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第8章第3节 正态分布
题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
▉题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
1．已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＞3）＝0.2，则P（1＜X≤3）＝（　　）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【答案】B
【解答】解：因为X N（2，σ2），
所以由正态分布图象的对称性可知，P（X＜1）＝P（X＞3）＝0.2，
所以P（1＜X≤3）＝1﹣P（X≤1）﹣P（X＞3）＝0.6．
故选：B．
2．某种植园种植的脐橙单果质量ξ（单位：g）近似服从正态分布N（200，25），现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（　　）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
A．130 B．228 C．260 D．1587
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，可知μ＝200，σ＝5，
∴，
故估计单果质量不低于210g的脐橙个数为10000×0.0228＝228．
故选：B．
3．设随机变量X～N（3，10），a＝P（X＜3），，c＝ln3﹣ln2，则（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，，
因为，所以，
所以，，
所以c＜a＜b．
故选：A．
4．已知随机变量ξ N（1，2），设函数f（x）＝P（ξ≤x）．若a＞0，b＞0，且f（a）+f（2b）＝1，则a2+b2的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由f（a）+f（2b）＝1，可得P（ξ≤a）+P（ξ≤2b）＝1，
故a+2b＝2×1＝2，
又a＞0，b＞0，可得a＝2﹣2b＞0，解得b＜1，
故a2+b2＝（2﹣2b）2+b2＝5b2﹣8b+4，对称轴b∈（0，1），
故当b时，a2+b2的最小值为5×（）2﹣84．
故选：B．
5．已知随机变量ξ～N（1，σ2），且P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥a），则（0＜x＜a）的最小值为（　　）
A．9 B．3 C． D．
【答案】B
【解答】解：已知随机变量ξ～N（1，σ2），且P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥a），可得a＝3，
．
当且仅当，即x＝1时，等号成立，
则所求最小值为3．
故选：B．
6．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X≤4）＝0.8，则P（0≤X≤2）＝（　　）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【答案】C
【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X≤4）＝0.8，
∴P（2≤X≤4）＝P（X≤4）﹣P（X≤2）＝0.8﹣0.5＝0.3，
∴P（0≤X≤2）＝P（2≤X≤4）＝0.3．
故选：C．
7．已知随机变量ξ N（0，1），设函数f（x）＝P（﹣4x＜ξ＜4﹣4x），则f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：随机变量ξ～N（0，1），则正态分布曲线关于ξ＝0对称，
又函数f（x）＝P（﹣4x＜ξ＜4﹣4x），
因为f（1﹣x）＝P[﹣4（1﹣x）＜ξ＜4﹣4（1﹣x）]＝P（4x﹣4＜ξ＜4x），
因为ξ～N（0，1），所以根据对称性可知f（x）＝f（1﹣x），
所以函数f（x）的图象关于对称，故排除AC；
当时，，所以排除D．
故选：B．
8．设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜3）＝0.8，则P（1＜X＜2）＝（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.9
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，X～N（2，σ2）且P（X＜3）＝0.8，
所以P（X＜2）＝0.5，
所以P（2＜X＜3）＝P（X＜3）﹣P（X＜2）＝0.8﹣0.5＝0.3，
所以P（1＜X＜2）＝P（2＜X＜3）＝0.3．
故选：A．
9．某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N（50，0.22），质检员随机抽取100个零件，尺寸在[49.8，50.2]内的零件个数约为（　　）（参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827）
A．68 B．75 C．82 D．95
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，μ＝50，σ＝0.2，
∴P（49.8≤X≤50.2）＝P（50﹣0.2≤X≤50+0.2）≈0.6827，
∵质检员随机抽取100个零件，
∴尺寸在[49.8，50.2]内的零件个数约为：100×0.6827≈68个．
故选：A．
10．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤﹣3）＝P（X≥3a﹣1），则展开式中x2的系数为（　　）
A．﹣8 B．﹣4 C．8 D．24
【答案】A
【解答】解：由正态分布的对称性，得﹣3+3a﹣1＝1×2，解得a＝2，
的展开式的通项公式为：Tr+1 x4﹣r （）r＝（﹣2）r x4﹣2r，r＝0，1，2，3，4，
令4﹣2r＝2，可得r＝1，
故展开式中x2的系数为：（﹣2）1 8．
故选：A．
11．已知随机变量X～N（2，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.3，则P（0＜X＜4）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】C
【解答】解：已知随机变量X～N（2，σ2），其图像关于x＝2对称，
