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第5章第3节 导数的应用
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 题型4 函数在某点取得极值的条件
题型5 利用导数求解函数的极值 题型6 由函数的极值求解函数或参数
题型7 利用导数求解函数的最值 题型8 由函数的最值求解函数或参数（导数法）
题型9 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 题型10 由函数的切线方程求解函数或参数
题型11 不等式恒成立的问题
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
1．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足xf'（x）+f（x）＞0，则不等式x2f（x2）﹣f（1）＜0的解集为（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，1） D．（﹣1，+∞）
【答案】C
【解答】解：令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，
所以g（x）在定义域R上单调递增，
不等式x2f（x2）﹣f（1）＜0，即x2f（x2）＜f（1），
即g（x2）＜g（1），
所以x2＜1，解得﹣1＜x＜1，
即不等式x2f（x2）﹣f（1）＜0的解集为（﹣1，1）．
故选：C．
2．已知曲线y＝ex﹣1与曲线y＝alnx+a（a＞0）只有一个公共点，则a＝（　　）
A． B．1 C．e D．e2
【答案】B
【解答】解：f（x）＝ex﹣1﹣alnx﹣a（x＞0），则f′，
令g（x）＝f′（x），则，
所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
①若a＝1，则f′（1）＝0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞） 上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝0，即f（x）只有一个零点，符合题意；
②若a≠1，f′（1）≠0，因为f′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以存在x0∈（0，+∞），使得f'（x0）＝0，
即f′（x）在（0，x0）上小于零，在（x0，+∞） 上大于零，
所以f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，而f（1）＝1﹣a≠0，所以f（x0）＜0，
又因为当x→0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，根据零点存在性定理，f（x）在（0，x0）和（x0，+∞） 上各有一个零点，不符合题意．
综上，a＝1．
故选：B．
3．若正实数a，b满足，则（　　）
A．a＞2b B．a＜2b C．a+b＜2 D．a+b＞2
【答案】B
【解答】解：因为正实数a，b满足，
可得ea﹣e2b＝lnb﹣lna＝ln2b﹣lna﹣ln2，
因为0＜ln2＜lne＝1，
所以ea﹣e2b＜ln2b﹣lna，
即ea+lna＜e2b+ln2b，
设f（x）＝ex+lnx，
则f（a）＜f（2b），
易知f（x）＝ex+lnx在（0，+∞）上是增函数，
所以a＜2b．
故选：B．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
4．若，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【答案】C
【解答】解：，，
设函数f（x）＝xlnx，x∈（0，+∞），f′（x）＝lnx+1，
当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，所以c＜a＜b．
故选：C．
5．若函数f（x）＝x﹣tlnx在[2，+∞）上单调递增，则t的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，2] D．（0，2]
【答案】C
【解答】解：由题可得函数f（x）的定义域为（0，+∞），
则，
因为函数f（x）＝x﹣tlnx在[2，+∞）上单调递增，
所以在[2，+∞）上恒成立，
即t≤x在[2，+∞）上恒成立，所以t≤2，
即t的取值范围为（﹣∞，2]．
故选：C．
6．函数f（x）的图象如图所示，设f（x）的导函数为f'（x），则的解集为（　　）
A．（1，6） B．（1，4）
C．（﹣∞，1）∪（6，+∞） D．（1，4）∪（6，+∞）
【答案】D
【解答】解：由题意得 或，
由图可当x∈（﹣∞，4）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（4，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以①当x∈（1，4）时，f′（x）＞0且f（x）＞0，
②当x∈（6，+∞）时，f′（x）＜0且f（x）＜0；
综上，x∈（1，4）∪（6，+∞）；
故选：D．
7．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[1，2]上存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意：已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[1，2]上存在单调递减区间，
可知：，
因为函数f（x）在[1，2]上存在单调递减区间，
则f′（x）＜0在[1，2]上有解，可得，
所以．
令，则，
显然g′（x）＞0，可知函数g（x）单调递增，则，
即，所以实数b的取值范围是．
故选：C．
▉题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
8．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C． D．
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝lnx﹣ax，所以，
因为f（x）在区间[1，3]上单调递减，
所以f′（x）≤0，即，则在[1，3]上恒成立，
因为在[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故a≥1．
故选：A．
9．若函数在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C． D．
【答案】D
【解答】jie：因为函数在[1，4]上存在单调递增区间，
所以存在x∈[1，4]，使成立，即存在x∈[1，4]，使成立，
令，x∈[1，4]，变形得，
因为x∈[1，4]，
所以，
所以当，即x＝4时，，
所以．
故选：D．
10．设函数y＝f（x）在区间D上的导函数为f′（x），且f′（x）在D上存在导函数f″（x）（其中f″（x）＝[f′（x）]′）．定义：若区间D上f″（x）＞0恒成立，则称函数f（x）在区间D上为凹函数．
