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第9章第2节 独立性检验
题型1 等高堆积条形图 题型2 独立性检验
▉题型1 等高堆积条形图
【知识点的认识】
﹣等高堆积条形图：用于显示分类数据的组成部分，条形的高度代表总体数值的累积．
【解题方法点拨】
﹣绘制：将不同分类的数值堆叠在条形上，展示每部分的相对比例．
（多选）1．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（　　）
A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
【答案】AC
【解答】解：该平台女性主播占比的估计值为60%×40%+30%×30%+10%×70%＝0.4，A选项正确；
随机抽取一位主播是中年男性的概率为30%×70%＝0.21，B选项错误；
用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取20×30%＝6名，C选项正确；
随机选取一位做为幸运主播，设该幸运主播是青年人为事件A，该幸运主播是女性为事件B，则，D选项错误；
故选：AC．
（多选）2．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（　　）
附：，
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C．依据α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
【答案】ABD
【解答】解：随机抽取了300名学生，则经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人，
A，由等高堆积条形图知，男生中经常锻炼的人数200×50%＝100人，不经常锻炼的人数为100×60%＝60人，∴正确，
B，由等高堆积条形图知，女生中经常锻炼的人数200×50%＝100人，不经常锻炼的人数为100×40%＝40人，
∴从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为，∴正确，
C，∵X22.706，
∴依据α＝0.1的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，∴错误，
D，2×2列联表如下，
性别 锻炼情况 合计
不经常 经常
女生 80 200 280
男生 120 200 320
合计 200 400 600
∴X25.357＞3.841，
∴依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，∴正确．
故选：ABD．
3．等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比．北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便．石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
A材料 B材料 合计
试验成功
试验失败
合计
单位：次
（1）根据等高堆积条形图，填写2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元．试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表如下：
A材料 B材料 合计
试验成功 45 30 75
试验失败 5 20 25
合计 50 50 100
有99.9%的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）石墨烯发热膜的定价至少为2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标．
【解答】解：（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：
A材料 B材料 合计
试验成功 45 30 75
试验失败 5 20 25
合计 50 50 100
计算可得，
依据α＝0.001的独立性检验，有99.9%的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为X万元，
则X的可能取值为0，0.2，0.4，0.6，0.8，
所以，，，，
所以X的分布列为：
X 0 0.2 0.4 0.6 0.8
P
所以，
即石墨烯发热膜的定价至少为1+1+0.233＝2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标．
4．为持续深化“一盔一带”安全守护行动，有效遏制和减少因电动车闯红灯、逆行、不佩戴安全头盔等行为带来的交通安全隐患，2022年5月以来，泰安交警景区大队根据辖区实际．稳步推进“一盔一带”安全守护行动，确保辖区道路交通环境畅通、有序，该行动开展一段时间后，针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，其中年龄低于40岁占60%，得到如图的等高堆积条形图．
（1）据等积条所给的数据，完成下面的列联表：
年龄 佩戴头盔 合计
是 否
年龄低于40岁
年龄不低于40岁
合计
（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为佩戴安全头盔与年龄有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.05 0.01 0.005
xα 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）答案见解答；
（2）认为佩戴安全头盔与年龄无关．
【解答】解：（1）根据等高堆积条形图所给的数据，得列联表如下：
年龄 佩戴头盔 合计
是 否
年龄低于40岁 540 60 600
年龄不低于40岁 340 60 400
合计 880 120 1000
（2）零假设为H0：佩戴安全头盔与年龄无关，
根据列联表中的数据，计算得：，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，即认为佩戴安全头盔与年龄无关．
▉题型2 独立性检验
【知识点的认识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
5．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（　　）
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
附：
P（X2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.789
A．有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【答案】D
【解答】解：列出2×2列联表：
男生 女生
篮球迷 90 20 110
非篮球迷 60 30 90
150 50 200
零假设为H0：认为是否是篮球迷与性别无关联，
由表中数据计算可得，
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关．
故选：D．
6．已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（　　）
A．吸烟者一定会患肺癌
B．吸烟者患肺癌的概率为99%
C．100个吸烟者大约有99个会患肺癌
D．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1%
【答案】D
【解答】解：已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，
根据独立性检验相关知识可得，认为”吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1%．
故选：D．
7．下列说法正确的是（　　）
K2的部分临界值如下表：
P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.025 0.01
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等
B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等
C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强
D．已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到K2的观测值k≈5.527，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y没有关系
【答案】A
【解答】解：对于A，由题意，若一组数据x1，x2， ，xn的标准差，
则有，故A正确；
