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3 一元二次方程的根与系数的关系
课题 第3节 一元二次方程的根与系数的关系 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P48-49
教学目标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系。 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题。 3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体会从特殊到一般的思想。 4.增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重难点 重点：了解一元二次方程的根与系数的关系。 难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.回顾复习，导入新课 设置例题，回顾因式分解法解方程： 用因式分解法解方程： （1）x2-6x=0 （2）4x2-9=0 （3）x2-5x+6=0 师生活动：通过用解方程，回顾因式分解法解方程的步骤. 教师提问：如果ax2+bx+c可以分解成a（x-x1）（x-x2）（a≠0，x1，x2是实数），那么一元二次方程ax2+bx+c=0的有根吗，如果有，那么它的根是什么？ 学生回答：方程有两个实数根，分别为x1，x2。 教师活动：那么反过来，如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）成立吗？ 师生活动：从特例开始，2x2-3x+1=0的两根为，那么2x2-3x+1=0和相等吗？换几个方程试试，最终小组讨论交流ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）是否成立。 教师总结：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）。 教师追问：根据这个等式，我们可以发现一元二次方程根与系数之间有怎样的关系？这节课我们就来学习根与系数质检的关系。 （教师板书课题： 第3节 一元二次方程的根与系数的关系） 通过因式分解法的复习与逆向追问，引导学生从“知式求根”自然过渡到“知根研式”，在渗透从特殊到一般思想的同时，激发探究根与系数关系的兴趣。
2.实践探究，学习新知 【探究】 思考·交流： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。 学生活动：对刚刚得到的恒等式的左边进行展开. 预设：因为ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2） 而a（x-x1）（x-x2）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2， 所以ax2+bx+c=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2， 所以，于是 【归纳总结】 如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么 x1+x2=，x1x2=。 注意事项： ①方程必须是一元二次方程的一般形式； ②判断b2-4ac≥0； ③使用x1+x2时，注意“-”不要漏写。 【教材例题】 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）这里a=1，b=2，c=6。 Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25>0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2=-7，x1x2=6。 （2）这里a=2，b=-3，c=-2。 Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×（-2）=9+16=25>0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2=，x1x2=-1。 引导学生从已证的恒等式出发，通过多项式乘法与比较系数，自主推导出一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并在归纳中强化使用前提（一般形式、判别式非负、符号勿漏），从而发展代数推理与严谨归纳的数学素养。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。
3.学以致用，应用新知 考点 一元二次方程的根与系数的关系 例 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2x+1=0的两个实数根，下列结论正确的是（ ） A. x1≠x2 B. x12-2x1=1 C. x1+x2=-2 D. x1x2=1 答案：D 变式训练 已知x1，x2是方程x2-6x-3=0的两个实数根，则+=（ ） A. -2 B. - C. 2 D. 答案：A 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程的根与系数的关系解决问题，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
4.随堂训练，巩固新知 1. 若实数x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=2，则下列一元二次方程以x1，x2为根的是（ ） A. x2-3x+2=0 B. x2+3x-2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2-3x-2=0 答案：A 2. 若p，q是一元二次方程x2+4x-9=0的两个根，则p2+3p-q的值是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 13 答案：D 3. 若a，b是关于x的一元二次方程x2-2kx+4k=0的两个实数根，且a2+b2=12，则k的值是（ ） A. -1 B. 3 C. -1或3 D. 3或1 答案：A 4. 关于x的一元二次方程x2-2x+3m-2=0有实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若方程有一根为4，求方程的另一根。 解：（1）根据题意，得Δ=b2-4ac=（-2）2-4（3m-2）≥0， 解得m≤1。 所以m的取值范围为m≤1。 （2）设方程的另一根为x2，则4+x2=2。 所以x2=-2。 即方程的另一根为-2。 5. 设x1，x2是方程3x2+4x-3=0的两个根。利用根系数之间的关系，求下列各式的值。 （1）（x1+1）（x2+1）；（2）+。 解：根据根与系数的关系，得 x1+x2==-，x1x2==-1。 （1）（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1 =-+（-1）+1 =-。 （2）+===-。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么 x1+x2=，x1x2=。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P50习题2.3中的T1、T2、T3、T4、T5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第3节 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 2.注意事项 提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课先由学生自主探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力。学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清；两根之和、两根之积有小部分同学有些混淆。 反思，更进一步提升。

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