（1）判断函数在区间（0，+∞）上是否为凹函数？并说明理由；
（2）是否存在实数a，使得函数在区间（0，+∞）上为凹函数？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设k∈Z且k＞0，对于任意的x∈（0，+∞），不等式成立，求k的最大值．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）存在，；
（3）3．
【解答】解：（1）∵，∴
∵x＞0时，f″（x）＞0，
∴函数在区间（0，+∞）上是凹函数．
（2）∵，
∴，
若g（x）在区间（0，+∞）上为凹函数，
则g″（x）＝2ae2x﹣lnx+lna＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴，即在（0，+∞）上恒成立，
∴在（0，+∞）上恒成立，
当时，显然成立，下面讨论的情况，
令h（x）＝xex（x＞0），则h′（x）＝（x+1）ex，
∵x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
由，得，∴，即，
即x＞0时，恒成立，
设，则，
当时，φ′（x）＞0，当时，φ′（x）＜0，
所以φ（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，
故存在实数a，使得g（x）在区间（0，+∞）上为凹函数，a的取值范围为；
（3）∵x∈（0，+∞），∴，
令，则，
令G（x）＝x﹣ln（x+1）﹣1，则，
当x∈（0，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
又∵G（2）＝1﹣ln3＜0，G（3）＝2﹣ln4＞0，
∴存在x0∈（2，3），使G（x0）＝x0﹣ln（x0+1）﹣1＝0，
∴当x∈（0，x0）时，G（x）＜0，F′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，F′（x）＞0，
故F（x）在区间（0，x0）上单调递减，F（x）在区间（x0，+∞）上单调递增，
∴当x∈（0，+∞）时，F（x）的最小值为，
由G（x0）＝x0﹣ln（x0+1）﹣1＝0，有ln（x0+1）＝x0﹣1，∴，
∵x0∈（2，3），∴F（x0）∈（3，4），又∵恒成立，∴k＜F（x0），
∵k∈Z且k＞0，∴k的最大值为3．
▉题型4 函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
【解题方法点拨】
这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．
11．三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0，d＜0
C．a＞0，b＜0，c＜0，d＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0，d＜0
【答案】D
【解答】解：由f（x）＝ax3+bx2+cx+d，结合图象可知，f（0）＝d＜0，故A错误；
f′（x）＝3ax2+2bx+c，由图可知，函数f（x）有异号两个极值点x1，x2，且x1＜﹣2＜0＜x2＜2，
函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，
由﹣2∈（x1，x2），2∈（x2，+∞），得，得b＞0，故C错误；
由不等式3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），得3a＞0，即a＞0，故B错误；
又x1，x2是方程3ax2+2bx+c＝0的二根，，则c＜0，
综上可知D正确．
故选：D．
12．已知函数f（x）和g（x）的导函数f′（x），g′（x）图象分别如图所示，则关于函数y＝g（x）﹣f（x）的判断正确的是（　　）
A．有3个极大值点
B．有3个极小值点
C．有1个极大值点和2个极小值点
D．有2个极大值点和1个极小值点
【答案】D
【解答】解：结合函数图象可知，当x＜a时，f′（x）＜g′（x），此时y′＝g′（x）﹣f′（x）＞0，函数单调递增，
当a＜x＜0时，f′（x）＞g′（x），此时y′＝g′（x）﹣f′（x）＜0，函数单调递减，
当0＜x＜b时，f′（x）＜g′（x），此时y′＝g′（x）﹣f′（x）＞0，函数单调递增，
当x＞b时，f′（x）＞g′（x），此时y′＝g′（x）﹣f′（x）＜0，函数单调递减，
故函数在x＝a，x＝b处取得极大值，在x＝0处取得极小值．
故选：D．
13．函数f（x）＝x3﹣ax2﹣bx+a2在x＝1处有极值10，则点（a，b）为（　　）
A．（3，﹣3） B．（﹣4，11）
C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在
【答案】B
【解答】解：对函数f（x）求导得 f′（x）＝3x2﹣2ax﹣b，
又∵在x＝1时f（x）有极值10，
∴，
解得 或 ，
验证知，当a＝3，b＝﹣3时，在x＝1无极值，
故选：B．
▉题型5 利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．
﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．
14．若函数f（x）＝x2lnx﹣ax2+（2a﹣1）x在x＝1处取得极大值，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C． D．
【答案】D
【解答】解：对函数f（x）＝x2lnx﹣ax2+（2a﹣1）x求导，
所以f'（x）＝2xlnx+x﹣2ax+2a﹣1．
把x＝1代入f'（x），ln1＝0，得f'（1）＝0．
设g（x）＝f'（x），对g（x）求导得g'（x）＝2lnx+3﹣2a．
当a时：x＝1时，g'（1）＝3﹣2a≥0，g（x）单调递增．
此时x∈（0，1），g（x）＜g（1）＝0，f（x）递减；
x∈（1，+∞），g（x）＞g（1）＝0，f（x）递增，x＝1是极小值点，不符合．
当a时：令g'（x）＝2lnx+3﹣2a＝0，解得x．
，g'（x）＞0，g（x）递增；
x，g'（x）＜0，g（x）递减．
因为，所以，f'（x）在x＝1两侧左正右负，f（x）在x＝1处取极大值．
综上，实数a的取值范围是a．
故选：D．
（多选）15．函数f（x）＝x3+（a﹣1）x+a（a∈R），则（　　）
A．当a＝0时，f（x）在处取得极大值
B．当a＝﹣2时，若f（x）在[﹣2，m）上有最大值，则实数m的取值范围为（﹣1，2]
C．若f（x）有3个零点，则所有零点之和为0
D．当﹣1＜a＜0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增
【答案】BCD
【解答】解：对于A选项，a＝0时，f（x）＝x3﹣x，定义域为R，
f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＝0得，
令f′（x）＞0得或，令f′（x）＜0得，
故f（x）＝x3﹣x在，上单调递增，在上单调递减，
因此f（x）在处取得极小值，因此A选项错误；
对于B选项，当a＝﹣2时，f（x）＝x3﹣3x﹣2，定义域为R，