对于B，两组数据的标准差相等，若是都为1和都为2的两组数据，则这两组数据的平均数不相等，故B错误；
对于C，两个变量的相关系数越接近于0，两个变量的相关性越弱，故C错误；
对于D，k≈5.527＞5.024，根据独立性检验原理，
在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y有关系，故D错误．
故选：A．
8．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2≈0.837，依据小概率值α＝0.1（x0.1＝2.706）的独立性检验，则（　　）
A．变量x与y不独立
B．变量x与y独立
C．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
【答案】B
【解答】解：已知χ2≈0.837，小概率值α＝0.1对应的临界值x0.1＝2.706，
由于0.837＜2.706，故依据该独立性检验，认为变量x与y独立．
故选：B．
9．为调查中学生近视情况，随机抽取某校男生150名，女生140名，其中，男生中有80名近视，女生中有70名近视．在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是（　　）
A．均值与方差 B．排列与组合
C．概率 D．独立性检验
【答案】D
【解答】解：由题意可知，检验两个变量是否相关时，应选择独立性检验．
故选：D．
10．某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查．已知抽查的男生、女生人数均为6m（m∈N*），其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的．若本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则m的最小值为（　　）附：参考公式及数据：．
a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】D
【解答】解：由题意可得列联表如下：
男性 女性 合计
喜爱乒乓球 4m 3m 7m
不喜爱乒乓球 2m 3m 5m
合计 6m 6m 12m
则χ2m，
若本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”，
所以有χ2≥7.879，解得m≥22.980，
又因为上述列联表中的所有数字均为整数，m最小为23．
故选：D．
11．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.974，依据α＝0.05的独立性检验，结论为（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
【答案】B
【解答】解：因为χ2＝3.974＞3.841，
所以变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05．
故选：B．
12．在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量χ2的值为α．已知P（χ2≥3.841）≈0.05，则（　　）
A．α的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
B．α的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
C．α的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小
D．α的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大
【答案】B
【解答】解：因为P（χ2≥3.841）≈0.05，
所以若α的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”，
故A错误，B正确；
由独立性检验的性质可知，α的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差，
故C错误，D错误．
故选：B．
（多选）13．下列论述正确的是（　　）
A．已知随机变量，则E（X）＝3
B．数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5
C．对某两个分类变量进行独立性检验时，若χ2≥x0.05，则有95%的把握能推断零假设成立．其中x0.05表示概率值0.05所对应的临界值
D．记两个变量的样本相关系数为r，若|r|越接近1，线性相关程度越强
【答案】ABD
【解答】解：对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：数据1，3，9，4，5，16，7，11从小到大排列为1，3，4，5，7，9，11，16，
因为8×25%＝2，所以数据下四分位数为，故B正确；
对于C：当χ2≥x0.05，有95%的把握能推断零假设不成立，故C不正确；
对于D：根据相关系数的性质可知|r|越接近1，线性相关程度越强，故D正确．
故选：ABD．
（多选）14．下列说法正确的是（　　）
A．依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.301＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，没有充分的证据推断x与y有关联
B．极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度
C．若事件A、B发生的概率分别为P（A）、P（B），且P（A）P（B）＝P（AB），则A与B独立
D．若随机变量X N（4，σ2），且，则
【答案】BCD
【解答】解：对于A：因为χ2＝7.301＞6.635＝x0.01，
所以认为变量x与y有关联，故A错误；
对于B：因为极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度，故B正确；
对于C：根据定义，若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与B相互独立，故C正确；
对于D：由X N（4，σ2），则μ＝4，
因为，则，
所以，故D正确．
故选：BCD．
（多选）15．下列说法正确的是（　　）
A．数据﹣3，﹣1，3，7，8，9，11，15的下四分位数是1
B．若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数R2越大的模型，拟合效果越好
C．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，则n＝48
D．依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.998＞0.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，可以认为两个变量没有关联
【答案】ABC
【解答】解：对于A：8个数从小到大排列，因为8×0.25＝2，且，
可得下四分位数是1，故A正确；
对于B：由决定系数R2越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故B正确；
对于C：因为X～B（n，p），E（X）＝36，D（X）＝9，
则，解得：n＝48，，故C正确；
对于D：由χ2＝6.998＞6.635＝x0.01，依据α＝0.01的独立性检验，
可以认为两个变量有关联的可信度越高，故D错误．
故选：ABC．
16．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断 　拒绝　 原假设H0．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．）
【答案】拒绝．
【解答】解：由题意可知，χ2≈3.468＞2.707，
所以可推断拒绝原假设H0．
故答案为：拒绝．
17．某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生至少有 　45　 人．
参考数据：，P（χ2≥3.841）＝0.05．
【答案】45．
【解答】解：设被调查的男女生为5m人，则男生喜欢抖音有4m人，女生喜欢抖音有3m人，
则2×2列联表如下：
喜欢抖音 不喜欢抖音 总计
男生 4m m 5m
女生 3m 2m 5m
总计 7m 3m 10m
若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，
则，解得，
因此被调查的男生为5m≥40.35，又m∈N*，则人数是5的正整数倍，
所以大于等于45的5的整数倍都符合题意，调查人数中男生至少有45人．
故答案为：45．
18．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，至少有 　95%　 的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系．
身高 体重
