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第8章第1节 条件概率
题型1 求解条件概率 题型2 条件概率乘法公式及应用
题型3 全概率公式 题型4 贝叶斯公式
▉题型1 求解条件概率
【知识点的认识】
﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．
﹣计算：其中P（B）＞0．
【解题方法点拨】
﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算．
1．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对（x，y），则总共有6×6＝36种可能，
设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，
所以事件A包含的样本点有3×6＝18个，
事件B包含的基本事件有：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
事件AB包含的基本事件有：（3，5），（5，3），
所以，，
所以．
故选：D．
2．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可知，事件表示“比赛进行两局，且甲获得冠军”，即前两局都是甲获胜，
所以，
又因为，
所以．
故选：C．
3．本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%，下雨的概率为30%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（　　）
A．30% B．15% C．10% D．6%
【答案】B
【解答】解：记吹风为事件A，下雨为事件B，
由题意可知，P（A）＝20%，P（B）＝30%，P（A∪B）＝35%，
因为P（A∩B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∪B）＝20%+30%﹣35%＝15%，
所以既吹南风又下雨的概率为15%．
故选：B．
4．若，，，则P（A）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，
所以，解得．
故选：C．
（多选）5．设事件A，B满足，且P（A）≠0，P（B）≠0，则（　　）
A．事件A与事件B一定不相互独立
B．事件A与事件B一定不互斥
C．在事件A发生的条件下，事件B发生与不发生的概率相等
D．在事件B发生的条件下，事件A发生与不发生的概率相等
【答案】BC
【解答】解：由P（A）＝P（AB）+P（AB）＝2P（AB），可得，
A：若事件A与事件B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），
即，因为P（A）＞0，所以，故A错误；
B：事件A与事件B互斥的充要条件是P（AB）＝0，
由于，一定不互斥，故B正确；
C：由题易知，即，
所以在事件A发生的条件下，事件B发生与不发生的概率相等，故C正确；
D：例如P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，由题易知事件A与事件B相互独立，
则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.3，，
即，则，故D错误．
故选：BC．
（多选）6．下列关于随机事件的概率说法正确的是（　　）
A．若A B，则事件B发生，事件A一定发生
B．若P（A∪B）＝P（A）+P（B），则事件A与B互斥
C．若P（A|B）＝P（A），则事件A与B独立
D．若，P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则事件A与B独立
【答案】BCD
【解答】解：对于A选项，若A B，则事件B发生，事件A不一定发生，故A错误；
对于B选项，若P（A∪B）＝P（A）+P（B），则事件A与B互斥，故B正确；
对于C选项，若P（A|B）＝P（A）且由条件概率公式可得，
所以，所以P（AB）＝P（A）P（B），则事件A与B独立，故C正确；
对于D选项，若P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则，，
所以，故与独立，即事件A与B独立，故D正确．
故选：BCD．
7．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则P（B|A）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数有6种情况，
掷出点数是偶数记为事件A，有3种情况：2，4，6，所以，
由于掷出点数为4记为事件B，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为AB，
所以，所以．
故答案为：．
▉题型2 条件概率乘法公式及应用
【知识点的认识】
﹣条件概率乘法公式：．
【解题方法点拨】
﹣使用条件概率乘法公式计算交事件的概率，适用于涉及条件概率的复合事件问题．
8．已知，，则P（AB）等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵，且
∴P（AB）＝P（A）×P（B|A）
故选：C．
9．已知P（B|A），P（AB），则P（A）等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵P（B|A），P（AB），
∴P（A）．
故选：C．
（多选）10．已知随机事件A，B满足，，P（B|A）＝P（B），则（　　）
A．事件A与事件B相互独立
B．
C．
D．
【答案】AD
【解答】解：对于A，由P（B|A）＝P（B），得，即P（BA）＝P（B）P（A），事件A与事件B相互独立，A正确；
对于B，由选项A知，事件相互独立，
随机事件A，B满足，，
则，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确．
故选：AD．
（多选）11．现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记A1（i＝1，2，3）表示第i号箱子有奖品，Bj（j＝2，3）表示主持人打开第j号箱子．则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大
D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变
【答案】BC
【解答】解：甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即P（B3|A2）＝1，A错误；
A1（i＝1，2，3）表示第i号箱子有奖品，Bj（j＝2，3）表示主持人打开第j号箱子，
由题意可知，，，P（B3|A2）＝1，P（B3|A3）＝0，
则，
因此，B正确；
对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子，
若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误．
故选：BC．
12．对于随机事件A，B，若，，，则P（A）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，，且，
，
又由P（B）＝P（AB）+P（B），则，
又由，则P（A），
故．
故答案为：．
13．已知随机事件，则P（AB）＝　　 ．　　 ．
【答案】．
【解答】解：由概率的乘法公式得P（AB）．
因为P（）＝1，P（AB），则P（A），
所以由条件概率公式得．
故答案为：．
▉题型3 全概率公式
【知识点的认识】
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P（B）．
14．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测．依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示．若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设事件A：该观众私自携带应援物品；事件B：安检门亮灯提示，
则P（A），P（B|A），P（），P（B|），
，
某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为P（A|B），
所以．
故选：B．
15．已知，，，则P（N）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由全概率公式知
，
所以．
故选：A．
16．甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动．已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9．若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：用事件A，B分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，
则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”，
周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9．
则，，
，
所以．
故选：D．
17．某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为0.6，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（　　）
