资源简介

第6章第5节 二项式定理
题型1 二项展开式的通项与项的系数 题型2 二项式系数与二项式系数的和
题型3 二项式系数的性质 题型4 二项式定理的应用
▉题型1 二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为，其中为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接找到所需项．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握二项式定理的通项公式，并理解通项公式中各项的意义．
﹣在涉及系数计算时，确定通项中k的值，并代入公式计算系数．对于较复杂的问题，可以先确定项数，再代入计算．
﹣在应用中，可能需要对展开式进行逆运算，即通过已知某一项的系数或幂次，反推出通项公式中的参数．
1．的展开式中的常数项是（　　）
A．﹣20 B．20 C．120 D．﹣120
2．展开式中的常数项为（　　）
A．5 B．﹣5 C．80 D．﹣80
3．在（x2﹣2）5的展开式中，x4的系数为（　　）
A．﹣12 B．12 C．﹣80 D．80
4．二项式的展开式中的常数项为（　　）
A．480 B．240 C．120 D．15
5．的展开式中x3项的系数为（　　）
A．﹣55 B．64 C．﹣80 D．124
6．在的展开式中，x2的系数等于（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
7．的展开式中a3b3的系数为（　　）
A．﹣20 B．﹣60 C．80 D．100
8．在的展开式中，常数项为（　　）
A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160
9．若，则a1+a2+ +a2025＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．（1﹣x）3（1+x2）的展开式中，x2的系数为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
▉题型2 二项式系数与二项式系数的和
【知识点的认识】
﹣二项式系数是二项展开式中各项的系数，其性质包括对称性、递推关系以及系数和的计算．例如：系数和的性质．
﹣这些性质在二项式定理的扩展应用中有重要作用，特别是涉及系数和的计算与证明．
【解题方法点拨】
﹣掌握二项式系数的基本性质，并应用这些性质简化计算或证明问题．
﹣在涉及系数和的计算问题中，可以直接应用性质公式，或通过二项展开式的求和进行推导．
﹣对于较复杂的系数和问题，考虑使用递推公式或对称性来简化求解过程．
11．已知的展开式的二项式系数和为32，则其展开式中x项系数为（　　）
A．24 B．120 C．﹣120 D．﹣10
12．在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数和为（　　）
A．32 B．﹣32 C．0 D．1
（多选）13．关于（5﹣x）6的展开式，下列判断正确的是（　　）
A．展开式共有7项
B．展开式的各二项式系数的和为64
C．展开式的第6项的系数为30
D．展开式中二项式系数最大的项是第4项
（多选）14．已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（　　）
A．a＝﹣1
B．展开式中不含常数项
C．展开式中x3项系数为80
D．展开式中各项系数绝对值的和为243
15．已知二项式．
（1）求的值；
（2）求（a0+a2+a4+a6）（a1+a3+a5+a7）的值（结果可保留幂的形式）．
▉题型3 二项式系数的性质
【知识点的认识】
﹣二项式系数具有多种性质，如对称性、递推关系（帕斯卡三角形）以及生成函数．理解这些性质对于复杂二项式展开的求解与证明至关重要．
﹣特别地，二项式系数的对称性和递推关系是常用的基本工具．
【解题方法点拨】
﹣熟练运用二项式系数的对称性和递推关系，特别是在复杂展开式或求和问题中，这些性质可以简化计算．
﹣在涉及多项式展开或二项式定理应用时，可以通过生成函数或其他工具进一步理解二项式系数的分布规律．
﹣对于证明问题，使用二项式系数的性质来构造证明路径，尤其是递推关系可以有效帮助推导复杂的等式．
16．（1﹣x）20的展开式中，二项式系数最大的项是第（　　）项．
A．9 B．10 C．11 D．12
17．若二项式（a+b）n的展开式中，第3项的二项式系数最大，则n的取值不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
18．已知（a+b）n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n＝（　　）
A．11 B．10 C．12 D．13
19．在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
20．已知，则a0+a2+a4+a6＝（　　）
A．364 B．365 C．728 D．730
21．“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40＝7；四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40＝15；四进制数1230转换为十进制数为1×43+2×42+3×41+0×40＝108；现将所有由1，2，3组成的4位（如：1231，3211）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为　　 ．
