资源简介

2 菱形的性质与判定
课题 第2课时 菱形的判定 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P7-8
教学目标 1.掌握菱形的判定方法，会用这些判定方法进行有关的论证和计算。在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力。 2.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法，并能有效地解决问题，尝试比较不同判定方法之间的差异，并获得判定四边形是菱形的经验。 3.理解探索结论和证明结论的过程，掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好习惯。
教学重难点 重点：探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求和方法。 难点：明确推理证明的条件和结论，能用数学语言正确表达。
教学准备 多媒体课件、直尺、圆规、长方形纸片。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 上节课我们学习了菱形的定义和性质，请同学们找一找，生活中有哪些地方存在菱形？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 教师活动：同学们回答的很好，但是判断一个图形是不是菱形，光靠直观的感受是不够的，在数学上，还需要严格的证明，这节课，我们来学习菱形的判定。（教师板书课题： 第2课时 菱形的判定） 教师活动：同学们观察多媒体中展示的过程，判断四边形ABFE是什么形状？判定的依据是什么？ 学生回答：四边形ABFE是菱形，根据菱形的定义来判定的。 总结：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。实际上菱形的定义本身也是菱形的一种判定方法。 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 在菱形定义的基础上，使学生拓展思维，加深对菱形定义的理解。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：除了运用菱形的定义，你认为还有什么条件可以判定一个平行四边形是菱形呢？（先想一想，再与同伴交流） 师生活动：教师板书写出菱形两条性质，引导学生根据菱形的性质考虑菱形的判定方法。 教师活动：我们可以发现：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。同学们能证明这两个结论吗？ 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD，BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD。 求证： ABCD是菱形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC。 又∵AC⊥BD， ∴直线BD是线段AC的垂直平分线。 ∴BA=BC。 ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）。 【归纳总结】 定理：四边相等的四边形是菱形 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【探究2】 教师活动：我们已经学习了菱形的两个判定定理，现在，我们反过来思考：已知线段a，如何用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a。（教师板书一条线段a） 师生活动：教师安排同学们自主尝试，有困难的同学可请教或小组间相互交流。等待大部分学生做完图后，由学生代表上台在黑板上展示作图的方法。 教师活动：教师多媒体展示一种作图方法，并提问：满足（1）中的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流. 学生活动：与同伴比较所作出的菱形，观察它们是否相同。讨论为什么给定AC=a后菱形还是不唯一。 教师引导总结：因为另一条对角线BD的长度可以变化，只需要固定菱形的边长或对角线BC的值，就可以画出唯一的菱形。 【教材例题】 例2 已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1。 求证： ABCD是菱形。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴AB2=OA2+OB2。 ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角。 ∴AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）。 通过引导学生从菱形的性质逆向猜想判定方法、独立完成证明并合作交流，旨在培养逆向思维、几何推理能力与自主探究意识。教学时应鼓励学生积极探索，大胆猜想。在此基础上再进行严格的证明。 鼓励学生利用菱形的判定方法，设计制作菱形的方案。教学时不应局限于一种方法，而应放手让学生去思考、操作，鼓励学生展示自己的制作方法。可能有学生会制作出正方形，对此也要予以肯定，同时让学生思考：能否制作出一个不是正方形的菱形？再增加什么样的环节可以变为非正方形的菱形？ 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。
3.学以致用，应用新知 考点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例1 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC=5，AC=6，BD=8，则四边形ABCD是（ ） A. 梯形 B. 长方形 C. 菱形 D. 正方形 答案：C 变式训练 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件：______________，使为 ABCD菱形（不添加任何辅助线） 答案：AC⊥BD（答案不唯一） 考点2 四边相等的四边形是菱形 例2 如图等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的中点，则图中有_________个菱形。 答案：3（提示：菱形ADEF，菱形BDFE，菱形CFDE） 变式训练 四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点。若四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD应满足条件_________。 答案：AC=BD 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理，此定理一般会给出对角线添加判定条件，或在结合勾股定理判定。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“四边相等的四边形是菱形”的判定定理，此定理一般会与三角形中位线结合考查。
4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，下列判断中不正确的是（ ） A. 若AB＝BC，则 ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则 ABCD是菱形 C. 若AC平分∠BAD，则 ABCD是菱形 D. 若AC＝BD，则 ABCD是菱形 答案：D 2. 如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，给出下列结论： ①四边形BFDE是菱形； ②S四边形ABCD＝EF·BD； ③∠ADE＝∠EDO； ④△DEF是轴对称图形。 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案：C 3. 如图，在 ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是（ ） A. AE＝AF B. EF⊥AC C. ∠B＝60° D. AC是∠EAF的平分线 答案：C 4. 如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF。 求证：四边形BEDF是菱形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，AD∥BC。 ∴∠DCF＝∠BCF。 ∵CF＝CF， ∴△CDF≌△CBF(SAS)。 ∴DF＝BF。 ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA。 ∴∠DAE＝∠BCF。 ∵AE＝CF，DA＝BC， ∴△DAE≌△BCF(SAS)。 ∴DE＝BF。 同理可证：△DCF≌△BAE(SAS)， ∴DF＝BE。 ∴DF＝BF＝BE＝DE。 ∴四边形BEDF是菱形。 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF。 （1）求证：AE＝CF； （2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB。 ∴∠DAE＝∠BCF。 ∵DE∥BF， ∴∠DEF＝∠BFE。 ∴∠AED＝∠CFB。 ∴△ADE≌△CBF(AAS)。 ∴AE＝CF。 （2）由（1）知△ADE≌△CBF， ∴DE＝BF。 又∵DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形。 ∵BE＝DE， ∴四边形EBFD为菱形。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 菱形的判定： 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 定理：四边相等的四边形是菱形。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P9习题1.2中的T6、T7、T10、T11、T12。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第2课时 菱形的判定 一、定义法 二、对角线互相垂直 三、四边相等 提纲掣领，重点突出。
教后反思 课前布置的任务为本节课的探究做了有效的铺垫，提高了学生参与探究的兴趣，在证明思路的分析过程中体会了逆向思维、一题多解等数学思想，另外，学生通过经历“实验—猜想—证明—应用”的探索过程提高了自身的科学素养。 反思，更进一步提升。

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