A．0.8 B．0.68 C．0.6 D．0.2
【答案】B
【解答】解：根据题意，设该考试他知道正确答案为事件A，则P（A）＝0.6，P（）＝0.4；
那么他答对题目的概率P＝P（A）×1+P（）×0.2＝0.6+0.4×0.2＝0.68．
故选：B．
（多选）18．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件A1、A2，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解答】解：A2表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型，选项A正确；
当A2发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球，
可得，选项B错误；
A1B表示A1和B同时发生，，当A1发生，即从甲袋取出一个红球放入乙袋，
此时乙口袋中装有3个红球，1个白球，，
根据条件概率公式可得，选项C正确；
综合以上分析得到
，选项D正确．
故选：ACD．
▉题型4 贝叶斯公式
【知识点的认识】
贝叶斯公式：若事件A1，A2，…，构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个不为零的时间B，都有：
．
【解题方法点拨】
贝叶斯公式和全概率公式的联系：
（1）各原因下条件概率已知，用全概率公式求事件发生概率；
（2）事件已发生，求是某种原因造成的概率，用贝叶斯公式．
19．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（　　）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【解答】解：设A表示该汽车是货车，B表示该汽车是客车，
则P（A），P（B），
设E表示汽车中途停车修理，
则P（E|A）＝0.02，P（E|B）＝0.01，
今有一辆汽车中途停车修理，则由贝叶斯公式得该汽车是货车的概率为：
P（A|E）0.8．
故选：D．
20．托马斯 贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率．假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设从甲中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为Ai，事件A的概率为P（Ai），从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为B，事件B的概率为P（B），由题意可知，
①P（A0），P（B|A0），
②P（A1），P（B|A1），
③P（A2），P（B|A2），
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为P（A2|B）．
故选：C．
21．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 　　 ．
【答案】
【解答】解：设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2，显然A1，A2为样本空间的一个完备事件组，且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）．
由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）（1+p）．
由贝叶斯公式得，P（A1|A2）．
故答案为：．第8章第1节 条件概率
题型1 求解条件概率 题型2 条件概率乘法公式及应用
题型3 全概率公式 题型4 贝叶斯公式
▉题型1 求解条件概率
【知识点的认识】
﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．
﹣计算：其中P（B）＞0．
【解题方法点拨】
﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算．
1．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
2．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（　　）
A． B． C． D．
3．本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%，下雨的概率为30%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（　　）
A．30% B．15% C．10% D．6%
4．若，，，则P（A）＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）5．设事件A，B满足，且P（A）≠0，P（B）≠0，则（　　）
A．事件A与事件B一定不相互独立
B．事件A与事件B一定不互斥
C．在事件A发生的条件下，事件B发生与不发生的概率相等
D．在事件B发生的条件下，事件A发生与不发生的概率相等
（多选）6．下列关于随机事件的概率说法正确的是（　　）
A．若A B，则事件B发生，事件A一定发生
B．若P（A∪B）＝P（A）+P（B），则事件A与B互斥
C．若P（A|B）＝P（A），则事件A与B独立
D．若，P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则事件A与B独立
7．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则P（B|A）＝　　 ．
▉题型2 条件概率乘法公式及应用
【知识点的认识】
﹣条件概率乘法公式：．
【解题方法点拨】
﹣使用条件概率乘法公式计算交事件的概率，适用于涉及条件概率的复合事件问题．
8．已知，，则P（AB）等于（　　）
A． B． C． D．
9．已知P（B|A），P（AB），则P（A）等于（　　）
A． B． C． D．
（多选）10．已知随机事件A，B满足，，P（B|A）＝P（B），则（　　）
A．事件A与事件B相互独立
B．
C．
D．
（多选）11．现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记A1（i＝1，2，3）表示第i号箱子有奖品，Bj（j＝2，3）表示主持人打开第j号箱子．则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大
D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变
12．对于随机事件A，B，若，，，则P（A）＝ 　　 ．
13．已知随机事件，则P（AB）＝　　 ．　　 ．
▉题型3 全概率公式
【知识点的认识】
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P（B）．
14．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测．依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示．若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（　　）
A． B． C． D．
15．已知，，，则P（N）＝（　　）
A． B． C． D．
16．甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动．已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9．若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（　　）
A． B． C． D．
17．某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为0.6，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（　　）
A．0.8 B．0.68 C．0.6 D．0.2
（多选）18．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件A1、A2，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C． D．
▉题型4 贝叶斯公式
【知识点的认识】
贝叶斯公式：若事件A1，A2，…，构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个不为零的时间B，都有：
．
【解题方法点拨】
贝叶斯公式和全概率公式的联系：
（1）各原因下条件概率已知，用全概率公式求事件发生概率；
（2）事件已发生，求是某种原因造成的概率，用贝叶斯公式．
19．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（　　）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
20．托马斯 贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率．假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
21．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 　　 ．

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