▉题型4 二项式定理的应用
【知识点的认识】
﹣二项式定理在多个数学领域中有广泛的应用，包括组合数学、概率论以及多项式理论．其应用场景包括展开式的简化、系数的计算、概率问题的求解等．
﹣二项式定理的灵活运用可以帮助解决多种复杂的数学问题，特别是在涉及大规模计算时．
【解题方法点拨】
﹣通过熟练掌握二项式定理及其扩展公式，在实际问题中灵活运用．如在组合问题中，使用二项式定理求解复杂排列组合的结果．
﹣在概率论中，通过二项式定理计算特定事件发生的概率，特别是涉及独立重复试验的情境．
﹣在多项式或代数式的处理上，二项式定理可用于展开简化，或逆向推导未知量．
22．在（1+x）n的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（　　）
A．16 B．14 C．15 D．17
23．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中x3的系数为（　　）
A．31 B．30 C．29 D．28
24．设（x+2）3+（x+2）4+（x+2）5+（x+2）6+…+（x+2）40＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a40（x+1）40，则a3的值为（　　）
A． B． C． D．
25．已知，若a1+a2+a3+ +an＝31，则自然数n＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
26．的展开式中含x3项的系数为（　　）
A．5291 B．5292 C．5293 D．5294
27．已知的二项展开式中，常数项为240，且只有第4项的二项式系数最大，则a＝（　　）
A．±2 B．±1 C．1 D．﹣2
28．若，其中a3＝80．
（1）求m的值；
（2）求．
29．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．第6章第5节 二项式定理
题型1 二项展开式的通项与项的系数 题型2 二项式系数与二项式系数的和
题型3 二项式系数的性质 题型4 二项式定理的应用
▉题型1 二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为，其中为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接找到所需项．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握二项式定理的通项公式，并理解通项公式中各项的意义．
﹣在涉及系数计算时，确定通项中k的值，并代入公式计算系数．对于较复杂的问题，可以先确定项数，再代入计算．
﹣在应用中，可能需要对展开式进行逆运算，即通过已知某一项的系数或幂次，反推出通项公式中的参数．
1．的展开式中的常数项是（　　）
A．﹣20 B．20 C．120 D．﹣120
【答案】A
【解答】解：的展开式中的通项公式为：，
令4r﹣12＝0，解得r＝3，
所以的展开式中的常数项是．
故选：A．
2．展开式中的常数项为（　　）
A．5 B．﹣5 C．80 D．﹣80
【答案】D
【解答】解：由题设，（2）5展开式通项为，r＝0，1，…，5，
当r＝1时，有T2＝（﹣1）1 25﹣1 80．
故选：D．
3．在（x2﹣2）5的展开式中，x4的系数为（　　）
A．﹣12 B．12 C．﹣80 D．80
【答案】C
【解答】解：在（x2﹣2）5的展开式中，x4的系数为（﹣2）3＝﹣80．
故选：C．
4．二项式的展开式中的常数项为（　　）
A．480 B．240 C．120 D．15
【答案】B
【解答】解：因为二项式的展开式的通项公式为，
得到常数项，令12﹣3r＝0，则r＝4．
则常数项为．
故选：B．
5．的展开式中x3项的系数为（　　）
A．﹣55 B．64 C．﹣80 D．124
【答案】C
【解答】解：展开式的通项为：，r∈N，r≤5，
令5﹣2r＝3，得r＝1，
因此展开式中x3项的系数为．
故选：C．
6．在的展开式中，x2的系数等于（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】D
【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1 （x2）4﹣r （）r＝2r x8﹣3r，
令8﹣3r＝2，解得r＝2．
故x2的系数等于：22 24．
故选：D．
7．的展开式中a3b3的系数为（　　）
A．﹣20 B．﹣60 C．80 D．100
【答案】A
【解答】解：因为，
又（a+2b）5展开式的通项为Tr+1 2r a5﹣r br，
当r＝2时，，
故，所以展开式中a3b3的系数为﹣20．
故选：A．
8．在的展开式中，常数项为（　　）
A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160
【答案】C
【解答】解：在的展开式中，通项公式为Tr+1 （﹣2）r x6﹣2r，
令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为T4 （﹣2）3＝﹣160，
故选：C．
9．若，则a1+a2+ +a2025＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：若，
令x＝0，得到（1+0）（1﹣0）2024＝a0＝1，
