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第7章第2节 排列
题型1 排列数的化简计算及证明 题型2 简单排列问题
题型3 部分位置的元素有限制的排列问题 题型4 部分元素不相邻的排列问题
题型5 部分元素相邻的排列问题 题型6 其他排列形式及其计算
▉题型1 排列数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣排列数表示从n个不同元素中选出r个元素，并对这r个元素进行排列的总数．其公式为．
﹣排列数的化简通常涉及阶乘的计算和分解，在某些情况下需要用排列数公式进行证明或化简．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握排列数公式的推导和应用．对于排列数的化简，可以通过分解阶乘来简化计算．
﹣在复杂问题中，可能需要将排列问题转化为递推公式进行求解或证明，或者利用对称性来简化表达式．
﹣证明排列数的恒等式时，可以通过将排列数公式展开并进行比较，或者使用数学归纳法．
1．若m为正整数，且m＜26，则（26﹣m）（27﹣m）…（34﹣m）＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：因为m为正整数，且m＜26，
则（26﹣m）（27﹣m）…（34﹣m）．
故选：D．
2．已知n为正整数，则（n+5）（n+6） （n+9）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由，
得（n+5）（n+6） （n+9）．
故选：D．
（多选）3．已知m，n∈N+且m≤n，则下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解答】解：，，，A错误；
，B正确；
，，
所以，C正确；
，D正确．
故选：BC．
（多选）4．满足不等式的n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】AB
【解答】解：∵，
∴（n﹣1）（n﹣2）﹣n＜7，且n﹣1≥2，
整理得n2﹣4n﹣5＜0，且n﹣1≥2，
解得3≤n＜5．
∵n∈N*，∴n的值为3，4．
故选：AB．
5．不等式的解集为 　{6}　 ．
【答案】{6}．
【解答】解：，
则，解得2≤x≤6且x∈N*，，即（8﹣x）（7﹣x）＜6，解得5＜x＜10，
综上可知，x＝6，
故所求解集为{6}．
故答案为：{6}．
▉题型2 简单排列问题
【知识点的认识】
﹣简单排列问题通常涉及无任何限制条件的排列情况．n个不同元素的全排列总数为．
﹣该类问题通常是排列问题的基础，强调对基本排列公式的理解与应用．
【解题方法点拨】
﹣直接应用排列公式进行计算．对于全排列问题，计算阶乘即可得到排列数．
﹣在计算过程中，注意排列数中的阶乘表示法，并理解排列的意义．
﹣对于涉及排列的实际问题，可以通过具体化问题，将其转化为排列数计算．
6．设（a1，a2，a3，a4，a5）是3，4，5，6，7的一个排列．若（ai+1﹣ai）（ai+1﹣ai+2）＞0对一切i∈{1，2，3}恒成立，则称该排列为“起伏排列”．则该起伏排列个数有（　　）
A．32 B．24 C．20 D．36
【答案】A
【解答】解：因为（ai+1﹣ai）（ai+1﹣ai+2）＞0对一切i∈{1，2，3}恒成立，
可得a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4.a4＞a5
或a2＜a1，a2＜a3，a4＜a3，a4＜a5，
因为（a1，a2，a3，a4，a5）是3，4，5，6，7的一个排列，
对于第一类：3必须居下面，7必须居上面，
当a2，a4在6，7中取时，a1，a3，a5在3，4，5中取，有种排列方法，
当a2，a4在5，7中取时，若a2＝7，a4＝5时，则a1＝6，此时a3，a5与3，4可全排列，即2种，
若a4＝7，则a5＝6，此时a1，a3与3，4可全排列，即2种，
综上所述：满足第一类的有12+2+2＝16种排列方法，
同理第二类有16种排列方法，
所以共有32种起伏排列．
故选：A．
7．某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量．现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（　　）
A．150种 B．300种 C．360种 D．540种
【答案】A
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5名即将毕业的定向师范生分为3组，
若分为1﹣2﹣2的三组，有15种分组方法，
若分为3﹣1﹣1的三组，有10种分组方法，
则有15+10＝25种分组方法；
②将分好的三组全排列，安排到3所学校进行跟岗培训，有6种情况，
则有25×6＝150种分配方案．
故选：A．
8．某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（　　）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】C
【解答】解：分两类，第一类，只有教师夫妇两人去同一所学校有种，
第二类，教师夫妇两人另加一位教师去同一所学校有种，所以总共有36种．
故选：C．
9．将A，B，C，D，E五名教师安排到甲，乙，丙三所学校，若每所学校至少安排一名教师，每名教师只去一所学校，则不同的安排方法 　150　 种．
【答案】150．
【解答】解：由题意，五名教师分配到三所学校，有两类分法，
一种是三组人数分别为一人，一人，三人，另一种是三组人数分别为两人，两人，一人，
共有种分法，
则这三组老师分配到三所不同学校，共有种安排方法．
故答案为：150．
▉题型3 部分位置的元素有限制的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．
﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．
【解题方法点拨】
﹣处理此类问题时，首先对有限制的部分进行排列，将有限制的元素排好位置，然后对剩余元素进行排列组合．
﹣使用乘法原理，将有限制的排列与剩余元素的排列相乘得到总数．
﹣对于较复杂的限制条件，可能需要分类讨论，并对每种情况进行单独计算．
10．某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动．活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．26