因为0和4关于x＝2对称，所以P（X＜0）＝P（X＞4）＝0.3，
根据概率总和为1，可得：P（0＜X＜4）＝1﹣P（X＜0）﹣P（X＞4）＝1﹣0.3﹣0.3＝0.4．
故选：C．
12．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤1）＝P（ξ≥a），则的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据正态分布的知识得a+1＝2×2＝4 a＝3，则0＜x＜3，3﹣x＞0，
，
当且仅当，即时取等．
故选：D．
13．某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量X N（100，256）（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（　　）
（若随机变量X N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）
A．191 B．137 C．159 D．164
【答案】D
【解答】解：根据题意，X N（100，256），则有μ＝100，σ＝16，
．
故200天内团购券的核销量在84到132张的天数大约是200×0.8186＝163.72≈164．
故选：D．
14．已知随机变量ξ～N（3，4），则“a＝3”是“P（ξ＜a）”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：已知随机变量ξ～N（3，4），则该正态分布曲线的对称轴为μ＝3，
若a＝3，则P（ξ＜a），则充分性成立，
又P（ξ＜a），则a＝3，则必要性成立，
则“a＝3”是“P（ξ＜a）”的充要条件．
故选：C．
15．某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2）（σ＞0），则下列结论中不正确的是（　　）
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.8，10.2）内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在（9.8，10.2）与落在（10，10.4）的概率相等
【答案】D
【解答】解：已知某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2）（σ＞0），
对于A，σ越小，正态曲线越瘦高，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在（9.8，10.2）内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在（9.8，10.2）的概率与落在（10，10.4）的概率不同，
所以一次测量结果落在（9.8，10.2）的概率与落在（10，10.4）的概率不同，故D错误．
故选：D．
16．下列说法正确的是（　　）
A．线性回归分析中决定系数R2用来刻画回归的效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
C．正态分布N（μ，σ2）的图象越瘦高，σ越大
D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
【答案】D
【解答】解：对于A，R2值越大，则模型的拟合效果越好，故A错误；
对于B，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故B错误；
对于C，正态分布N（μ，σ2）的图象越瘦高，σ越小，故C错误；
对于D，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故D正确．
故选：D．
17．连续型随机变量X～N，令函数f（x）＝P（X≥x），则下列选项正确的是（　　）
A．
B．f（x）是增函数
C．f（x）的图象关于轴对称
D．f（x）的图象关于点中心对称
【答案】D
【解答】解：已知连续型随机变量X～N，令函数f（x）＝P（X≥x），
对于A，因为，所以，错误；
对于B，根据正态分布曲线，当x增大时f（x）＝P（X≥x）减少，所以f（x）是减函数，错误；
对于C，，显然f（x）的图象不关于轴对称，错误；
对于D，因为X服从正态分布，正态曲线关于对称，
所以，则，正确．
故选：D．
18．已知随机变量ξ：N～（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则的最小值为（　　）
A．9 B．8 C． D．6
【答案】B
【解答】解：随机变量ξ～N（1，σ2），
则正态分布的曲线的对称轴为ξ＝1，
∵P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），
∴0+a＝2，解得a＝2，
当0＜x＜2时，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为8．
故选：B．
19．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b+1），则a2+b2的最小值为（　　）
A． B． C．8 D．
【答案】A
【解答】解：由正态分布曲线的对称性可知，2，
即a+b＝3，
所以，当且仅当时取等号，
所以a2+b2的最小值为．
故选：A．
20．设随机变量Z～N（μ，1），函数f（x）＝x3﹣3x2+Z x在定义域R上是单调递增函数的概率为，则P（1＜Z≤2）＝（　　）
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.954．
A．0.1587 B．0.1355 C．0.2718 D．0.3413
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，f（x）＝x3﹣3x2+Z x，所以f′（x）＝3x2﹣6x+Z＝3（x﹣1）2+Z﹣3，
若f′（x）＝3（x﹣1）2+Z﹣3≥0对任意实数x恒成立，则Z≥3，
所以，
又Z N（μ，1），所以μ＝3，σ＝1，μ﹣σ＝2，μ+σ＝4，μ﹣2σ＝1，μ+2σ＝5，
所以P（2＜Z≤4）≈0.683，P（1＜Z≤5）≈0.954，
则．
故选：B．
21．已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2）且P（X≤5）＝0.25，则P（X≥7）＝　0.25　 ．
【答案】0.25．