令x＝1，得到（1+1）（1﹣2）2024＝a0+a1+a2x+ +a2025＝2，
则a1+a2+ +a2025＝2﹣1＝1．
故选：C．
10．（1﹣x）3（1+x2）的展开式中，x2的系数为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】D
【解答】解：因为（1﹣x）3展开式中常数项为1，x2项的系数为3，
则x2的系数为1×1+3×1＝4．
故选：D．
▉题型2 二项式系数与二项式系数的和
【知识点的认识】
﹣二项式系数是二项展开式中各项的系数，其性质包括对称性、递推关系以及系数和的计算．例如：系数和的性质．
﹣这些性质在二项式定理的扩展应用中有重要作用，特别是涉及系数和的计算与证明．
【解题方法点拨】
﹣掌握二项式系数的基本性质，并应用这些性质简化计算或证明问题．
﹣在涉及系数和的计算问题中，可以直接应用性质公式，或通过二项展开式的求和进行推导．
﹣对于较复杂的系数和问题，考虑使用递推公式或对称性来简化求解过程．
11．已知的展开式的二项式系数和为32，则其展开式中x项系数为（　　）
A．24 B．120 C．﹣120 D．﹣10
【答案】D
【解答】解：根据题意，2n＝32，解得n＝5，则，
设x项为第r+1项，故其展开式为．
所以10﹣3r＝1，则r＝3，所以．
故选：D．
12．在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数和为（　　）
A．32 B．﹣32 C．0 D．1
【答案】A
【解答】解：由于所有的二项式系数之和为32，则2n＝32，解得n＝5；
令x＝1，解得所有项的系数和为25＝32．
故选：A．
（多选）13．关于（5﹣x）6的展开式，下列判断正确的是（　　）
A．展开式共有7项
B．展开式的各二项式系数的和为64
C．展开式的第6项的系数为30
D．展开式中二项式系数最大的项是第4项
【答案】ABD
【解答】解：关于（5﹣x）6的展开式，（r＝0，1，2，3，4，5，6），
对于A，展开式共有7项，故A正确；
对于B，展开式的各二项式系数的和为26＝64，故B正确；
对于C，展开式的第6项是，其系数为﹣30，故C错误；
对于D，展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确．
故选：ABD．
（多选）14．已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（　　）
A．a＝﹣1
B．展开式中不含常数项
C．展开式中x3项系数为80
D．展开式中各项系数绝对值的和为243
【答案】ABD
【解答】解：对于A：由题取x＝1，得（2+a）5＝1，解得a＝﹣1，A正确；
展开式的通项为，
对于B，5﹣2r＝0无整数解，因此展开式中不含常数项，B正确；
对于C，由5﹣2r＝3，得r＝1，因此展开式中x3项系数为，C错误；
对于D，展开式中各项系数绝对值的和，D正确．
故选：ABD．
15．已知二项式．
（1）求的值；
（2）求（a0+a2+a4+a6）（a1+a3+a5+a7）的值（结果可保留幂的形式）．
【答案】（1）0；
（2）．
【解答】解：（1）由二项式定理得，i＝0、1、2、 、7，
所以27（﹣2）×26（﹣2）2×25（﹣2）6×21（﹣2）7
0；
（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝（1﹣2）7＝﹣1，令x＝﹣1得a0﹣a1+a2﹣…﹣a7＝（1+2）7＝37．
解得a0+a2+a4+a6，a1+a3+a5+a7．
所以．
▉题型3 二项式系数的性质
【知识点的认识】
﹣二项式系数具有多种性质，如对称性、递推关系（帕斯卡三角形）以及生成函数．理解这些性质对于复杂二项式展开的求解与证明至关重要．
﹣特别地，二项式系数的对称性和递推关系是常用的基本工具．
【解题方法点拨】
﹣熟练运用二项式系数的对称性和递推关系，特别是在复杂展开式或求和问题中，这些性质可以简化计算．
﹣在涉及多项式展开或二项式定理应用时，可以通过生成函数或其他工具进一步理解二项式系数的分布规律．
﹣对于证明问题，使用二项式系数的性质来构造证明路径，尤其是递推关系可以有效帮助推导复杂的等式．
16．（1﹣x）20的展开式中，二项式系数最大的项是第（　　）项．
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解答】解：由二项式定理知其展开式有21项，
根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项．
故选：C．
17．若二项式（a+b）n的展开式中，第3项的二项式系数最大，则n的取值不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：因为二项式（a+b）n的展开式中，第3项的二项式系数最大，
即最大，
结合选项可知，n＝3，4，5都符合题意，
而当n＝6时，二项式系数最大的为．
故选：D．
18．已知（a+b）n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n＝（　　）
A．11 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【解答】解：∵只有第7项的二项式系数最大，
∴，
∴n＝12．
故选：C．
19．在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解答】解：∵（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，
