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第7章第3节 组合
题型1 组合数的化简计算及证明 题型2 简单组合问题
题型3 人员及物品分配问题 题型4 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
题型5 其他组合形式及计算 题型6 排列组合的综合应用
▉题型1 组合数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣组合数表示从n个不同元素中选出r个元素的总数，其公式为．
﹣组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握组合数公式，并理解其对称性和递推关系．组合数的性质如对称性是化简计算的重要工具．
﹣证明组合恒等式时，常用的方法包括代数方法、递推公式以及归纳法．
﹣在涉及复杂组合问题时，可以使用组合数的递推关系来进行逐步化简．
1．若，则的值为（　　）
A．14 B．84 C．34 D．204
【答案】C
【解答】解：因为，所以m＝2m﹣2或m+2m﹣2＝16，解得m＝2或m＝6，
又由所求，可得m＝6，
所以4+10+20＝34．
即的值为34．
故选：C．
2．若，则（　　）
A．48 B．108 C．114 D．126
【答案】C
【解答】解：由题意，n＝6，则6×5×4120﹣6＝114．
故选：C．
3．已知m，n∈N*且m≤n，则下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于A，，所以，故A错误；
对于B，由组合数的计算公式知，，故B错误；
对于C，，
所以，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：C．
4．（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
【答案】C
【解答】解：20．
故选：C．
5．计算：　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：．
▉题型2 简单组合问题
【知识点的认识】
﹣简单组合问题涉及无任何特殊限制的组合情况．n个不同元素中选出r个元素的组合总数为．
﹣这类问题是组合问题的基础，强调对基本组合公式的理解与应用．
【解题方法点拨】
﹣直接应用组合公式进行计算．在实际问题中，注意理解组合与排列的区别，组合不考虑顺序，而排列考虑顺序．
﹣对于简单组合问题，可以通过列举法或公式直接求解．
﹣在复杂组合问题中，分类讨论和递推公式可能是有效的解题工具．
6．某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（　　）
A．60 B．20 C．12 D．10
【答案】D
【解答】解：根据题意，从5个景点中选3个景点去游玩，有10种选法．
故选：D．
7．我国唐朝诗人白居易描写西湖的美景诗云：“乱花渐欲迷人眼，浅草才能没马蹄．最爱湖东行不足，绿杨阴里白沙堤．”十一假期间小明准备从苏堤春晓、平湖秋月、柳浪闻莺、花港观鱼、双峰插云五个景点中选择两个景点游玩，则苏堤春晓、平湖秋月景点都没被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：从苏堤春晓、平湖秋月、柳浪闻莺、花港观鱼、双峰插云五个景点中选两个的基本事件总个数为，
又苏堤春晓、平湖秋月景点都没被选中的基本事件个数为，
故所求概率为．
故选：A．
8．某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有　20　 种．（用数字作答）
【答案】20．
【解答】解：依题意，选法有种．
故答案为：20．
▉题型3 人员及物品分配问题
【知识点的认识】
﹣人员及物品分配问题涉及将不同人员或物品进行分配的组合问题．例如：将n个人分配到k个小组，或者将m个物品分配给p个人．
﹣这类问题通常涉及组合与排列的综合应用，以及对分配方案的合理性判断．
【解题方法点拨】
﹣根据分配的要求，首先分析每种分配情况的可能性，然后分别计算不同情况的组合数或排列数．
﹣对于不同分配方式，可以使用加法原理和乘法原理进行综合计算．对于更复杂的分配问题，分类讨论是必要的．
﹣分配问题中，考虑限制条件（如某些人或物品必须被分配到特定组）的情况，可以先处理有限制的部分，再进行剩余部分的分配．
9．将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（　　）
A．1615 B．1716 C．286 D．364
【答案】C
【解答】解：先将编号分别为2，3，4的三个盒子中分别放1，2，3个小球，
则问题转化为将14个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数为至少1个，
则不同的放法种数为286．
故选：C．
（多选）10．6本不同的画册要分给甲、乙、丙三人，每人最少一本，则下列说法正确的为（　　）
A．甲分得4本，则不同的分法有30种
B．甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则不同的分法有60种
C．每人2本，则不同的分法有540种
D．甲至少分得3本，则不同的分法有150种
【答案】ABD
【解答】解：对于A，不同分法有种，故A正确；
对于B，不同的分法有60种，故B正确；
对于C，不同的分法有种，故C错误；
对于D，若甲分得3本，则不同的分法有种，
若甲分得4本，则不同的分法有30种，
故共有120+30＝150种，故D正确．
故选：ABD．
11．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 　15　 种．
【答案】15．
【解答】解：根据题意，不妨记两本相同的图书为元素1，1，两本不同的音乐书为元素3，4，
需要先将4本书分为3组，再分配给3个小朋友，
分3种情况讨论：
若分为（13、1、4）的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况；
若分为（14、1、3）的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况；
若分为（1、1、34）的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况；
综上，不同的分法共有6+6+3＝15种．
故答案为：15．
▉题型4 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【知识点的认识】
﹣这类问题涉及从不同类别的人员或物品中进行挑选的组合问题．例如：从若干类别的物品中各选出一定数量的组合问题．
﹣这类问题通常涉及分类讨论与组合公式的综合应用．
【解题方法点拨】
﹣首先按类别进行组合数计算，再将各类别的组合数相乘，得到总的组合数．注意区分不同类别的组合要求，以及每类物品或人员的选择范围．
﹣分类讨论是解决此类问题的有效策略，先处理每个类别的选择情况，再综合计算．
﹣在涉及多个类别的组合问题中，可以通过递推公式或生成函数来简化计算．
12．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（　　）
A．110种 B．100种 C．90种 D．80种
【答案】B
【解答】解：已知某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，
且去甲校的人数不得少于丙校，
若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种；
若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种；
所以满足条件的不同的派遣方案有70+30＝100种．
故选：B．
13．3名同学计划去A，B，C，D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（　　）
A．81 B．64 C．24 D．12
【答案】B
