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第7章第2节 随机变量的分布与特性
题型1 离散型随机变量及其分布列 题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
题型3 离散型随机变量的方差与标准差
▉题型1 离散型随机变量及其分布列
【知识点的认识】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
1．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，
所以平局的概率，
若甲胜，则结果有（2，1）、（3，2）、（4，1）、（4，3）、（5，2）、（5，4）、（6，1）、（6，3）、（6，5），共9种，
所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，
各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为，
若平局2次，则最后1次不能是平局，
另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，
所以．
故选：D．
2．已知离散型随机变量X的分布列为，则P（X≥2）＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：根据题意，离散型随机变量X的分布列为，
则P（X≥2）＝P（X＝2）+P（X＝3）．
故选：C．
3．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则P（|X|＝1）等于（　　）
X ﹣1 0 1
P 1﹣2q
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
即（3q﹣1）（3q﹣2）＝0，解得或，
当时，1﹣2q＜0，不合题意，所以．
则P（|X|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝1﹣P（X＝0）．
故选：A．
4．某射击运动员射击一次所得环数ξ的分布列如下表所示．
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 a 0.23
则P（ξ＞6）＝（　　）
A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90
【答案】C
【解答】解：P（ξ＞6）＝1﹣P（ξ＝4）﹣P（ξ＝5）﹣P（ξ＝6）＝1﹣0.03﹣0.05﹣0.07＝0.85，
故选：C．
5．设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 4k 0.6 3k k
则P（|X﹣2|≤1）＝（　　）
A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.65
【答案】A
【解答】解：根据题意，由X的分布列，有4k+0.6+3k+k＝1，解可得k＝0.05，
P（|X﹣2|≤1）＝P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）＝1﹣P（X＝4）＝1﹣0.05＝0.95．
故选：A．
6．已知随机变量X H（6，3，2），则P（X＝2）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为X H（6，3，2），
所以．
故选：A．
7．某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案．
方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金．
方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第i（i＝1，2，3）次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金．
（1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求P（X＞20）；
（2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列；
（3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算．
【答案】（1）；
（2）答案见解析；
（3）游客选择网上购票更划算．
【解答】解：（1）根据题意可知，X＞20，即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，
1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为，
所以；
（2）由题意得Y的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，
，
，
，，
所以Y的分布列为：
Y 0 10 20 30 40 50 60
P
（3）通过景点购票，由（2）得：
，
X的可能取值为0，10，20，30，40，
，
，
，
所以，
故E（X）＞E（Y），
所以游客选择网上购票更划算．
▉题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
8．已知离散型随机变量X的分布列如下，若E（3X+4）＝5，则a+b＝（　　）
X ﹣1 0 a 2
P b
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解答】解：由X的分布列可得：b1，E（X）＝﹣10×b+a2a，
∴b，E（3X+4）＝3E（X）+4＝3×（a）+4＝5，
解得a＝1，
∴a+b．
故选：C．
9．某人在n次射击中击中目标的次数为X，X～B（n，p），其中n∈N*，0＜p＜1，击中奇数次为事件A，则（　　）
A．若n＝10，p＝0.8，则P（X＝k）取最大值时k＝9
B．当时，D（X）取得最小值
C．当时，P（A）随着n的增大而增大
D．当时，P（A）随着n的增大而减小
【答案】C
【解答】解：对于A，在10次射击中击中目标的次数X～B（10，0.8），
当X＝k时对应的概率P（X＝k）（k＝0，1，2，…，10）
∵P（X＝k）取最大值，∴，
即，
即，解得，
∵k∈N且0≤k≤10，∴k＝8，即k＝8时概率P（X＝8）最大，故A不正确；
对于B，，当时，D（X）取得最大值，故B不正确；
对于C、D，∵，
∴，
，
∴，
当时，为正项且单调递增的数列，
∴P（A）随着n的增大而增大，故C正确；
当时，﹣1＜1﹣2p＜0，{（1﹣2p）n}为正负交替的摆动数列，
∴P（A）不会随着n的增大而减小，故D不正确．
故选：C．
10．已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则P（X＝3）＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解答】X＝3表示选出的4个代表中有3个男生1个女生，
