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第7章第1节 条件概率与相关公式
题型1 求解条件概率 题型2 条件概率乘法公式及应用
题型3 全概率公式 题型4 贝叶斯公式
▉题型1 求解条件概率
【知识点的认识】
﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．
﹣计算：其中P（B）＞0．
【解题方法点拨】
﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算．
1．已知某条线路上有A，B两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若A准点到站的概率为，在B准点到站的前提下A准点到站的概率为，在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
3．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．两批同种规格的产品，第一批占60%，次品率为5%，第二批占40%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．已知取到的是合格品，则它取自第一批产品的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件M为“2个骰子的点数不相同”，事件N为“点数之和大于8”，则在事件M发生的条件下，事件N发生的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”，“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 条件概率乘法公式及应用
【知识点的认识】
﹣条件概率乘法公式：．
【解题方法点拨】
﹣使用条件概率乘法公式计算交事件的概率，适用于涉及条件概率的复合事件问题．
7．已知P（A|B），P（B），则P（AB）＝（　　）
A． B． C． D．
8．已知P（B|A），P（AB），则P（A）等于（　　）
A． B． C． D．
9．若P（AB），P（B|A），则P（A）＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）10．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（　　）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
11．已知P（AB）＝0.6，P（B|A）＝0.8，则P（A）＝　　 ．
▉题型3 全概率公式
【知识点的认识】
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P（B）．
12．某疾病在人群中的患病率为5%，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为95%，阴性人群被检测为阳性的概率为10%，则一个人检测结果为阳性的概率为（　　）
A．10.25% B．14.25% C．48.26% D．57.35%
13．某学校有A，B两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去A餐厅，那么第2天还去A餐厅的概率为；如果某天去B餐厅，那么第2天还去B餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去A餐厅用餐的概率为（　　）
A． B． C． D．
14．某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为0.6，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（　　）
A．0.8 B．0.68 C．0.6 D．0.2
15．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　）
A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1
16．某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品A“的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为2：3，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（　　）
A． B． C． D．
17．学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为p；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．已知王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.5，则p的值为（　　）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
18．某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动．组织方准备了n（n≥3）个盲盒，其中有m（1≤m＜n﹣1）个盲盒内有奖品．抽奖规则为：抽奖者从这n个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖．抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为p1，抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为p2，则（　　）
A．p1＞p2
B．p1＝p2
C．p1＜p2
D．无法确定p1与p2的大小关系
▉题型4 贝叶斯公式
【知识点的认识】
贝叶斯公式：若事件A1，A2，…，构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个不为零的时间B，都有：
．
【解题方法点拨】
贝叶斯公式和全概率公式的联系：
（1）各原因下条件概率已知，用全概率公式求事件发生概率；
（2）事件已发生，求是某种原因造成的概率，用贝叶斯公式．
（多选）19．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为0.06，第2台车床加工的次品率为0.05，第3台车床加工的次品率为0.08，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，现从中任意选取1个零件，则（　　）
A．该零件是由第1台车床加工的次品的概率为0.06
B．该零件是次品的概率为0.066
C．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第2台车床加工的概率为
D．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第3台车床加工的概率为
（多选）20．甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则（　　）
A． B． C． D．第7章第1节 条件概率与相关公式
题型1 求解条件概率 题型2 条件概率乘法公式及应用
题型3 全概率公式 题型4 贝叶斯公式
▉题型1 求解条件概率
【知识点的认识】
﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．
﹣计算：其中P（B）＞0．