【解答】解：已知3名同学计划去A，B，C，D四个景点游玩，每人只去1个景点，
则每位同学均有4个选择，
所以不同选法种数是43＝64．
故选：B．
14．现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校的有（　　）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】B
【解答】解：现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，
从4所学校任取1所的2名教师，再从余下3所学校取2所，并分别取1名教师，
所求的不同方法种数为．
故选：B．
15．某校举办中学生运动会，某班的甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别报名参加跳远、跳高、铅球、跑步4个项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（　　）
A．60种 B．120种 C．180种 D．240种
【答案】C
【解答】解：满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有3种，
再将余下4人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，故满足条件的报名方法有，
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有3×36＝108种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，
再安排余下三人，有种方法，
所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有12×6＝72种，
所以满足条件的不同的报名方法共有72+108＝180种方法．
故选：C．
▉题型5 其他组合形式及计算
【知识点的认识】
﹣其他组合形式包括多重组合、环形组合、特殊排列组合等．例如：考虑相同元素或重复元素的组合，或者在特殊条件下的组合问题．
﹣这些问题通常需要综合运用组合数、排列数以及递推公式进行计算．
【解题方法点拨】
﹣在复杂组合问题中，可能需要引入递推关系或生成函数进行逐步推导．
16．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（　　）
A．3 B．6 C．10 D．15
【答案】B
【解答】解：将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，
先每个盒子中放1个小球，
然后将剩下的5个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放1个小球，
则不同放法的种数为6．
故选：B．
17．把20个相同的小球放到三个编号为1、2、3的盒子里，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有 　78　 种放法．
【答案】78．
【解答】解：根据题意，20个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的14个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，
将剩下的14个球排成一排，有13个空位，在13个空位中任选2个，插入挡板，有78种不同的放法．
故答案为：78．
18．（1）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
（2）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】（1）150；（2）243；（3）6；（4）21．
【解答】解：（1）将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，
将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为35＝243种；
（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，
所以，不同的放法种数为种．
19．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分法？
（1）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）平均分成三组，每组2本．
【答案】（1）90；（2）15．
【解答】解：（1）从6本不同的书中任取2本给甲，再从余下4本书中任取2本书给乙，最后2本给丙，
所以平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本的不同分法数为（种）．
（2）6本不同的书平均分成三组，每组2本的不同分法数为（种）．
▉题型6 排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
20．某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（　　）
A．12种 B．14种 C．24种 D．48种
【答案】A
【解答】解：由题意知，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，
先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法，
第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，
然后再分到两个校区，共有种方法，
第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区，
根据分步乘法计数原理知不同的分配方案共有2×6＝12．
故选：A．
21．甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（　　）
A．24种 B．30种 C．36种 D．42种
【答案】B
【解答】解：甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，
甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案，
当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案，
故不同的分配方案共有6+24＝30种．
故选：B．
22．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解答】解：由题意可得：5名教师志愿者有两名教师到同一个地点，另外3名教师到剩下的3个地点，
则不同的分配方案共有240种．
故选：C．
23．某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（　　）
A．14 B．64 C．72 D．80
【答案】B
【解答】解：因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，
所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有4×8×2＝64种．
故选：B．
24．某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有　12　 种．
【答案】12．
【解答】解：由题意6名教师，平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，
可先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法，
第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，然后再分到两个校区，共有种方法，
