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第7章第4节 二项式定理
题型1 二项展开式的通项与项的系数 题型2 二项式系数与二项式系数的和
题型3 二项式系数的性质 题型4 二项式定理的应用
▉题型1 二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为，其中为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接找到所需项．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握二项式定理的通项公式，并理解通项公式中各项的意义．
﹣在涉及系数计算时，确定通项中k的值，并代入公式计算系数．对于较复杂的问题，可以先确定项数，再代入计算．
﹣在应用中，可能需要对展开式进行逆运算，即通过已知某一项的系数或幂次，反推出通项公式中的参数．
1．在（1+x2）（1﹣2x）4展开式中x3的系数为（　　）
A．﹣20 B．﹣30 C．﹣40 D．﹣50
【答案】C
【解答】解：因为（1+x2）（1﹣2x）4＝（1﹣2x）4+x2（1﹣2x）4，
故（1+x2）（1﹣2x）4展开式中x3的系数为．
故选：C．
2．的展开式中x3y3的系数为（　　）
A．﹣60 B．﹣80 C．100 D．120
【答案】A
【解答】解：由（2x+y）5的二项式的展开式（r＝0，1，2，3，4，5），
当与配对时，r＝3，故展开式中x3y3的系数为，
当与﹣y配对时，r＝2，故展开式中x3y3的系数为80，
故展开式中x3y3的系数为20﹣80＝﹣60．
故选：A．
3．（x﹣2）11展开式的各项系数之和为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．211
【答案】C
【解答】解：令x＝1，
即（x﹣2）11＝（1﹣2）11＝﹣1，
即（x﹣2）11展开式的各项系数之和为﹣1．
故选：C．
4．二项式展开式中，常数项为（　　）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
【答案】B
【解答】解：．
令12﹣4r＝0，解得r＝3，则常数数为．
故选：B．
▉题型2 二项式系数与二项式系数的和
【知识点的认识】
﹣二项式系数是二项展开式中各项的系数，其性质包括对称性、递推关系以及系数和的计算．例如：系数和的性质．
﹣这些性质在二项式定理的扩展应用中有重要作用，特别是涉及系数和的计算与证明．
【解题方法点拨】
﹣掌握二项式系数的基本性质，并应用这些性质简化计算或证明问题．
﹣在涉及系数和的计算问题中，可以直接应用性质公式，或通过二项展开式的求和进行推导．
﹣对于较复杂的系数和问题，考虑使用递推公式或对称性来简化求解过程．
5．在（3x﹣1）5的展开式中，各项系数之和为（　　）
A．1 B．16 C．32 D．243
【答案】C
【解答】解：令x＝1，可得各项系数之和为（3﹣1）5＝32．
故选：C．
6．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（　　）
A．16 B．﹣16 C．32 D．﹣32
【答案】D
【解答】解：由题意，2n＝32，解得n＝5，
令x＝1，可得的展开式中各项系数和为．
故选：D．
7．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（　　）
A．20 B．90 C．40 D．120
【答案】A
【解答】解：若展开式的二项式系数之和为64，
则2n＝64，解得n＝6，
故二项式的展开式通项，r＝0，1，2，…，6．
令6﹣2r＝0，即r＝3时，，
即展开式的常数项为20．
故选：A．
（多选）8．已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（　　）
A．n＝8
B．展开式中偶数项的二项式系数的和为28
C．展开式中各项系数的和为49
D．展开式中奇数项的系数的和为
【答案】AD
【解答】解：由题意可得：二项式展开式共有9项，
又项数为n+1＝9，
所以n＝8，故A正确；
因为n＝8，所以展开式中所有项的二项式系数的和为28，
由二项式的性质可知所有偶数项与奇数项的二项式系数和相等，
所以展开式中偶数项的二项式系数的和为27，故B错误；
令x＝1，可得（3+1）8＝a0+a1+a2+ +a8，
即，故C错误；
令x＝﹣1，可得（3﹣1）8＝a0﹣a1+a2﹣ +a8，即，
所以，所以，
所以展开式中奇数项的系数的和为，故D正确．
故选：AD．
（多选）9．已知（1﹣3x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，且展开式第6项与第7项的二项式系数相等，则下列结论中正确的是（　　）