∴，∴n＝6．
故选：C．
20．已知，则a0+a2+a4+a6＝（　　）
A．364 B．365 C．728 D．730
【答案】B
【解答】解：由题意，，
令x＝1，a0+a1+...+a6＝1①，
令x＝﹣1，a0﹣a1+...+a6＝729②，
①+②，2（a0+a2+a4+a6）＝730，
解得a0+a2+a4+a6＝365．
故选：B．
21．“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40＝7；四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40＝15；四进制数1230转换为十进制数为1×43+2×42+3×41+0×40＝108；现将所有由1，2，3组成的4位（如：1231，3211）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为　　 ．
【答案】
【解答】解：设a，b，c，d∈{1，2，3}，
则4位四进制数转换为十进制为：
a×43+b×42+c×4+d＝a×（1+3）3+b×（1+3）2+c×（1+3）+d，
若这个数能被3整除，则a+b+c+d能被3整除．
当这个四进制数由1，2，3，3组成时，有个；
当这个四进制数由1，1，2，2组成时，有个；
这个四进制数由1，1，1，3组成时，有个；
这个四进制数由2，2，2，3组成时，有个；
这个四进制数都由3组成时，有1个．
因为由1，2，3组成的4位四进制数共有34＝81个，
所以能被3整除的概率．
故答案为：．
▉题型4 二项式定理的应用
【知识点的认识】
﹣二项式定理在多个数学领域中有广泛的应用，包括组合数学、概率论以及多项式理论．其应用场景包括展开式的简化、系数的计算、概率问题的求解等．
﹣二项式定理的灵活运用可以帮助解决多种复杂的数学问题，特别是在涉及大规模计算时．
【解题方法点拨】
﹣通过熟练掌握二项式定理及其扩展公式，在实际问题中灵活运用．如在组合问题中，使用二项式定理求解复杂排列组合的结果．
﹣在概率论中，通过二项式定理计算特定事件发生的概率，特别是涉及独立重复试验的情境．
﹣在多项式或代数式的处理上，二项式定理可用于展开简化，或逆向推导未知量．
22．在（1+x）n的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（　　）
A．16 B．14 C．15 D．17
【答案】B
【解答】解：由题意可得，解得n＝14．
故选：B．
23．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中x3的系数为（　　）
A．31 B．30 C．29 D．28
【答案】C
【解答】解：令x＝1，可得展开式各项系数之和为（a﹣1）×26＝64，
得a＝2，
则展开式通项公式为Tr+1中x3的系数为，x2的系数为15，
则展开式中x3的系数为2×15+（﹣1）×1＝29．
故选：C．
24．设（x+2）3+（x+2）4+（x+2）5+（x+2）6+…+（x+2）40＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a40（x+1）40，则a3的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：（x+2）3+（x+2）4+（x+2）5+...+（x+2）40＝[（x+1）+1]3+[（x+1）+1]4+[（x+1）+1]5+...+[（x+1）+1]40，
所以．
故选：C．
25．已知，若a1+a2+a3+ +an＝31，则自然数n＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：，
令x＝0，得a0＝1，
令x＝1，得，
又a1+a2+a3+ +an＝31，
所以1+31＝2n n＝5．
故选：B．
26．的展开式中含x3项的系数为（　　）
A．5291 B．5292 C．5293 D．5294
【答案】B
【解答】解：
＝[1+（1+x）]9﹣（1+x）9＝（x+2）9﹣（x+1）9．
所以x3的系数为．
故选：B．
27．已知的二项展开式中，常数项为240，且只有第4项的二项式系数最大，则a＝（　　）
A．±2 B．±1 C．1 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：∵的二项展开式中，常数项为240，且只有第4项的二项式系数最大，
∴n为偶数，且，解得n＝6，
∴的二项展开式的通项为，
令，解得k＝2，
∴常数项为，解得a＝±1．
故选：B．
28．若，其中a3＝80．
（1）求m的值；
（2）求．
【答案】（1）m＝2；
（2）﹣243．
【解答】解：，其中a3＝80．
（1）易知展开式中含x3项为，
因此可得，即10m3＝80；
解得m＝2；
（2）由（1）可知，二项式为（1+2x）5，
令x＝1，可得；
令x＝﹣1，可得；
因此可得．
29．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】（1）2160；
（2）．
【解答】解：（1）由于所有项的二项式系数之和为64，
则2n＝64，解得n＝6，
所以展开式的通项公式为：．
令，解得k＝2，
所以该二项式的展开式中的常数项为．
（2）因为n＝6，
易知：展开式第四项二项式系数最大，
即，
所以展开式中二项式系数最大的项为．

展开更多......

收起↑