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第7章第3节 常用分布
题型1 n重伯努利试验与二项分布 题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差 题型4 超几何分布
题型5 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
▉题型1 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
1．已知随机变量，则P（X≤1）＝（　　）
A． B． C． D．
2．若随机变量，则P（X＝3）＝（　　）
A． B． C． D．
3．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，则k的值为（　　）
A．8 B．7或8 C．9 D．8或9
4．某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响．则甲得 　　 分的概率最大．
5．已知，则P（X＝4）＝ 　　 ．
▉题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
【解题方法点拨】
例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 　　 ．
解：由题设知p（1﹣p）2p2（1﹣p），
解p≤1，
故答案为：[，1]．
本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．
6．如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入（　　）号格子的概率最大．
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知某生产流水线上产品的次品率为0.1，现从该生产流水线上随机抽取3件产品，则恰有2件产品是次品的概率是（　　）
A．0.027 B．0.243 C．0.009 D．0.054
8．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P（X＞0）＝（　　）
A． B． C． D．
9．某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（　　）
A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2%
10．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获科40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P（X≥﹣80）＝　　 ．
▉题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：．
【解题方法点拨】
﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．
11．产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为X，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3，则下列判断不正确的是（　　）（参考：超几何分布其均值）
A．随机变量X服从二项分布
B．随机变量Y服从超几何分布
C．E（X）＝E（Y）
D．P（X＝k）＜P（Y＝k）
12．已知随机变量X～B（2，p），且，则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
13．设随机变量X～B（2，p），且，随机变量Y＝2X﹣1，则DY＝（　　）
A． B． C．2 D．3
14．小王到某公司面试，一共要回答4道题，每道题答对得2分，答错倒扣1分，设他每道题答对的概率均为p（0＜p＜1），且每道题答对与否相互独立，记小王答完4道题的总得分为X，则当E（X）+D（X）取得最大值时，p＝（　　）
A． B． C． D．
15．已知变量X～B（n，p），且E（X）＝4，，则P（X≤1）＝　　 ．
▉题型4 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【解题方法点拨】
超几何分布的求解步骤：
（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．
（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．
（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
（多选）16．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（　　）
A．恰有3个白球的概率为
B．取出的最大号码X服从超几何分布
C．设取出的黑球个数为Y，当Y＝2时，概率最大
D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
（多选）17．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则下列结论中正确的是（　　）
A．取出的白球个数X服从二项分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．取出球总得分最大的概率为
18．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有3个白球，2个红球，现从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取2球．
（1）记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求E（X）；
（2）求从乙盒取出2个红球的概率．
19．为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼塘中捞出m条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘．一段时间后，再从鱼塘中捞出n条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数N．已知m＝200，设第二次捞出的n条鱼中身上有标记的鱼的数目为随机变量X．
（1）若已知N＝4000，n＝40．
①求X的均值；
②是否有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于0.9）？
（2）若n＝700，其中身上有标记的鱼有30条，估计池塘中鱼的总数（将使P（X＝30）最大的N作为估计值）．
参考数据：lg3.76≈0.5752，lg3.8≈0.5798，lg3.96≈0.5977，lg4≈0.6021．
▉题型5 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
20．设随机变量X服从正态分布N（3，4），若P（X＞a﹣2）＝P（X＜6﹣3a），则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
