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第6章第1节 空间向量及其运算
题型1 空间向量的概念及属性 题型2 空间向量的加减运算
题型3 空间向量的数乘及线性运算 题型4 空间向量的共线与共面
题型5 空间向量的数量积运算 题型6 空间向量的投影向量与投影
▉题型1 空间向量的概念及属性
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
【解题方法点拨】
﹣熟悉空间向量的概念，以及空间向量的几何表示．
﹣类比平面向量的概念，延伸至三维空间．
1．已知非零空间向量、和，则下列说法正确的是（　　）
A．若，⊥，则∥ B．若⊥，⊥，则⊥
C．若⊥，∥，则∥ D．若⊥，∥，则
2．下列说法正确的是（　　）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
3．下列命题中为真命题的是（　　）
A．向量与的长度相等
B．空间向量就是空间中的一条有向线段
C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
（多选）4．下列说法，错误的为（　　）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是A与C重合，B与D重合
5．给出以下命题：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律：（）（）；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
上述命题中，真命题的序号是 　　 ．
▉题型2 空间向量的加减运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
【解题方法点拨】
﹣逐分量运算：按照向量的分量进行加减运算．
6．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AEAB，F是棱CD的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
8．已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（　　）
A． B． C． D．
9．若，，，则的值为（　　）
A．（4，6，﹣5） B．5 C．7 D．36
▉题型3 空间向量的数乘及线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，．
④|λ|＝|λ| ||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
【解题方法点拨】
﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘．
﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果．
10．如图，三棱锥O﹣ABC中，，，，且，，则（　　）
A． B．
C． D．
11．如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且，，，则（　　）
A． B．
C． D．
12．已知四面体OABC中，OA＝1，OB＝2，OC＝2，，空间一点M满足，若A，B，C，M四点共面，则（　　）
A． B． C． D．
13．空间四边形OABC中，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
14．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
▉题型4 空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．
（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
15．如图，在三棱锥O﹣ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，过点E作平面α，与射线OA、OB、OC的交点分别为P，Q，M．若，，，则2x+y+z的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．9
16．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
17．已知向量，且，则m+n＝　　 ．
18．已知向量，，，若，，共面，则x等于 　　 ．
▉题型5 空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作 ，即 ||||cos，
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：λ（） （）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
19．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°，则的模长为（　　）
A． B． C． D．
（多选）20．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l⊥α
（多选）21．已知空间向量，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则x＝1
C．若在上的投影向量为，则x＝4
D．若与夹角为锐角，则
22．已知正四面体P﹣ABC的棱长为4，空间内动点M满足，则 的最大值为 　　 ．
▉题型6 空间向量的投影向量与投影
【知识点的认识】
﹣投影向量：向量在上的投影是．
﹣投影长度：投影的长度为．
【解题方法点拨】
﹣计算投影：使用点积和向量模计算投影向量及其长度．
23．已知向量（0，0，1），（1，﹣1，1），向量在向量上的投影向量为（　　）
A．（0，0，2） B．（0，0，1） C．（0，0，﹣1） D．（0，0，﹣2）
24．已知向量（2，1，3），（1，2，4），则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
25．已知空间向量，则在上的投影的模为（　　）
A． B．1 C．2 D．
26．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）27．关于空间向量，以下说法正确的有（　　）
A．若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l∥α
B．若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量满足，则与夹角为钝角
D．若空间向量，则在上的投影向量为第6章第1节 空间向量及其运算
题型1 空间向量的概念及属性 题型2 空间向量的加减运算
题型3 空间向量的数乘及线性运算 题型4 空间向量的共线与共面
题型5 空间向量的数量积运算 题型6 空间向量的投影向量与投影
▉题型1 空间向量的概念及属性
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
【解题方法点拨】
﹣熟悉空间向量的概念，以及空间向量的几何表示．
﹣类比平面向量的概念，延伸至三维空间．
1．已知非零空间向量、和，则下列说法正确的是（　　）
A．若，⊥，则∥ B．若⊥，⊥，则⊥
C．若⊥，∥，则∥ D．若⊥，∥，则
【答案】D
【解答】解：对于A：当，且，和也可能不共线，故A错误；
对于B：若⊥，⊥，则和不一定垂直，故B错误；
对于C和D：若⊥，∥，则，故D正确，C错误．
故选：D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【答案】D
【解答】解：对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确．
故选：D．
3．下列命题中为真命题的是（　　）
A．向量与的长度相等
B．空间向量就是空间中的一条有向线段
C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【解答】解：对于A：向量与的长度相等，方向相反，故A正确；
对于B：空间向量可以用有向线段表示，但是不是有向线段，故B错误；
对于C：若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；
对于D：对于不相等的两个空间向量，它的模不一定不相等，故D错误．
故选：A．
（多选）4．下列说法，错误的为（　　）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是A与C重合，B与D重合
【答案】ABD
【解答】解：向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，
而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的，
故相等向量的起点和终点不一定相同，
表示它们的有向线段也不一定起点相同且终点也相同，故A、D两项错误；
两个向量的模长可比大小，但是两个向量本身不可以比较大小，故B项错误；
根据相反向量的定义，可知：若两个非零向量与满足，则为相反向量，故C项正确．
故选：ABD．
5．给出以下命题：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律：（）（）；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
上述命题中，真命题的序号是 　①③④　 ．
【答案】①③④．
【解答】解：对于①，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，可知两向量共面，故①正确；