【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（6，σ2）且P（X≤5）＝0.25，
所以P（X≥7）＝P（X≤5）＝0.25．
故答案为：0.25．第8章第3节 正态分布
题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
▉题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
1．已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＞3）＝0.2，则P（1＜X≤3）＝（　　）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3
2．某种植园种植的脐橙单果质量ξ（单位：g）近似服从正态分布N（200，25），现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（　　）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
A．130 B．228 C．260 D．1587
3．设随机变量X～N（3，10），a＝P（X＜3），，c＝ln3﹣ln2，则（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
4．已知随机变量ξ N（1，2），设函数f（x）＝P（ξ≤x）．若a＞0，b＞0，且f（a）+f（2b）＝1，则a2+b2的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知随机变量ξ～N（1，σ2），且P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥a），则（0＜x＜a）的最小值为（　　）
A．9 B．3 C． D．
6．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X≤4）＝0.8，则P（0≤X≤2）＝（　　）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
7．已知随机变量ξ N（0，1），设函数f（x）＝P（﹣4x＜ξ＜4﹣4x），则f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜3）＝0.8，则P（1＜X＜2）＝（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.9
9．某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N（50，0.22），质检员随机抽取100个零件，尺寸在[49.8，50.2]内的零件个数约为（　　）（参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827）
A．68 B．75 C．82 D．95
10．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤﹣3）＝P（X≥3a﹣1），则展开式中x2的系数为（　　）
A．﹣8 B．﹣4 C．8 D．24
11．已知随机变量X～N（2，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.3，则P（0＜X＜4）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
12．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤1）＝P（ξ≥a），则的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
13．某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量X N（100，256）（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（　　）
（若随机变量X N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）
A．191 B．137 C．159 D．164
14．已知随机变量ξ～N（3，4），则“a＝3”是“P（ξ＜a）”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2）（σ＞0），则下列结论中不正确的是（　　）
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.8，10.2）内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在（9.8，10.2）与落在（10，10.4）的概率相等
16．下列说法正确的是（　　）
A．线性回归分析中决定系数R2用来刻画回归的效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
C．正态分布N（μ，σ2）的图象越瘦高，σ越大
D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
17．连续型随机变量X～N，令函数f（x）＝P（X≥x），则下列选项正确的是（　　）
A．
B．f（x）是增函数
C．f（x）的图象关于轴对称
D．f（x）的图象关于点中心对称
18．已知随机变量ξ：N～（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则的最小值为（　　）
A．9 B．8 C． D．6
19．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b+1），则a2+b2的最小值为（　　）
A． B． C．8 D．
20．设随机变量Z～N（μ，1），函数f（x）＝x3﹣3x2+Z x在定义域R上是单调递增函数的概率为，则P（1＜Z≤2）＝（　　）
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.954．
A．0.1587 B．0.1355 C．0.2718 D．0.3413
21．已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2）且P（X≤5）＝0.25，则P（X≥7）＝　　 ．

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