第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区，根据分步乘法计数原理知不同的分配方案共有2×6＝12．
故答案为：12．第7章第3节 组合
题型1 组合数的化简计算及证明 题型2 简单组合问题
题型3 人员及物品分配问题 题型4 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
题型5 其他组合形式及计算 题型6 排列组合的综合应用
▉题型1 组合数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣组合数表示从n个不同元素中选出r个元素的总数，其公式为．
﹣组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握组合数公式，并理解其对称性和递推关系．组合数的性质如对称性是化简计算的重要工具．
﹣证明组合恒等式时，常用的方法包括代数方法、递推公式以及归纳法．
﹣在涉及复杂组合问题时，可以使用组合数的递推关系来进行逐步化简．
1．若，则的值为（　　）
A．14 B．84 C．34 D．204
2．若，则（　　）
A．48 B．108 C．114 D．126
3．已知m，n∈N*且m≤n，则下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
5．计算：　 ．
▉题型2 简单组合问题
【知识点的认识】
﹣简单组合问题涉及无任何特殊限制的组合情况．n个不同元素中选出r个元素的组合总数为．
﹣这类问题是组合问题的基础，强调对基本组合公式的理解与应用．
【解题方法点拨】
﹣直接应用组合公式进行计算．在实际问题中，注意理解组合与排列的区别，组合不考虑顺序，而排列考虑顺序．
﹣对于简单组合问题，可以通过列举法或公式直接求解．
﹣在复杂组合问题中，分类讨论和递推公式可能是有效的解题工具．
6．某人计划去广西旅游，打算从北海银滩、钦州三娘湾、桂林漓江、大新德天瀑布、百色乐业大石围天坑这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（　　）
A．60 B．20 C．12 D．10
7．我国唐朝诗人白居易描写西湖的美景诗云：“乱花渐欲迷人眼，浅草才能没马蹄．最爱湖东行不足，绿杨阴里白沙堤．”十一假期间小明准备从苏堤春晓、平湖秋月、柳浪闻莺、花港观鱼、双峰插云五个景点中选择两个景点游玩，则苏堤春晓、平湖秋月景点都没被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有　　 种．（用数字作答）
▉题型3 人员及物品分配问题
【知识点的认识】
﹣人员及物品分配问题涉及将不同人员或物品进行分配的组合问题．例如：将n个人分配到k个小组，或者将m个物品分配给p个人．
﹣这类问题通常涉及组合与排列的综合应用，以及对分配方案的合理性判断．
【解题方法点拨】
﹣根据分配的要求，首先分析每种分配情况的可能性，然后分别计算不同情况的组合数或排列数．
﹣对于不同分配方式，可以使用加法原理和乘法原理进行综合计算．对于更复杂的分配问题，分类讨论是必要的．
﹣分配问题中，考虑限制条件（如某些人或物品必须被分配到特定组）的情况，可以先处理有限制的部分，再进行剩余部分的分配．
9．将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（　　）
A．1615 B．1716 C．286 D．364
（多选）10．6本不同的画册要分给甲、乙、丙三人，每人最少一本，则下列说法正确的为（　　）
A．甲分得4本，则不同的分法有30种
B．甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则不同的分法有60种
C．每人2本，则不同的分法有540种
D．甲至少分得3本，则不同的分法有150种
11．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 　　 种．
▉题型4 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【知识点的认识】
﹣这类问题涉及从不同类别的人员或物品中进行挑选的组合问题．例如：从若干类别的物品中各选出一定数量的组合问题．
﹣这类问题通常涉及分类讨论与组合公式的综合应用．
【解题方法点拨】
﹣首先按类别进行组合数计算，再将各类别的组合数相乘，得到总的组合数．注意区分不同类别的组合要求，以及每类物品或人员的选择范围．
﹣分类讨论是解决此类问题的有效策略，先处理每个类别的选择情况，再综合计算．
﹣在涉及多个类别的组合问题中，可以通过递推公式或生成函数来简化计算．
12．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（　　）
A．110种 B．100种 C．90种 D．80种
13．3名同学计划去A，B，C，D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（　　）
A．81 B．64 C．24 D．12
14．现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校的有（　　）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
15．某校举办中学生运动会，某班的甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别报名参加跳远、跳高、铅球、跑步4个项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（　　）
A．60种 B．120种 C．180种 D．240种
▉题型5 其他组合形式及计算
【知识点的认识】
﹣其他组合形式包括多重组合、环形组合、特殊排列组合等．例如：考虑相同元素或重复元素的组合，或者在特殊条件下的组合问题．
﹣这些问题通常需要综合运用组合数、排列数以及递推公式进行计算．
【解题方法点拨】
﹣在复杂组合问题中，可能需要引入递推关系或生成函数进行逐步推导．
16．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（　　）
A．3 B．6 C．10 D．15
17．把20个相同的小球放到三个编号为1、2、3的盒子里，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有 　　 种放法．
18．（1）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
（2）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
19．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分法？
（1）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）平均分成三组，每组2本．
▉题型6 排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
20．某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（　　）
A．12种 B．14种 C．24种 D．48种
21．甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（　　）
A．24种 B．30种 C．36种 D．42种
22．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
23．某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（　　）
A．14 B．64 C．72 D．80
24．某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有　12　 种．

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