21．某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果X～N（10，σ2），则下列结论中错误的是（　　）
A．P（X＜10）＝0.5
B．P（X＜9.8）＝P（X＞10.2）
C．P（9＜X＜9.5）＝P（10.5＜X＜11）
D．σ越小，P（10﹣σ＜X＜10+σ）越小
22．若随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X≥﹣0.1）＝P（|X|≤0.2）＝0.8，则（　　）
A．P（0.1＜X＜0.2）＝0.2 B．P（0≤X≤0.1）＝0.4
C．P（﹣0.2≤X≤0.1）＝0.7 D．P（﹣0.2≤X≤﹣0.1）＝0.3
23．如果随机变量X～N（3，σ2），且P（X＞1）＝0.72，则P（X≥5）＝（　　）
A．0.28 B．0.36 C．0.72 D．0.56
24．如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（　　）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545）
A．变量X服从正态分布N（360，12）
B．E（2X+1）＝720
C．P（X＜384）＝P（X＞348）
D．P（X＜384）≈0.9773
（多选）25．下列说法正确的有（　　）
A．二项式的展开式中二项式系数最大的项为第4项
B．若随机变量，则
C．数据2，3，5，8，13，21，34的第80百分位数是21
D．已知，则
26．某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如表：
性能指标X 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
（1）求该项性能指标的样本平均数x的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x的值，σ2＝36，试求P（74≤X≤92）的值；
（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
（i）求这件零件是次品的概率；
（ii）若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣a≤ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997．第7章第3节 常用分布
题型1 n重伯努利试验与二项分布 题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差 题型4 超几何分布
题型5 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
▉题型1 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
1．已知随机变量，则P（X≤1）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：随机变量，
则．
故选：D．
2．若随机变量，则P（X＝3）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：若随机变量，
．
故选：A．
3．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，则k的值为（　　）
A．8 B．7或8 C．9 D．8或9
【答案】D
【解答】解：已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，
抽到的女性人数为X，则，
若抽到k名女性的可能性最大，则
即解得8≤k≤9，
又k∈N+，故k＝8或9．
故选：D．
4．某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响．则甲得 　112　 分的概率最大．
【答案】112．
【解答】解：设应聘者答对笔试和面试备选题分别x，y道的概率最大，
由题意可知，，
所以，
又因为x∈N，
所以x＝7，
易知y＝5时，P（y）最大，
所以得分（7+5）×10﹣（10﹣7+10﹣5）×1＝112的概率最大．
故答案为：112．
5．已知，则P（X＝4）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：．
故答案为：．
▉题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
【解题方法点拨】
例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 　　 ．
解：由题设知p（1﹣p）2p2（1﹣p），
解p≤1，
故答案为：[，1]．
本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．
6．如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入（　　）号格子的概率最大．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解答】解：由题意可知，小球落入k号格子的概率为Pk，k＝0，1，2，…，10，
假设小球落入k号格子的概率最大，则（k＝1，2，3，…，10），
解得，
又因为k∈N+，
所以k＝7，
即小球落入7号格子的概率最大．
故选：C．
7．已知某生产流水线上产品的次品率为0.1，现从该生产流水线上随机抽取3件产品，则恰有2件产品是次品的概率是（　　）
A．0.027 B．0.243 C．0.009 D．0.054
【答案】A
【解答】解：因为某生产流水线上产品的次品率为0.1，
所以现从该生产流水线上随机抽取3件产品，则恰有2件产品是次品的概率是P0.027．
故选：A．
8．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P（X＞0）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：．
故选：D．
9．某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（　　）
A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2%
【答案】A
【解答】解：某气象台天气预报的准确率为80%，
则3次预报中恰有1次预报准确的概率是：
P0.096＝9.6%．
故选：A．
10．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获科40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P（X≥﹣80）＝　　 ．
【答案】
【解答】解：由题意得该产品能销售的概率为（1）（1），
X的可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，ξ～B（4，），
∴P（ξ＝k），
∴P（X＝﹣80）＝P（ξ＝2），
P（X＝40）＝P（ξ＝3），
P（X＝160）＝P（ξ＝4），
