资源简介

2 菱形的性质与判定
课题 第1课时 菱形的性质 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P5-7
教学目标 1.经历菱形性质定理的探索过程，掌握菱形性质的应用，进一步发展合理推理能力。 2.掌握菱形面积的求法。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。
教学重难点 重点：菱形的性质定理、菱形面积的求法。 难点：菱形性质定理的灵活应用。
教学准备 多媒体课件、直尺、菱形纸片
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.知识回顾，导入新课 在上一节中，我们学习了菱形的定义，知道了菱形具有平行四边形的所有性质.回顾一下，菱形的定义是什么，它有哪些和一般平行四边形相同的性质？ 学生回答：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形，菱形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。 那么菱形还有哪些特殊性质呢？与同伴进行交流. 教师活动：教师提出问题，引导学生思考、交流。 学生回答，老师总结，引出新课。 【归纳总结】 菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 如何证明这些结论呢，我们这节课来学习菱形的性质（教师板书课题：第1课时 菱形的性质） 教师通过让学生复习回顾菱形的定义和所具有的平行四边形的性质，巩固所学知识，在此基础上，引导学生重点思考菱形的特殊性。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：得到的“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个结论是否正确呢？我们必须加以证明，那么证明的环节有哪些？如何证明这两个性质呢？请同学们先思考。在学生思考、交流的基础上，展示证明过程。 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。 求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）。 又∵AB=AD， ∴AB=BC=CD=AD。 （2）∵AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴BO=OD（菱形的对角线互相平分）。 在等腰三角形ABD中， ∵BO=OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD。 【归纳总结】 由此得到了菱形的两个性质定理： 定理：菱形的四条边相等。 定理：菱形的对角线互相垂直。 【探究2】 思考·交流： 你是如何发现菱形的特殊性质的？与同伴交流你的经验. 学生回答：“看着像”“用直尺量了”“将菱形沿对角线折叠，发现四边都能重合” 教师活动：“很好！‘看着像’‘量出来’‘折着看’都是我们最初发现性质的方法。这些方法虽然不像证明那样绝对，但它们是数学发现的起点。观察和实验是发现问题的眼睛，逻辑和证明是确认真理的大脑。两者结合，才是完整的数学学习。希望大家在以后学习矩形、正方形时，也能主动运用今天分享的这些“小妙招”。 【教材例题】 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6。 （1）AB和AC的长； （2）求菱形ABCD的面积。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD（菱形的四条边相等）， AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， OB=OD=BD=3（菱形的对角线互相平分）。 在等腰三角形ABD中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD为等边三角形。 ∴AB=BD=6． 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2， ∴OA===3。 ∴AC=2OA=6（菱形的对角线互相平分）。 （2）菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积 =2×BD·AE =2××6×3 =18（cm2）。 教师活动：通过第（2）小问，我们得到菱形面积可以怎样计算？ 学生回答：可以拆分成几个三角形的面积和计算，可以通过对角线进行计算。 教师总结：非常好！大家发现了菱形面积计算的两种重要思路。 第一种是割补法——将菱形分成两个或四个三角形，分别求出面积再相加； 第二种是对角线法——菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半 通过观察得到猜想，然后通过严谨的证明成为定理，才能用来解决其他问题。教学中，定理的证明也可以让学生自己完成，再与教材中的过程对比。无论采用哪种方式，都应鼓励学生先独立思考、分析证明思路。 帮助学生从“被动接受结论”转向“主动回顾发现过程”，从而掌握合情推理的方法，积累探究经验，提升几何直观与交流能力，真正实现“知其然，亦知其所以然，更知其何以知其然”。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。
3.学以致用，应用新知 考点1 菱形的四条边相等 例1 边长为3 cm的菱形的周长是（ ） A. 6 cm B. 9 cm C. 12 cm D. 15 cm 答案：C 变式训练 已知菱形ABCD的周长为20 cm，∠A∶∠ABC=1∶2，则BD= cm。 答案：5 考点2 菱形的对角线互相垂直 例2 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE。 （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB，DC=AB。 又∵BE=AB， ∴DC=BE。 ∵DC∥BE， ∵四边形DBEC是平行四边形， ∴BD∥EC。 （2）由（1）可知BD∥EC， ∴∠ABO=∠E=50°。 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD。 ∴∠BAO=90°-∠ABO=90°-50°=40°。 变式训练 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中线，连接OM。若AC=4，BD=8，则OM的长为_________。 答案： 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“菱形的四条边相等”的性质，此性质一般跟菱形的周长有关，有时会考查在直角坐标系中应用。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“菱形的对角线互相垂直”的性质，此性质一般会跟勾股定理或三角形其它性质结合考查。
4.随堂训练，巩固新知 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 答案：C 2. 如图，菱形ABCD的边长为10，∠A=120°，则点A到BD的距离等于（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 答案：A 3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，点A的坐标为（-3，4），则顶点B的坐标是（ ） A. （-5，4） B. （-6，3） C. （-8，4） D. （2，4） 答案：C 4. 已知菱形的面积为24 cm2，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的边长是（ ） A. 8 cm B. 5 cm C. 10 cm D. 4.8 cm 答案：B 5. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4 cm，BD=8 cm，则这个菱形的面积是_________cm2。 答案：16 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若AD=BD，则BE与AD的数量关系是_______。 答案：AD=4BE 7. 在菱形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD上的中点，连接AP，AQ。 图1 图2 （1）如图1，求证：AP=AQ； （2）如图2，连接PQ，若AP⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等于30°的角。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D。 ∵P，Q分别是边BC，CD上的中点， ∴BP=BC，DQ=CD， ∴BP=DQ， ∴△ABP≌△ADQ（SAS）， ∴AP=AQ。 （2）由（1）知BP=BC。 ∵AP⊥BC， ∴根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，得∠BAP=30°。 ∵△ABP≌△ADQ， ∴∠DAQ=30°， ∴∠B=∠D=60°， ∴∠BAD=∠C=120°。 ∵P，Q分别是边BC，CD上的中点，∴CP=CQ， ∴∠CPQ=∠CQP=（180°-∠C）=（180°-120°）=30°。 综上所述，∠BAP，∠DAQ，∠CPQ，∠CQP的度数为30°。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.菱形的性质： 定理：菱形的四条边相等。 定理：菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的面积： 菱形是特殊的平行四边形，所以平行四边形的面积公式同样适用于菱形，即“底×高”，要注意底与高必须是相互对应的。另外由于菱形的特殊性，它的面积等于其两条对角线长的乘积的一半。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P9习题1.2中的T1、T2、T3、T4、T5、T8、T9。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 菱形的性质一、菱形的性质二、菱形的面积投影区1.定理2.定理学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，提高学生的逻辑推理能力。 反思，更进一步提升。

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