f′（x）＝3x2﹣3，令f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0得﹣1＜x＜1，
故f（x）＝x3﹣3x﹣2在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，
其中f（﹣1）＝﹣1+3﹣2＝0，令x3﹣3x﹣2＝0得x＝2或﹣1，
即除了f（﹣1）＝0外，只有f（2）＝0，
若f（x）在[﹣2，m）上有最大值，则实数m的取值范围为（﹣1，2]，因此B选项正确；
对于C选项，f（x）＝x3+（a﹣1）x+a，定义域为R，f′（x）＝3x2+a﹣1，
当a≥1时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在R上单调递增，不满足有3个零点，
当a＜1时，令f′（x）＞0得或，
令f′（x）＜0得，
故f（x）在，上单调递增，在上单调递减，
要想f（x）有3个零点，
则需满足，
化简可得4（1﹣a）3＞27a2，令h（a）＝4（1﹣a）3﹣27a2，a＜1，显然，
h′（a）＝﹣12（1﹣a）2﹣54a＝﹣6（2a+1）（a+2），
令h′（a）＞0得，令h′（a）＜0得或a＜﹣2，
故h（a）＝4（1﹣a）3﹣27a2在（﹣∞，﹣2），上单调递减，在上单调递增，
其中h（﹣2）＝0，，
故4（1﹣a）3＞27a2的解集为且a≠﹣2，
设3个零点分别为m，n，t，
设f（x）＝（x﹣m）（x﹣n）（x﹣t）＝x3﹣（m+n+t）x2+（mn+mt+nt）x﹣mnt，
则x3+（a﹣1）x+a＝x3﹣（m+n+t）x2+（mn+mt+nt）x﹣mnt，
故m+n+t＝0，则所有零点之和为0，因此C选项正确；
对于D选项，当﹣1＜a＜0时，f（x）在，上单调递增，在上单调递减，
其中，故，
故f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增，因此D选项正确．
故选：BCD．
16．若是函数f（x）＝sinπx+acosπx的一个极大值点，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为f（x）＝sinπx+acosπx，所以f′（x）＝πcosπx﹣πasinπx，
因为是函数f（x）＝sinπx+acosπx的一个极大值点，
所以0，
所以，得，
则f（）＝f（1）．
故答案为：．
17．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1，g（x）＝ln（x+2）﹣x﹣1（e为自然对数的底数，a∈R），函数f（x）的极值点为0．
（1）求a的值；
（2）证明：对 x∈（﹣2，+∞），f（x）＞g（x）；
（3）已知数列{an}的前n项和，证明：．
【答案】（1）a＝1；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）由f（x）＝ex﹣ax﹣1，得f′（x）＝ex﹣a，
因为函数f（x）的极值点为0，所以f′（0）＝e0﹣a＝0，解得a＝1．
若a＝1，f′（x）＝ex﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以0是函数f（x）的极值点，符合题意．
综上，a＝1．
（2）证明：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣x﹣1﹣[ln（x+2）﹣x﹣1]＝ex﹣ln（x+2），x∈（﹣2，+∞），则．
易知h′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，，
所以 x0∈（﹣1，0），使得h′（x0）＝0．
当﹣2＜x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）的极小值为h（x0），也是h（x）的最小值．
由h′（x0）＝0，得，且x0∈（﹣1，0），
所以，
当且仅当x0＝﹣1时等号成立，但x0∈（﹣1，0），所以等号不成立，即h（x0）＞0．
所以h（x）≥h（x0）＞0，即f（x）＞g（x）．
（3）证明：当n≥2时，，
当n＝1时，a1＝S1＝ln2，满足上式，
所以．
由（2）知对 x∈（﹣2，+∞），f（x）＞g（x），即ex＞ln（x+2），
取，则，所以，即．
所以．
▉题型6 由函数的极值求解函数或参数
【知识点的认识】
1、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
【解题方法点拨】
﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数．
﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数．
﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
18．已知f（x）＝（ax﹣a﹣1）ex+x，若0是f（x）的极小值点，则a的取值范围为（　　）
A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）
【答案】B
【解答】解：由题意，f′（x）＝aex+（ax﹣a﹣1）ex+1＝（ax﹣1）ex+1，
若0是f（x）的极小值点，
则x＝0的左侧，f′（x）＜0，在x＝0的右侧，f′（x）＞0，
令g（x）＝f′（x）＝（ax﹣1）ex+1，则g（0）＝0，
g′（x）＝（ax+a﹣1）ex，g′（0）＝a﹣1，
要使0是f（x）的极小值点，则g′（0）＞0，即a﹣1＞0，a＞1，
即a的取值范围为（1，+∞）．
故选：B．
19．若m∈R，函数有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）．
对f（x）求导，可得．
因为函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
所以方程x2﹣x+m＝0在（0，+∞）上有两个不同的正实根．
对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），这里a＝1，b＝﹣1，c＝m，其判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4m＞0，即1﹣4m＞0，解得．
由韦达定理得，x1x2m，
且0＜x1＜x2，又x1+x2＝1，则0．
将x1＝1﹣x2代入x1x2＝m，可得m＝（1﹣x2）x2．
，
设g（x）＝x2﹣x3，x，
对g（x）求导，g'（x）＝2x﹣3x2＝x（2﹣3x）．
令g'（x）＝0，即x（2﹣3x）＝0，解得x＝0或，
当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．
所以g（x）在处取得最大值为．
故选：B．
20．若函数f（x）＝x3﹣2x2+ax+3无极值，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2﹣4x+a，
∵函数f（x）＝x3﹣2x2+ax+3无极值，∴f′（x）≥0在R上恒成立，
即3x2﹣4x+a≥0恒成立，
∴Δ＝（﹣4）2﹣12a≤0，解得，
即实数a的取值范围是．
故选：D．