【答案】C
【解答】解：先排E，有2种排法；
然后排CD，有2种排法；
最后排AB，有6种排法，
即满足条件的排法种数为2×2×6＝24．
故选：C．
11．文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（　　）
A．30 B．42 C．56 D．3960
【答案】A
【解答】解：根据题意，教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，
则6个学生的节目之间有5个空位，
因为教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，
则先将第一个教师节目安排到5个空位中，有5种方法；
再将第二个教师的节目安排到7个节目之间的6个空位中，有6种方法，
由分步乘法计数原理可得，共有5×6＝30种方法．
故选：A．
12．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程．现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（　　）
A．36种 B．60种 C．75种 D．85种
【答案】C
【解答】解：要求每个学生都必须选择其中的一门课程．现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，
则不同的选课方法共有5×5×3＝75种．
故选：C．
13．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队．这批设备分别为6个相同的跳箱和3箱相同的药球．要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（　　）
A．35种 B．70种 C．140种 D．210种
【答案】B
【解答】解：由题意，分以下两步：
第一步，分跳箱：6个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为1、2、3或2、2、2或4、1、1，
所以，跳箱的分法种数为种；
第二步，分药球：将3个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为1、1、1或2、1、0，
所以，药球的分法种数为种．
由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为10×7＝70．
故选：B．
（多选）14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
【答案】ABC
【解答】解：对于A：6门中选2门共有种选法，
故A正确；
对于B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，
有种排法，
然后全排列有种排法，
根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，
故B正确；
对于C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，
先排剩下的三门课程有种排法，
然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，
根据分步乘法计数原理，共有种排法，
故C正确；
对于D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，
再排“数”，有种排法，
若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，
所以共有种排法，
故D错误．
故选：ABC．
▉题型4 部分元素不相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素不相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须保持不相邻．例如：在排列中，两个特定元素不能排在一起．
﹣这类问题通常通过排除法、间隔法或插空法来解决．
【解题方法点拨】
﹣使用间隔法，首先将不受限制的元素排列，然后在排列间隙中插入受限制的元素，保证其不相邻．
﹣排除法是先计算不考虑相邻条件的排列总数，再减去相邻元素排列的情况．
﹣对于更复杂的排列问题，可以结合插空法或利用递推关系进行解题．
15．甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（　　）
A．24种 B．36种 C．42种 D．48种
【答案】B
【解答】解：已知甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻，
将甲、丙进行捆绑，形成一个“大元素”，再将这个“大元素”与其他3个人进行排序，共有种排法．
接下来考虑甲与乙、丙都相邻的情形，
需将甲、乙、丙进行捆绑，且甲位于中间，
然后将这个“大元素”与其他2个人进行排序，此时共有种排法．
综上，共有48﹣12＝36种不同的排法．
故选：B．
16．某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的1～6号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（　　）
A．48 B．96 C．128 D．186
【答案】B
【解答】解：根据题意，甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，
则甲只能坐1，3，5号座位，乙只能坐2，4，6号座位，
当甲坐1号位时，乙只能坐4或6号座位，剩余人可任意排列，共248种，
当甲坐3号位时，乙只能坐6号座位，剩余人可任意排列共种，
当甲坐5号位时，乙只能坐2号座位，剩余人可任意排列共种，
则这六人不同的座位安排方法种数为48+24+24＝96．
故选：B．
17．甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（　　）
A．144种 B．168种 C．192种 D．216种
【答案】C
【解答】解：如图所示，甲坐位置①，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法；
甲坐位置③，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法；