∴P（X≥﹣80）＝P（X＝﹣80）+P（X＝40）+P（X＝160）．
故答案为：．
▉题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：．
【解题方法点拨】
﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．
11．产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为X，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3，则下列判断不正确的是（　　）（参考：超几何分布其均值）
A．随机变量X服从二项分布
B．随机变量Y服从超几何分布
C．E（X）＝E（Y）
D．P（X＝k）＜P（Y＝k）
【答案】D
【解答】解：对于选项A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量X服从二项分布，故A正确；
对于选项B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量Y服从超几何分布，故B正确；
对于选项C，该批产品有M件，则，
，故C正确；
对于选项D，，，若P（X＝k）＜P（Y＝k），
则E（X）＜E（Y），与选项C矛盾，故D错误．
故选：D．
12．已知随机变量X～B（2，p），且，则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于选项A，因为随机变量X～B（2，p），
所以，解得，故A正确；
对于选项B，由A可知，X～B（2，），
所以D（X）＝22，故B正确；
对于选项C，，故C错误；
对于选项D，，故D正确．
故选：C．
13．设随机变量X～B（2，p），且，随机变量Y＝2X﹣1，则DY＝（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：因为X～B（2，p），
所以，
解得，
所以X～B（2，），
所以，
因为Y＝2X﹣1，
所以．
故选：B．
14．小王到某公司面试，一共要回答4道题，每道题答对得2分，答错倒扣1分，设他每道题答对的概率均为p（0＜p＜1），且每道题答对与否相互独立，记小王答完4道题的总得分为X，则当E（X）+D（X）取得最大值时，p＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设答对题的个数为随机变量Y，
由题意可知Y B（4，p），
所以E（Y）＝4p，D（Y）＝4p（1﹣p），
因为每道题答对得2分，答错倒扣1分，
所以X＝2Y﹣（4﹣Y）＝3Y﹣4，
所以E（X）＝3E（Y）﹣4＝12p﹣4，D（X）＝32D（Y）＝9×4p（1﹣p）＝36p（1﹣p），
所以，
又因为0＜p＜1，
所以当时，E（X）+D（X）取最大值，最大值为12．
故选：C．
15．已知变量X～B（n，p），且E（X）＝4，，则P（X≤1）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题可得，解得，
所以．
故答案为：．
▉题型4 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【解题方法点拨】
超几何分布的求解步骤：
（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．
（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．
（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
（多选）16．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（　　）
A．恰有3个白球的概率为
B．取出的最大号码X服从超几何分布
C．设取出的黑球个数为Y，当Y＝2时，概率最大
D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
【答案】ACD
【解答】解：对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为，故A正确；
对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，
故X不服从超几何分布，故B错误；
对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，
，，
显然当Y＝2时，概率最大，故C正确；
对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球，
其概率为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）17．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则下列结论中正确的是（　　）
A．取出的白球个数X服从二项分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．取出球总得分最大的概率为
【答案】BD
【解答】解：选项A，该取球试验是不放回抽取，所以取出的白球个数X不可能服从二项分布，即A错误；
选项B，取出的黑球个数Y的概率为P（Y＝k）（k∈N*，且0≤k≤4），所以Y服从超几何分布，即B正确；
选项C，取出2个白球的概率P1，即C错误；
选项D，若取出球总得分最大，则取出的4个球均为黑球，其概率为P2，即D正确．
故选：BD．
18．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有3个白球，2个红球，现从甲盒任取1球放入乙盒，再从乙盒任取2球．
（1）记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求E（X）；
（2）求从乙盒取出2个红球的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题可知，随机变量X可能的取值有0，1．
所以，
分布列如下：
X 0 1
P
所以．
（2）（i）若X＝0，则此时甲盒取出来了1个白球放入乙盒，
此时乙盒有4个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为
（ii） 若X＝1，则此时甲盒取出来了1个红球放入乙盒，
此时乙盒有3个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；
所以从乙盒取出2个红球的概率为．
19．为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼塘中捞出m条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘．一段时间后，再从鱼塘中捞出n条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数N．已知m＝200，设第二次捞出的n条鱼中身上有标记的鱼的数目为随机变量X．
（1）若已知N＝4000，n＝40．
①求X的均值；
②是否有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于0.9）？