21．已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值2，则a﹣b＝（　　）
A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：因为f（x）＝ax2+blnx，x＞0，
所以f′（x）＝2ax，
因为函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值2，
所以，即，解得a＝2，b＝﹣4，
则f′（x）＝4x，x＞0，
所以当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极小值，
所以a＝2，b＝﹣4，a﹣b＝6．
故选：B．
▉题型7 利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．
﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．
22．已知函数f（x）＝xeax+a（1﹣e）x﹣（e﹣1）lnx﹣1恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：令f（x）＝0，得xeax+a（1﹣e）x﹣（e﹣1）lnx﹣1＝0，即eax+lnx+（1﹣e）（lnx+ax）﹣1＝0，
令ax+lnx＝t，则et+（1﹣e）t﹣1＝0，
令h（x）＝ex+（1﹣e）x﹣1，则h′（x）＝ex+1﹣e．
令h′（x）＞0，可得x＞ln（e﹣1），令h′（x）＜0，可得x＜ln（e﹣1），
∴h（x）在（﹣∞，ln（e﹣1））上单调递减，在（ln（e﹣1），+∞）上单调递增，
又0＜ln（e﹣1）＜1，h（0）＝h（1）＝0，则h（x）＝0有且只有两个根，分别为0，1．
当a≥0时，函数f（x）恰有2个零点等价于y＝ax+lnx的图象与直线y＝0和y＝1共有2个交点．
令p（x）＝lnx+ax，则，则p（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
又x→0，p（x）→﹣∞，x→+∞，p（x）→+∞，即p（x）∈R，则y＝ax+lnx的图象与直线y＝0和y＝1各有1个交点，符合题意．
当a＜0时，函数f（x）恰有2个零点，等价于函数y＝lnx的图象与直线y＝﹣ax，y＝1﹣ax的图象共有2个交点，
如图1，当y＝﹣ax与y＝lnx相切，设对应切点为（x3，y3），∵，
则相应切线方程为，则，解得；
如图2，当y＝1﹣ax与y＝lnx相切，设对应切点为（x4，y4），
则相应切线方程为lnx4﹣1＝1﹣ax，则，解得a，
则．
综上，．
故选：D．
23．若存在x∈（0，+∞），使得成立，则实数a的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．e
【答案】B
【解答】解：原不等式等价于xex﹣（x+lnx）≤a，即ex+lnx﹣（x+lnx）≤a．
令y＝x+lnx，由x∈（0，+∞）可知，
y＝x+lnx在（0，+∞）上为增函数，
lnx∈（﹣∞，+∞），x∈（0，+∞），因此y＝x+lnx∈（﹣∞，+∞），
令g（x）＝ex﹣x，x∈（﹣∞，+∞），因此g′（x）＝ex﹣1，
当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，
因此函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，因此g（x）≥g（0）＝1，
因此结合题意可知a≥1，即实数a的最小值为1．
故选：B．
24．函数在[0，3]上的最大值为4，则m的值为（　　）
A．7 B． C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：由题意，f′（x）＝x2﹣4，x∈[0，3]，
当x∈[0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∵f（0）＝m，，m＞m﹣3，
∴f（x）在x＝0处取得最大值为f（0）＝m，即m＝4，
故选：D．
25．函数f（x）＝ex﹣ex的最小值为（　　）
A．﹣e B．﹣1 C．0 D．1
【答案】C
【解答】解：函数f（x）＝ex﹣ex，则f′（x）＝ex﹣e，
令f′（x）＜0，则x＜1，令f′（x）＞0，则x＞1，
所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞），
所以f（x）min＝f（1）＝0．
故选：C．
26．设函数f（x）＝ex+1﹣kx﹣k（k∈R）．
（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；
（2）当k＝0时，若函数有唯一零点，求实数a的值；
（3）若对于 x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥x2，求实数k的取值范围．
【答案】（1）x+y＝0；
（2）a＝2；
（3）（﹣∞，e]．
【解答】解：（1）k＝2时，f（x）＝ex+1﹣2x﹣2，f（﹣1）＝e0+2﹣2＝1，
f′（x）＝ex+1﹣2，f′（﹣1）＝e0﹣2＝﹣1，
故y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0；
（2）当k＝0时，，定义域为R，
则，
，
所以g（﹣1+x）＝g（﹣1﹣x），故g（x）关于x＝﹣1对称，
函数有唯一零点，则有g（﹣1）＝0，
即，解得a＝2，
验证，当a＝2时，，
令u＝x+1，则，
因为定义域为R，且h（﹣u）＝h（u），
所以h（u）为偶函数，且h（0）＝0，
，
当u∈（0，2）时，，故h′（u）＞0恒成立，
当u≥2时，e2﹣e﹣2＞π，故恒成立，
故当u＞0时，h′（u）＞0，h（u）在u∈（0，+∞）上单调递增，故h（u）＞0，
当u＜0时，由对称性可知，h（u）＞0，
综上，此时h（u）有唯一零点0，所以有唯一零点，
所以a＝2；
（3）对于 x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥x2，
则ex+1﹣kx﹣k≥x2，即在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
令，x+1＝t∈（0，+∞），则，
则，
令r（t）＝et﹣t﹣1，t∈（0，+∞），则r′（t）＝et﹣1＞0在t∈（0，+∞）恒成立，
故r（t）＝et﹣t﹣1在t∈（0，+∞）上单调递增，故r（t）＞r（0）＝0，
令w′（t）＞0得t＞1，令w′（t）＜0得0＜t＜1，
所以w（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以w（t）min＝w（1）＝e，故k≤e，实数k的取值范围为（﹣∞，e]．
▉题型8 由函数的最值求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣最值分析：利用最值点的坐标和最值性质求解函数参数．
﹣参数求解：结合最值点和最值条件，利用最值信息求解函数的参数．
﹣应用：将最值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