A．a0＝1
B．a1+a2+ +an＝2047
C．a1＝﹣33
D．
【答案】ACD
【解答】解：由题意，，解得n＝11，
则（1﹣3x）11＝a0+a1x+a2x2+...+a11x11，
令x＝0，得，A正确；
令x＝1，得，所以，B不正确；
，C正确；
方程两边同时求导得，﹣33（1﹣3x）10＝a1+2a2x+3a3x2+...+11a11x10，
令，得，所以，D正确．
故选：ACD．
10．已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x3项的系数为 　﹣160　 .（用数字作答）
【答案】﹣160．
【解答】解：展开式的二项式系数之和为64，
则2n＝64，解得n＝6，
则的展开式的通项为，
令12﹣3r＝3，解得r＝3，
所以展开式中x3项的系数为．
故答案为：﹣160．
11．在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为　112　 ．（用数字作答）
【答案】112．
【解答】解：因为二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，所以n＝8，
故的展开式通项为，
令，解得r＝2，
所以展开式中x的系数为．
故答案为：112．
12．已知二项式．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】（1）60；
（2）T4＝﹣160．
【解答】解：（1）二项式的通项Tr+1（2x）6﹣r（﹣1）r26﹣r，r＝0，1，2，…，6．
令6r＝0，解得r＝4，
故展开式中的常数项为T5＝2260；
（2）依题意，展开式中二项式系数最大的项为中间项，即第4项，T4＝﹣23160．
▉题型3 二项式系数的性质
【知识点的认识】
﹣二项式系数具有多种性质，如对称性、递推关系（帕斯卡三角形）以及生成函数．理解这些性质对于复杂二项式展开的求解与证明至关重要．
﹣特别地，二项式系数的对称性和递推关系是常用的基本工具．
【解题方法点拨】
﹣熟练运用二项式系数的对称性和递推关系，特别是在复杂展开式或求和问题中，这些性质可以简化计算．
﹣在涉及多项式展开或二项式定理应用时，可以通过生成函数或其他工具进一步理解二项式系数的分布规律．
﹣对于证明问题，使用二项式系数的性质来构造证明路径，尤其是递推关系可以有效帮助推导复杂的等式．
13．在（1+x）6的展开式中，若xk与xk+2的系数相同，则k＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：（1+x）6的展开式的通项公式为，
由题可得：，
所以k+（k+2）＝6，解得k＝2．
故选：C．
14．若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（　　）
A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．90
【答案】B
【解答】解：由题意，展开式中所有项的二项式系数之和为2n＝1024，解得n＝10，
所以该展开式中的第r+1项为Tr+1（﹣1）r ，
其中r＝0，1，2，…，10，
取r＝2，可得常数项为T3＝（﹣1）2 45．
故选：B．
15．已知1，2，n成等比数列，则（x+1）n的展开式中所有项的系数之和为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解答】解：由题可得22＝1×n，故n＝4．
故（x+1）n＝（x+1）4，
令x＝1，得所有项的系数之和为（1+1）4＝16．
故选：C．
16．的展开式中，x﹣1的系数为（　　）
A．﹣54 B．﹣24 C．27 D．54
【答案】D
【解答】解：二项式的展开式通项为，
令r＝2，第三项的系数为，
则x﹣1的系数为54．
故选：D．
17．已知，则a2＝（　　）
A．﹣10 B．﹣40 C．10 D．40
【答案】D
【解答】解：已知，
所以．
故选：D．
▉题型4 二项式定理的应用
【知识点的认识】
﹣二项式定理在多个数学领域中有广泛的应用，包括组合数学、概率论以及多项式理论．其应用场景包括展开式的简化、系数的计算、概率问题的求解等．
﹣二项式定理的灵活运用可以帮助解决多种复杂的数学问题，特别是在涉及大规模计算时．
【解题方法点拨】
﹣通过熟练掌握二项式定理及其扩展公式，在实际问题中灵活运用．如在组合问题中，使用二项式定理求解复杂排列组合的结果．
﹣在概率论中，通过二项式定理计算特定事件发生的概率，特别是涉及独立重复试验的情境．
﹣在多项式或代数式的处理上，二项式定理可用于展开简化，或逆向推导未知量．
（多选）18．已知（1+a）3（1+b）5的展开式中，ambn的系数记为f（m，n），则（　　）
A．该展开式共有15项 B．f（2，1）+f（1，2）＝45