则．
故选：B．
11．已知随机变量X～N（μ，σ2），Y～B（6，p），且．E（X）＝E（Y），则p＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由于X服从正态分布N（μ，σ2），且，
故其均值E（X）＝μ＝3．
而Y服从二项分布B（6，p），故E（Y）＝6p，再由E（X）＝E（Y），有3＝6p，得．
故选：D．
12．已知某随机变量X的分布列为如表，则D（X）＝（　　）
X ﹣1 0 1
P 0.2 0.4 x
A．0.2 B．0.56 C．0.7 D．0.84
【答案】B
【解答】解：因为0.2+0.4+x＝1，
所以x＝0.4，
此时E（X）＝﹣1×0.2+0.4×1＝0.2，
则D（X）＝（﹣1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.4+（1﹣0.2）2×0.4＝0.56．
故选：B．
13．已知离散型随机变量X的分布列为
X ﹣1 0 1
P p
且Y＝3X+2，则D（Y）＝（　　）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，由X的分布列，有，解可得，
则，
，
又由Y＝3X+2，则．
故选：A．
14．某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有30%的人平均消费金额为100元，另外70%的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额分别为（　　）
A．概率为0.72，平均消费金额为210元
B．概率为0.88，平均消费金额为216元
C．概率为0.88，平均消费金额为240元
D．概率为0.82，平均消费金额为230元
【答案】B
【解答】解：根据题意，设事件A表示“抽取的顾客为计划型顾客”，事件B表示“抽取的顾客的平均消费金额不低于200元”，
事件表示“抽取的顾客为随机型顾客”；
在近期进入超市的1000名顾客中，有600名计划型顾客，则，
由于计划型顾客的平均消费金额已经为200元，所以P（B|A）＝1；
随机抽取1名顾客，消费不低于200元的概率是：，
设该顾客的平均消费金额为X，X可取的值为200、100、300，
则有P（X＝200）＝0.6，
P（X＝100）＝0.4×0.3＝0.12，
P（X＝300）＝0.4×0.7＝0.28，
则X的期望为：E（X）＝200×0.6+100×0.12+300×0.28＝120+12+84＝216．
故选：B．
15．已知随机变量X的分布列为
X ﹣1 0 1 2
P a 3a 2a
设Y＝X2，则E（Y）＝（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据概率总和为1，有，得，
所以Y的分布列为：
Y 0 1 4
P
因此．
故选：C．
16．某书包品牌代理对A，B两款书包的受欢迎情况进行调研，现从目标客户群中随机抽取100人，针对他们更喜欢A款书包还是B款书包做了调查，结果显示：A，B两款书包的受欢迎的程度相同，且更喜欢B款书包的男生与女生人数相等，其中更喜欢A款书包的女生占喜欢A款书包的总人数的．
（1）根据已知条件补全2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断更喜欢A款书包与性别是否有关联；
更喜欢A款书包 更喜欢B款书包 总计
男生
女生
总计
（2）在样本中，从更喜欢A款书包的目标客户中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
α 0.1 0.05 0.005
xα 2.706 3.841 7.879
【答案】（1）补全2×2列联表如下：
更喜欢A款书包 更喜欢B款书包 总计
男生 10 25 35
女生 40 25 65
总计 50 50 100
有关联；
（2）X的分布列为：
X 1 2
P
数学期望为．
【解答】解：（1）根据题意，A，B两款书包的受欢迎的程度相同，即在随机抽取的100人中，喜欢A，B两款书包的人各50人，
又喜欢B款书包的男生与女生人数相等，即喜欢B款书包的男生25人，女生25人；
故喜欢A款书包的女生有人，男生有50﹣40＝10人．
则可补全2×2列联表如下：
更喜欢A款书包 更喜欢B款书包 总计
男生 10 25 35
女生 40 25 65
总计 50 50 100
零假设H0：认为更喜欢A款书包与性别无关联，
由，
因此依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可认为假设不成立，
即更喜欢A款书包与性别有关联；
（2）因喜欢A款书包的目标客户中，男生10人，女生40人，男女生比例为1：4，
故分层抽取5人中，男生1人，女生4人，则从这5人中任选2人，其中女生的人数X的可能值有1，2，
则，，
所以X的分布列为：
X 1 2
P
所以．
▉题型3 离散型随机变量的方差与标准差
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
17．下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B．在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位
C．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（2＜X＜4）＝0.2
D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ）﹣2
【答案】B
【解答】解：对于A，因为10×60%＝6，所以第60百分位数为，所以A选项错误；
对于B，因为中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，所以B选项正确；
对于C，随机变量X服从正态分布N（3，σ2），所以μ＝3，
又P（X≤4）＝0.7，
所以P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣P（X≤3）＝0.7﹣0.5＝0.2，
所以P（2＜X＜4）＝2P（3＜X＜4）＝2×0.2＝0.4，所以C选项错误；
对于D，因为η＝3ξ﹣2，所以E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ），所以D选项错误．
故选：B．
18．在足球比赛中，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球．若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，门将每次扑出点球的概率为：，
若不考虑其他因素，门将在前3次扑出点球的个数X服从二项分布，且，
所以甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为：．