27．已知函数有最大值﹣8，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣12
【答案】A
【解答】解：易知，且x∈（1，+∞）；
显然当a＝0时不合题意，
当a＞0时，若x∈（1，2），易知f′（x）＜0，此时函数f（x）在（1，2）上单调递减，
若x∈（2，+∞），易知f′（x）＞0，此时函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；
此时f（x）无最大值，不符合题意；
当a＜0时，若x∈（1，2），易知f′（x）＞0，此时函数f（x）在（1，2）上单调递增，
若x∈（2，+∞），易知f′（x）＜0，此时函数f（x）在（2，+∞）上单调递减；
所以f（x）在x＝2处取得极大值，也是最大值，即f（2）＝4a＝﹣8，
解得a＝﹣2，符合题意；
综上可知，a＝﹣2．
故选：A．
28．函数f（x）＝x2+（a﹣1）x﹣3lnx在（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：，
设g（x）＝2x2+（a﹣1）x﹣3，因为Δ＝（a﹣1）2+24＞0，因此g（x）＝0有两个不同实根，
又g（0）＝﹣3＜0，因此g（x）＝0两根一正一负，
由题意正根在（1，2）内，
所以，解得．
故选：A．
29．若函数在区间（2m﹣2，3+m）上存在最值，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＜﹣1或m＞2
【答案】C
【解答】解：由题意可得，f'（x）＝（x﹣2）ex+x﹣2＝（x﹣2）（ex+1），
则当x＞2时，f'（x）＞0，当x＜2时，f'（x）＜0，
即f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
即f（x）在x＝2处取得最值，则有 2m﹣2＜2＜3+m，解得﹣1＜m＜2．
故选：C．
30．已知函数的最小值为1，则a＝（　　）
A． B．e C． D．1
【答案】D
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
，
当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）内恒成立，
所以函数f（x）在（0，+∞）内为增函数，
此时f（x）无最小值，
当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞a，由f′（x）＜0，得0＜x＜a，
所以函数f（x）在（0，a）内为减函数，在（a，+∞）内为增函数，
故当x＝a时，f（x）取最小值，
即f（x）min＝f（a）＝lna+1＝1，故a＝1．
故选：D．
31．若函数在区间（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，1） B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由，若函数f（x）在区间（1，2）内有最小值．此时函数f（x）必定存在极值点，
由Δ＝a2+4＞0，设x1，x2为一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0的两根，有，
故只需要1＜x2＜2即可，
令g（x）＝x2﹣ax﹣1，有，解得．
故选：C．
▉题型9 利用导数求解曲线在某点上的切线方程
【知识点的认识】
曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．
﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．
32．函数图象上一点P到直线的最短距离为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设与直线平行的切线切f（x）于点（t，），
则f′（t），所以t＝1，
所以切点为（1，0），
所以所求距离的最小值为．
故选：C．
33．曲线y＝xlnx在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】D
【解答】解：由y＝xlnx，得y′＝lnx+1，
则y′|x＝1＝1，又当x＝1时，y＝0，
∴曲线y＝xlnx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，
取x＝0，得y＝﹣1，取y＝0，得x＝1．
∴曲线y＝xlnx在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．
故选：D．
34．已知函数f（x）＝x3﹣3x，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（　　）
A．9x﹣y﹣16＝0 B．9x+y﹣18＝0 C．6x﹣y﹣10＝0 D．6x+y﹣14＝0
【答案】A
【解答】解：由题意知，f（2）＝2，f′（x）＝3x2﹣3，
所以f′（2）＝9，所以曲线y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y﹣2＝9（x﹣2），
即9x﹣y﹣16＝0．
故选：A．
35．若直线l与函数f（x）＝ex﹣2（x＞1）和g（x）＝lnx的图象分别相切于点A，B，则|AB|＝（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为f（x）＝ex﹣2与g（x）＝lnx的导数分别为：
f′（x）＝ex﹣2与g′（x），
设A（m，em﹣2），B（n，lnn），m＞1，
则根据题意可得，
所以m﹣2＝﹣lnn，所以m＝2﹣lnn，
所以，
所以n﹣1＝lnn（n﹣1），所以n＝1或n＝e，
当n＝e时，m＝2﹣lnn＝1不满足m＞1，
所以n＝1，m＝2，
所以A（2，1），B（1，0），
所以|AB|．
故选：C．
▉题型10 由函数的切线方程求解函数或参数
【知识点的认识】
通过函数的切线方程可以求解函数的具体参数或确定函数的特定值．
【解题方法点拨】
﹣切线方程：从切线方程中提取斜率和切点坐标．
﹣函数求解：结合切线方程和导数信息，求解函数的具体参数或值．
﹣应用：将切线方程与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
36．曲线y＝e2ax+1在点（0，2）处的切线与直线2x+y+1＝0垂直，则a等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为y＝f（x）＝e2ax+1，得f′（x）＝2ae2ax，
所以根据题意可得f′（2）＝2a，
所以．
故选：B．
37．若曲线f（x）＝lnx+x在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k+b的最小值为（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
【答案】D
【解答】解：f（x0）＝lnx0+x0，因为切点在直线上，所以lnx0+x0＝kx0+b ①，
，结合导数的几何意义有 ②，
因为x0＞0，所以k＞1，
联立①②消去x0得b＝﹣1﹣ln（k﹣1），所以k+b＝k﹣1﹣ln（k﹣1），（k＞1），