C． D．f（1，n）的最大值为30
【答案】BCD
【解答】解：（1+a）3（1+b）5的展开式中，ambn的系数记为f（m，n），
对于A，（1+b）5展开式中共有6项，（1+a）3展开式中共有4项，故（1+a）3（1+b）5展开式共有24项，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
当n＝2，或n＝3时，f（1，n）的值最大，为，故D正确．
故选：BCD．
19．二项式的展开式中的常数项为 　135　 ．
【答案】135．
【解答】解：展开式的通项为，
令，故r＝4，
所以二项式的展开式中的常数项为．
故答案为：135．
20．若（1+2x）n展开式中x5的系数与x6的系数相等，则n＝ 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：二项式（1+2x）n展开式的通项公式为，r＝0，1， ，n，n≥6，
因为展开式中x5的系数与x6的系数相等，
所以，化简得，即，解得n＝8．
故答案为：8．
21．已知（1+2026x）100+（2026﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+…+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，…，100}使得ak＜0，则k的最大值为　49　 ．
【答案】49．
【解答】解：二项式（1+2026x）100的通项为，r∈{0，1，2，…，100}，
二项式（2026﹣x）100的通项为Tr+12026100﹣r（﹣x）r，r∈{0，1，2，…，100}，
所以ak，k∈{0，1，2，…，100}，
若ak＜0，则k为奇数，此时，所以2026k﹣2026100﹣k＜0，
所以k＜100﹣k，解得k＜50，又因为k为奇数，所以k的最大值为49．
故答案为：49．
22．已知（3x﹣2）n＝a0+a1x+a2x2+ +anxn，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大．
（1）求（3x﹣2）n展开式的所有二项式系数之和；
（2）求的值；
（3）判断（3x﹣2）n的展开式中第几项系数的绝对值最大．
【答案】（1）1024；
（2）﹣1023；
（3）第5项系数的绝对值最大．
【解答】解：（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以n＝10，
所以展开式的所有二项式系数之和为210＝1024．
（2）令x＝0，得．
令，得...，
所以...．
（3）（3x+2）10展开式的通项．
由得．
因为r为整数，所以r＝4，所以（3x﹣2）10的展开式中第5项系数的绝对值最大．第7章第4节 二项式定理
题型1 二项展开式的通项与项的系数 题型2 二项式系数与二项式系数的和
题型3 二项式系数的性质 题型4 二项式定理的应用
▉题型1 二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为，其中为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接找到所需项．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握二项式定理的通项公式，并理解通项公式中各项的意义．
﹣在涉及系数计算时，确定通项中k的值，并代入公式计算系数．对于较复杂的问题，可以先确定项数，再代入计算．
﹣在应用中，可能需要对展开式进行逆运算，即通过已知某一项的系数或幂次，反推出通项公式中的参数．
1．在（1+x2）（1﹣2x）4展开式中x3的系数为（　　）
A．﹣20 B．﹣30 C．﹣40 D．﹣50
2．的展开式中x3y3的系数为（　　）
A．﹣60 B．﹣80 C．100 D．120
3．（x﹣2）11展开式的各项系数之和为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．211
4．二项式展开式中，常数项为（　　）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
▉题型2 二项式系数与二项式系数的和
【知识点的认识】
﹣二项式系数是二项展开式中各项的系数，其性质包括对称性、递推关系以及系数和的计算．例如：系数和的性质．
﹣这些性质在二项式定理的扩展应用中有重要作用，特别是涉及系数和的计算与证明．
【解题方法点拨】
﹣掌握二项式系数的基本性质，并应用这些性质简化计算或证明问题．
﹣在涉及系数和的计算问题中，可以直接应用性质公式，或通过二项展开式的求和进行推导．
﹣对于较复杂的系数和问题，考虑使用递推公式或对称性来简化求解过程．
5．在（3x﹣1）5的展开式中，各项系数之和为（　　）
