80
【答案】B
【解答】解：因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，
所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有4×8×2＝64种．
故选：B．
14．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（　　）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【解答】解：根据题意可得满足题意的选法种数为．
故选：C．
15．十一中学高三（1）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小伟与小豪两位好朋友在这九人中身高由低到高分别位居第1位与第5位，他们要求要站在同行且不相邻，则不同的排列方式共有（　　）种．
A．200 B．180 C．120 D．100
【答案】C
【解答】解：由题意小伟身高最低，可知小伟与小豪排在第一行，有2种方法，
小豪所在的列的两位同学有6种方法，小伟所在的列的两位同学有10种方法，
共有安排方法：120种．
故选：C．
16．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（　　）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】D
【解答】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为45，即选项A错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，
④每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，即选项D正确，
综合①②③④得：选项D正确，
故选：D．
17．若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（　　）
A．120 B．72 C．48 D．12
【答案】B
【解答】解：已知若3个男生和2个女生排成一排，
先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，
再把2个女生排进去共有种排法，
所以符合条件的共有6×12＝72种排法．
故选：B．
18．2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（　　）
A．16种 B．32种 C．48种 D．64种
【答案】B
【解答】解：根据题意，6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，
两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法，
剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种，
所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种．
故选：B．
19．在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿．全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营．小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（　　）
A．19 B．20 C．90 D．200
【答案】A
【解答】解：已知小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，
按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为4+10+5＝19．
故选：A．
20．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼20飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（　　）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解答】解：甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，
则不同的着舰方法有2×2×6＝24种．
故选：B．
21．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面．五行学说是华夏文明重要组成部分．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（　　）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【解答】解：五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件，
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，
故问题转化为如图A，B，C，D，E五个区域，有5种不同的颜色可用，
要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题，
分为以下两类情况：
第一类：A，C，D三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂A，C，D区域，从5种不同的颜色中选3种按顺序涂在不同的3个区域上，则有种方法，
第二步涂B区域，由于A，C颜色不同，则有3种方法，
第三步涂E区域，由于A，D颜色不同，则有3种方法，
由分步计数原理，则共有540种方法；
第二类：A，C，D三个区域涂两种不同的颜色，
由于C，D不能涂同一色，则A，C涂一色，或A，D涂同一色，两种情况方法数相同，
若A，C涂一色，
第一步涂A，C，D区域，A，C可看成同一区域，且A，D区域不同色，即涂2个区域不同色，
从5种不同的颜色中选2种按顺序涂在不同的2个区域上，则有种方法，
第二步涂B区域，由于A，C颜色相同，则有4种方法，
第三步涂E区域，由于A，D颜色不同，则有3种方法，
由分步计数原理，则共有240种方法；
若A，D涂一色，与A，C涂一色的方法数相同，
则共有2×240＝480种方法，
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有540+480＝1020种．
故选：D．
22．某大学的2名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（　　）
A．若要求3名女生排在一起，则这5名同学共有48种排法
B．若要求2名男生不相邻，则这5名同学共有36种排法
C．若要求女生从左到右是从高到矮排列，则这5名同学共有20种排法
D．若要求男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，则这5名同学共有72种方法
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，先将3名女生看成一个整体，与2名男生全排列即可，有种排法，A错误；
对于B，若2名男生不相邻，可以先排女生，然后男生插空，有种排法，B错误；
对于C，女生从左到右是从高到矮排列，即女生顺序一定，有种排法，C正确；
对于D，男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，有种排法，D错误．
故选：C．
（多选）23．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
【答案】BD
【解答】解：对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，
故A错误；
对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，
则有种情况，
故甲乙不相邻的排法种数为6×12＝72种情况，
故B正确；
对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，
故有种；
若最左端不排乙，
则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，
又乙不能在最右端，
则有种情况，
则共有24+54＝78种站法，
故C错误；
对于D，将甲与乙捆绑，看作一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，
故有种，
故D正确．
故选：BD．
24．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为　420　 ．
【答案】420
【解答】解：根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，
分4步进行分析：
①，对于区域A，有5种颜色可选；
②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；
③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；
④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，
若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，
则区域D、E有3+2×2＝7种选择，
则不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种；
故答案为：420．

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