【解题方法点拨】
﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算．
1．已知某条线路上有A，B两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若A准点到站的概率为，在B准点到站的前提下A准点到站的概率为，在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，设在A准点到站为事件A，B准点到站为事件B，
则P（A），P（）＝1，P（A|B），P（|A），
若P（A），P（|A），则P（A）＝P（A）P（|A），
又由P（A），则P（AB）＝P（A）﹣P（A），
而P（A|B），即，变形可得P（B）．
故选：B．
2．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），，，，
则，解得，
故P（B|A）．
故选：A．
3．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，既有党员又有民主党派人士有种，
其中党员甲被选中有种，
所以在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为．
故选：C．
4．两批同种规格的产品，第一批占60%，次品率为5%，第二批占40%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．已知取到的是合格品，则它取自第一批产品的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设事件A为“取到合格品”，事件Bi为“取到的产品来自第i批”（i＝1，2），
由题意可知，P（B1）＝0.6，P（B2）＝0.4，P（A|B1）＝1﹣5%＝0.95，P（A|B2）＝1﹣4%＝0.96，
则P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）＝0.6×0.95+0.4×0.96＝0.954，
所以．
故选：C．
5．抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件M为“2个骰子的点数不相同”，事件N为“点数之和大于8”，则在事件M发生的条件下，事件N发生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：记事件M为“2个骰子的点数不相同”，事件N为“点数之和大于8”，
事件M包含的基本事件有30个，则，
事件MN包含的基本事件有8个，则，
所以．
故选：D．
6．甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”，“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，
两个家庭共有32＝9种选择，
则P（AB），
P（A）＝1，
则概率P（B|A）．
故选：A．
▉题型2 条件概率乘法公式及应用
【知识点的认识】
﹣条件概率乘法公式：．
【解题方法点拨】
﹣使用条件概率乘法公式计算交事件的概率，适用于涉及条件概率的复合事件问题．
7．已知P（A|B），P（B），则P（AB）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，，所以．
故选：C．
8．已知P（B|A），P（AB），则P（A）等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵P（B|A），P（AB），
∴P（A）．
故选：C．
9．若P（AB），P（B|A），则P（A）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵P（AB），P（B|A），
由条件概率公式可知：P（B|A），
则P（A）．
故选：C．
（多选）10．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（　　）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BD
【解答】解：记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，
则P（A|B1）＝6%，P（A|B2）＝P（A|B3）＝5%，
P（B1）＝25%，P（B2）＝30%，P（B3）＝45%，
对于选项A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为
P（AB1）＝6%×25%＝1.5%，故错误；
对于选项B，任取一个零件是次品的概率为
P（A）＝P（AB1）+P（AB2）+P（AB3）＝6%×25%+5%×75%＝5.25%，故正确；
对于选项C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
P（B2|A），故错误；
对于选项D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
P（B3|A），故正确；
故选：BD．
11．已知P（AB）＝0.6，P（B|A）＝0.8，则P（A）＝　0.75　 ．
【答案】0.75．
【解答】解：由条件概率的公式，得，
解得P（A）＝0.75．
故答案为：0.75．
▉题型3 全概率公式
【知识点的认识】
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P（B）．
12．某疾病在人群中的患病率为5%，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为95%，阴性人群被检测为阳性的概率为10%，则一个人检测结果为阳性的概率为（　　）
A．10.25% B．14.25% C．48.26% D．57.35%
【答案】B
【解答】解：用事件A表示一个人患此种疾病，用事件B表示检测结果为阳性，
根据题意可知，人群中的患病率为5%，被检测出（结果为阳性）的概率为95%，
阴性人群被检测为阳性的概率为10%，
则P（A）＝0.05，P（B|A）＝0.95，，
所以
＝0.05×0.95+0.95×0.10＝0.1425＝14.25%．
故选：B．
13．某学校有A，B两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去A餐厅，那么第2天还去A餐厅的概率为；如果某天去B餐厅，那么第2天还去B餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去A餐厅用餐的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设Ai表示事件：第i天去A餐厅，Bi表示事件：第i天去B餐厅，
则，，
则，
故P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）
，
P（B2）＝P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）
，
则P（A3）＝P（A2）P（A3|A2）+P（B2）P（A3|B2）
．
故选：B．
14．某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为0.6，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（　　）
A．0.8 B．0.68 C．0.6 D．0.2
【答案】B
【解答】解：根据题意，设该考试他知道正确答案为事件A，则P（A）＝0.6，P（）＝0.4；