令g（x）＝x﹣1﹣ln（x﹣1），则，
令g′（x）＞0，解得x＞2；令g′（x）＜0，解得1＜x＜2，
所以g（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
因此g（x）min＝g（2）＝1，故k+b的最小值为 1．
故选：D．
▉题型11 不等式恒成立的问题
【知识点的认识】
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一段取值范围内所有值都成立的情形，我们将这样的情形称为不等式恒成立问题．
【解题方法点拨】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常需要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值；从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况．若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立问题与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒成立，可根据以下原则进行求解：
（1） x∈D，m≤f（x） m≤f（x）min；
（2） x∈D，m≥f（x） m≥f（x）max．
38． x∈R，不等式mx2﹣（2+mn）x+2n≥0恒成立，则9m+n的最小值为（　　）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由于 x∈R，mx2﹣（2+mn）x+2n≥0恒成立，
当m＝0时，﹣2x+2n≥0不恒成立，不合题意；
当m≠0时，满足m＞0且根的判别式Δ＝（2+mn）2﹣4m×2n≤0，
所以可得（2+mn）2﹣4m×2n＝（2﹣mn）2≤0，因此2﹣mn＝0，因此可得mn＝2，
因此n＞0，m＞0，，
当且仅当9m＝n，即，取9m+n的最小值为．
故选：B．
39．若不等式bx+1≤ex﹣ax2对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a﹣b的可能取值为（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：由bx+1≤ex﹣ax2，可得ax2+bx+1≤ex，
令f（x）＝ax2+bx+1，g（x）＝ex，
当a≠0时，f（x）恒过点（0，1），为使ax2+bx+1≤ex，对一切x∈R恒成立，
需f（x）＝ax2+bx+1开口向下，且在点（0，1）处与g（x）＝ex有公切线即可，
故，此时a﹣b＜﹣1；
当a＝0时，f（x）＝ax2+bx+1＝bx+1，此时，直线f（x）恒过点（0，1），
故只需直线f（x）＝bx+1为g（x）＝ex在点（0，1）处的切线即可，b＝g′（0）＝1，此时a﹣b＝﹣1．
综上，a﹣b的取值范围是（﹣∞，﹣1]，
所以a﹣b的可能取值为﹣2．
故选：A．
（多选）40．设函数，对任意的x1，x2∈（0，+∞），不等式（k为正数）恒成立的充分不必要条件是（　　）
A． B．[1，+∞） C．[1，2] D．[2，4）
【答案】CD
【解答】解：当x＞0时，，
当且仅当，即时取等号，
所以当x∈（0，+∞）时，函数f（x）有最小值2e，
由，可得，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
当x＝1时，函数g（x）有最大值，
又因为恒成立且k＞0，所以，
解得k≥1，所以k的取值范围为[1，+∞），
所以是不等式（k为正数）恒成立的必要不充分条件，
[1，+∞）是不等式（k为正数）恒成立的充分必要条件，
[1，2]是不等式（k为正数）恒成立的充分不必要条件，
[2，4）是不等式（k为正数）恒成立的充分不必要条件．
故选：CD．
41．若ex+x﹣1≥2ax+ln（2ax+1）恒成立，则实数a＝ 　　 ．
【答案】
【解答】解：ex+x﹣1≥2ax+ln（2ax+1），即ex+x≥2ax+1+ln（2ax+1），即ex+x≥eln（2ax+1）+ln（2ax+1），
设f（x）＝ex+x，则f（x）≥f（ln（2ax+1）），
又f′（x）＝ex+1＞0，则f（x）在R上单调递增，
可得x≥ln（2ax+1）恒成立，即ex≥2ax+1恒成立，
又ex≥x+1当且仅当x＝0时等号成立，
则2a＝1，解得．
故答案为：．
42．已知不等式x≤aex+b对任意x∈R恒成立（a，b∈R），则的最小值为　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：令f（x）＝aex+b﹣x，
因为不等式x≤aex+b对任意x∈R恒成立，所以f（x）≥0恒成立，
求导得f′（x）＝aex﹣1，当a≤0时，f（b+1）＝aeb+1﹣1＜0，不符合题意，舍去；
当a＞0时，由f′（x）＝0，得x＝﹣lna，
当x＜﹣lna时，f′（x）＜0，当x＞﹣lna时，f′（x）＞0，
则f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减，在（﹣lna，+∞）上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（﹣lna）＝ae﹣lna+b+lna≥0，即1+b+lna≥0，则b≥﹣lna﹣1，所以．
令，则，
所以当a＞1时，g′（a）＞0，当0＜a＜1时，g′（a）＜0，
所以g（a）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
故g（a）min＝g（1）＝﹣1，故的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
43．已知函数f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ln（x+2）﹣a，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：f′（x）＞g（x）恒成立；
（Ⅲ）证明：．
【答案】（1）y＝1；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）当a＝1时，可得f（x）＝ex﹣x，所以f'（x）＝ex﹣1；
可得f'（0）＝e0﹣1＝0又f（0）＝e0＝1，所以f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝0（x﹣0），即y＝1；
（2）证明：易知f'（x）＝ex﹣a，要证明f'（x）＞g（x），可得ex＞ln（x+2）构造函数y＝ex﹣x﹣1，
可得y＝ex﹣1，可知当x∈（0，+∞）时，y＞0，即函数y＝ex﹣x﹣1在（0，+∞）上单调递增；
当x∈（﹣∞，0）时，y＜0，即函数y＝ex﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减；
因此函数y＝ex﹣x﹣在x＝0处取得极小值，也是最小值，即可得y＝ex﹣x﹣1≥0恒成立，即ex≥x+1；
当且仅当x＝0时，等号成立；下面证明x+1≥ln（x+2），x∈（﹣2，+∞），
令y＝x+1﹣ln（x+2），x∈（﹣2，+∞），所以，易知当x∈（﹣1，+∞）时，y＞0，