甲坐位置②，乙有2种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法；
所以不同坐法种数共有72+48+72＝192种．
故选：C．
18．袋中装有红色小球1个、黄色小球2个、绿色小球3个，小球除了颜色外完全相同，现从中取出5个小球排成一行，相同颜色的小球不能相邻，则不同的排法种数为（　　）
A．8 B．11 C．12 D．15
【答案】D
【解答】解：已知袋中装有红色小球1个、黄色小球2个、绿色小球3个，小球除了颜色外完全相同，从中取出5个小球排成一行，相同颜色的小球不能相邻，
不取红色小球时，排法种数为1；
剩下一个小球是黄色小球时，排法种数为2；
剩下一个小球是绿色小球时，当红色小球在两个黄色小球之间时，有种排法；
当红色小球不在两个黄色小球之间时，有种排法，
所以不同排法种数是．
故选：D．
19．7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有　1440　 种不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有　960　 种不同的排法．（用数字作答）
【答案】1440；960．
【解答】解：甲7个人排成一排拍照片，甲、乙两人必须相邻，甲、乙相邻的全排有（种），
然后把甲、乙看成一个整体全排，共有（种）；
甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，把甲、乙看成一个整体全排，
然后把甲、乙看成一个整体，插在与丙均不相邻的空中，
共有（种）．
故答案为：1440；960．
▉题型5 部分元素相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列．例如：在排列中，两个或多个元素必须排在一起．
﹣这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列．
【解题方法点拨】
﹣通过将相邻的元素看作一个整体，然后对这个整体和其他元素一起进行排列．最后，再对这个整体内部的元素进行排列．
﹣使用乘法原理，将整体的排列与内部元素的排列相乘，得到总的排列数．
﹣对于涉及多个相邻元素的问题，可以进行多重整体处理，逐层递进排列．
20．7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（　　）
A．960 B．980 C．1060 D．1260
【答案】A
【解答】解：7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，
又甲、乙相邻，有种不同排法，丙站两端的站法有种，
故甲、乙必须相邻，丙不能站两端的站法有1440﹣480＝960种．
故选：A．
21．若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（　　）
A．4680 B．4320 C．3640 D．3860
【答案】B
【解答】解：将5名男生和3名女生排成一排，
则3名女生相邻的不同排法种数为4320．
故选：B．
22．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，
再将4位男生排入这4个空位，有种排法，
则有种站法．
故选：D．
23．有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法？（　　）
A．8 B．12 C．16 D．10
【答案】B
【解答】解：有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，
则共有12种停放方法．
故选：B．
24．给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（　　）
A．216种 B．192种 C．180种 D．168种
【答案】D
【解答】解：给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，
先对3，4，5染色，有种方法，
若2和3同色，
则不同的染色方法有72种；
若2和3不同色，
则不同的染色方法有种．
综上所述，不同的染色方法有72+96＝168种．
故选：D．
▉题型6 其他排列形式及其计算
【知识点的认识】
﹣其他排列形式包括环形排列、多重排列等特殊形式的排列问题．环形排列是一种特殊排列，因首尾相连，所以排列数与线性排列不同．
﹣多重排列指存在相同元素的排列问题，计算时需要考虑重复元素的排列数量．
【解题方法点拨】
﹣在环形排列中，n个元素的环形排列数为，其中k是相同排列方式的重复次数（如对称性）．
﹣在处理多重排列时，使用多重排列公式，其中n1，n2，…，nk是相同元素的个数．
﹣对于涉及多个重复元素的排列问题，可能需要结合分步排列与组合计算．
25．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（　　）
A．96种 B．64种 C．32种 D．16种
【答案】B
【解答】解：根据题意，分3步进行，
第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有种排法；
第二步，排第一步中剩余的一组数，共有种排法；
第三步，排数字5和6，共有种排法；
由分步计数原理知，共有不同的排法种数为4×8×2＝64．
故选：B．
26．如图是一个3×3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为 　72　 ．
（﹣1，1） （0，1） （1，1）
（﹣1，0） （0，0） （1，0）
（﹣1，﹣1） （0，﹣1） （1，﹣1）
【答案】72．
【解答】解：根据题意，如图：首先对3×3的九宫格每个位置标注数字，
1 2 3
4 5 6
7 8 9
分3步进行分析：
第一步先排（0，0），一共9个位置，因此有种排法，
根据对称性知，（0，0）所在的行和列只能排（1，1），（﹣1，﹣1），（1，﹣1），（﹣1，1），
不妨设（0，0）在1位置，
第二步排2位置，则从（1，1），（﹣1，﹣1），（1，﹣1），（﹣1，1）选一个，因此有种排法，
则3位置的数也定下来了，
第三步排4位置，则从（1，1），（﹣1，﹣1），（1，﹣1），（﹣1，1）剩余的两个中挑一个，因此有种排法，
接着排7位置，7位置是（1，1），（﹣1，﹣1），（1，﹣1），（﹣1，1）中剩余的最后一个，
相当于（0，0）所在的行和列都定下来了，
则使得每行、每列各三个向量的和为零向量，其他四个位置的向量排法是唯一的，