（2）若n＝700，其中身上有标记的鱼有30条，估计池塘中鱼的总数（将使P（X＝30）最大的N作为估计值）．
参考数据：lg3.76≈0.5752，lg3.8≈0.5798，lg3.96≈0.5977，lg4≈0.6021．
【答案】（1）①2；②没有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼；
（2）4666．
【解答】解：（1）①由题意可知X服从超几何分布，
则，
②由于P（X≥1）＝1﹣P（X＝0），而，
从而lgP（X＝0）＞40（lg3.76﹣lg3.96）≈﹣0.9＞﹣1，
因此P（X＝0）＞0.1，P（X≥1）＜0.9，所以没有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼．
（2）由题意，且N≥700+（200﹣30）＝870．
只需求使得最大的N．
由于，，
从而
因此，当N≤4665时，aN+1＞aN，当N≥4666时，aN+1＜aN．
所以，当N＝4666时，P（X＝30）最大．
综上所述，N的估计值为4666．
▉题型5 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
20．设随机变量X服从正态分布N（3，4），若P（X＞a﹣2）＝P（X＜6﹣3a），则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
【答案】B
【解答】解：由题意随机变量X服从正态分布N（3，4），即正态分布曲线关于x＝3对称，
因为P（X＞a﹣2）＝P（X＜6﹣3a），
故，
解得a＝﹣1．
故选：B．
21．某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果X～N（10，σ2），则下列结论中错误的是（　　）
A．P（X＜10）＝0.5
B．P（X＜9.8）＝P（X＞10.2）
C．P（9＜X＜9.5）＝P（10.5＜X＜11）
D．σ越小，P（10﹣σ＜X＜10+σ）越小
【答案】D
【解答】解：由X～N（10，σ2），可得对称轴X＝10，
故P（X＜10）＝0.5，故A正确；
P（X＜9.8）＝P（X＜10﹣0.2）＝P（X＞10+0.2）＝P（X＞10.2），故B正确；
P（10.5＜X＜11）＝P（10+0.5＜X＜10+1），P（9＜X＜9.5）＝P（10﹣1＜X＜10﹣0.5），故P（9＜X＜9.5）＝P（10.5＜X＜11），故C正确；
而P（10﹣σ＜X＜10+σ）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）为定值，D错误．
故选：D．
22．若随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X≥﹣0.1）＝P（|X|≤0.2）＝0.8，则（　　）
A．P（0.1＜X＜0.2）＝0.2 B．P（0≤X≤0.1）＝0.4
C．P（﹣0.2≤X≤0.1）＝0.7 D．P（﹣0.2≤X≤﹣0.1）＝0.3
【答案】C
【解答】解：随机变量X服从正态分布N（0，σ2），P（X≥﹣0.1）＝P（|X|≤0.2）＝0.8，
可得：．
因为P（X＞0.1）＝P（X＜﹣0.1）＝1﹣0.8＝0.2，所以P（0.1＜X＜0.2）＝0.2﹣0.1＝0.1，P（﹣0.2≤X≤﹣0.1）＝P（0.1＜X＜0.2）＝0.1，所以A，D错误；
因为，所以B错误；
因为P（﹣0.2≤X≤0.1）＝P（|X|≤0.2）﹣P（0.1＜X＜0.2）＝0.8﹣0.1＝0.7，所以C正确．
故选：C．
23．如果随机变量X～N（3，σ2），且P（X＞1）＝0.72，则P（X≥5）＝（　　）
A．0.28 B．0.36 C．0.72 D．0.56
【答案】A
【解答】解：由随机变量X～N（3，σ2），则对称轴为μ＝3，
且P（X＞1）＝0.72，
所以P（X≥5）＝P（X≤1）＝1﹣P（X＞1）＝1﹣0.72＝0.28．
故选：A．
24．如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（　　）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545）
A．变量X服从正态分布N（360，12）
B．E（2X+1）＝720
C．P（X＜384）＝P（X＞348）
D．P（X＜384）≈0.9773
【答案】D
【解答】解：由题意可知，E（X）＝600×0.6＝360，D（X）＝600×0.6×（1﹣0.6）＝144，
所以变量X服从正态分布N（360，144），故A错误；
E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×360+1＝721，故B错误；
因为X～N（360，144），而360，
所以P（X＜384）≠P（X＞348），故C错误；
P（X＜384）＝P（X＜360+24）＝P（X＜360+2×12）≈0.50.97725≈0.9773，故D正确．
故选：D．
（多选）25．下列说法正确的有（　　）
A．二项式的展开式中二项式系数最大的项为第4项
B．若随机变量，则
C．数据2，3，5，8，13，21，34的第80百分位数是21
D．已知，则
【答案】ACD
【解答】解：对于A，二项式的n＝6，可得展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，
A正确；
对于B，随机变量，得D（X）＝3（1）．
则，B错误；
对于C，由7×80%＝5.6，得数据2，3，5，8，13，21，34的第80百分位数是21，C正确；
对于D，∵，∴，
∴，D正确．
故选：ACD．
26．某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如表：
性能指标X 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
（1）求该项性能指标的样本平均数x的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x的值，σ2＝36，试求P（74≤X≤92）的值；
（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
（i）求这件零件是次品的概率；
（ii）若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣a≤ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997．
【答案】（1）80，0.8185；
（2）（i），（ii）．
【解答】解：（1）根据题意，由表中的数据，（66×10+77×20+80×48+88×19+96×3）＝80，
因为X N（80，σ2），σ2＝36，则σ＝6，
则，
（2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件A1；
“抽取的零件是乙机床生产”记为事件A2；
“抽取的零件是次品”记为事件B，
则，，P（B|A1）＝0.02，P（B|A2）＝0.01，
（i）则，
（ii）．

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