即函数y＝x+1﹣ln（x+2）在（﹣1，+∞）上单调递增；当x∈（﹣2，﹣1）时，y＜0，
即函数y＝x+1﹣ln（x+2）在x∈（﹣2，﹣1）上单调递减；
因此函数y＝x+1﹣ln（x+2）在x＝﹣1处取得极小值，也是最小值，即可得y＝x+1﹣ln（x+2）≥0恒成立，
即x+1≥ln（x+2）；当且仅当x＝﹣1时等号成立，综上可得，ex≥x+1，x+1≥ln（x+2）恒成立，
但等号不在同一点处取得，所以ex＞ln（x+2），即f'（x）＞g（x）；
（3）证明：由（2）中结论ex＞ln（x+2）可知l（1+x）＜ex﹣1；
所以，因此，
可知：
，
所以．第5章第3节 导数的应用
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 题型4 函数在某点取得极值的条件
题型5 利用导数求解函数的极值 题型6 由函数的极值求解函数或参数
题型7 利用导数求解函数的最值 题型8 由函数的最值求解函数或参数（导数法）
题型9 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 题型10 由函数的切线方程求解函数或参数
题型11 不等式恒成立的问题
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
1．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足xf'（x）+f（x）＞0，则不等式x2f（x2）﹣f（1）＜0的解集为（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，1） D．（﹣1，+∞）
2．已知曲线y＝ex﹣1与曲线y＝alnx+a（a＞0）只有一个公共点，则a＝（　　）
A． B．1 C．e D．e2
3．若正实数a，b满足，则（　　）
A．a＞2b B．a＜2b C．a+b＜2 D．a+b＞2
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
4．若，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
5．若函数f（x）＝x﹣tlnx在[2，+∞）上单调递增，则t的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，2] D．（0，2]
6．函数f（x）的图象如图所示，设f（x）的导函数为f'（x），则的解集为（　　）
A．（1，6） B．（1，4）
C．（﹣∞，1）∪（6，+∞） D．（1，4）∪（6，+∞）
7．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[1，2]上存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
▉题型3 由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
8．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C． D．
9．若函数在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C． D．
10．设函数y＝f（x）在区间D上的导函数为f′（x），且f′（x）在D上存在导函数f″（x）（其中f″（x）＝[f′（x）]′）．定义：若区间D上f″（x）＞0恒成立，则称函数f（x）在区间D上为凹函数．
（1）判断函数在区间（0，+∞）上是否为凹函数？并说明理由；
（2）是否存在实数a，使得函数在区间（0，+∞）上为凹函数？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设k∈Z且k＞0，对于任意的x∈（0，+∞），不等式成立，求k的最大值．
▉题型4 函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
【解题方法点拨】
这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．
11．三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0，d＜0
C．a＞0，b＜0，c＜0，d＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0，d＜0
12．已知函数f（x）和g（x）的导函数f′（x），g′（x）图象分别如图所示，则关于函数y＝g（x）﹣f（x）的判断正确的是（　　）
A．有3个极大值点
B．有3个极小值点
C．有1个极大值点和2个极小值点
D．有2个极大值点和1个极小值点
13．函数f（x）＝x3﹣ax2﹣bx+a2在x＝1处有极值10，则点（a，b）为（　　）
A．（3，﹣3） B．（﹣4，11）
C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在
▉题型5 利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．
﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．
14．若函数f（x）＝x2lnx﹣ax2+（2a﹣1）x在x＝1处取得极大值，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C． D．
（多选）15．函数f（x）＝x3+（a﹣1）x+a（a∈R），则（　　）
A．当a＝0时，f（x）在处取得极大值
B．当a＝﹣2时，若f（x）在[﹣2，m）上有最大值，则实数m的取值范围为（﹣1，2]
C．若f（x）有3个零点，则所有零点之和为0
D．当﹣1＜a＜0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增
16．若是函数f（x）＝sinπx+acosπx的一个极大值点，则 　　 ．
17．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1，g（x）＝ln（x+2）﹣x﹣1（e为自然对数的底数，a∈R），函数f（x）的极值点为0．
（1）求a的值；
（2）证明：对 x∈（﹣2，+∞），f（x）＞g（x）；
（3）已知数列{an}的前n项和，证明：．
▉题型6 由函数的极值求解函数或参数
【知识点的认识】
1、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
【解题方法点拨】
﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数．
﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数．
﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
18．已知f（x）＝（ax﹣a﹣1）ex+x，若0是f（x）的极小值点，则a的取值范围为（　　）
A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）