因此按分步乘法计数原理知，种，
因此共有72种排法．
故答案为：72．
27．某商场在过道上设有两排座位（每排4座）供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有 　1680　 种；若小明和小红坐在同一排，且每排都要有人坐，则不同的坐法有 　672　 种．（用数字作答）
【答案】1680；672．
【解答】解：不同的坐法有种；
若其他两个人在同一排，则不同的坐法有种；
若其他两个人不在同一排，则不同的坐法有种，
故所有不同的坐法有288+384＝672种．
故答案为：1680；672．
28．把5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 　240　 种不同的装法．
【答案】240．
【解答】解：第一步从5个球中选出2个组成复合元素共有10种方法．
第二步，再把4个元素装入4个不同的盒内有24种方法，
根据分步计数原理装球的方法共有10×24＝240种方法．
故答案为：240．
29．定义空间直角坐标系中的任意点P（x，y，z）的“N数”为：在P点的坐标中不同数字的个数，如：N（1，1，1）＝1，N（1，3，1）＝2，N（1，2，3）＝3，若点P的坐标x，y，z∈{0，1，2，3}，则所有这些点P的“N数”的平均值与最小值之差为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意，点P的坐标中不同数字的个数，可分为三类：
（1）恰有3个相同数字的排列为种，则N（x，y，z）＝1，共有4个；
（2）恰有2个相同数字的排列为种，则N（x，y，z）＝2，共有36个；
（3）恰有0个相同数字的排列为种，则N（x，y，z）＝3，共有24个，
所以平均值为，与最小值之差为．
故答案为：．
30．A、B、C、D、E五人按顺时针方向围成一圈玩传球游戏，要求每次只能传给不与自己相邻的人．游戏开始时，球在A手里，则经过5次传球，传到D手中，不同的传球方案共有 　10　 种．
【答案】10．
【解答】解：依题意，由于球只能不与自己相邻的人，所以推得第二次传球后，球只能在①，②，③，④情况中的一种；
又第五次传球要传到D手中，故后三次传球仅能在⑤，⑥，⑦，⑧情况中的一种；
由于球只能传给不相邻的人，故只有①⑤，①⑥，①⑧，②⑤，②⑦，②⑧，③⑤，③⑥，③⑧，④⑥，共10个组合可传球，
所以不同的传球方案共有10种．
故答案为：10．第7章第2节 排列
题型1 排列数的化简计算及证明 题型2 简单排列问题
题型3 部分位置的元素有限制的排列问题 题型4 部分元素不相邻的排列问题
题型5 部分元素相邻的排列问题 题型6 其他排列形式及其计算
▉题型1 排列数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣排列数表示从n个不同元素中选出r个元素，并对这r个元素进行排列的总数．其公式为．
﹣排列数的化简通常涉及阶乘的计算和分解，在某些情况下需要用排列数公式进行证明或化简．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握排列数公式的推导和应用．对于排列数的化简，可以通过分解阶乘来简化计算．
﹣在复杂问题中，可能需要将排列问题转化为递推公式进行求解或证明，或者利用对称性来简化表达式．
﹣证明排列数的恒等式时，可以通过将排列数公式展开并进行比较，或者使用数学归纳法．
1．若m为正整数，且m＜26，则（26﹣m）（27﹣m）…（34﹣m）＝（　　）
A． B．
C． D．
2．已知n为正整数，则（n+5）（n+6） （n+9）＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）3．已知m，n∈N+且m≤n，则下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）4．满足不等式的n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．不等式的解集为 　　 ．
▉题型2 简单排列问题
【知识点的认识】
﹣简单排列问题通常涉及无任何限制条件的排列情况．n个不同元素的全排列总数为．
﹣该类问题通常是排列问题的基础，强调对基本排列公式的理解与应用．
【解题方法点拨】
﹣直接应用排列公式进行计算．对于全排列问题，计算阶乘即可得到排列数．
﹣在计算过程中，注意排列数中的阶乘表示法，并理解排列的意义．
﹣对于涉及排列的实际问题，可以通过具体化问题，将其转化为排列数计算．
6．设（a1，a2，a3，a4，a5）是3，4，5，6，7的一个排列．若（ai+1﹣ai）（ai+1﹣ai+2）＞0对一切i∈{1，2，3}恒成立，则称该排列为“起伏排列”．则该起伏排列个数有（　　）
A．32 B．24 C．20 D．36
7．某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量．现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（　　）
A．150种 B．300种 C．360种 D．540种
8．某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（　　）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
9．将A，B，C，D，E五名教师安排到甲，乙，丙三所学校，若每所学校至少安排一名教师，每名教师只去一所学校，则不同的安排方法 　　 种．
▉题型3 部分位置的元素有限制的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．
﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．
【解题方法点拨】
﹣处理此类问题时，首先对有限制的部分进行排列，将有限制的元素排好位置，然后对剩余元素进行排列组合．
﹣使用乘法原理，将有限制的排列与剩余元素的排列相乘得到总数．
﹣对于较复杂的限制条件，可能需要分类讨论，并对每种情况进行单独计算．
10．某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动．活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．26
11．文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（　　）