超重 不超重 总计
偏高 4 1 5
不偏高 3 12 15
总计 7 13 20
附表：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
【答案】95%．
【解答】解：由2×2列联表可知，χ25.934，
因为3.841＜5.934＜6.635，
所以至少有95%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系．
故答案为：95%．
19．某校对“学生性别和喜欢某热门软件是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该软件的人数占男生人数的，女生喜欢该软件的人数占女生人数．若有95%的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则男生至少有 　12　 人．
α 0.050 0.010
xα 3.841 6.635
【答案】12．
【解答】解：设男生人数为x，则女生人数为，则列联表如下：
喜欢该软件 不喜欢该软件 合计
男生 x
女生
合计 x
若有95%的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，
则，
解得x＞10.24．
又因为，，，为整数，
所以男生至少有12人．
故答案为：12．
20．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生 60 20 80
北方学生 10 10 20
合计 70 30 100
附：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”　有　 （填有或没有）．
【答案】有．
【解答】解：由题意可知，K24.762，
因为4.762＞3.841，
所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
故答案为：有．
21．已知某独立性检验中，由χ2，n＝a+b+c+d，计算出χ2＝χ12≠0，若将2×2列联表中的数据a，b，c，d分别变成4a，4b，4c，4d，计算出的χ2＝χ22，则χ22是χ12的多少倍　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：根据题意可知，
．
故答案为：4．
22．近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以（H1N1）pdm09亚型为主．为考察某新药A预防甲流的效果，进行了个体（单位：例）试验，得到如下列联表：
药物 疾病 总计
未患病 患病
未服用 80 180
服用 150
总计 250 400
（1）请完成2×2列联表，记未服用新药A的个体患甲流的概率为P，给出P的估计值；
（2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为新药A对预防甲流有效？
P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附：
【答案】（1）
药物 疾病 总计
未患病 患病
未服用 100 80 180
服用 150 70 220
总计 250 150 400
；
（2）认为药物A对预防甲流有效．
【解答】解：（1）由题意可得2×2列联表，
药物 疾病 总计
未患病 患病
未服用 100 80 180
服用 150 70 220
总计 250 150 400
所以未服用药物A的个体患甲流的概率的估计值为；
（2）零假设为H0：药物A对预防甲流无效，
由列联表得到，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为药物A对预防甲流有效，该推断错误的概率不超过0.01，
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能认为药物A对预防甲流有效．
23．某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表：
生产线 检测结果 合计
合格 优良
甲生产线 20 180 200
乙生产线 60 240 300
合计 80 420 500
（1）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？
（2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品．
（i）求抽出的产品是优良品的概率；
（ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率．
附：，
α 0.1 0.01 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
【答案】（1）有关联；
（2）（i）；（ii）．
【解答】解：（1）提出零假设H0：产品检测结果与生产线没有关联，
由，
根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，推断H0不成立，
即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于0.01；
（2）用样本估计总体，频率估计概率，
现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品，
设事件A＝“被选出的是甲生产线”，事件B＝“取出的产品是优良品”；
（ⅰ）依题意，，
，
由全概率公式得：；
（ⅱ）已知取出的产品是优良品，则它是从甲生产线取出的概率为：
．第9章第2节 独立性检验
题型1 等高堆积条形图 题型2 独立性检验
▉题型1 等高堆积条形图
【知识点的认识】
﹣等高堆积条形图：用于显示分类数据的组成部分，条形的高度代表总体数值的累积．
【解题方法点拨】
﹣绘制：将不同分类的数值堆叠在条形上，展示每部分的相对比例．
（多选）1．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（　　）
A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
（多选）2．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（　　）
附：，
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C．依据α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
3．等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比．北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便．石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
A材料 B材料 合计
试验成功
试验失败
合计
单位：次
（1）根据等高堆积条形图，填写2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元．试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
4．为持续深化“一盔一带”安全守护行动，有效遏制和减少因电动车闯红灯、逆行、不佩戴安全头盔等行为带来的交通安全隐患，2022年5月以来，泰安交警景区大队根据辖区实际．稳步推进“一盔一带”安全守护行动，确保辖区道路交通环境畅通、有序，该行动开展一段时间后，针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，其中年龄低于40岁占60%，得到如图的等高堆积条形图．
（1）据等积条所给的数据，完成下面的列联表：
年龄 佩戴头盔 合计
是 否
年龄低于40岁
年龄不低于40岁
合计
（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为佩戴安全头盔与年龄有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.05 0.01 0.005
xα 3.841 6.635 7.879
▉题型2 独立性检验
【知识点的认识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
5．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（　　）
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
附：
P（X2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.789
A．有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
6．已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（　　）