故选：A．
19．已知离散型随机变量X满足D（X）＝0.01，且3X+Y＝1，则D（Y）＝（　　）
A．0.07 B．0.03 C．0.09 D．﹣0.09
【答案】C
【解答】解：因为3X+Y＝1，
所以Y＝1﹣3X，
因为D（X）＝0.01，
所以D（Y）＝（﹣3）2D（X）＝9×0.01＝0.09．
故选：C．
（多选）20．下列结论正确的有（　　）
A．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝2D（ξ）+1
B．若随机变量ξ N（3，σ2），且P（ξ＜6）＝0.84；则P（3＜ξ＜6）＝0.34
C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
D．若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3， ，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
【答案】BCD
【解答】解：对于选项A，由方差的性质可知，若随机变量满足量ξ，η满足η＝2ξ+1，
则D（η）＝4D（ξ），故A错误；
对于选项B，因为ξ N（3，σ2），且P（ξ＜6）＝0.84，
所以P（3＜ξ＜6）＝P（ξ＜6）﹣0.5＝0.34，故B正确；
对于选项C，由χ2＝4.712＞3.841可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故C正确；
对于选项D，根据回归直线过样本中心点可知D正确．
故选：BCD．
21．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的均值与方差分别为 　60，96　 ．
【答案】60，96．
【解答】解：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X，
由题意知X～B（25，0.6），所以E（X）＝25×0.6＝15，
D（X）＝25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E（4X）＝4E（X）＝60，
D（Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝96，
所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96．
故答案为：60，96．
22．我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品．
（1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望；
（2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本质量指标平均数，σ2近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%．那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，．
【答案】（1）Y的分布列如下：
Y 0 1 2
P
数学期望：；
（2）这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由见解析．
【解答】解：（1）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利，为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品，
因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件，
则，，，
所以Y的分布列如下：
Y 0 1 2
P
故；
（2）这10件农产品的平均数为，
这10件农产品的方差为（60﹣54）2+（69﹣54）2]＝94，
由，可令μ＝54，σ＝9.7，
这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，X～N（54，9.72），
可得P（44.3＜X＜63.7）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，
有，
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求．
23．甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得﹣1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为60%，乙赢的概率为50%，求：
（1）在一轮比赛中，甲的得分X的概率分布列（列表表示）；
（2）在两轮比赛中，甲的得分Y的均值与方差．
【答案】（1）答案见解析；
（2）甲的得分Y的均值与方差分别为．
【解答】解：（1）一轮比赛中，甲得分X的可能取值为﹣1，0，1，
，
，
，
则X的概率分布列为：
X ﹣1 0 1
P
（2）甲在二轮比赛中的得分Y可能取值为﹣2，﹣1，0，1，2，
，
，
，
，
，
所以甲的得分Y的均值为；
甲的得分Y的方差为：
D（Y）＝（2﹣E（Y））2 P（Y＝2）+（1﹣E（Y））2 P（Y＝1）+（0﹣E（Y））2 P（Y＝0）+（﹣1﹣E（Y））2 P（Y＝﹣1）+（﹣2﹣E（Y））2 P（Y＝﹣2）；
所以甲的得分Y的均值与方差分别为．第7章第2节 随机变量的分布与特性
题型1 离散型随机变量及其分布列 题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
题型3 离散型随机变量的方差与标准差
▉题型1 离散型随机变量及其分布列
【知识点的认识】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
1．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知离散型随机变量X的分布列为，则P（X≥2）＝（　　）
A． B． C． D．1
3．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则P（|X|＝1）等于（　　）
X ﹣1 0 1
P 1﹣2q
A． B． C． D．
4．某射击运动员射击一次所得环数ξ的分布列如下表所示．
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 a 0.23
则P（ξ＞6）＝（　　）
A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90
5．设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 4k 0.6 3k k
则P（|X﹣2|≤1）＝（　　）
A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.65