A．30 B．42 C．56 D．3960
12．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程．现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（　　）
A．36种 B．60种 C．75种 D．85种
13．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队．这批设备分别为6个相同的跳箱和3箱相同的药球．要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（　　）
A．35种 B．70种 C．140种 D．210种
（多选）14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
▉题型4 部分元素不相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素不相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须保持不相邻．例如：在排列中，两个特定元素不能排在一起．
﹣这类问题通常通过排除法、间隔法或插空法来解决．
【解题方法点拨】
﹣使用间隔法，首先将不受限制的元素排列，然后在排列间隙中插入受限制的元素，保证其不相邻．
﹣排除法是先计算不考虑相邻条件的排列总数，再减去相邻元素排列的情况．
﹣对于更复杂的排列问题，可以结合插空法或利用递推关系进行解题．
15．甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（　　）
A．24种 B．36种 C．42种 D．48种
16．某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的1～6号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（　　）
A．48 B．96 C．128 D．186
17．甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（　　）
A．144种 B．168种 C．192种 D．216种
18．袋中装有红色小球1个、黄色小球2个、绿色小球3个，小球除了颜色外完全相同，现从中取出5个小球排成一行，相同颜色的小球不能相邻，则不同的排法种数为（　　）
A．8 B．11 C．12 D．15
19．7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有　　 种不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有　　 种不同的排法．（用数字作答）
▉题型5 部分元素相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列．例如：在排列中，两个或多个元素必须排在一起．
﹣这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列．
【解题方法点拨】
﹣通过将相邻的元素看作一个整体，然后对这个整体和其他元素一起进行排列．最后，再对这个整体内部的元素进行排列．
﹣使用乘法原理，将整体的排列与内部元素的排列相乘，得到总的排列数．
﹣对于涉及多个相邻元素的问题，可以进行多重整体处理，逐层递进排列．
20．7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（　　）
A．960 B．980 C．1060 D．1260
21．若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（　　）
A．4680 B．4320 C．3640 D．3860
22．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（　　）
A． B．
C． D．
23．有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法？（　　）
A．8 B．12 C．16 D．10
24．给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（　　）
A．216种 B．192种 C．180种 D．168种
▉题型6 其他排列形式及其计算
【知识点的认识】
﹣其他排列形式包括环形排列、多重排列等特殊形式的排列问题．环形排列是一种特殊排列，因首尾相连，所以排列数与线性排列不同．
﹣多重排列指存在相同元素的排列问题，计算时需要考虑重复元素的排列数量．
【解题方法点拨】
﹣在环形排列中，n个元素的环形排列数为，其中k是相同排列方式的重复次数（如对称性）．
﹣在处理多重排列时，使用多重排列公式，其中n1，n2，…，nk是相同元素的个数．
﹣对于涉及多个重复元素的排列问题，可能需要结合分步排列与组合计算．
25．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（　　）
A．96种 B．64种 C．32种 D．16种
26．如图是一个3×3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为 　 ．
（﹣1，1） （0，1） （1，1）
（﹣1，0） （0，0） （1，0）
（﹣1，﹣1） （0，﹣1） （1，﹣1）
27．某商场在过道上设有两排座位（每排4座）供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有 　　 种；若小明和小红坐在同一排，且每排都要有人坐，则不同的坐法有 　　 种．（用数字作答）
28．把5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 　　 种不同的装法．
29．定义空间直角坐标系中的任意点P（x，y，z）的“N数”为：在P点的坐标中不同数字的个数，如：N（1，1，1）＝1，N（1，3，1）＝2，N（1，2，3）＝3，若点P的坐标x，y，z∈{0，1，2，3}，则所有这些点P的“N数”的平均值与最小值之差为 　 ．
30．A、B、C、D、E五人按顺时针方向围成一圈玩传球游戏，要求每次只能传给不与自己相邻的人．游戏开始时，球在A手里，则经过5次传球，传到D手中，不同的传球方案共有 　　 种．

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