A．吸烟者一定会患肺癌
B．吸烟者患肺癌的概率为99%
C．100个吸烟者大约有99个会患肺癌
D．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1%
7．下列说法正确的是（　　）
K2的部分临界值如下表：
P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.025 0.01
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等
B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等
C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强
D．已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到K2的观测值k≈5.527，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量X，Y没有关系
8．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2≈0.837，依据小概率值α＝0.1（x0.1＝2.706）的独立性检验，则（　　）
A．变量x与y不独立
B．变量x与y独立
C．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
9．为调查中学生近视情况，随机抽取某校男生150名，女生140名，其中，男生中有80名近视，女生中有70名近视．在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是（　　）
A．均值与方差 B．排列与组合
C．概率 D．独立性检验
10．某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查．已知抽查的男生、女生人数均为6m（m∈N*），其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的．若本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，则m的最小值为（　　）附：参考公式及数据：．
a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．20 B．21 C．22 D．23
11．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.974，依据α＝0.05的独立性检验，结论为（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
12．在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量χ2的值为α．已知P（χ2≥3.841）≈0.05，则（　　）
A．α的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
B．α的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
C．α的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小
D．α的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大
（多选）13．下列论述正确的是（　　）
A．已知随机变量，则E（X）＝3
B．数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5
C．对某两个分类变量进行独立性检验时，若χ2≥x0.05，则有95%的把握能推断零假设成立．其中x0.05表示概率值0.05所对应的临界值
D．记两个变量的样本相关系数为r，若|r|越接近1，线性相关程度越强
（多选）14．下列说法正确的是（　　）
A．依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.301＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，没有充分的证据推断x与y有关联
B．极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度
C．若事件A、B发生的概率分别为P（A）、P（B），且P（A）P（B）＝P（AB），则A与B独立
D．若随机变量X N（4，σ2），且，则
（多选）15．下列说法正确的是（　　）
A．数据﹣3，﹣1，3，7，8，9，11，15的下四分位数是1
B．若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数R2越大的模型，拟合效果越好
C．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，则n＝48
D．依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.998＞0.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，可以认为两个变量没有关联
16．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断 　　 原假设H0．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．）
17．某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生至少有 　　 人．
参考数据：，P（χ2≥3.841）＝0.05．
18．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，至少有 　　 的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系．
身高 体重
超重 不超重 总计
偏高 4 1 5
不偏高 3 12 15
总计 7 13 20
附表：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
19．某校对“学生性别和喜欢某热门软件是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该软件的人数占男生人数的，女生喜欢该软件的人数占女生人数．若有95%的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则男生至少有 　　 人．
α 0.050 0.010
xα 3.841 6.635
20．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生 60 20 80
北方学生 10 10 20
合计 70 30 100
附：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”　　 （填有或没有）．
21．已知某独立性检验中，由χ2，n＝a+b+c+d，计算出χ2＝χ12≠0，若将2×2列联表中的数据a，b，c，d分别变成4a，4b，4c，4d，计算出的χ2＝χ22，则χ22是χ12的多少倍　　 ．
22．近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以（H1N1）pdm09亚型为主．为考察某新药A预防甲流的效果，进行了个体（单位：例）试验，得到如下列联表：
药物 疾病 总计
未患病 患病
未服用 80 180
服用 150
总计 250 400
（1）请完成2×2列联表，记未服用新药A的个体患甲流的概率为P，给出P的估计值；
（2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为新药A对预防甲流有效？
P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附：
23．某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表：
生产线 检测结果 合计
合格 优良
甲生产线 20 180 200
乙生产线 60 240 300
合计 80 420 500
（1）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？
（2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品．
（i）求抽出的产品是优良品的概率；
（ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率．
附：，
α 0.1 0.01 0.001
xα 2.706 6.635 10.828

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