对于②，两个相等向量需要大小相等，方向相同，故②错误；
对于③，空间向量的加法满足结合律：（）（），故③正确；
对于④，由向量加法的三角形法则可知：
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，故④正确．
故答案为：①③④．
▉题型2 空间向量的加减运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
【解题方法点拨】
﹣逐分量运算：按照向量的分量进行加减运算．
6．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由已知得．
故选：C．
7．如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AEAB，F是棱CD的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：E是棱AB上一点，且AEAB，F是棱CD的中点，
，，
．
故选：D．
8．已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：．
故选：B．
9．若，，，则的值为（　　）
A．（4，6，﹣5） B．5 C．7 D．36
【答案】B
【解答】解：，．
故选：B．
▉题型3 空间向量的数乘及线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，．
④|λ|＝|λ| ||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
【解题方法点拨】
﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘．
﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果．
10．如图，三棱锥O﹣ABC中，，，，且，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，，，
则
．
故选：C．
11．如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∵D是面BB1C1C的中心，且，，，
∴
（）
．
故选：D．
12．已知四面体OABC中，OA＝1，OB＝2，OC＝2，，空间一点M满足，若A，B，C，M四点共面，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：，
所以，
由A，B，C，M四点共面，知，解得，
又，，
∵，且，
∴
．
故选：B．
13．空间四边形OABC中，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，
∴
．
故选：B．
14．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由于四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，
所以．
故选：C．
▉题型4 空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．
（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
15．如图，在三棱锥O﹣ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，过点E作平面α，与射线OA、OB、OC的交点分别为P，Q，M．若，，，则2x+y+z的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【解答】解：由题意可知，，
因为，，，
所以，，，
则，
因为点P，Q，M共面，所以，且x＞0，y＞0，z＞0．
则，
又，当且仅当x＝y时取等号，
，当且仅当x＝z时取等号，
，当且仅当y＝z时取等号，
所以，当且仅当x＝y＝z时取等号，
故2x+y+z的最小值为4．
故选：B．
16．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【解答】解：因为若是空间的一个基底，所以依次分析各个选项如下：
选项A，若，，共面，
则存在实数x，y使得，
即，得到共面，与已知矛盾，所以A正确；
选项B，因为，所以，，共面，所以B错误；
选项C，因为，所以，，共面，所以C错误；
选项D，因为，所以，，共面，所以D错误．
故选：A．
17．已知向量，且，则m+n＝　﹣21　 ．
【答案】﹣21
【解答】解：向量，且，
则，解得m＝﹣7，n＝﹣14，
故m+n＝﹣21．
故答案为：﹣21．
18．已知向量，，，若，，共面，则x等于 　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵向量，，，，，共面，
∴设mn，则（1，x，﹣2）＝（n，m，2m），
∴，解得x＝m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
▉题型5 空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作 ，即 ||||cos，
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：λ（） （）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
19．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°，则的模长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，，
，，
又，
则
2，
所以．
故选：A．
（多选）20．关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l⊥α
【答案】ABD
【解答】解：A：在上的投影向量为，对；
B：在中，故P，A，B，C四点共面，对；
C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错；
D：由，即∥，故l⊥α，对．
故选：ABD．
（多选）21．已知空间向量，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则x＝1
C．若在上的投影向量为，则x＝4
D．若与夹角为锐角，则
【答案】ABD
【解答】解：对于A，∵，
∴，即，解得，故A正确；
对于B，∵，
∴，
∴9+x＝10，解得x＝1，故B正确，
对于C，在上的投影向量为：，即，代入坐标化简可得：x2﹣9x+50＝0，x无解，故C错误；
对于D，∵与夹角为锐角，
∴，解得，且与不共线，即，，解得x≠﹣6，
所以与夹角为锐角时，解得，故D正确．
故选：ABD．
22．已知正四面体P﹣ABC的棱长为4，空间内动点M满足，则 的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵正四面体P﹣ABC的棱长为4，空间内动点M满足，
设AB的中点为O，∵动点M满足，则，
故点M在以O为球心，以为半径的球面上．
∵，∴．
∴，
在三角形POC中，，PC＝4，
取PC的中点为E，OE⊥PC，
∴在上的投影向量的模为，∴．
设，夹角为θ，
∴．
∵cosθ∈[﹣1，1]，
∴，即的最大值为．
故答案为：．
▉题型6 空间向量的投影向量与投影
【知识点的认识】
﹣投影向量：向量在上的投影是．
﹣投影长度：投影的长度为．
【解题方法点拨】
﹣计算投影：使用点积和向量模计算投影向量及其长度．
23．已知向量（0，0，1），（1，﹣1，1），向量在向量上的投影向量为（　　）
A．（0，0，2） B．（0，0，1） C．（0，0，﹣1） D．（0，0，﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵（0，0，1），（1，﹣1，1），
∴，，
∴向量在向量上的投影向量为．
故选：A．
24．已知向量（2，1，3），（1，2，4），则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为向量（2，1，3），（1，2，4），
所以 2×1+1×2+3×4＝16，||，
所以向量在向量上的投影向量为 ．
故选：C．
25．已知空间向量，则在上的投影的模为（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解答】解：由已知条件，得，，
则在上的投影向量为，
所以在上的投影的模为．
故选：A．
26．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：已知向量，，
则，6，
则向量在向量上的投影向量坐标为（）．
故选：B．
（多选）27．关于空间向量，以下说法正确的有（　　）
A．若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l∥α
B．若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量满足，则与夹角为钝角
D．若空间向量，则在上的投影向量为
【答案】BD
【解答】解：直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，
因为，所以∥，则 l⊥α，故A错误；
因为，且，
所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
若，则，可得与夹角为钝角或平角，故C错误；
已知空间向量，则，
则在上的投影向量为 （0，，），故D正确．
故选：BD．

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