那么他答对题目的概率P＝P（A）×1+P（）×0.2＝0.6+0.4×0.2＝0.68．
故选：B．
15．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　）
A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1
【答案】B
【解答】解：设购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的为事件Ai（i＝1，2，3），
则，
智驾出现故障为事件B，
则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
，
由贝叶斯公式得，
，
，
所以甲乙丙要承担的责任比为10：12：5．
故选：B．
16．某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品A“的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为2：3，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设事件A＝“该教师为男教师”，事件B＝“该教师为女教师”，事件C＝“该教师为点赞教师”，
参与活动的男、女教师总人数比例为2：3，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，
则，，
又∵，
∴．
故选：C．
17．学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为p；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．已知王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.5，则p的值为（　　）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】A
【解答】解：设事件Ai表示王同学第i天去A餐厅，i＝1，2，事件B表示第一天去B餐厅，
则王同学第一天去A餐厅的概率为，
又已知如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为P（A2|A1）＝p，
所以第一天去A餐厅且第二天去A餐厅的概率为：
，
同理，第一天去B餐厅的概率为．
已知如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为P（A2|B1）＝0.4，
所以可得第一天去B餐厅且第二天去A餐厅的概率为：
，
因为“第一天去A餐厅且第二天去A餐厅”与“第一天去B餐厅且第二天去A餐厅”
这两个事件是互斥的，
所以王同学第二天去A餐厅用餐的概率为：
，解得：p＝0.6．
故选：A．
18．某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动．组织方准备了n（n≥3）个盲盒，其中有m（1≤m＜n﹣1）个盲盒内有奖品．抽奖规则为：抽奖者从这n个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖．抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为p1，抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为p2，则（　　）
A．p1＞p2
B．p1＝p2
C．p1＜p2
D．无法确定p1与p2的大小关系
【答案】A
【解答】解：设事件A为“抽奖者甲中奖”，事件B为“甲先选中的盲盒有奖”，
则，
在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余n﹣2个盲盒中有m﹣1个奖品，
甲更换盲盒后，
若甲先选中的盲盒无奖，则剩余n﹣2个盲盒中有m个奖品，
则甲更换盲盒后，
故p1＝P（A）＝P（A|B）P（B）+P（A|）P（），
由于乙碰掉的盲盒无奖，故所有n﹣1个盲盒中有m个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，
所以，
因为，
所以p1＞p2．
故选：A．
▉题型4 贝叶斯公式
【知识点的认识】
贝叶斯公式：若事件A1，A2，…，构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个不为零的时间B，都有：
．
【解题方法点拨】
贝叶斯公式和全概率公式的联系：
（1）各原因下条件概率已知，用全概率公式求事件发生概率；
（2）事件已发生，求是某种原因造成的概率，用贝叶斯公式．
（多选）19．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为0.06，第2台车床加工的次品率为0.05，第3台车床加工的次品率为0.08，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，现从中任意选取1个零件，则（　　）
A．该零件是由第1台车床加工的次品的概率为0.06
B．该零件是次品的概率为0.066
C．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第2台车床加工的概率为
D．在取到的零件是次品的前提下，该零件是由第3台车床加工的概率为
【答案】BCD
【解答】解：有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为0.06，第2台车床加工的次品率为0.05，
第3台车床加工的次品率为0.08，加工出来的零件混放在一起．
第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，
对于A，记事件A为“零件由第i（i＝1，2，3）台车床加工”，记事件B为“零件为次品”，
则P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45，P（B|A1）＝0.06，
P（B|A2）＝0.05，P（B|A3）＝0.08．
由条件概率得该零件是由第1台车床加工的次品的概率：
P（A1B）＝P（A1） P（B|A1）＝0.25×0.06＝0.015，故A错误；
对于B，由全概率公式得该零件是次品的概率为：
P（B）＝P（A1） P（B|A1）+P（A2） P（B|A2）+P（A3） P（B|A3）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.08＝0.066，故B正确；
对于C，在取到的零件是次品的前提下，由贝叶斯公式得该零件是由第2台车床加工的概率为：
，故C正确；
对于D，在取到的零件是次品的前提下，由贝叶斯公式得该零件是由第3台车床加工的概率为：
，故D正确．
故选：BCD．
（多选）20．甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解答】解：甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，
以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，
P（A），故A正确；
P（），P（B|A），故B正确；
P（B|），P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|），故C错误；
P（A|B），故D正确．
故选：ABD．

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