A．1 B．16 C．32 D．243
6．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（　　）
A．16 B．﹣16 C．32 D．﹣32
7．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（　　）
A．20 B．90 C．40 D．120
（多选）8．已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（　　）
A．n＝8
B．展开式中偶数项的二项式系数的和为28
C．展开式中各项系数的和为49
D．展开式中奇数项的系数的和为
（多选）9．已知（1﹣3x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，且展开式第6项与第7项的二项式系数相等，则下列结论中正确的是（　　）
A．a0＝1
B．a1+a2+ +an＝2047
C．a1＝﹣33
D．
10．已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x3项的系数为 　　 .（用数字作答）
11．在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为　　 ．（用数字作答）
12．已知二项式．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
▉题型3 二项式系数的性质
【知识点的认识】
﹣二项式系数具有多种性质，如对称性、递推关系（帕斯卡三角形）以及生成函数．理解这些性质对于复杂二项式展开的求解与证明至关重要．
﹣特别地，二项式系数的对称性和递推关系是常用的基本工具．
【解题方法点拨】
﹣熟练运用二项式系数的对称性和递推关系，特别是在复杂展开式或求和问题中，这些性质可以简化计算．
﹣在涉及多项式展开或二项式定理应用时，可以通过生成函数或其他工具进一步理解二项式系数的分布规律．
﹣对于证明问题，使用二项式系数的性质来构造证明路径，尤其是递推关系可以有效帮助推导复杂的等式．
13．在（1+x）6的展开式中，若xk与xk+2的系数相同，则k＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
14．若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（　　）
A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．90
15．已知1，2，n成等比数列，则（x+1）n的展开式中所有项的系数之和为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
16．的展开式中，x﹣1的系数为（　　）
A．﹣54 B．﹣24 C．27 D．54
17．已知，则a2＝（　　）
A．﹣10 B．﹣40 C．10 D．40
▉题型4 二项式定理的应用
【知识点的认识】
﹣二项式定理在多个数学领域中有广泛的应用，包括组合数学、概率论以及多项式理论．其应用场景包括展开式的简化、系数的计算、概率问题的求解等．
﹣二项式定理的灵活运用可以帮助解决多种复杂的数学问题，特别是在涉及大规模计算时．
【解题方法点拨】
﹣通过熟练掌握二项式定理及其扩展公式，在实际问题中灵活运用．如在组合问题中，使用二项式定理求解复杂排列组合的结果．
﹣在概率论中，通过二项式定理计算特定事件发生的概率，特别是涉及独立重复试验的情境．
﹣在多项式或代数式的处理上，二项式定理可用于展开简化，或逆向推导未知量．
（多选）18．已知（1+a）3（1+b）5的展开式中，ambn的系数记为f（m，n），则（　　）
A．该展开式共有15项 B．f（2，1）+f（1，2）＝45
C． D．f（1，n）的最大值为30
19．二项式的展开式中的常数项为 　　 ．
20．若（1+2x）n展开式中x5的系数与x6的系数相等，则n＝ 　　 ．
21．已知（1+2026x）100+（2026﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+…+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，…，100}使得ak＜0，则k的最大值为　 ．
22．已知（3x﹣2）n＝a0+a1x+a2x2+ +anxn，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大．
（1）求（3x﹣2）n展开式的所有二项式系数之和；
（2）求的值；
（3）判断（3x﹣2）n的展开式中第几项系数的绝对值最大．

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