6．已知随机变量X H（6，3，2），则P（X＝2）＝（　　）
A． B． C． D．
7．某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案．
方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金．
方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第i（i＝1，2，3）次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金．
（1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求P（X＞20）；
（2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列；
（3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算．
▉题型2 离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
8．已知离散型随机变量X的分布列如下，若E（3X+4）＝5，则a+b＝（　　）
X ﹣1 0 a 2
P b
A． B．1 C． D．
9．某人在n次射击中击中目标的次数为X，X～B（n，p），其中n∈N*，0＜p＜1，击中奇数次为事件A，则（　　）
A．若n＝10，p＝0.8，则P（X＝k）取最大值时k＝9
B．当时，D（X）取得最小值
C．当时，P（A）随着n的增大而增大
D．当时，P（A）随着n的增大而减小
10．已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则P（X＝3）＝（　　）
A． B． C． D．1
11．已知随机变量X～N（μ，σ2），Y～B（6，p），且．E（X）＝E（Y），则p＝（　　）
A． B． C． D．
12．已知某随机变量X的分布列为如表，则D（X）＝（　　）
X ﹣1 0 1
P 0.2 0.4 x
A．0.2 B．0.56 C．0.7 D．0.84
13．已知离散型随机变量X的分布列为
X ﹣1 0 1
P p
且Y＝3X+2，则D（Y）＝（　　）
A．5 B．7 C． D．
14．某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有30%的人平均消费金额为100元，另外70%的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额分别为（　　）
A．概率为0.72，平均消费金额为210元
B．概率为0.88，平均消费金额为216元
C．概率为0.88，平均消费金额为240元
D．概率为0.82，平均消费金额为230元
15．已知随机变量X的分布列为
X ﹣1 0 1 2
P a 3a 2a
设Y＝X2，则E（Y）＝（　　）
A．2 B． C． D．
16．某书包品牌代理对A，B两款书包的受欢迎情况进行调研，现从目标客户群中随机抽取100人，针对他们更喜欢A款书包还是B款书包做了调查，结果显示：A，B两款书包的受欢迎的程度相同，且更喜欢B款书包的男生与女生人数相等，其中更喜欢A款书包的女生占喜欢A款书包的总人数的．
（1）根据已知条件补全2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断更喜欢A款书包与性别是否有关联；
更喜欢A款书包 更喜欢B款书包 总计
男生
女生
总计
（2）在样本中，从更喜欢A款书包的目标客户中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
α 0.1 0.05 0.005
xα 2.706 3.841 7.879
▉题型3 离散型随机变量的方差与标准差
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
17．下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B．在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位
C．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（2＜X＜4）＝0.2
D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ）﹣2
18．在足球比赛中，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球．若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（　　）
A． B． C． D．
19．已知离散型随机变量X满足D（X）＝0.01，且3X+Y＝1，则D（Y）＝（　　）
A．0.07 B．0.03 C．0.09 D．﹣0.09
（多选）20．下列结论正确的有（　　）
A．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝2D（ξ）+1
B．若随机变量ξ N（3，σ2），且P（ξ＜6）＝0.84；则P（3＜ξ＜6）＝0.34
C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
D．若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3， ，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
21．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的均值与方差分别为 　 ．
22．我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品．
（1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望；
（2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本质量指标平均数，σ2近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%．那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，．
23．甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得﹣1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为60%，乙赢的概率为50%，求：
（1）在一轮比赛中，甲的得分X的概率分布列（列表表示）；
（2）在两轮比赛中，甲的得分Y的均值与方差．

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