19．若m∈R，函数有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
20．若函数f（x）＝x3﹣2x2+ax+3无极值，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
21．已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值2，则a﹣b＝（　　）
A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣2
▉题型7 利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．
﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．
22．已知函数f（x）＝xeax+a（1﹣e）x﹣（e﹣1）lnx﹣1恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
23．若存在x∈（0，+∞），使得成立，则实数a的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．e
24．函数在[0，3]上的最大值为4，则m的值为（　　）
A．7 B． C．3 D．4
25．函数f（x）＝ex﹣ex的最小值为（　　）
A．﹣e B．﹣1 C．0 D．1
26．设函数f（x）＝ex+1﹣kx﹣k（k∈R）．
（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；
（2）当k＝0时，若函数有唯一零点，求实数a的值；
（3）若对于 x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥x2，求实数k的取值范围．
▉题型8 由函数的最值求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣最值分析：利用最值点的坐标和最值性质求解函数参数．
﹣参数求解：结合最值点和最值条件，利用最值信息求解函数的参数．
﹣应用：将最值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
27．已知函数有最大值﹣8，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣12
28．函数f（x）＝x2+（a﹣1）x﹣3lnx在（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
29．若函数在区间（2m﹣2，3+m）上存在最值，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＜﹣1或m＞2
30．已知函数的最小值为1，则a＝（　　）
A． B．e C． D．1
31．若函数在区间（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，1） B． C． D．
▉题型9 利用导数求解曲线在某点上的切线方程
【知识点的认识】
曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．
﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．
32．函数图象上一点P到直线的最短距离为（　　）
A． B．
C． D．
33．曲线y＝xlnx在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
34．已知函数f（x）＝x3﹣3x，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（　　）
A．9x﹣y﹣16＝0 B．9x+y﹣18＝0 C．6x﹣y﹣10＝0 D．6x+y﹣14＝0
35．若直线l与函数f（x）＝ex﹣2（x＞1）和g（x）＝lnx的图象分别相切于点A，B，则|AB|＝（　　）
A．2 B． C． D．
▉题型10 由函数的切线方程求解函数或参数
【知识点的认识】
通过函数的切线方程可以求解函数的具体参数或确定函数的特定值．
【解题方法点拨】
﹣切线方程：从切线方程中提取斜率和切点坐标．
﹣函数求解：结合切线方程和导数信息，求解函数的具体参数或值．
﹣应用：将切线方程与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
36．曲线y＝e2ax+1在点（0，2）处的切线与直线2x+y+1＝0垂直，则a等于（　　）
A． B． C． D．
37．若曲线f（x）＝lnx+x在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k+b的最小值为（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
▉题型11 不等式恒成立的问题
【知识点的认识】
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一段取值范围内所有值都成立的情形，我们将这样的情形称为不等式恒成立问题．
【解题方法点拨】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常需要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值；从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况．若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立问题与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒成立，可根据以下原则进行求解：
（1） x∈D，m≤f（x） m≤f（x）min；
（2） x∈D，m≥f（x） m≥f（x）max．
38． x∈R，不等式mx2﹣（2+mn）x+2n≥0恒成立，则9m+n的最小值为（　　）
A．6 B． C． D．
39．若不等式bx+1≤ex﹣ax2对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a﹣b的可能取值为（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．2
（多选）40．设函数，对任意的x1，x2∈（0，+∞），不等式（k为正数）恒成立的充分不必要条件是（　　）
A． B．[1，+∞） C．[1，2] D．[2，4）
41．若ex+x﹣1≥2ax+ln（2ax+1）恒成立，则实数a＝ 　　 ．
42．已知不等式x≤aex+b对任意x∈R恒成立（a，b∈R），则的最小值为　　 ．
43．已知函数f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ln（x+2）﹣a，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：f′（x）＞g（x）恒成立；
（Ⅲ）证明：．

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